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Convessità:

Una funzione derivabile f è convessa se la sua derivata seconda è positiva, cioè se f"(x) ≥ 0

per ogni x.

Neutralità al rischio:

La funzione di Von Neumann Morgenstern, v(x), di un individuo neutrale al rischio è

lineare.

Dalla definizione di neutralità al rischio per X = (x , x ; π) si ha X X U(X) =

∼ ⇒

• 1 2

v(x)

da cui si ricava v(πx + (1 − π)x ) = πv(x ) + (1 − π)v(x )

• 1 2 1 2

quindi, la funzione v(x) è lineare

Equivalente certo – Illustrazione grafica (grafico pag.44):

Vediamo un’illustrazione grafica riferita alla lotteria X = (x , x ; π)

• 1 2

La lotteria certa X = x è l’equivalente certo della lotteria X se X X

• ~ ~ ~

Per la regola dell’utilità attesa x deve soddisfare la condizione v(x ) = U(X)

• ~ ~

Ricaviamo graficamente il valore di x , del valore atteso x e del premio per il rischio

• ~

p = x − x ~

PARTE V

Scelta assicurativa

Lotteria individuo con polizza: Y(q) = (w- q), w-d+(1- )q; π)

γ γ

Supponiamo che l'individuo sia avverso al rischio con una v(x) concava.

Utilità attesa: V(q) = π v(w- q) + (1- π) v(w-d+(1- )q)

γ γ

Per la scelta assicurativa all'individuo interessa trovare quel valore dell'indennizzo q che gli

massimizza l'utilità attesa V(q), per farlo si pone la condizione di primo ordine V'(q) =0

− π v'(w − q) + (1 − )(1 − π) v'(w − d + (1 − )q) = 0

γ γ γ γ

Riscritta in questa forma: v'(w − d + (1 − )q)/v'(w − q) = π/(1- ) (1- π)

γ γ γ γ

Contratto equo, γ = 1 − π

L'equazione diventa v'(w-d+(1 − )q) = v' (w- q) quindi q*=d.

γ γ

Se il contratto è equo un individuo avverso al rischio è disposto ad assicurarsi

completamente per evitare il rischio.

Contratto sfavorevole, γ > 1 − π

v'(w-d+(1 − )q) > v' (w- q) quindi: w − d + (1 − γ)q < w − γq il segno della disuguaglianza

γ γ

deriva dal fatto che è avverso al rischio sarebbe opposto se fosse propenso poichè è crescente

anzichè decrescente-> q< d

Se il contratto è sfavolrevole anche un individuo avverso al rischio decide di sostenere una

parte del rischio e quindi si assicura parzialmente.

Scelta di portafoglio

Nello stato 1 (favorevole) il tasso di rendimento dell'attività rischiosa è r > 0

1

Nello stato 2 (sfavorevole) il tasso di rendimento dell'attività rischiosa è r < 0

2

Tasso di rendimento atteso: r = πr + (1- π)r

1 2

Lotteria portafoglio di composizione a : X(a) = (w+ar , w+ar ; π)

1 2

Utilità attesa della lotteria X(a) è V(a) = πv(w + ar ) + (1 − π) v(w + ar )

1 2

All'investitore interessa scegliere quella composizione di portafoglio che massimizza l'utilità

attesa V(a). Per farlo si pone la condizione di primo ordine V'(a) = 0.

r π v'(w + ar ) + r (1 − π) v'(w + ar ) = 0

1 1 2 2

Che può comodamente essere riscritta così: v'(w+ar )/v'(w+ar ) = - r (1- π)/r π

1 2 2 1

Tasso di rendimento atteso negativo, r ≤ 0

Dal confronto con la condizione del primo ordine si ha v'(w + ar ) ≥ v'(w + ar )

• 1 2

Poichè l’individuo è avverso al rischio, la funzione v' è decrescente quindi w + ar ≤

• 1

w + ar 2

Quindi, a(r − r ) ≤ 0 che è vero solo per a = 0 poichè r − r > 0.

• 1 2 1 2

Quindi, la scelta di portafoglio è a* = 0

Se il tasso atteso di rendimento dell'attività rischiosa è negativo nessun individuo avverso al

rischio investe nell'attività rischiosa.

Tasso di rendimento atteso positivo, r > 0

Dal confronto con la condizione del primo ordine si ha v'(w + ar ) < v'(w + ar )

• 1 2

Poichè l’individuo è avverso al rischio, la funzione v' è decrescente quindi w + ar >

• 1

w + ar 2

Infine, a(r − r ) > 0 che è vero solo per a > 0 poichè r − r > 0.

• 1 2 1 2

Quindi, la scelta di portafoglio è a* > 0, cioè l’individuo investe una parte della

• propria ricchezza in titoli rischiosi.

Se il tasso atteso di rendimento dell'attività rischiosa è positivo allora anche un inviduo

avverso al rischio investe una parte della sua ricchezza in attività rischiosa.

PARTE VI

Strategie gestione del rischio

Le principali sono:

Condivisione del rischio;

• Aggregazione di rischi indipendenti;

◦ Ripartizione di un rischio tra più soggetti;

Copertura (o hedging): il rischio di un'attività viene neutralizzato con un altra attività

• rischiosa analoga e "contraria";

Diversificazione: sostenere più rischi di piccola entità anzichè sostenere un unico

• rischio di grande entità;

Acquisizione di informazioni: l'accrescere delle informazioni legate ad un'attività

• rischiosa riduce a sua volta il rischio.

Condivisione del rischio

Il rischio che le compagnie assicurative assumono è molto piccolo per la legge dei grandi

numeri: se π è la probabilità che si verifichi un sinistro, il numero di sinistri in un gruppo

molto grande di persone N è quasi certo ed è pari a πN.

Aggregazione dei rischi: in presenza di una grossa quantità di rischi indipendenti, si può

eliminare il rischio individuale perchè il rischio aggregato è quasi nullo.

Ripartizione di un rischio: se un individuo possiede un progetto altamente profittevole, ma

altrettanto rischioso, l'individuo può eliminare il rischio ed ottenere il valore atteso con

certezza ripartendo il rischio fra più soggetti.

Cartolarizzazione (strategia di ripartizione): un rischio di grande entità viene suddiviso in

parti più piccole e venduto ad una moltitudine di soggetti. (esempio ben scritto da pagina 7 a

pagina 14) Scaletta calcoli cartolarizzazione:

1. Valore atteso E(X)

2. Utilità attesa U(X)

3. Equivalente certo, U(X) = v(x˜ ), dove x˜ è l'incognita da trovare.

Grazie alla cartolarizzazione, il proprietario della lotteria la valuta in base al suo valore

atteso e agisce dunque come se fosse un individuo avverso al rischio.

Strategia di copertura

(Buon esempio di partenza)

Nel caso di rischi derivanti da titoli o attività finanziarie è possibile adottare una

• strategia di copertura utilizzando i mercati a termine, cioè utilizzando contratti di

acquisto o vendita a termine. Quindi se si detiene un titolo rischioso, la strategia di

copertura è di vendere lo stesso titolo con un contratto a termine.

Nel caso di rischi derivanti da attività reali, la strategia di copertura si realizza con un

• contratto assicurativo:

Lotteria iniziale (w, w-d) nello stato 2 si registra una perdita pari a w-d;

◦ Lotteria polizza (-p, d-p) nello stato 2 si registra una vincita esatta pari a d-p.

N.B: La varianza Var rappresenta il livello del rischio.

Diversificazione rischio

Scaletta calcolo:

1. Probabilità payoff

2. Valore atteso lotteria E(X)

3. Varianza che corrisponde al livello del rischio

4. Beneficio della diversificazione: differenza tra i due massimi equivalenti certi

(nell'esempio: 328 – 300 = 28).

Struttura payoff:

Se i payoff delle due attività finanziarie A e B sono positivamente correlati allora la

• diversificazione non è efficace. Per correlazione positiva s'intende che nel caso

fallisse l'attività A anche la B fallisce insieme, la diverificazione qui non è efficace

perchè è come investire tutto in una sola delle due attività e il rischio non viene

ridotto.

Quando si ha una correlazione negativa siamo nel caso della copertura.

• Diverificazione altamente efficace perchè quando si ha una perdita essa è sempre

compensata da un vincita e il rischio viene completamente eliminato.

Se i payoff sono indipendenti la diverificazione è efficace, il rischio viene ridotto

• perchè una perdita è compensata talvolta da un guadagno.

Osservazione: L'analisi della diversificazione del rischio mostra che le attività rischiose non

vanno considerate isolatamente. La convenienza ad assumere un rischio dipende anche dalla

presenza o assenza di altri rischi e delle opportunità di copertura o diversificazione. I

mercati azionari, oltre a permettere la vendita di quote (cartolarizzazione), offrono ai

risparmiatori la possibilità di diversificare il rischio finanziario.

Acquisizione di informazioni

Dall'esempio: Se il giovane fosse in grado di conoscere in anticipo le condizioni

meteorologiche potrebbe scegliere il reparto ‘giusto’ e ottenere una retribuzione di 30.

La migliore alternativa all’acquisizione di informazioni è la strategia di copertura che

garantisce una retribuzione certa pari al valore atteso della lotteria X: E(X) = 21.

Quindi il giovane è disposto a pagare fino a 30 – 21= 9 per l'informazione, se il suo costo

non è troppo elevato si può eliminare completamente l'incertezza acquistando

l'informazione.

ALLOCAZIONE DEL RISCHIO

Ipotesi di due soggetti partecipanti ad una stessa attività economica (es. Lavoratore e

imprenditore), come dovrebbe essere distribuito il rischio tra i due soggetti?

L'imprenditore propone al lavoratore il contratto: X= (x , x ).

1 2

Il guadagno dell'imprenditore è pari a: W – X = (w - x , w - x ).

1 1 2 2

Due possibili tipi di contratto:

Contratto a remunerazione variabile, X= (x , x ) con x ≠ x . Il lavoratore L è esposto

1. 1 2 1 2

al rischio.

Contratto a remunerazione fissa, C, con x = x = c. Il lavoratore L non sostiene alcun

2. 1 2

rischio.

Supponiamo che il lavoratore sia avverso al rischio e l’imprenditore neutrale al rischio:

Il lavoratore accetta il contratto X solo se ottiene un livello di benessere superiore ad

• un livello minimo;

Le curve di indifferenza dell’imprenditore sono rette con pendenza −π/(1 − π);

• L’imprenditore ha l’obiettivo di massimizzare i suoi profitti attesi π(w − x ) + (1 − π)

• 1 1

(w − x ) = E(W ) − (πx + (1 − π)x );

2 2 1 2

quindi, deve ridurre al minimo la remunerazione attesa del lavoratore.

L'imprenditore offrirà al lavoratore un contratto a remunerazione fissa e si assumerà tutto il

rischio. Per il lavoratore avverso il rischio è un costo, il lavoratore, quindi, è disposto ad

accettare un contratto variabile X solo se questo avrà payoff maggiori (al di sopra della

curva di indifferenza).

La distribuzione efficiente del rischio tra un individuo avverso ed uno neutrale è che tutto il

rischio ricada sul soggetto neutrale al rischio.

TEORIA DEI GIOCHI – PARTE I

La teoria dei giochi è la teoria della scelta razione in un contesto di interdipendenza

strategica:

Vi sono 2 o più soggetti che devono compiere una scelta;

➢ Il beneficio che ogni soggetto trae dalla propria scelta dipende anche dalla scelta

➢ degli altri soggetti;

Tutti i soggetti coinvolti sono coscienti dell'interdipendenza delle scelte.

Elementi che definiscono il gioco:

Giocatori;

• Strategie di ciascun giocatore;

• Payoff di ciascun giocatore.

Simbologia strategie:

s : strategia del giocatore i;

• i

S : insieme di strategie del giocatore i;

• i

(s , s ) : profilo di strategie dei 2 giocatori;

• 1 2

S x S : insieme dei profili di strategie.

• 1 2

Payoff:

v (s , s ) : payoff del giocatore i quando il profilo di strategie giocato è (s , s );

➔ i 1 2 1 2

v : S x S → R : funzione dei payoff del giocatore i.

➔ i 1 2

Tipi di giochi:

1. Giochi a mosse simultanee (o giochi a uno stadio): i giocatori scelgono le loro azioni,

nello stesso tempo o in momenti diversi, senza sapere cosa abbia scelto l'altro

giocatore;

2. Giochi a mosse sequenziali (o giochi a più stadi): i giocatori scelgono le loro azioni

avendo informazione sulle scelte degli altri giocatori nelle fasi precedenti del gioco.

Giochi a mosse simultanee

La sua descrizione richiede che siano indicati:

Gli insiemi di strategie di 2 giocatori, S e S

• 1 2

Le funzioni dei payoff dei 2 giocatori, v (s , s ) e v (s , s )

• 1 1 2 2 1 2

Gioco ad informazione completa: se tutti gli elementi che compongono il gioco sono

"conoscenza comune" (common knowledge).

Razionalità

Obiettivo giocatore razionale: massimizzare i propri payoff.

Strategia:

1. Formulare una previsione sulla strategia adottata dall'avversario

2. Scegliere la strategia che massimizza il proprio payoff, data la previsione sulla scelta

dell'avversario

Strategia di risposta ottima: la strategia s è una risposta ottima alla strategia s se

i j

v (s ,s ) ≥ v (s ,s ) per ogni s S

➔ ∈

i i j i i j i i

Esempio: Campagna pubblicitaria

Strategia dominante: la strategia s è una strategia dominante per il giocatore i se s è una

i i

risposta ottima a qualsiasi strategia s giocata dal giocatore j, cioè se

j

per ogni s S e per ogni s S

v (s ,s ) ≥ v (s ,s ) ∈ ∈

➔ i i j j

i i j i i j

Previsioni razionali

Assunzione: la razionalità è "conoscenza comune".

Strategia dominata:

Una strategia s ^ è dominata per il giocatore i se esiste un'altra strategia s ' che consente al

i i

giocatore i di ottenere un payoff strettamente maggiore qualunque sia la strategia

dell'avversario, cioè se

v (s ', s ) > v (s ^, s ) per ogni s

➔ i i j i i j j

Una strategia dominata non può mai essere una strategia ottima ed è di conoscenza comune.

GIOCHI PARTE II

Razionalità

Un giocatore razionale prevede che il suo avversario scelga una risposta ottima alla propria

risposta ottima.

Situazione ammissibile (o profilo di risposta ottima)

Una situazione ammissibile per il giocatore i è un profilo di strategie (s , s ) in cui s è una

i j i

risposta ottima a s .

j

Esempio di calcolo: Il profilo (s ,s ) = (Alto, Sinistra) è una situazione ammissibile per il

1 2

giocatore 1? SI.

v (Alto, Sinistra) = 2 > 0 = v (Basso, Sinistra) (si confronta col payoff dell'altra

• 1 1

opzione tenendo pari la scelta dell'altro giocatore)

A : insieme delle situazioni ammissibili del giocatore i -> sono considerati conoscenza

i

comune.

Ipotesi di razionalità -> un individuo razionale seleziona un profilo di strategie che

appartiene:

1. Sia al proprio insieme ammissibile

2. che all'insieme ammissibile dell'avversario

Un giocatore razionale seleziona un profilo di strategie (s ,s ) che appartiene sia ad A che

1 2 1

ad A , cioè un profilo (s , s ) che appartiene a A ∩ A .

2 1 2 1 2

Se tutti gli esiti sono probabili allora il gioco non ha soluzione. Cos’è una soluzione? È

l’esito più probabile o plausibile.

Equilibrio di Nash

Un profilo di strategie (s * ,s * ) è un equilibrio di Nash se la strategia di ogni giocatore è

1 2

una risposta ottima a quella dell’avversario.

Rispetto alla razionalità il concetto di equilibrio di Nash aggiunge il requisito di “previsione

perfetta”; tutti devono prevedere lo stesso esito.

L’insieme degli equilibri di Nash di un gioco è dato dall’intersezione degli insiemi

ammissibili dei giocatori EN = A ∩ A dove l’insieme EN contiene tutte le possibili

1 2

soluzioni.

Dominanza debole iterata

Una strategia s è debolmente dominata per il giocatore i se esiste un’altra strategia s ' che

i i

consente al giocatore di ottenere un payoff maggiore o uguale, qualunque sia la scelta

dell’avversario, cioè v (s ' ,s ) ≥ v (s ,s ) per ogni s .

i i j i i j j

Molteplicità degli equilibri di Nash

I raffinamenti o perfezionamenti degli equilibri di Nash, sono criteri che si utilizzano per

individuare, tra gli equilibri di Nash, la soluzione.

Raffinamento degli equilibri di Nash

Trembling hand perfection: si eliminano gli equilibri di Nash che non sono "robusti" rispetto

ad eventuali errori dei giocatori. (Guarda esempio numerico slide)

La soluzione di dominanza debole iterata è un equilibrio di Nash perfetto nel senso della

trembling hand.

Guida pratica agli esercizi

Per trovare la soluzione di un gioco si possono seguire i seguenti passi:

1. Si verifica se esiste una soluzione in strategie dominanti;

2. Si verifica se esiste una soluzione in base al criterio della dominanza iterata (as e.

Gioco 1) -> In entrambi i casi la soluzione trovata corrisponde all’unico equilibrio di

Nash del gioco

3. Si verifica se esiste una soluzione in base al criterio della dominanza debole iterata

(ad es. Gioco 2) -> In questo caso, la soluzione trovata è uno dei possibili equilibri di

Nash del gioco. Non è escluso che la soluzione possa essere diversa da quella trovata.

4. Si trovano gli equilibri di Nash del gioco. Se vi sono più equilibri si applica un

criterio di raffinamento -> Infine, si tenga presente che la soluzione di un gioco è un

profilo di strategie che entrambi i giocatori considerano come l’esito più plausibile

del gioco. Se vi è motivo per credere che le previsioni dei due giocatori sull’esito più

plausibile del gioco non coincidano, allora il gioco non ha una soluzione (anche se vi

sono equilibri di Nash)

GIOCHI PARTE III

Gioco con un numero infinito di strategie

insieme delle strategie di ciascun giocatore i: S = [0, +∞)

i

In questo caso non possiamo scrivere la matrice del gioco, per indicare i payoff

➔ dobbiamo specificare la funzione dei payoff di ciascun giocatore.

Funzione di risposta ottima: la funzione di risposta ottima del giocatore i è la funzione che

ad ogni strategia del giocatore j associa la miglior risposta del giocatore i ed è indicata con

s = R (s ).

i i j

Equilibrio di Nash: Un profilo (s * ,s * ) è un equilibrio di Nash se la strategia di ciascun

1 2

giocatore è una risposta ottima alla strategia dell’altro, cioè s * = R (s *) e s * = R (s *).

1 1 2 2 2 1

Per trovare gli equilibri di Nash di un gioco si procede nel modo seguente:

1. si trovano le funzioni di risposta ottima dei giocatori (per trovarle si può anche

derivare le funzioni dei payoff ed impostare la condizione di primo ordine delle

derivate)

si risolve il sistema di due equazioni in due incognite s = R (s ) e s = R (s )

2. 1 1 2 2 2 1

Le coppie di valori (s ,s ) che soddisfano il sistema di equazioni sono gli equilibri di

3. 1 2

Nash del gioco

Duopolio di Cournot (due imprese)

Le strategie delle due imprese sono le quantità, indicate rispettivamente con x e x

1 2

La domanda inversa di mercato è data da P = A − x dove x è la quantità complessivamente

prodotta e offerta, cioè x = x + x .

1 2

Le due imprese hanno:

Stessi costi di produzione C (x ) = cx dove la costante c indica il costo medio e

● i i i

marginale;

profitti dati da: Π = Px − c (x ) = [A − (x + x )]x − cx = (A − c − x )x − x = Π (x ,

i2

● i i i i 1 2 i i j i i 1

x )-> funzione dei payoff dell'impresa i.

2

Per trovare gli equilibri di Nash del gioco occorre calcolare le funzioni di risposta

● ottima: la risposta ottima dell’impresa 1 alla strategia x dell’impresa 2 si ricava dalla

2

soluzione del problema -> max Π (x , x ) per ottenere ciò si applica, quindi, la

x1 1 1 2

condizione del primo ordine ∂Π /∂x = 0, cioè (A − c − x ) − 2x = 0 da cui si ricava

1 1 2 1

x = (A − c − x )/2

1 2

La funzione di risposta ottima dell’impresa i, R (x ), è data dunque da R (x ) = (A −

i j i j

c)/2 − 1/2 x j

Il profilo di quantità (x * , x *) è un equilibrio di Nash se è una soluzione al sistema

● 1 2

di due equazioni

x = (A − c)/2 − 1/2 x

➔ 1 2

x = (A − c)/2 − 1/2 x

➔ 2 1

Soluzione algebrica del sistema duopolista:

Poichè le due imprese sono identiche, giocano le stesse quantità in equilibrio, quindi

1. poniamo x * = x * = x* in una delle equazioni e otteniamo la quantità di duopolio di

1 2

ogni impresa:

x* = (A – c)/3

2. Prezzo di duopolio:

P* = A – 2x* = (A + 2c)/3

3. Profitto di duopolio:

Π (x* , x*) = [(A – c)/3] 2

i

Soluzione algebrica del sistema monopolista:

1. Quantità di monopolio:

x = (A – c)/2

M

2. Prezzo di monopolio:

P = (A + c)/2

M

3. Profitto di monopolio:

Π = [(A – c)/2]

iM 2

Collusione

In pratica si prende la grandezza in monopolio e si divide per 2, e si ottiene i valori di

collusione (o cartello) realizzando profitti maggiori.

Perchè allora le imprese non colludono? Perchè la collusione, cioè il profilo (x ,

1C

• x ), non è un equilibrio di Nash.

2C

La collusione non è un esito probabile dell’interazione concorrenziale in duopolio

• L’interazione concorrenziale non è quella di un gioco a mosse simultanee, ma di un

• gioco ripetuto.

Giochi ripetuti

Stesso gioco, stesso giocatore per un periodo indefinito.


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DETTAGLI
Esame: Microeconomia
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher manu94br di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Modena e Reggio Emilia - Unimore o del prof Brighi Luigi.

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