Metrica numerica

METRICA (DISTANZA)

• Credita la metrica di R²

d( (x₁, y₁), (x₂, y₂) ) = √( (x₁-x₂)² + (y₁-y₂)² )

d(z₁, z₂) := |z₁-z₂| = | (x₁-x₂) + i (y₁-y₂) | = √( (x₁-x₂)² + (y₁-y₂)² )

• Quindi |z| = d(z, 0)
• Quindi su C posso considerare il "prodotto scalare" (z₁, z₂) = z₁ * z̅₂

Infatti:

|z| = √z * z̅ = √(z, z)

• Quindi eredità le topologia di R²

B_r(z₀) := { z ∈ C : |z - z₀| < r }, z₀ ∈ C, r ∈ R > 0

Sia A ⊂ C

• z₀ interno ad A se ∃ r > 0: B_r(z₀) ⊂ A
• z₀ esterno ad A se ∃ r > 0: B_r(z₀) ⊂ A^c = (C - A)
• z₀ al frontiere per A se ∀ r > 0

{

B_r(z₀) ∩ A ≠ ∅

B_r(z₀) ∩ A^c ≠ ∅

}

• z₀ di accumulazione per A se ∀ r > 0: B_r(z₀) ∩ (A \ {z₀}) ≠ ∅
• z₀ isolato per A se ∃ r > 0: B_r(z₀) ∩ A = {z₀}
• A aperto se ogni punto è interno, cioè se ∂A ∩ A = ∅
• A chiuso se A^c è aperto, cioè se ∂A ⊂ A
• A limitato se ∃ r > 0: A ⊂ B_r(z₀) cioè se ∃ z₀: ∃ k ∈ R: |z₀ - z| < k ⋁ ∀ z ∈ A

Metrica (Distanza)

• eredita la metrica di R²

d((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = √((x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²)

d(z₁, z₂) := |z₁-z₂| = |(x₁-x₂) + i(y₁-y₂)| = √(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²

• Quindi |z| = d(z,0)
• Quindi su C posso considerare il "prodotto scalare" ⟨z₁, z₂⟩ = z₁ z̅₂

Infatti:

|z| = √z z̅ = √⟨z,z⟩

• Quindi C eredita la topologia di R²

B_r(z₀):= {z ∈ C: |z-z₀| < r}, z₀ ∈ C; r ∈ R>0

• Se A ⊂ C

z₀ interno ad A se ∃ r>0: B_r(z₀) ⊂ A

z₀ esterno ad A se ∃ r>0: B_r(z₀) ⊂ A^c = (C - A)

z₀ è al frontiera per A se ∀ r>0

• B_r(z₀) ∩ A ≠ ∅
• B_r(z₀) ∩ A^c ≠ ∅

z₀ di accumulazione per A se ∀ r>0, B_r(z₀) ∩ (A \ {z₀}) ≠ ∅

• z₀ isolato per A se ∃ r>0: B_r(z₀) ∩ A = {z₀}
• A aperto se ogni punto è interno, cioè ⇔ ∂A = ∅
• A chiuso se A^c è aperto, cioè ⇔ ∂A ⊂ A
• A limitato se ∃ r>0 A ⊂ B_r(0) cioè ⇔ ∃ z₀, ∃ k : |z₀-z₁|≤k ∀z₁ ∈ A

A connesso ⇔ ∀ z₁, z₂ ∈ A ∃ poligonale tutta contenuta in A che li congiunge.

A semplicemente connesso se è connesso e ∀ γ ⊄ 0 : [a, t₀ ] ⊂ A ⇒ B₂ (t₀ ) ⊂ A

Esempio

1)

Connesso, non semplicemente connesso.

C è connesso e semplicemente connesso

C^* := K \ {0,3} → È aperto, connesso, non semplicemente connesso

X^* = {0}

Esempio

1)

C^** := C \ { z ∈ K : Re(z) < 0, Im(z) = 0 }

C tranne semiasse reale non positivo

C^**: aperto, connesso, semplicemente connesso

2) B₂ (1-i) = { z ∈ C : | z - (1-i) | < 2 } = { z ∈ C : | z - i + 1 | < 2 }

S₂ (1-i) = { z ∈ C : | z - i + 1 | = 2 }

DEF

{a_m}_m≥0, a_m ∈ ℂ

Successione di numeri complessi (successione completa) a_n converge a λ ∈ ℂ se ∀ ε > 0 ∃m_ε t.c. ∀ m_ε t≥0: |a_n - λ| < ε ∀ t ≥ m_ε, e scriviamo

lim _m→+∞ a_n = λ

altrimenti a_n non converge

TEOREMA

Siano z_m = x_m + i y_m successione complessi

λ = α + iβ

allora lim_m→+∞ z_m = λ <=> { lim_m→+∞ x_n = α { lim_m→+∞ y_n = β }

ESEMPIO

z_m = 1 / [(i+2) * m] - i (2-i) / [m (2+i) (2-i)] = 2i+1 / m(4+1) = 1/5m + 2/5m i

⇒ x_m = 1/5m → 0 y_m = 2/5m → 0 → z_m → 0 + i0 = 0

z_m = i^m / [(i+2)^m * m^m]

A aperto connesso A ⊂ ℂ

ℂ ≅ ℝ²

a + ib = (a, b)

z = x + iy = Re z + i Im z

ƒ(z)

ƒ: A → ℂ

w ∈ ℂ

w = μ(x, y) + i ν(x, y)

parte reale di ƒ

parte immaginaria di ƒ

μ, ν: ℝ² → ℝ

μ(x, y), ν(x, y)

Esempi

ƒ: ℝ² → ℝ

G = {ƒ: (x, y, μ, ν): ƒ(x, y) = (μ, ν)}