Domande aperte Metodi matematici

Relazione fra derivabilità e continuità

La continuità non implica necessariamente la derivabilità (la continuità è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la derivabilità) mentre la derivabilità implica sempre la continuità (la derivabilità è condizione sufficiente, ma non necessaria, per la continuità).

Se una funzione è continua in un punto, può essere derivabile nel punto, ma non lo sarà per forza. Se però una funzione non è continua in un punto, non può certamente essere derivabile nel punto.

Se una funzione è derivabile in un punto, sarà sicuramente continua in tale punto. Non è però obbligatorio che la funzione sia derivabile in un punto affinché essa sia ivi continua.

Teorema di Cauchy e sua interpretazione grafica

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

f, g : [a,

(f(b) - f(a))/(b - a) = f'(c)

Enunciare il teorema di Lagrange, dandone l'interpretazione grafica.

Se una funzione y=f(x) è continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b], è derivabile internamente ad esso, cioè in (a,b), allora esiste almeno un punto c interno ad (a,b), tale che la retta tangente al grafico della funzione nel punto c sia parallela alla retta secante che passa per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)).

Se una funzione y=f(x) è continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b], derivabile internamente ad esso, cioè in (a,b), e tale che f(a)=f(b), cioè assuma lo stesso valore agli estremi, allora esiste almeno un punto c in (a,b) tale che f'(c) = 0.

Allora esiste almeno un punto, appartenente all'intervallo (a,b), in cui la derivata f'(x) si annulla.

Enunciare i teoremi di De L'Hôpital.

Nell'analisi matematica la regola di De L'Hôpital è un procedimento che permette di calcolare i limiti di quoziente di funzioni reali di variabili reali che convergono a forme indeterminate delle forme 0/0 o ∞/∞, con l'aiuto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore.

Prima Regola Forma: date due funzioni y=f(x) e y=g(x) e un punto x (finito o infinito) in modo che:

1. lim f(x) = lim g(x) = x → x0
2. f(x) e g(x) sono entrambe derivabili in un intorno di x, escluso al più il punto x0 stesso
3. g'(x) nell'intorno di x0 è diverso da 0
4. lim f'(x)/g'(x) → x0

Allora vale che lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) → x0

1. Prima Regola Forma: dati due funzioni y=f(x) e y=g(x) e un punto x (finito o infinito) in modo che:
   • lim f(x) = g(x) = 0
   • x→x 0
2. Seconda Regola Forma: dati due funzioni y=f(x) e y=g(x) e un punto x (finito o infinito) in modo che:
   • lim f(x) = g(x) = 0
   • x→x 0
   • x→x 0