Matematica, Metodi matematici per l'economia

Metodi matematici per l'economia

Definizione unitaria

Sia e sia (insieme derivato). Si dice che quando:

Per ogni intorno di T esiste un intorno di P tale che, per ogni x di A appartenente a tale intorno, la sua immagine appartiene a tale intorno.

Quattro casi dei limiti

• 1)
• 2) (Asintoto orizzontale)
• 3) (Asintoto verticale)
• 4)

Esistenza del limite

Sia con punto di accumulazione per l'insieme. Il limite di per esiste se e solo se, per ogni successione di punti appartenenti all'insieme e tendenti a, la successione delle immagini tende sempre allo stesso valore.

Teorema della permanenza del segno

Se per la funzione ammette limite (per esempio) positivo, allora esiste un intorno di in cui è positiva.

Dimostrazione

Supponiamo di avere (nel caso di si ragionerebbe allo stesso modo). Il valore può essere scelto arbitrariamente e in particolare possiamo sceglierlo in modo che è positivo. I valori assunti da tra e sono positivi nell'intorno di.

Teorema dell'esistenza del limite per le funzioni crescenti

Consideriamo i punti appartenenti a un intorno destro di un punto. Se la funzione è crescente in, allora il suo limite per esiste ed è uguale all'estremo inferiore dei valori che assume nell'intorno considerato:

Dimostrazione

Consideriamo che l'estremo inferiore sia finito:. Scegliamo un numero, sappiamo che esiste un valore tale che: , ovvero. Per ipotesi sappiamo che è crescente, allora in ogni punto dell'intervallo si ha che. Possiamo concludere in base alla definizione di limite che risulta:

Teorema del confronto

Consideriamo tre funzioni, , , con punto di accumulazione per i loro insiemi di definizione. Se:

• Esiste un intorno di di i cui punti soddisfano la doppia limitazione:
• I limiti di e di, per, esistono finiti e sono uguali:
• Allora anche ammette lo stesso limite per:

Dimostrazione

Dall'ipotesi relativa a segue che, fissato un arbitrario, abbiamo: a un intorno di. Risulta anche: a un intorno di. Tenuto conto delle disuguaglianze, nell'intorno dato da, valgono le limitazioni:. Ciò equivale a riconoscere che, per, ammette limite.

Teorema di unicità del limite

Se la funzione ammette limite, per, questo limite è unico.

Dimostrazione

Procedendo per assurdo, supponendo che ammetta due limiti finiti e con. Dovrebbe esistere un intorno di di i cui punti soddisfano la disuguaglianza:. Ugualmente dovrebbe esistere un intorno di i cui punti soddisfano la disuguaglianza:. Nell'intorno dato da le disuguaglianze dovrebbero valere simultaneamente, per i punti avremmo (supponendo): ovvero. Tale conclusione è assurda perché contraddice l'arbitrarietà di.

Estremo superiore

Sia un insieme limitato superiormente, un numero tale che; tutti gli elementi di.

Dimostrazione

Estremo superiore tale che:

• 1)
• 2) esiste (almeno) un elemento tale che: numero piccolo

Estremo inferiore

Sia un insieme limitato inferiormente, un numero.

Dimostrazione

Estremo inferiore tale che:

• 1)
• 2) esiste un tale che:

Punto esterno

Quando ogni suo intorno completo contiene sia un punto di A e sia nell'insieme (insieme differenza).

Punto isolato

Quando ogni suo intorno contiene almeno un punto di.

Operazioni con i limiti

• Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, lo stesso vale per la differenza.
• Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, lo stesso vale per il rapporto.
• Il limite del prodotto di una funzione con una costante è uguale alla costante per il limite della funzione.
• Il limite di un elevamento a potenza o radice è uguale alla potenza o radice del limite.
• (Sostituzione diretta) Più in generale, puoi semplicemente sostituire alla x il valore cui essa tende e valutare la funzione in tale valore.

Forme indeterminate

Continuità

Sia con. La funzione si dice continua in quando:

• Condizioni:
• 1. (l'insieme di definizione/dominio)
• 2.
• 3.

Discontinuità

La definizione di continuità si presenta variamente articolata: devono esistere, finiti, il limite sinistro e il limite destro per, devono essere uguali tra di loro ed essere uguale a. Di conseguenza vi sono diversi casi in cui non sono rispettate tutte le condizioni, quindi diversi tipi di discontinuità.

• È una discontinuità di prima specie quando il limite sinistro e il limite destro, per, esistono finiti, ma sono diversi tra loro.
• È una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) non esiste o esiste infinito.
• È una discontinuità di terza specie se esistono finiti i due limiti sinistro e destro e coincidono tra di loro ma non coincidono con il valore della funzione nel punto.

Teorema di Weierstrass

Consideriamo una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume un valore massimo (assoluto) e un valore minimo (assoluto).

Teorema di esistenza degli zeri

La funzione sia continua nell'intervallo chiuso e limitato. Se tale funzione, negli estremi dell'intervallo assume valori di segno opposto, allora deduciamo che esiste almeno un punto appartenente all'intervallo aperto tale che:

Dimostrazione

Consideriamo. Poiché è continua anche nel punto, applicando il teorema della permanenza del segno: definiamo successivamente l'insieme: Insieme degli estremi superiori nell'intorno di. E definiamo: L'esistenza di è garantita dal teorema per cui ogni insieme di numeri reali ammette un estremo inferiore e un estremo superiore. Poiché è l'estremo superiore dell'insieme degli estremi superiori dell'intorno destro di, e in quest'intorno deve capitare che deve essere sempre minore di 0. È il più grande degli intervalli per cui risulti. Allora, a questo punto, dobbiamo dimostrare che: ma questo non è possibile perché non esiste un intorno destro di poiché è l'estremo superiore e quindi non possono esistere numeri più grandi. Ma questo non è possibile perché per ogni x appartenente all'intervallo.

Teorema dei valori intermedi (di Darboux)

Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume in tale intervallo almeno una volta tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.

Premesse

Consideriamo un numero reale: analizziamo la funzione ausiliare: consideriamo il minimo di in un punto. In tale punto la funzione assume il valore negativo. Siccome l'insieme dei punti di in cui assume valori negativi è non vuoto, possiamo considerare l'estremo superiore: Sia l'estremo superiore dei punti in cui è. A questo punto dobbiamo dimostrare per assurdo che. Per il teorema della permanenza del segno, la funzione risulterebbe negativa in tutto un intorno completo di mentre è stato definito come il "più grande" dei punti in cui assume valore negativo. In questo caso avremmo un intorno completo di in cui è positiva e questo contraddice la definizione di come l'estremo superiore dei punti in cui è negativa. Allora deve risultare ovvero. Abbiamo trovato un punto in cui valore arbitrario.

Focus N.B. Gerarchia degli infiniti

Infiniti e infinitesimi; Funzioni esponenziali; Funzioni potenza.