Riassunto Microeconomia

Modelli economici, preferenze, funzioni di utilità e vincolo di bilancio

Domanda e offerta

• Curva di domanda: Q = a − bp, p = a−Q / b
• Curva di offerta: Q = c + dp, p = Q−c / d
• Equilibrio tra domanda e offerta: Q_d = Q_s, p = a+c / d+b

Assiomi di preferenza

x è preferito a y; x è preferito almeno quanto y, preferenza debole; x è indifferente a y.

• Completezza: se A e B sono due situazioni casuali, l’individuo può sempre specificare cosa preferisce.
• Transitività: si assume che se A ≻ B, e B ≻ C, allora A ≻ C.
• Continuità: se A ≻ B, allora ogni situazione “vicina” ad A è anch’essa preferita a B.
• Non-sazietà, o monotonicità: a parità di condizioni, un consumatore razionale sceglie sempre il paniere con una maggiore quantità di beni.

Funzioni well-behaved: monotonicità, strettamente convesse, continue. In queste funzioni, a parità di quantità di beni, la combinazione più variata dei beni, combinazione lineare, sarà determinante nella scelta del paniere.

Funzioni di utilità

Le funzioni di utilità sono rappresentate tramite curve di indifferenza, dato che mostrano un quantitativo di panieri tra i quali l’individuo è indifferente, a patto che una qualsiasi combinazione si trovi sulla stessa curva di indifferenza.

Il saggio marginale di sostituzione (MRS) è la disponibilità di scambiare un bene con l’altro per restare indifferenti. Graficamente non è nient’altro che la pendenza della curva di indifferenza; concettualmente è il rapporto tra le utilità marginali di x e y.

Per calcolare l’MRS bisogna rapportare le derivate parziali della funzione di utilità: MRS = 1.

Martino Bernasconi Microeconomia A.

Cobb-Douglas: sostituti imperfetti, funzione convessa

U(x, y) = x^α y^β

Caratteristiche:

• L’MRS è pari al rapporto tra le due derivate parziali, v. sopra, ed è uguale a αy / βx.
• La soluzione di beni ottima viene trovata tramite il metodo di Lagrange; MRS decrescente all’aumentare di x e crescente all’aumentare di y.
• Un esempio di questi beni possono essere Hamburger e Coca Cola.

Se alpha+beta = 1:

X* = (I*alpha)/Px

Y* = (I*beta)/Py

Figura 1: Curve di indifferenza di una funzione Cobb-Douglas.

Sostituti perfetti, funzione lineare

U(x, y) = ax + by

Caratteristiche:

• L’MRS è costante ed è pari alla pendenza delle curve di indifferenza, in valore assoluto: a / b.
• La soluzione di beni ottima viene trovata confrontando la pendenza del vincolo di bilancio con quella dell’MRS. Le soluzioni possibili sono:

1. Se MRS > pendenza vincolo (= −p_x / p_y) si acquisterà solo il bene x.
2. Se MRS < pendenza vincolo si acquisterà solo il bene y.
3. Se MRS = pendenza vincolo qualunque combinazione di x e y è ottima.

• Un esempio di questi beni possono essere due acque minerali di marche diverse.

Complementi perfetti, funzione ad angolo

U(x, y) = min[ax; by]

Caratteristiche:

• L’MRS è: ∞ se x < by / a.
• L’MRS è: 0 se x > by / a.
• L’MRS è: non definito se x = by / a.
• La soluzione di beni ottima viene trovata inserendo la condizione x = by / a nel vincolo di bilancio.
• Un esempio di questi beni possono essere sci e attacchi, Hardware e software, ecc.

1 In generale, se nell’MRS è possibile trovare il rapporto y / x, allora si può dire che le preferenze dell’individuo sono convesse.

2 Se l’MRS dipende dal rapporto tra le quantità dei due beni, y / x o x / y, allora la funzione è omotetica, ovvero che se si aumentano proporzionalmente le quantità dei beni, l’MRS non cambia.

Martino Bernasconi Microeconomia A.

Figura 2: Curve di indifferenza di una funzione lineare.

Figura 3: Curve di indifferenza di una funzione ad angolo.

Preferenze non lineari o neutrali

U(x, y) = ax

U(x, y) = xy + ax

U(x, y) = xy + ay

I beni neutrali sono quei beni che per il consumatore è indifferente consumare o meno.

Caratteristiche:

• L’MRS è pari al rapporto tra le due derivate parziali; se la funzione di utilità dipende da un solo bene, l’MRS è uguale a ∞.
• La soluzione ottima si trova col metodo di Lagrange.

Economic bads

U(x, y) = αx − βy

I mali economici sono i beni il cui consumo porta disutilità al consumatore.

Caratteristiche:

• L’MRS è uguale al rapporto α / β.
• L’utilità è decrescente.
• Un esempio possono essere cibo e mosche, a patto che Y sia l’economic bad.

Martino Bernasconi Microeconomia A.

Figura 4: Curve di indifferenza dei mali economici.

Il vincolo di bilancio

In generale il vincolo di bilancio è dato da: xp_x + yp_y = I.

Per massimizzare l’utilità del consumatore, la curva di indifferenza deve essere tangente al vincolo di bilancio, la cui pendenza è −p_x / p_y. Questo vale solo se l’MRS è decrescente!

Figura 5: Curve di indifferenza, vincolo di bilancio e soluzione ottima.

Matematicamente, questo vuol dire che: ∂U/∂x / ∂U/∂y = −p_x / −p_y.

Il vincolo di bilancio interseca l’asse delle y nel punto I / p_y e l’asse delle x nel punto I / p_x. La sua equazione è data da: y = I / p_y − x p_x / p_y.

Funzioni di domanda

Interpretazione di lambda

1. Lambda è il moltiplicatore che fornisce un’approssimazione dell’effetto di una variazione unitaria nel reddito disponibile sulla funzione d’utilità.
2. È l’utilità marginale di un’unità extra di spesa per il consumo, utilità marginale del reddito.
3. Si può anche parlare di disponibilità a pagare per l’ultima unità acquistata.

Massimizzazione dell’utilità per le Cobb-Douglas

Per massimizzare l’utilità, trovare le funzioni di domanda marshalliane, e la funzione di utilità indiretta di una funzione Cobb-Douglas è necessario:

• Impostare la Lagrangiana: L = x^α y^β − λ(xp_x + yp_y − I).
• Trovare le derivate parziali e trovare la condizione di tangenza: p_x / p_y = αy / βx.
• Risolvere la condizione di tangenza rispetto a y: y = p_xβx / p_yα.
• Sostituire questo risultato nel vincolo di bilancio per ottenere le funzioni di domanda Marshalliane: x^d = I / (αp_x + p_xβ / α), y^d = I / (βp_y + p_yα / β).
• Se α + β = 1, allora: x^d = αI / p_x, y^d = βI / p_y.
• Per trovare la funzione di utilità indiretta inserire y^d e x^d nella funzione di utilità. Si ottiene:

V(p_x, p_y, I) = (αI / p_x)^α (βI / p_y)^β, se α + β = 1.

V(p_x, p_y, I) = (I / (αp_y + βp_x))^α (I / (βp_x + αp_y))^β, se α + β > 1.

L’identità di Roy permette di passare dalla funzione di utilità indiretta a quelle Marshalliane:

x^d = −(∂V/∂p_x) / (∂V/∂I), Y^d = −(∂V/∂p_y) / (∂V/∂I).

Tipologie di beni

È possibile definire se i beni presi in considerazione sono normali o inferiori semplicemente derivando le funzioni di domanda Marshalliane rispetto al reddito (∂x^d / ∂I)3:

• Se ∂x^d / ∂I < 0, allora x è un bene inferiore; es kebab.
• Se ∂x^d / ∂I > 0, allora x è un bene normale.

3 Per y basta cambiare la funzione da derivare, y^d invece che x^d.

Martino Bernasconi Microeconomia A.

Minimizzazione della spesa

Per minimizzare la spesa, trovare le funzioni di domanda compensate, e la funzione di spesa di una funzione Cobb-Douglas è necessario:

• Impostare la Lagrangiana: L = xp_x + yp_y − λ(x^α y^β − U₀).
• Trovare le derivate parziali e trovare la condizione di tangenza: p_x / p_y = αy / βx.
• Risolvere la condizione di tangenza rispetto a y: y = p_xβx / p_yα; sostituire questo risultato nel vincolo di bilancio per ottenere le funzioni di domanda compensate4:

x^c = U₀(p_yα / βp_x)^β, y^c = U₀(βp_x / αp_y)^α.

• Per trovare la funzione di spesa basta sostituire x^c e y^c nella funzione xp_x + yp_y:

E(p_x, p_y, U₀) = p_xU₀(p_yα / βp_x)^β + p_yU₀(βp_x / αp_y)^α.

È importante ricordare che la funzione di spesa è l’inversa della funzione di utilità indiretta, quindi se si risolve E(p_x, p_y, U₀) rispetto a U₀ e si sostituisce E con I si ottiene appunto la funzione di utilità indiretta V(p_x, p_y, I).

Il Lemma di Shepherd permette di passare dalla funzione di spesa a quelle di domanda compensate:

x^c = ∂E / ∂p_x, y^c = ∂E / ∂p_y.

È infine possibile trovare la domanda compensata risolvendo utilità indiretta rispetto al reddito e inserendo questa funzione nella domanda marshalliana: Es 4.1 serie 4.

4 Si dicono “compensate” perché il consumatore viene compensato dell’aumento del prezzo tramite una crescita del reddito sufficiente ad acquistare il medesimo paniere iniziale e viceversa, lo si forza a restare sulla stessa curva di indifferenza.

5 Solo se α + β = 1, altrimenti sostituire nel vincolo in funzione di α e β.

Effetto reddito, effetto sostituzione ed elasticità

All’aumentare del prezzo di un bene, la sua domanda può reagire in due modi:

• Se la sua domanda aumenta, nonostante l’aumento del suo prezzo, il bene in questione è chiamato “bene di Giffen”.
• Se la sua domanda diminuisce, allora è un bene qualunque.

Per un bene qualunque, è possibile scomporre la diminuzione della domanda in:

• Effetto reddito, ovvero la diminuzione del reddito reale dato l’aumento di prezzo.
• Effetto sostituzione, ovvero la sostituzione del bene il cui prezzo è aumentato con un altro meno caro.

Il metodo di Hicks

Per trovare l’effetto reddito e l’effetto di sostituzione con il metodo di Hicks è necessario:

• Calcolare l’