Metodi Analitici - Dimostrazioni per l'orale

Materiale per l'orale di metodi analitici ∂/∂t

1. Trasformata di Laplace
2. Equazione di Poisson
3. Equazione del calore

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Materiale per l'orale di metodi analitici ∂_t

1. Trasformata di Laplace
2. Equazione di Poisson
3. Equazione del calore

Guido Perucchini

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Domande per la prova orale del blocco 2

1. Trasformata di Laplace ed applicazioni
2. Equazione di Poisson
3. Equazione del calore

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è un operatore funzionale lineare che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa.

Definizione: consideriamo una funzione \( \in L(_loc)(0,+∞) \), ovvero una funzione integrabile in un intervallo limitato. Si definisce l'ascissa di convergenza di: \( (μ)=inf \{ λ>0 t.c.\int₀→∞ | |·e^-λ;t_dt ovvero i numeri λ per cui moltiplicata e^-λ;t per l'esponente decrescente f(t) deve essere integrabile. Può anche non essere limitata, più è grande più l'integrale è probabilità di essere finito. Si cerca il valore minimo di λ/per il quale l'integrale è finito.

La trasformata di Laplace della funzione ℓ è: f_μ( (μ),+∞) → ℝ f_Δ(β;) =_{∫0→∞ f.sub.μ;( ) e^-λ;t} d.sub.t = (l'ascissa di convergenza non appartiene al dominio della trasformata di Laplace).

Proprietà

1. L (αλ + βσ) = αLμ + βLσ (linearità)
2. L (μ(t-a))(γ) = e^-aγ Lμ(γ) (traslazione), cioè la T.L. di una funzione n traslata di a sull'asse x si ottiene premoltiplicando la trasformata della funzione per un esponenziale negativo con parametro uguale alla quantità traslata. Ovvio: traslare una funzione n logomente significa moltiplicare per un esponenziale negativo con parametro uguale alla quantità traslata.
3. DIM L(μ(t-a))(γ) = ∫₀^∞μ(t-a) e^-γdt= usiamo t' = t-a ; dt= dx= e^-aγLμ(γ)
4. L(e^atμ(t))(γ) = Lμ(γ;-a)
5. L(μ;¹(t))(γ) = γLμ(γ) - μ(0)
6. DIM L(μ;¹(t))(γ) = ∫₀^∞μ;¹(t) = e^{-λ; μ(t) |∞_∞} - ∫₀^∞μ(t) (-γ;)e^-λ;t= -μ(0) + γ ∫₀^∞μ(t)e^-γ;t dt
7. L(μ;^k(t))(γ) = γ;^k (Lμ;)(γ;) - Σ_k-j=1^∞ L(t^kμ;(t))(γ;) = (-1)^k Lμ;^(k)(γ;)

Proprietà di continuità

1. A ∈ L¹(0,+∞) ⇒ L a ∈ C_b(1,0,+∞) ⊂ L^∞(0,+∞) DIM ||L a||_∞ = sup ||∫|a(t+s)|dt| ^+∞₁ = ||a||_L¹
2. Se a_n → a_m ⇒ L a_n → L a_m DIM per il Teorema della Convergenza Dominata

Convoluzione

x, y ∈ L¹(0,+∞) ⇒ L^∞(0,+∞) operatore lineare. Si definisce "convoluzione di funzioni": (t con v)(t) = ∫v(t-y)w(y)dy ^t₀.

Teorema di Laplace sulla convoluzione

Ipotesi: w, v ∈ L¹(0,+∞) t.c. T.L. scambia il prodotto di. Tesi: L con convoluzione con il prodotto delle trasformate.

1. L((m con w) ∗ (L w) ∗ (L v)
2. DIM I) ∫|∫v(t+y)|u(x-y)|dy|dt ^+∞₀ = ... ≤ ||u||_L¹ ||v||_∞
3. DIM II) L((m ∗ w)(x)) = ∫w(t-y)v(y)dy^+∞₀ = ∫v(t-y)e^-st dt = ∫w(t-y)

Proprietà asintotiche della trasformata di Laplace

1. lim _{x → ∞} x (Lμ)(x) = μ (o⁺) cioè (Lμ)(x) ~ μ (o⁺) / x
2. DIM 1) per ipotesi μ ∈ L¹ (0,+∞)∫₀^∞ (Lμ)(x) dx = ∫₀^∞ e^-xt dt = ∫₀^∞ x^-1 e^-at ( λ;x/a) e^-_x/at dt = μ ( x-_o / a ) [Cambiamento di variabile] [ λ;t = x dλ;t = dx ]= ∫_ox/a^∞ λ; (x/λ;) e^-λ; μ (o⁺) = μ (o⁺) lim_λ;→∞ λ; (Lμ;)(λ;x) = μ; (+∞) cioè (Lμ;)(x) ~ μ;_/x (+∞) x^λ;o+)

III ) sviluppo asintotico di λ;: presuppone di dinuibile con costantuit ^∞ ( _o )(Lμ;)(x) - / m i y Σ;₀^∞ 1/i (o^x_--o

Applicazione della trasformata di Laplace alle equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti

Dato il problema di Cauchy y : [o,+∞;) R ^+∞ | soluzione k-volte differenziabile.

1. A _k y ^k a _{3 j - 1 / 1} un.... a ^j y ^a, + a _o + f(x),,y(s^+∞z){ y(s^+∞) = o₁, y(o)^k - (o_-) y_k-1
2. Si applica la tjustify. Laplace ad entrambi; neambri del DOC a_k (λ;^k) (Lμ;)(x) - Σ;^∞ _{j = 0} μ; ^k-1 ∫^k-1 _j=1 d,_j μ; ^k-i ∫∞ -- Σ;^∞ ai_μ; y_ij ^∞ p,, + (o_eⁱ) (Lμ; (α;)x) e+ Da cui si ottiene (Lμ;)(x) = (Lβ;)(x) + P₁ (x) P₂ (x) con P₁, P₂ polinomi in x. Ora bismu autnformer per alcem y

Se _∃ 3 funzioni G ₁ G ₂ disti che (L G₂) = P¹ ₁ P^∞ ₂ e (L G₂) = (1 / P₂) si ha L(y) = 1 / P₂ P₂ (d / P₂) - (L G₂)(coeff) - (LG₁) = L (G_r, G₂ x0

Equazione di Poisson

Si applica T.F. ad entrambi i membri dell'eq. di Poisson -Δu = ẅ ⇒ |y|²∧ℱ(y) = ∧f(y), da cui ẅ(y) = Ẅ(y) / |y|².

Per ipotesi ogni derivata parziale di f è in L⁴ per cui (1+|y|)²/m ẅ(y)∈L¹ quindi ∫_R^m |y|² ẅ(y) ∈ L_(R^m).

Occorre antitrasformare per ricavare ẅu(x) ∙ (|y|⁴ ẅĂ)(y))(x) = π (2π;)^m ∮ |y|⁴ (y) t ^ixy= π;(2π;)^m ∫_Rm 4π; |y|'[2/m]e |y|^-tλ;∫-t/Λ;|y|ⁱe_ixy (2π;)^m) (y) dy.

Ricordando e^-tλ;|y| (4π;²)^-m/2 γ;⍺(y)∮ (2π;)^m∫_0→∞ e^ixy (4π;²)^-m/2 γ;⍺(y). ҡ(y).

Convoluzione ∫_0→∞ (2π;)^m∫ e |x| t'Ẅ e (4π;²)^-m/2 γ;⍺+= \int_{0}^{\infty} \left( 4\pi^2 \lambda^2 \right)^{-m/2} d\lambda \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^m} e^{ixy} \left( \partial_{\lambda \lambda} * \ell \right) (y) \, dy == \int_{0}^{\infty} \left( 4\pi^2 \lambda^2 \right)^{-m/2} d\lambda \cdot \left( \partial_{\lambda \lambda} * f \right) (x) = \text{Svolgiamo il prodotto di convoluzione}= \int_{0}^{\infty} \left( 4\pi^2 \lambda^2 \right)^{-m/2} d\lambda \cdot \int_{\mathbb{R}^m} \partial_{\lambda} (x-y) \ell (y) dy = = \int_{\mathbb{R}^m} f(y) dy \int_{0}^{\infty} \left( 4\pi^2 \lambda^2 \right)^{-m/2} \int_{\mathbb{R}^m} e^{-\frac{|x-y|^2}{4\pi^2 \lambda^2}} d\lambda == \frac{\pi^{m/2}}{\Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \int_{\mathbb{R}^m} f(y) dy \int_{0}^{\infty} \left( \lambda^2 \right)^{-m/2} e^{-\frac{|x-y|^2}{4\lambda^2}} d\lambda == \frac{\pi^{m-1}}{\Gamma \left( \frac{m-2}{2} \right)} \int_{\mathbb{R}^m} f(y) \left( \int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{m-3}}{|x-y|^{m-2}} d\lambda \right) \int_{0}^{\infty} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy = \mu(x)/\pi \Biggr| = \pi^{m-2} \int_{0}^{\infty} \left( \lambda^2 \right)^{-m/2} \int_{\mathbb{R}^m} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy =⇒ \mu(x) = \frac{\pi^{m-2}}{\Gamma \left( \frac{m-2}{2} \right)} \int_{\mathbb{R}^m} f(y) \frac{1}{|x-y|^{m-2}} dy == \frac{\pi^{m-2}}{\Gamma \left( \frac{m-2}{2} \right)} \int_{\mathbb{R}^m} f(y) \left( \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{\lambda^2 |x-y|^2}{4}} d\lambda \right) \int_{\mathbb{R}^m} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy == \frac{\pi^{m-2}}{\Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \int_{0}^{\infty} \left( \lambda^2 \right)^{-m/2} d\lambda \int_{\mathbb{R}^m} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy = = \left| \frac{\Gamma \left( \frac{m-2}{2} \right)}{\pi^{m-2}} \int_{0}^{\infty} \left( \lambda \right)^{-m+2} d\lambda \right| \int_{\mathbb{R}^m} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy == c \cdot \left( f * \frac{1}{|x|^{m-2}} \right)

Equazione del calore

∂_tu - Δu = ∅

La diffusione è la capacità di un sistema di cedere le sue proprietà.

Modello della conduzione del calore

Ω ⊆ ℝ^m (m=2,3): regione occupata dal mezzo conduttore: Ω × [0,+∞) → ℝ flusione di temperatura. u(x,t) = temperatura nel punto x al tempo t.

ρ : Ω × [0,+∞) densità di massa del mezzo [T/m^m]. ρ(x)dx = m massa della regione infinitesima dx ⊂ Ω.

c_U (x,t) colore specifico a volume costante. c_O (x) capacità termica.

ΔU·c_p(x)dx energia interna = U = ∫ c_U ρ(x) ·u(x,t)dx energia interna totale.

d/dt ∫_V c_U ρ(x)m(x,t)dx = ∫_V c_U ∂u/∂t (x,t)dx variazione nel tempo dell'energia interna totale.

Vj : Ω × [0,+∞) → ℝ^m campo vettoriale che descrive la densità di flusso termico.

∫ j ds = Calore fluito attraverso ds nell'unità di tempo. - ∫_∂V j(x,t)ds = flusso di calore uscente da ∂V nell'unità di tempo.

Legge di Coulomb

V ≡ Ω con ∂V fisso Q_V (t) = ∫ c₀ ρ(x) ·u(x,t)dx quantità di Calore.

1. D/dt Q_V(t) = ∫_V c_U f(t) ∂²u(x,t)/∂t² dx V ≡ Ω ∀t > 0
2. ∫_∂V j(z,t)ds flusso di Calore

Legge di Fourier

j(x,t) = -k(x) ∇u(x,t) ∀ x ∈ V, cioè il flusso termico è proporzionale all'effetto del gradiente di temperatura.

Primo principio della termodinamica

d/dt (energia interna) = flusso in uscita.

∫_V C_v ρ(x) ∂/∂t u(x,t) dx = -∫_∂V γ(x,t) ∂S

∫_V C_v ρ(x) ∂/∂t u(x,t) dx = +∫_∂V [k(x) ∇u(x,t) ∙ ∇(x,t)] dS

∫_V C_v ρ(x) ∂/∂t u(x,t) dx = ∫_V ∇∙ [k(x) ∇u(x,t)] dx

∇ = div

∇ = grad

∫_V C_v ρ(x) ∂/∂t u(x,t) - ∇∙[k(x) ∇u(x,t)] = 0

∂/∂t u(x,t) - k/ C_v ρ ∇∙∇u(x,t) = 0 = D costante di diffusione.

Equazione del calore/diffusione

Quindi equazione del calore/diffusione: trovare una funzione u T.C. (z, t) ∈ ℝⁿ → ℝ t.c. ∂/∂t u(x,t) - D Δu(x,t) = 0.

Problema di Cauchy in ℝⁿ

Sia u₀: ℝⁿ → ℝ.

{ ∂/∂t u(x,t) - D Δu(x,t) = 0
u(x,0) = u₀(x) x ∈ ℝⁿ, t > 0

∫_ℝⁿ C_v ρ(x) u(x,t) dx = cost.

∫_ℝⁿ u(x,t) dx, quindi (x,t) ∈ L¹(ℝⁿ) ∩ L^∞(ℝⁿ) ∀t > 0.

Teorema di esistenza ed unicità della soluzione

μ₀ ∈ L¹(ℝⁿ) ∩ L^∞(ℝⁿ) ⟹ ∃! soluzione μ(.,t) ∈ L¹(ℝⁿ) ∩ L^∞(ℝⁿ) ∀t > 0.

E μ (x,t) = ∫ K_t(x-y)μ₀(y) y ∈ ℝ^m ovvero: μ(x,t) = ∫ K(t,x,y)μ₀(y) dy dove K (.,(4πDt)^n/2) ℙ^-|x-y|²/4Dt ⟶ K_t(x) = (4πDt)^-n/2 ℙ^-|x|²/4Dt.

Si ha μ_t(x) = K_t(x) * μ₀(x) ∀t.

Dim. Si applica la trasformata di Fourier all'eq. del Calore.

F{∂/∂t} = ∂/∂t{F{μ(x)}} = F{μ(x,t)} = ∫_ℝⁿ ℙ^-ix·ξ; F{μ(x,t)} dx

F{∂/∂t}>∫_ℝⁿ ∂/∂t{μ̂(x,t)} dx = μ̂(y,t)∴ μ̂(y,t) – μ̂₀ ℙ^-|x|²t

Ricordando δ(x-y) = |x-y| [π] δ(t) = π e^-|x-y|²/4Dtμ̂(x,t) + (4π)>T = μ̂(y,t)μ₀' = μ̂(x_{t 0, x > 0 μ(0, x) = μ0(x)   x > 0 μ(0, t) = 0   ∀ t > 0   Condizione di Dirichlet}

Soluzione con condizione di Dirichlet

Soluzione: (4πDt)^-1/2 ∫dy μ₀ · e^{-|x-y|2⁄4Dt}

DIM. Estensione di dato iniziale a tutto R con estensione dispari.

μ̃₀ = { μ₀(x) x > 0     -μ₀(x) x 0 è una funzione dispari | μ₀(-x) = -μ₀(x).

Considerando la soluzione μ̃(x, t) dell'eq in R con dato iniziale μ̃₀.

∂_tμ̃ - D Δ μ̃ = 0

μ̃(x, 0) = μ̃₀(x)

La soluzione è data da μ̃(x, t) = (K_t * μ̃₀)(x) con K_t = e^-|x|2⁄4Dt / √4πDt.

Poiché K_t è pari e μ̃₀ è dispari, x μ̃(x) è dispari, quindi: μ̃(-x, t) = -μ̃(x, t)   x ∈ R, t > 0.

Per la regolarità della soluzione μ̃(x, t) deve esser continua.

Verifica nel punto di discontinuità generato dall'estensione:

μ̃(-0, t) = - μ̃(0, t)

μ̃(0, t) = 0   necessariamente.

Quindi se estendiamo μ̃(x, t) E ∈ R a [0, ∞ ) essa soddisfa l'eq. iniziale.

Verificatelo anche per x > 0:

μ(x, t) = ∫dy k_t(x-y) μ̃(x, y) = ∫dy k_t(x-y) μ̃₀(y)

= ∫₀^∞ dy k_t(x-y) (μ̃₀(y) - μ̃₀(-y)) + ∫₀^∞ dy k_t(x-y) μ̃₀(y) = Cambio di Variabile y -> z dy= -dz

= = ∫[ dk_t(x+z) μ̃₀(z) ] + [ dy k_t(x-y) μ₀(y)] = raccogliendo ╳_b μ(x, t) = ∫₀^∞ dy [k_t (x-y) - k_t (x+y)] μ₀(y)

Principio del massimo in R^m

Detoa) ||u(., t)||_p ≤ ||u₀||_p ∀t >= 0 ∀p ∈ [1,∞[ l'evoluzione nel tempo conserva norme Lp.

b) In particolare ||u(., t)||_∞ ≤ ||u₀||_∞, cioè la Tmax all'istante t è sempre minore di Tmax a t=0.

c) u₀ > 0 ⟶ u(t, x) > 0. Se si parte da un dato iniziale positivo allora in assenza di forzante la distribuzione di temperatura è sempre positiva.

Dim. a) per p=1 ||u(., t)||₁ ≤ ∫ dx |u₀(x)| = ∫ dy |u₀(y)| ∫ dx k_t (x-y) → ||u(t, x)||₁ ≤ ||u₀||₁

b) |u(t, x)| ≤ ∫ dy k_t (x-y) |u₀(y)| ∈ (∫ dy k_t (x-y)) ||u₀||_∞

c) u(x, t) = ∫ dy k_t (x-y) u₀(y) poiché k_t > 0 ∀t ∈ R^m allora u > 0