Metodi Risolutivi per Geometria Analitica dello spazio, Coniche e Applicazioni lineari

Sfera tangente ad una retta

1. Ricavare equazione parametrica della retta.

2. Trovare il piano passante per il centro e ⊥ x.

3. Mettere a sistema le rette con il piano.

4. Trovato il piano, trovare d(C, P) = R

5. Scrivere l'equazione della sfera:
   (x - α)² + (y - β)² + (z - γ)² = R²

Sfera passante per 4 punti

1. Considerare la generica equazione S: x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

2. Imporre il passaggio dei punti.

3. Vedere per quali valori di a, b, c, d è soddisfatta.

4. Sostituire i valori.

Sfera di raggio minimo tangente a due rette sghembe

1. Scrivere le rette in equazioni parametriche.

2. Considerare i parametri direttori ed i generici punti S ed R scritti in funzione di t e t'.

3. Trovare S - R.

4. Imporre che {S - R ⊥ r₁ xs_R-L ⊥ r₂}.

5. Una volta trovati i valori di t e t', sostituire nei generici punti.

Sfera tangente ad una retta

1. Ricavare equazione parametrica della retta.

2. Trovare il piano passante per il centro e ⊥ x.

3. Mettere a sistema le rette con il piano.

4. Trovato il piano, trovare d(C, P) = R

5. Scrivere l'equazione della sfera:
   (x - α)² + (y - β)² + (z - γ)² = R²

Sfera passante per 4 punti

1. Considerare la generica equazione S: x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0.

2. Imporre il passaggio dei punti.

3. Vedere per quali valori di a,b,c,d è soddisfatta.

4. Sostituire i valori.

Sfera di raggio minimo tangente a due rette sghembe

1. Scrivere le rette in equazioni parametriche.

2. Considerare i parametri direzioni ed i generici punti S ed R scritti in funzione di t e t'.

3. Trovare S-R.

4. Imporre che {S-R | xS-R | Δ}. Una volta trovati i valori di t e t', sostituire nei generici punti.

Applicazioni lineari

Studio di una conica

Data una conica a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂² + 2a₁₃x₁x₃ + 2a₂₃x₂x₃ + a₃₃x₃² = 0

Troviamo le matrici:

A = (a₁₁ a₁₂ a₁₃)    (a₂₁ a₂₂ a₂₃)    (a₃₁ a₃₂ a₃₃)
B = (a₁₁ a₁₂)    (a₂₁ a₂₂)

1. Se det(A) = 0 la conica è degenere, in particolare:

   • Se rg(A) = 2 → conica semplicemente degenere →→ la conica si spezza in due rette distinte.
   • Se rg(A) = 1 → conica doppiamente degenere →→ la conica si spezza in due rette coincidenti.

2. Se det(A) ≠ 0 la conica non è degenere, in particolare:

   • Se det(B) = 0 la conica è una parabola.
   • Se det(B) > 0 la conica è un'ellisse (se a₁₂ = 0 e a₁₁ = a₂₂ la conica è una circonferenza).
   • Se det(B) < 0 la conica è una iperbole (se a₁₁ = -a₂₂ → la conica è una iperbole equilatera).

Metodi risolutivi

Provare che tre vettori formano una base

1. Vedere se sono lin. indip. (det A ≠ 0).

Determinare la matrice associata a f rispetto ad un'altra base

1. Scrivere la matrice di passaggio B.

2. Trovare la sua inversa B^-1.

3. La matrice cercata sarà: ^BA_B f = B^-1AB,
   dove A è la matrice associata rispetto alla vecchia base.

Trovare ^BA_B f dove f: V→W

1. Trovare f(e_i).

2. Scrivere i coefficienti nelle colonne della matrice.
   Per trovare A_B:

3. Scrivere f(e_i) come combinazione lineare di ^B. Scrivere i coefficienti nelle colonne della matrice.

Trovare matrice associata rispetto a C = {1, X, X², X³}

1. Applicare la funzione alla base.

2. In caso di matrice associata, fare A per (.