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INSIEMI E FUNZIONI
Gli insiemi non vanno definiti, essi sono enti primitivi.
N = {1, 2, 3, ...}
N0 = {0, 1, 2, 3, ...}
A = { ... }
ESEMPIO:
Insieme delle consonanti della parola "studente"
-
E. VENN:
- S T
- D N
- oppure C = { S, T, D, N }
A (insieme di tutte le lettere dell'alfabeto)
C = { x ∈ A | x è una consonante di studente }
ESEMPIO:
B = { m ∈ N | m è dispari ed m < 7 } = { 1, 3, 5 }
B è un sottoinsieme di N → B ⊆ N
A ⊆ B
B ⊆ A
⇒ A = B
ESERCIZI
P: {M ∈ N: m è pari}
D: {M ∈ N: m è multiplo di 12}
Q: {M ∈ N: m è multiplo di 3}
quindi D ⊆ Q
Q ⊆ P
D ⊆ P
NB. Per assegnare un sottoinsieme di un insieme basta indicare una proprietà
ESEMPIO:
C: {M ∈ N: m2 - 1} = ∅
perché la proprietà (m2 - 1) non soddisfa l'insieme N
ESEMPIO:
Q: {quadrilateri}
P: {q ∈ Q: q ha le diagonali perpendicolari}
T: {q ∈ Q: q ha 3 vertici} = ∅
∅ = PcQ
iniettiva:
se presi a e b distinti (a ≠ b)
anche f(a) ≠ f(b)
surrettiva:
se per ogni b ∈ B esiste a ∈ A! f(b)=a
(se per ogni elemento di a vi è un'immagine in b)
DIRE CHE TIPO È IL SUO CODOMINIO
f : M → N → M2 : M ∈ N
g : M ∈ N → M2 : M ∈ N
GRAFICO DI UNA FUNZIONE:
Gf ⊆ A × B
Gf = { (a,b) ∈ A × B: b=f(a) }
X > 3
Valori esterni
X < -3 e X > 3
|X - C| < ε
-ε < X - C < ε
C - ε < X < C + ε
_________________________
C - ε C C+ε
Intervallo simmetrico di centro C e ampiezza C - C
IN TORNO SIMMETRICO DI C (QUANDO è APERTO)
_________________________
C - ε C C+ε
[C - ε, C + ε] = {X ∈ R | | X - C | < ε}
MINORANTE /M AGGIORANTE DI UN INSIEME
∅ ⊆ E ⊆ R
- b è chiamato maggiorante per l'insieme E se
X < b ∀X ∈ E
M è il massimo di E se M è un maggiore ed apposteneo dell'insieme.
- Se un insieme ammette maggioranti e minoranti è definito limitato superiormente ed inferiormente.
ESMPIO
{4} هجـ [-7] è il maggiore ed
il massimo
ATT] "E un maggiore ma non è il massimo"
Teorema
Le soluzioni della disequazione ax+by+c≥0 formano un insieme convesso del piano *quando contiene 2 punti contiene tutto il segmento
Funzione lineare
f(x)=mx+m y=mx+m
dom f=R (Il più grande sottoinsieme di R nel quale ha senso calcolare la funzione) cod f=R (l'insieme più grande su cui la funzione assume valori)
Strettamente crescente
m>0 x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Crescente
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
FUNZIONE POTENZA CON INDICE DISPARI
dom: \((-∞, +∞)\)
- Monotona crescente strettamente su tutto il dominio
- Convessa: verso il basso \(\forall x mx m-n/n
- f(x) = 1/xm/n => x-m → f'(x) = - mx-m-1
1/x = -1/x2
Scrivere l'equazione della tangente nel punto
y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)
Calcolare la derivata prima della funzione:
f'(x) =
- 1/2 (x + 2)/(x - 1)
- - (x - 2)/((x - 1)^2)
Valutare la derivata prima nel punto
x0 = 3/2
- f'(3/2) =
- 1/2
- (3/2 + 2) / (3/2 -1)^2
- = (7/2) / (1/2)^2
- = 7/2 / 1/4
- = 1 * -15 / 4
- = -15 / (2√7)
Valutare la funzione nel punto
x0 = 3 / 2
- f(3/2) =
- (3/2 + 2) / (3/2 - 1)
- = 7/2 / 1/2
- = √7
Sostituzione:
y = - (15 / 2√7)(x - 3/2) + √7
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