Metodi Risolutivi per Geometria Analitica dello spazio, Coniche e Applicazioni lineari

SFERE

SFERA TANGENTE AD UNA RETTA x

1. Ricavare equazione parametrica della retta.
2. Trovare il piano passante per il centro e ⊥ x.
3. Mettere a sistema le rette con il piano.
4. Trovato il piano, trovare d(C, P) = R
5. Scrivere l'equazione della sfera
   • (x - α)² + (y - β)² + (z - γ)² = R²

SFERA PASSANTE PER 4 PUNTI

1. Considerare la generica equazione S: x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
2. Imporre il passaggio dei punti
3. Vedere per quali valori di a, b, c, d è soddisfatta.
4. Sostituire i valori

SFERA DI RAGGIO MINIMO TANGENTE A DUE RETTE SGHEMBE

1. Scrivere le rette in equazioni parametriche
2. Considerare i parametri direttori ed i generici punti S ed R scritti in funzione di t e t'.
3. Trovare S - R
4. Imporre che
   • {S - R ⊥ r₁ xs_R-L ⊥ r₂}
5. Una volta trovati i valori di t e t', sostituire nei generici punti.

SFERE

SFERA TANGENTE AD UNA RETTA x

1. Ricavare equazione parametrica della retta.
2. Trovare il piano passante per il centro e ⊥ x.
3. Mettere a sistema le rette con il piano.
4. Trovato il piano, trovare d(C,P) = R
5. Scrivere l'equazione della sfera

   (x - α)² + (y - β)² + (z - γ)² = R²

SFERA PASSANTE PER 4 PUNTI

1. Considerare la generica equazione S: x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
2. Imporre il passaggio dei punti
3. Vedere per quali valori di a,b,c,d è soddisfatta.
4. Sostituire i valori

SFERA DI RAGGIO MINIMO TANGENTE A DUE RETTE SGHEMBE

1. Scrivere le rette in equazioni parametriche
2. Considerare i parametri direzioni ed i generici punti S ed R scritti in funzione di t e t'.
3. Trovare S-R
4. Imporre che

   {S-R | xS-R | Δ

5. Una volta trovati i valori di t e t', sostituire nei generici punti.

APPLICAZIONI LINEARI

• STUDIO DI UNA CONICA

Data una conica

a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂² + 2a₁₃x₁x₃ + 2a₂₃x₂x₃ + a₃₃x₃² = 0

Troviamo le matrici:

A = (a₁₁ a₁₂ a₁₃)

    (a₂₁ a₂₂ a₂₃)

    (a₃₁ a₃₂ a₃₃)

B = (a₁₁ a₁₂)

    (a₂₁ a₂₂)

1. Se det(A) = 0 la conica è degenere, in particolare

• se rg(A) = 2 → conica semplicemente degenere →
• → la conica si spezza in due rette distinte
• se rg(A) = 1 → conica doppiamente degenere →
• → la conica si spezza in due rette coincidenti

2. Se det(A) ≠ 0 la conica non è degenere, in particolare

• se det(B) = 0 la conica è una parabola
• se det(B) > 0 la conica è un'ellisse
• (se a₁₂ = 0 e a₁₁ = a₂₂ la conica è una circonferenza)
• se det(B) < 0 la conica è una iperbole
• (se a₁₁ = -a₂₂ → la conica è una iperbole equilatera)

METODI RISOLUTIVI

• PROVARE CHE TRE VETTORI FORMANO UNA BASE
  1. Vedere se sono lim. indip. (det A ≠ 0)
• DETERMINARE LA MATRICE ASSOCIATA A f RISPETTO AD UN'ALTRA BASE
  1. Scrivere la matrice di passaggio B.
  2. Trovare la sua inversa B^-1
  3. La matrice cercata sarà ^BA_B f = B^-1AB, dove A è la matrice associata rispetto alla vecchia base
• TROVARE ^BA_B f DOVE f: V→W
  1. Trovare f(e_i)
  2. Scrivere i coefficienti nelle colonne della matrice. Per trovare A_B
  3. Scrivere f(e_i) come combinazione lineare di ^B
  4. Scrivere i coefficienti nelle colonne della matrice.
• TROVARE MATRICE ASSOCIATA RISPETTO A C = {1, X, X², X³}
  1. Applicare la funzione alla base
  2. In caso di matrice associata, fare A per (