Metodi matematici economia - Unicusano

Le matrici

Numeri disposti in _n righe ed _m colonne:

Ordine 2 x 2

Ordine 3 x 3

Determinante

Det A = (1•2) - (4•3)

Rango o ordine o carteiano

Det A = 3 (2•7+4) + 2 (0+8) + 7 (0+36)

Det A = 93 + 16 + 252 = 361

Minore complementare

Se mi chiede minore complementare (rispetto ad un elemento elimino elementi riga e colonna elemento es: minore complementare di 9:

Se mi dà una matrice con parametro k, stesso procedimento. Se mi dice di calcolare valori di k per cui A non è singolare (ovvero invertibile) det ≠ 0.

Le matrici numeri disposti in n righe ed m colonne:

• Se m=n → matrice quadrata, altrimenti rettangolare

Ordine 2

Ordine 3

• Diagonale principale
• Diagonale secondaria

Det A = (1 · 2) - (4 · 3): prodotto elementi diagonale principale - prodotto diagonale secondaria

Cramer

a x + b y + c z = d

a' x + b' y + c' z = d'

a" x + b" y + c" z = d"

Trovo determinante

Ripeto prime due colonne:

Δ = | a b c | a b |

      | a' b' c' | a' b' |

      | a" b" c" | a" b" |

Per trovare incognite

Ripeto prime due colonne:

Δ_xi = | d b c | a b |

          | d' b' c' | a' b' |

          | d" b" c" | a" b" |

Poi diagonali e -poi faccio Δ_i / Δ

Δ₂ = | a d c | a d |

      | a' d' c' | a' d' |

      | a" d" c" | a" d" |

Δ₃ = | a b d | a b |

      | a' b' d' | a' b' |

      | a" b" d" | a" b" |

Faccio Δ₂ / Δ

Faccio Δ₃ / Δ

Autovalori

x - y + z = 3

x + y + z = 2

kx + 2y - z = -2

Uso Cramer:

Δ = | 1 1 1 || 1 -1 1 || k 2 -1 |

Δ = -2k - 4

Matrice modificata

Tolgo λ alla diagonale principale:

Poi calcolo determinante e lo pongo = 0. Trovo valori λ che sono autovalori:

• λ₁ = 1
• λ₂ = -3
• λ₃ = -5

Poi sostituisco autovalori in un sistema che ha per coefficiente i numeri della matrice sostituita:

• λ0x₁ + 2x₂ - z₃ = 0
• x₁ - 5x₂ + x₃ = 0
• x₁ + x₂ - 5x₃ = 0

Devo fare per ogni autovalore.

Gli integrali

Formula S = ∫_a^b g(x). dx

Definito (Area compresa fra g(x) e asse x) calcolato fra a e b (a e b ∈ [intervallo])

Indefinito (Se g(x) è una funzione (indicandola con g(x)))

Posso ricavare il definito con formula:

∫_a^b g(x).dx = g(b) - g(a)

Esercizi

1° Esercizio

∫ ⁰ 15x - 24x³+x²·e^x dx

∫^15x / _x dx + ∫^-24x3 / _x dx + ∫^x2ex / _x² dx

15 ∫¹ / _x dx - 24 + ∫ e^x dx

15·log|x| - 24 + e^x + C

2° Esercizio

∫ ¹₀ (2x³-8x) (6x-8) dx

(^2x3-8x)³ / ₃ + C¹ / ₃ [ ^(2x3-8x)3 |₁ ⁰ - ¹ / ₃ (6)³ ]

Definizione di massimo e minimo

• Un punto x₀ è un massimo relativo se f(x₀) > f(x)
• Un punto x₀ è un minimo relativo se f(x₀) < f(x)

Condizione del primo ordine

f(x) definita in I x punto di interno se f(x) derivabile in x₀