Appunti Metodi Numerici

METODI NUMERICI PER L'ENERGETICA

Prof. Vittorio Colombo

APPUNTI DELLE LEZIONI DI METODI NUMERICI PER L'ENERGETICA

Orali 6 domande 3 del prof reperibile 2 assistente

2h di tempo

Esame scritto

Appelli: 3 Giugno/Luglio

Libro: G. Monegato "100 pagine di calcolo numerico" Ed. Leriotto e Bella (TO)

Argomenti del Programma

• Propagazione e errori in calcolo numerico
• Soluzione numerica di sistemi di equazioni lineari
• Soluzione numerica di sistemi di equazioni non lineari
• Calcolo numerico di integrali definiti
• Soluzione di equazioni integrali
• Problema agli autovalori (+ proprietà spettrali delle matrici)

Cose da ripetere:

• Natura e loro proprietà
• Problema degli autovalori
• Metodi analitici
• Soluzione sistemi lineari
• Autovalori

• Polinomi ortogonali
• Formule di quadratura

Newton-Cotes

Gaussiane

Sia le stile sperimentale che quelle numeriche hanno degli errori, ma sono errori diversi:

• e.s.n.
• e.s.s.
• err. di strumenti
• err. di addotitove
• err. di elaborazione dati
• err. di analisi numerica

La descrizione numerica diversa da quella sperimentale la soluzione esatta non la potremmo mai avere/conoscere

Gli esperimenti fatti al computer si chiamano esperimenti numerici

Sia la s.n. sia le ss fanno errori derivati gli strumenti di misura utilizzati tutti gli strumenti hanno una loro sensibilità anche i computer

Sensibilità del computer → legata dalle percentuali dei numeri che riesce a memorizzare

La sua unità di misura e l’ eps. Minore è eps maggiore è la sensibilità del computer

FENOMENO

Analisi sperimentale →? Analisi numerica

Confrontando le ss e quello n. possiamo vedere se le due soluzioni sono molto diverse, diverse o uguali!

Minore è l’errore di idealizzazione migliore sarà la soluzione numerica

In più questo n. avvicinato alla ss → nella realtà sn e ss ne saranno mai uguali, allora come si fa?

Costruiamo un codice di calcolo che simulii il fenomeno fisico poi si passa al processo di validazione del codice di calcolo che poi mi potrebbe servire per risolvere anche altri problemi

La soluzione numerica può essere usata in modo passivo ( x descrivere un prototipo)

B → il prototipo viene realizzato in modo iterativo (Se ne crea uno si guarda se va bene → si migliorano alcuni aspetti e si crea un nuovo prototipo e così via) dopo che ho realizzato il miglior prototipo, posso realizzare il vero e proprio prodotto ogni prototipo però costa!

Il prototipo poi lo posso testare sperimentalmente

ESEMPIO

T^=12500^oC → risultato della simulaz.numerico

T_max =1200^oC

T^, T_max come faccio? Devo controllare se T^ è giusto

Misura provo a rifare il calo con un computer + sensibile e o fare meno errori di idealizzazione

I moduli di rottura degli errori di arrotondamento

I nostri problemi è sempre A · x = b

I dati di input sono di natura sperimentale e numerica

Allenare possono affetti da errori

indica il grado di incertezza

Sia A e b, cioè i dati di ingresso, sono affetti da gradi di incertezza

• X sono entrambi valori accettabili perché si trovano all’interno del range consentito
• Lavorano però → risultati in più diversi

Problema ben condizionato

Una piccola perturbazione sui dati in ingresso produce una piccola perturbazione sui dati in uscita

Problemi mal condizionati

Una piccola perturbazione sui dati in ingresso produce uno gran perturbazione sui dati in uscita

Facciamo qualche esempio

_b + _δb con _δ → 0 → solo _b è perturbato, _A no… nella realtà non sarà mai così

X + _δx → la soluzione in uscita sarà perturbato

Dobbiamo trovare un legame matematico fra _δx e _δb. Se _δx e _δb sono dello stesso ordine di grandezza → il problema si dice ben condizionato

Se _δx ≫ _δb → il problema si dice mal condizionato

Il nuovo problema (perturbato) numerico è:

=> Δx + A · Δx = b + Δb → AΔx = Δingresso

problema originale

Per confrontare Δx e Δb come faccio?

=> Δx = A^-1·Δb

Equazione vettoriale per la perturbaz.

in uscita in funzione di quella in ingresso

|Δx| = |A^-1|·|Δb| ≤ ||A^-1|| ||Δb||

Vale anche:

||Ax|| = ||b|| e ||A||·||x|| = ||A^-1|| (2) (4)

Che facciamo (3) ||b|| e troviamo

||Δx|| / ||x|| ≤ ||A^-1||·||Δb|| / ||b||

Perturbazione relativa

||b|| / ||x||

Abbiamo trovato un legame fra le perturb.az.

in ingresso ed in uscita

CANCELLAZIONE NUMERICA

Fenomeno che può avvenire in maniera improvvisa dell'interno di uno step algoritmico.

Dato che x e y provengono da step algoritmici precedenti può essere che debba subire dei processi di arrotondamento. Può quindi essere successo il seguente processo se x e y fossero questi tipi di numeri di macchine (sto perdendo info!)

• x = 0, ₁
• y = 0, ₂

Se x e y non sono numeri che noi assegnamo netto in termini di notazione, possono nascere dei problemi. Se x e y erano le prime n cifre uguali e deve fare la loro differenza ottengo un numero pari a 0,0000...0 questo numero però ≠ 1/A, perché in A ci sono solo numeri immidiatizzati cioè 0,2341...

Perché (X-Y) = 0, _0000010

t ≤ n queste cifre non hanno informazioni.

Non ho (quasi) più contributo di informazioni.

• Le info che ho perso prima perché mi servivano solo le prime t cifre, quando faccio (x-y), mi servirrebbero
• Se succede questo gli errori esplodono (abbiamo un esplosione di errori)
• L’esplosione degli errori non è recuperabile
• Lo ce lo portiamo fino all'uscito
• I risultati che escono dall'algoritmo vanno “studiate/analisati” perché può essere che gli errori siano esploso.
• L’esplosione degli errori non possiamo a priori sapere se ci sarò e dove (se ci sarà) sarà

y = f(x) ideale y-f(x) = 0

y’+f(x) reale y’-f(x) = Residuo ≠ 0 → noi dovremmo ridurre il residuo (non vogliamo minimizzare il residuo (non pourrait però mai averlo pari a zero)

Il residuo ci permette di fare un'analisi a posteriori della soluzione.

Algoritmi stabili portano ad un'esplosione degli errori (non sappiamo però dove è)

P.N. _y=f(_x)

• ψ legame funzionale fra _x e y’.

Con PN e caratterizzato da uno errore di condizionamento, non dipende dall’algoritmo operatore in virgola mobile.

in ingresso - Se i coefficienti della matrice sono >>1  il PN è molto reversibile

E_ij = ∑ Ex_j (∂φ_j/∂x_j x_j)  dobbiamo messo in relazione gli errori relativi delle variab. con quelli delle osservate (x_i comparati)

è la matrice Jacobiano _{INDICI BSI CONDIZIONAMENTO} della trasformazione del PN γ

1. FMN
2. φ = ∆φ = D(φ)_(PN) ∆x (analisi del condizionamento del problema) parte computerabte
3. Studio dell'algoritmo in ogni suo step

Cancellazione numerica vbad dove buttare via delle cifre numeriche riportati

φ(x,y) = x·y  E_xy = E_x+E_y qui singola operazione matematico è un PN che può essere ben o mal condizionata

φ(x,y) = x+y  E_x+y = E_x + E_y

φ(x,y) = x-y  E_x-y = E_x + E_y

φ(x,y) = x·y/(x+y)  E_x+y = x/x+y E_x + y/x+y E_y

φ(x) = √x  E_x = 1/2 E_x picolle perturbazioni in ioporto, restano piccole perturbazioni in uscita

Se x~y = E_x-y ☝☝ questi sono PN ben condizionati

_Alg. y = + x e y sono entrambi perturbarti perché derivano da operazioni precedenti  x e y hanno somma

 _{x-y y}

il loro errore/perturbazione relativo

se devo fare x-y e x~/y~  E_x-y +∞

_ da gst punto in poi i risultati che mi da l’algoritmo non servono bene λ

eω e verso annullare gst parte del def.

Dovo evitare questi fenomeni di _{cancellazione numerica}

Per reprimere se la soluzione che ho allo fine dell def. e accettabile o mi devo verificare con i residuli:

φ: ID → R^k

x = x⁽²⁾ , φ(0) = x⁽¹⁾ , φ² (x) , x^(k+4) , x^(k) , x^(k+4) , xXY sono tutte grandezze _IDENSADI

è mio trasferenza dallo mio spazio ad un altro.

Supponiamo che tutti i φ⁽ⁱ⁾ sono differenziabili in D_i φ⁽⁰⁾ (ξ) φ ⁽¹⁾(ξ) φ(0)  φ(4-1) o-L o-φ(ξ)