Metodi matematici economia - Unicusano

LE MATRICI

numeri disposti in righe ed in colonne

A = (1 3)      (4 2)

ordine 2

Se m = n -> matrice quadra, altrimenti rettangolare

A = (3 2 7)       (0 9 2)       (-4 2 3)

ordine 3

det A = (1*2) - (4*3) prodotto elementi diagonale principale - prodotto diagonale secondaria

det A = 3 (27+4) + 2 (0+8) + 7 (0+26)

det A = 93 + 16 + 252 = 361

Se mi chiede minore complementare rispetto ad un elemento elimino elementi riga e colonna elemento

es minore complementare di 9

[ 3    7] [-4    3]

se mi dà una matrice con parametro k stesso procedimento. Se mi dice di calcolare valori di k per cui A non è singolare (ovvero calcolo) det _/= 0

Per risolvere sistema di equazioni in più incognite

CRAMER

ax + by + cz = d a'x + b'y + c'z = d' a"x + b"y + c"z = d"

Trovo determinante

Ripeto prime due colonne

Δ ₁ a b c a b a b c a b a b c a b

poi diagonali

con meno in mezzo

Per trovare incognite

Δ _xi

Ripeto prime due colonne

d b c d b d'b'c' d'b' d"b"c" d"b"

ora faccio Δ _z

a d c a d a d c a d a d c a d

=> Δ ₂ /Δ

Δ ₃ a b d a b a b d' a b' a b d" a b"

=>Δ ₃ /Δ

(1)

y = (x² + 1) log x

y' = D(x² + 1) · log x + D(log x · (x² + 1))

y' = 2x · log x + (¹/_x) (x² + 1)

TEOREMI SULLE DERIVATE

(1) TEOREMA DI ROLLE

f(x) continua e derivabile in un intervallo [^a,_b] se f(a) = f(b)

Esiste un punto C, appartenente all'intervallo tale che

f'(c) = 0

(2) TEOREMA DI LAGRANGE o DEL VALORE MEDIO

Come sopra ma tale che

f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)

(3) TEOREMA DI CAUCHY

Date 2 funzioni, continue in un intervallo [^a,_b], con derivata prima di ≠ 0, esiste almeno un punto tale che

(f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a)) = f'(c) / g'(c)

(4) TEOREMA di L'HOSPITAL

Si usa per risolvere le forme indeterminate

Lim _(x→∞) f(x) / g(x) = Lim _(x→∞) h(x) / q(x)

Concetto di limite

• Il comportamento della funzione in un determinato punto

1° Limite finito per numero che tende a numero finito

• Funzione convergente
• Per verificarlo

|f(x) - L| < ε

Equivale a risolvere

f(x) - L < ε

f(x) - L > -ε

2° Limite infinito per x che tende ad un numero finito

• Funzione divergente
• Per verificarlo

|f(x)| > M

Equivale a risolvere

f(x) > M

f(x) < -M

OPERAZIONI TRA GLI INSIEMI

• UNIONE

  A ∪ B =

  E' COMMUTATIVA

• INTERSEZIONE

  A ∩ B =

  E' COMMUTATIVA

  SE NON CI SONO ELEMENTI IN COMUNE → A ∩ B = ∅

  SI DICE ELEMENTI DISGIUNTI

• DIFFERENZA

  A \ B

  SI TOGLIE DA A TUTTO CIO' CHE NON E' IN COMUNE CON B

  A \ B ED B \ A → NON E' COMMUTATIVA

Esempio

A = {a, b, c}

B = {b, d, e, f}

A \ B → A \ B = {a, c}

B \ A → B \ A = {d, e, f}

PROPRIETA' ASSOCIATIVA

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• IDEM PER L'INTERSEZIONE

PROPRIETA' DISTRIBUTIVA

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• e viceversa

PRODOTTO CARTESIANO DEGLI ELEMENTI

SIGNIFICA LA CREAZIONE DI COPPIE DI ELEMENTI

IL PRIMO GIUNGE DALL’INSIEME A, IL SECONDO DA B

SI SCRIVE A × B

FARE A × B E FARE B × A E’ DIVERSO

FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI

• Si dice che è una funzione crescente in I (intervallo)
• Strettamente crescente
• Solo
• Si dice che è una funzione decrescente in I (intervallo)
• Strettamente decrescente
• Solo

FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE

• FUNZIONE CONVESSA
• La retta che unisce i 2 punti è al di sopra della funzione
• FUNZIONE CONCAVA
• La retta che unisce i 2 punti è al di sotto della funzione

CLASSE DI FUNZIONE

CI POSSONO ESSERE FUNZIONI BASE E FUNZIONI COMPLESSE

FUNZIONI ELEMENTARI

FUNZIONE

y = f(x) = µx + m → µ, m ∈ R → SI CHIAMA FUNZIONE AFFINE

SE m = 0 ALLORA y = g(x), y = µx → SI CHIAMA FUNZIONE LINEARE

COMPONENTI DELLA FUNZIONE E DIMOSTRAZIONE GRAFICA

ES. DI FUNZIONE AFFINE

y = Δ x + 1 INTERCETTA O TERMINE NOTO COEFFICIENTE ANGOLARE (ax) VARIABILI

SE m (COEFF. ANG.) ⟶ 0: DECRESCE QUAD. 2° e 4° QUADRANTI

SE m (COEFF. ANG.) ⟶ 0: CRESCE QUAD. 1° e 3°

TECNICA PER DISEGNARE

(ATTRIBUIRE VALORI AD x e y)

• 0 1
• 1 2
• 2 3
• 3
• 4 5
• 5

RETTA CHE UNISCE I PUNTI DI INCONTRO TUTTO QUELLO CHE ERA DOPO y

IL RAPPORTO INCREMENTALE E LA VARIAZIONE DELLA FUNZIONE IN UN DETERMINATO PUNTO DI X (ASCISSE)

DEFINIZIONE IN FORMULA

f(x + h) - f(x) ____________ = µ x + h - x h

DETTO RAPPORTO INCREMENTALE DI y = f(x) = µx + m

SEMPLIFICATO Δy / Δx = (x₀ + h) - f(x₀) ⟶ FORMULA DA USARE SEMPLICITÀ h PER TROVARE IL RAPPORTO INCREM. IN UN DATO PUNTO