Incertezza - Parte I e II
Valore atteso di una lotteria X è il valore di X che si realizza in "media" ed è dato da E(X), si indica col simbolo x barrato sopra.
π x + π x + ... + π x₁ ₁ ₂ ₂ n n
Varianza e deviazione standard
Derivati dal corso di Statistica: σ² = π [x - x̄]² + ... + π [x - x̄]².
Preferenze
Date 2 lotterie X e Y, l'espressione X > Y significa che la lotteria X è preferita almeno quanto la lotteria Y.
X₂=(b/1−π)−(π x₁ Retta del valore atteso costante di B: /(1−π)).
Avversione al rischio
Un individuo è avverso al rischio se le sue preferenze soddisfano la seguente condizione: per ogni lotteria X vale X> X dove X è una lotteria certa che garantisce una vincita pari a x, cioè al valore atteso di X.
Pendenza delle curve di indifferenza nei punti sulla retta della certezza. −(π /(1−π))
Equivalente certo
È una lotteria certa, X = x, indifferente ad X, cioè tale che X ~ X. La grandezza x indica la vincita certa equivalente a X. Indica il valore monetario che l'individuo attribuisce alla lotteria.
Premio per il rischio
È la differenza tra il valore atteso e l'equivalente certo, p = x - x̄. Indica la massima disponibilità a pagare per evitare il rischio. Se il premio è positivo, l'individuo è disposto a ‘pagare’ per evitare il rischio, cioè l’individuo è avverso al rischio.
Propensione al rischio
Un individuo è propenso al rischio se le sue preferenze soddisfano la seguente condizione: per ogni lotteria X vale X > X.
Neutralità al rischio
Un individuo è neutrale al rischio se le sue preferenze soddisfano la seguente condizione: per ogni lotteria X vale X ~ X dove X = x è una lotteria certa che garantisce una vincita pari al valore atteso di X.
Parte III
w: ricchezza iniziale
d: danno derivante dal sinistro
π: probabilità dell'evento favorevole (stato 1)
(1-π): probabilità del sinistro (stato 2)
Lotteria situazione rischiosa
X = (x₁, x₂) con x₁ = w e x₂ = w-d con valore atteso E(X) = w - (1-π)d
Contratto assicurativo
- q: indennizzo
- p: premio assicurativo
Lotteria assicurato -> Z = (-p, q-p)
Contratto completo
Una polizza assicurativa (a copertura) completa prevede un indennizzo pari al danno cioè q = d. Corrisponde quindi alla lotteria Z = (-p, d-p). Per chi acquista la polizza ha a disposizione la lotteria Y = X + Z cioè Y = (y₁, y₂) con y₁ = w-p e y₂ = w-d+d-p = w-p.
Contratto a copertura parziale
Prevede l'indennizzo inferiore alla perdita -> q < d. Per chi acquista la polizza ha a disposizione la lotteria Y = X + Z cioè Y = (y₁, y₂) con y₁ = w-p e y₂ = w-d+q-p = w-p-(d-q).
Dove d – q > 0 è il danno non assicurato.
Contratto equo
Una polizza assicurativa è equa, da un punto di vista attuariale, se il valore atteso della polizza è pari a zero, cioè se E(Z) = 0. Quindi, il contratto è equo se p = (1-π)q cioè se il premio assicurativo è pari all'indennizzo atteso.
Il contratto è, invece, sfavorevole se E(Z) < 0 cioè se p > (1–π)q.
Scelta assicurativa
p = γq; dove γ è il coefficiente del premio ed è compreso tra 0 e 1.
L'individuo può scegliere un indennizzo compreso tra 0 e il danno d 0 <= q <= d.
Contratto assicurativo
Z(q) = (-γq, q - γq) = (-γq, (1-γ)q) l'individuo, invece, dispone della lotteria Y(q) = (y₁, y₂) con y₁ = w-γq e y₂ = w – d + (1-γ)q.
Lotterie disponibili
- Basta trovare due punti
- Se q = 0 allora Y(0) = (w, w – d) = X;
- Se q = d allora Y(d) = (w - d, w - d) = C.
Equazione retta delle lotterie disponibili: y₂ - (w – d) = - [(1-γ)/γ](y₁ - w).
[(1-γ)/γ] -> pendenza "retta di bilancio".
Valore del coefficiente γ
Nel contratto equo p = (1-π)q cioè se γ = (1-π); nel contratto sfavorevole γ > (1-π).
Contratto equo, γ = (1-π):
- Lotteria individuo Y(q) = (y₁, y₂) con y₁ = w- (1-π)q e y₂ = w – d + πq.
- Lotteria polizza a copertura completa Y(d) = (w – (1 - π)d, w-(1- π)d) = A.
La "retta di bilancio" ha pendenza pari a – π/(1-π).
Osservazione: se il contratto è equo, cioè se il premio è pari all'indennizzo atteso, un individuo avverso al rischio sceglierà di acquistare una polizza a copertura completa eliminando completamente il rischio.
Contratto sfavorevole (γ > 1-π)
- Lotteria individuo Y(q) = (y₁,y₂) con y₁ = w - γq e y₂ = w-d+ (1-γ)q
- "Retta di bilancio" passante per i punti X e C = Y(d) -> C= (w- d, w- d)
Osservazione: se il contratto è sfavorevole, cioè se il premio è maggiore dell'indennizzo atteso, un individuo avverso al rischio sceglierà di non assicurarsi completamente acquistando una polizza a copertura parziale e sosterrà una parte del rischio.
Attività finanziarie
- Attività priva di rischio -> infruttifera
- Attività finanziaria rischiosa.
Scelta di portafoglio
- w -> ricchezza iniziale investitore
- a -> ammontare ricchezza detenuto in attività rischiosa
- w - a -> ammontare ricchezza detenuto in attività priva di rischio
Lotteria portafoglio di composizione a : X(a) = (w+ar₁, w+ar₂)
- Lotteria per a = 0 X(0) = (w, w)
- Lotteria per a = w X(w) = (w+ wr₁, w+wr₂)
Equazione "retta di bilancio" : x₂ = w (1- r₂/r₁) + (r₂/r₁)x₁ per w <= x₁ <= w (1+r₁)
Per sapere a quali condizioni un individuo avverso al rischio sceglie di investire nell'attività rischio oppure sceglie di detenere tutta la ricchezza in attività priva di rischio, la logica sta nel confrontare:
- La pendenza della retta di bilancio: r₂/r₁
- La pendenza della curva di indifferenza passante per il punto iniziale, C = X(0), che è - π/(1- π)
Tasso di rendimento atteso r = πr₁ + (1- π)r₂
r₂ <= 0: -r₂/r₁ ≥ π/(1- π) (guarda soluzione grafica pag. 50)
Osservazione: Se il tasso di rendimento atteso dell'attività rischiosa è negativo, nessun individuo avverso al rischio investe nell'attività rischiosa.
r₂ > 0: -r₂/r₁ < π/(1- π)
Osservazione: Se il tasso di rendimento atteso dell'attività rischiosa è positivo, anche un individuo avverso al rischio investe almeno una parte della propria ricchezza nell'attività rischiosa.
Parte IV
Funzione di utilità
Si utilizza per esprimere le preferenze, se X e Y sono due lotterie e su U(-) è la funzione di utilità allora: X > Y se e solo se U(X) ≥ U(Y)
Funzione di Von Neumann Morgenstern v(x)
È una funzione di una sola variabile che ad ogni vincita x associa un livello di utilità. (Guarda grafici pag. 5/6)
Utilità attesa
L'utilità attesa di una lotteria è la media delle utilità ex post delle vincite. Per una lotteria X = (x₁,x₂; π) l'utilità attesa è data da U(X) = πv(x₁) + (1- π)v(x₂)
Osservazione: L'utilità attesa per una lotteria certa, ad esempio A = a, è data dall'utilità ex post della vincita certa a, cioè da U(A) = v(a)
Teoria dell'utilità attesa
Se le preferenze di un individuo soddisfano alcune proprietà aggiuntive oltre alla completezza, la transitività e la non sazietà, allora esiste una funzione di Von Neumann Morgenstern che consente di ordinare le lotterie dell'individuo mediante la regola dell'utilità attesa: Per ogni coppia di lotterie X e Y dove X è preferita almeno quanto Y (X > Y) si può affermare che U(X) ≥ U(Y).
La forma della funzione di Von Neumann Morgenstern v(x) indica l'attitudine al rischio:
- v(x) concava -> avverso al rischio
- v(x) convessa -> propenso al rischio
- v(x) lineare -> neutrale al rischio
Applicazione – Equivalente certo
La lotteria certa X = x è l'equivalente certo della lotteria X se X ~ X.
Per ricavare il premio per il rischio p = x - x̄ occorre x̄ che si trova ponendo la seguente uguaglianza: v(x̄) = U(X)
Metodo grafico – Utilità attesa (pag. 25/26)
Metodo grafico per ricavare l’utilità attesa di una lotteria X = (x₁, x₂; π), conoscendo la funzione v(x).
- I punti A e B hanno coordinate A = (x₁, v(x₁)) e B = (x₂, v(x₂))
- Il valore atteso della lotteria è x̄ = πx₁ + (1 − π)x₂.
- L’utilità attesa della lotteria è U(X) = y dove y = πv(x₁) + (1 − π)v(x₂)
- Il punto C di coordinate x̄ e y giace sul segmento A, B.
Avversione al rischio – Utilità attesa (grafico pag.30): Mostriamo che la funzione di Von Neumann Morgenstern, v(x), di un individuo avverso al rischio è concava. Un individuo è avverso al rischio se, data una qualsiasi lotteria X, preferisce la lotteria certa X = x̄, che garantisce la vincita attesa x̄, alla lotteria rischiosa X, cioè X è preferita almeno quanto X (X > X).
Per la teoria dell’utilità attesa v(x̄) ≥ U(X). Se prendiamo la semplice lotteria X = (x₁, x₂; π) si ha v(πx₁ + (1 − π)x₂) ≥ πv(x₁) + (1 − π)v(x₂). Quindi, la funzione v(x) è concava.
Concavità
Una funzione derivabile f è concava se la sua derivata seconda è negativa, cioè se f''(x) ≤ 0 per ogni x.
Propensione al rischio
La funzione di Von Neumann Morgenstern, v(x), di un individuo propenso al rischio è convessa. Dalla definizione di propensione al rischio per X = (x₁, x₂; π) si ha X > X applicando la regola dell’utilità attesa U(X) ≥ v(x̄), da cui si ricava v(πx₁ + (1 − π)x₂) ≤ πv(x₁) + (1 − π)v(x₂), quindi, la funzione v(x) è convessa.
Convessità
Una funzione derivabile f è convessa se la sua derivata seconda è positiva, cioè se f''(x) ≥ 0 per ogni x.
Neutralità al rischio
La funzione di Von Neumann Morgenstern, v(x), di un individuo neutrale al rischio è lineare. Dalla definizione di neutralità al rischio per X = (x₁, x₂; π) si ha X ~ X ⇛ U(X) = v(x̄), da cui si ricava v(πx₁ + (1 − π)x₂) = πv(x₁) + (1 − π)v(x₂), quindi, la funzione v(x) è lineare.
Equivalente certo – Illustrazione grafica (grafico pag.44)
Vediamo un’illustrazione grafica riferita alla lotteria X = (x₁, x₂; π). La lotteria certa X = x̄ è l’equivalente certo della lotteria X se X ~ X. Per la regola dell’utilità attesa x̄ deve soddisfare la condizione v(x̄) = U(X). Ricaviamo graficamente il valore di x̄, del valore atteso x̄ e del premio per il rischio p = x̄ - x̄.
Parte V
Scelta assicurativa
Lotteria individuo con polizza: Y(q) = (w-γq), w-d+(1-γ)q; π)
Supponiamo che l'individuo sia avverso al rischio con una v(x) concava.
Utilità attesa
V(q) = π v(w-γq) + (1-π) v(w-d+(1-γ)q)
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