Matematica, Metodi matematici per l'economia

ORIZZONTALE)

3) (ASINTOTO

VERTICALE)

4)

Esistenza del limite

Sia con punto di accumulazione per l'insieme . Il limite di per :

esiste se è solo se, per ogni successione di punti appartenenti all'insieme

e tendenti a , la successione delle immagini tende sempre allo stesso valore .

Teorema della permanenza del segno

Se per la funzione ammette limite (per esempio) positivo, allora esiste un intorno di

in cui è positiva.

DIMOSTRAZIONE

Supponiamo di avere (nel caso di si ragionerebbe allo stesso modo).

Il valore può essere scelto arbitrariamente e in particolare possiamo sceglierlo in modo che

è positivo I valori assunti da tra e sono positivi nell'intorno di .

Teorema dell'esistenza del limite per le funzioni crescenti

Consideriamo i punti appartenenti a un intorno destro di un punto . Se la

funzione è crescente in , allora il suo limite per esiste ed è uguale all'estremo inferiore dei

valori che assume nell'intorno considerato:

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo che l'estremo inferiore sia finito: . Scegliamo un numero ,

sappiamo che esiste un valore tale che: , ovvero

Per ipotesi sappiamo che è crescente, allora in ogni punto dell'intervallo si ha che

Possiamo concludere in base alla definizione di limite che risulta:

Teorema del confronto

Consideriamo tre funzioni , , , con punto di accumulazione per i loro insiemi di

definizione. Se:

1) Esiste un intorno di di i cui punti soddisfano la doppia limitazione:

2) I limiti di e di , per , esistono finiti e sono uguali:

3) Allora anche ammette lo stesso limite per :

DIMOSTRAZIONE

Dal l'ipotesi relativa a segue che, fissato un arbitrario , abbiamo:

a un intorno di .

Risulta anche: a un intorno di .

Tenuto conto delle disuguaglianze , nell'intorno dato da ,

valgono le limitazioni: . Ciò equivale a riconoscere che, per , ammette limite .

Teorema di unicità del limite

Se la funzione ammette limite, per , questo limite è unico.

DIMOSTRAZIONE

Procedendo per assurdo, supponendo che ammetta due limiti finiti e con .

Dovrebbe esistere un intorno di di i cui punti soddisfano la disuguaglianza:

Ugualmente dovrebbe esistere un intorno di i cui punti soddisfano la

disuguaglianza:

Nell'intorno dato da le disuguaglianze dovrebbero valere simultaneamente, per i

punti avremmo (supponendo ):

ovvero

Tale conclusione è assurda perché contraddice l'arbitrarietà di .

Estremo superiore

Sia un insieme limitato superiormente, un numero tale che ; tutti gli

elementi di .

DIMOSTRAZIONE

Estremo superiore tale che:

1)

2) esiste (almeno) un elemento tale che:

numero piccolo

Estremo inferiore

Sia un insieme limitato inferiormente, un numero

DIMOSTRAZIONE

Estremo inferiore tale che:

1)

2) esiste un tale che:

Punto esterno Punto isolato

Punto di frontiera Punto di accumulazione

Quando ogni suo intorno completo Quando ogni suo intorno contiene almeno un

contiene sia un punto di A e sia nell'insieme punto di

(insieme differenza) Esempio:

Esempio:

Operazioni con i limiti

1) Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, lo stesso vale per la differenza.

qualcosa

qualcosa qualcosa

2) Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, lo stesso vale per il rapporto.

qualcosa

qualcosa qualcosa

Oppure qualcosa

qualcosa

qualcosa

3) Il limite del prodotto di una funzione con una costante è uguale alla costante per il limite della

funzione. qualcosa

qualcosa

4) Il limite di un elevamento a potenza o radice è uguale alla potenza o radice del limite.

qualcosa qualcosa

qualcosa

5) (Sostituzione diretta) Più in generale, puoi semplicemente sostituire alla x il valore cui essa tende

e valutare la funzione in tale valore.

Forme indeterminate

Continuità

Sia con . La funzione si dice continua in quando:

Condizioni:

1. (l'insieme di definizione/dominio)

2.

3.

Discontinuità

La definizione di continuità si presenta variamente articolata: devono esistere, finiti, il limite sinistro

e il limite destro per , devono essere uguali tra di loro ed essere uguale a . Di

conseguenza vi sono diversi casi in cui non sono rispettate tutte le condizioni, quindi diversi tipi di

discontinuità.

1) è una discontinuità di prima specie quando il limite sinistro e il limite destro, per ,

esistono finiti, ma sono diversi tra loro.

2) è una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limiti (sinistro o destro)

non esiste o esiste infinito.

3) è una discontinuità di terza specie se esistono finiti i due limiti sinistro e destro e coincidono

tra di loro ma non coincidono con il valore della funzione nel punto .

Teorema di Weierstrass

Consideriamo una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume un

valore massimo (assoluto) e un valore minimo (assoluto).

Teorema di esistenza degli zeri

La funzione sia continua nell'intervallo chiuso e limitato . Se tale funzione, negli

estremi dell'intervallo assume valori di segno opposto, allora deduciamo che esiste almeno un

punto appartenente all'intervallo aperto tale che:

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo

Poiché è continua anche nel punto ,

applicando il teorema della permanenza del

segno:

Definiamo successivamente l'insieme :

Insieme degli estremi superiori nell'intorno di

E definiamo : L'esistenza di è garantita dal teorema per cui ogni insieme di numeri

reali ammette un estremo inferiore e un estremo superiore.

poiché è l'estremo superiore dell'insieme degli estremi superiori dell'intorno

destro di , e in quest'intorno deve capitare che deve essere sempre mino-

re di 0. è il più grande degli intervalli per cui risulti

Allora, a questo punto, dobbiamo dimostrare che :

Ma questo non è possibile perché non esiste un intorno destro di

poiché è l'estremo superiore e quindi non possono esistere numeri

più grandi.

Ma questo non è possibile perché per ogni x appartenente all'intervallo

, .

Teorema dei valori intermedi (di Darboux)

Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume in tale intervallo almeno una

volta tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.

Premesse consideriamo un numero reale :

Analizziamo la funzione ausiliare:

Consideriamo il minimo di in un punto . In tale punto la funzione assume il

valore negativo .

Siccome l'insieme dei punti di in cui assume valori negativi è non vuoto, possiamo

considerare l'estremo superiore:

Sia l'estremo superiore dei punti in cui è .

A questo punto dobbiamo dimostrare per assurdo che .

Per il teorema della permanenza del

segno, la funzione risulterebbe

negativa in tutto un intorno completo

di mentre è stato definito come

il "più grande" dei punti in cui

assume valore negativo.

In questo caso avremmo un intorno

completo di in cui è positiva e

questo contraddice la definizione di

come l'estremo superiore dei punti

in cui è negativa.

Allora deve risultare ovvero

Abbiamo trovato un punto in cui valore arbitrario.

FOCUS N.B. GERARCHIA DEGLI INFINITI

Infiniti e infinitesimi Funzioni esponenziali

Funzioni potenza

Una funzione si dice infinita per quando: Funzioni logaritmiche

Sia una funzione infinita per . Diciamo che rispetto a assunto come infinito campione o

infinito fondamentale, la funzione è un infinito di ordine quando il seguente limite esiste

finito ed è diverso da 0:

Date due funzioni infinite e per , per confrontarle consideriamo il limite del loro rapporto.

Quando:

1) diciamo che è infinita di ordine inferiore rispetto a .

2) diciamo che e sono infinite dello stesso ordine.

3) diciamo che è infinita di ordine superiore rispetto a .

4) non esiste, diciamo che i due infiniti non sono confrontabili.

TEOREMA. Sia data la funzione con infinita di ordine superiore rispetto a ;

analogamente sia data con infinita di ordine superiore rispetto a , per . Vale

allora la seguente uguaglianza. DIMOSTRAZIONE

Una funzione si dice infinitesimo per quando:

Sia una funzione infinitesima per . Diciamo che, rispetto a assunto come infinitesimo

campione o infinitesimo fondamentale, la funzione è un infinitesimo di ordine quando:

Date due funzioni infinitesime e per , per confrontarle consideriamo il limite del loro

rapporto. Quando:

1) diciamo che è infinitesima di ordine superiore rispetto a .

2) diciamo che e sono infinitesime dello stesso ordine.

3) diciamo che è infinitesima di ordine inferiore rispetto a .

4) non esiste, diciamo che i due infinitesimi non sono confrontabili.

TEOREMA. Sia data la funzione con infinitesimo di ordine superiore rispetto a ;

analogamente sia data con infinitesimo di ordine superiore rispetto a , per .

Vale allora la seguente uguaglianza: DIMOSTRAZIONE

O piccolo

Date due funzioni e definite in un intorno di si dice che è "o piccolo" di se:

e si scrive per

Intuitivamente dire che è "o piccolo" di per equivale a dire che è infinitamente

piccola, rispetto a , quando .

Es. per infatti

La notazione non denota una particolare funzione ma, in generale, qualsiasi funzione goda

della proprietà espressa dalla definizione. Da questo seguono alcune proprietà:

Chiamiamo derivata di nel punto il limite, se esiste finito del rapporto

incrementale:

Diremo allora che la funzione è derivabile in .

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo la funzione e un punto appartenente al dominio della funzione.

Quello che dobbiamo fare è trovare un modo per calcolare l'equazione della retta tangente al

grafico di nel punto di ascissa .

Per calcolare dobbiamo trovare una strategia che ci consenta di trovarlo solo conoscendo la

funzione e il punto dove vogliamo che la retta sia tangente.

Prima però bisogna risolvere un problema ad esso collegato. Immaginiamo di introdurre un

secondo punto sul grafico di la cui ascissa è più grande dell'ascissa del punto che

consideravamo prima, e quindi sarà , dove rappresenta la distanza tra l'ascesa del punto

che consideravano prima e l'ascesa del secondo punto che abbiamo inserito. Quindi l'ordinanza del

punto sarà .

Ora dobbiamo calcolare il coefficiente angolare della retta secante il grafico di .

Rapporto incrementale

Come facciamo adesso a collegare il discorso della retta tangente con il discorso della retta

secante? L'idea è quella di avvicinare il secondo punto preso in considerazione verso il primo

punto, perché più si avvicin