Metodi matematici per l'economia - Appunti

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Appunti di Metodi matematica dell'economia per l'esame della professoressa Maria Gabriella Graziano in cui vengono trattati tutti gli argomenti dagli insiemi alle matrici e studio di funzioni ad …

Esame Metodi matematici dell'economia

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Graziano Maria Gabriella

Università Università degli studi di Napoli Federico II

A.A. 2013-2014

78 pagine

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Estratto del documento

Insiemi e funzioni

Gli insiemi non vanno definiti, essi sono enti primitivi.

N = { 1, 2, 3, ... }

A = { ... } → insieme non numerico

N₀ = { 0, 1, 2, 3, ... } → insieme numerico

Esempio

Insieme delle consonanti della parola “studente”

E. Venn oppure C = { S, T, D, N }

A (insieme di tutte le lettere dell’alfabeto) quindi:

C = { x ∈ A : x è una consonante di studente }

Proprietà di C

B = { M ∈ N : M è dispari ed M ≤ 7 } = { 1, 3, 5 }

B è un sottoinsieme di N → B ⊆ N

A ⊆ B ⇒ A = B

B ⊆ A

Insiemi e funzioni (ripetuto)

Gli insiemi non vanno definiti, essi sono enti primitivi

N = { 1, 2, 3, ... }

N₀ = { 0, 1, 2, 3, ... } → insieme numerico

A = { ... } → insieme non numerico

Esempio

Insieme delle consonanti della parola "studente"

E. Venn

C = { S, T, D, N }

A (insieme di tutte le lettere dell'alfabeto) quindi:

C = { x ∈ A : x è una consonante di studente }

Esempio 2

B = { M ∈ N : M è dispari ed M ≤ 7 } = { 1, 3, 5 }

B è un sottoinsieme di N → B ⊆ N

Per assegnare un sottoinsieme di un insieme basta indicare una proprietà.

Esempio 2

C: {M ∈ N : M² = 1} = ∅ → perché la proprietà (M = 1) non soddisfa l'insieme N.

Esempio 3

Q: {quadrilateri}

P: {q ∈ Q : q ha le diagonali perpendicolari}

T: {q ∈ Q : q ha 3 vertici} = ∅

∅ = P^C

Esempio

Tutti i sottoinsiemi dell'insieme A

A = {1, 2, 3}

P(A) = {∅, A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

N.B.: Perché tra sottoinsiemi di A vi sono sempre ∅ e A stesso

N.B.: Se un insieme contiene n elementi allora contiene 2ⁿ sottoinsiemi

Operazioni tra gli insiemi

A, B ⊆ X insieme ambiente

A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A oppure x ∈ B}

A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A e x ∈ B}

A ∖ B = {x ∈ X : x ∈ A e x ∉ B}

A \ A ∩ B

(A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

A^c = X \ A ↔ A ∪ A^c = X

Prodotto cartesiano

∅ = A \ B^c × A × B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }

A × B = {_i(a_i,1),(a_i,2),(a_i,3),(b_i,1),(b_i,2),(b_i,3)}

B × A = {_i(1,a_i),(1,b_i),(2,a_i),(2,b_i),(3,a_i),(3,b_i)}

A² = A × A = {_i(a_i,a_i),(a_i,b_i)}

B² = B × B = {_i(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)}

Rappresentazione nel piano A×B

Funzioni

f: A→B - variabile dipendente

Dominio (insieme di origine)

Definizione (insieme delle immagini di A in B = codominio)

Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di A un elemento di B

Esempio

f: n ∈ A = {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4, 5, 6}

f(n) = multiplo di m → è una relazione ma non una funzione perché per alcuni elementi di A corrispondono più elementi di B

f: m ∈ A → m² ∈ B è una funzione perché ad ogni elemento di A corrisponde un singolo elemento di B

A = {-2, -1, 0, 1, 2} B = {0, 1, 4, 9}

-2 → 4
-1 → 1
0 → 0
1 → 1
2 → 4

f: m ∈ N → 5 ∈ N → funzione costante

1 → 5
2 → 5
3 → 5
ecc…

Esempio

f: m ∈ N → {15 se m è dispari, 3m se m è dispari}

1 → 3
2 → 15
3 → 9

Codominio = {3, 9, 15, 21, …} = {3k : k è dispari}

Iniettiva: se presi a e b distinti (a ≠ b) anche f(a) ≠ f(b)

Suriettiva: se per ogni b ∈ B esiste a ∈ A / f(b)=x (se per ogni elemento di a vi è un’immagine in b)

Dire che tipo è il suo codominio

f: MEN D m²: MEN

g: MEN D m²: MENO

Grafico di una funzione: G ⊆ A × B

G = {(a,b) ∈ A × B : b=f(a)}

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