Metodi Analitici - Dimostrazioni per l'orale

MATERIALE PER L'ORALE DI

METODI ANALITICI

∂/∂t

1. TRASFORMATA DI LAPLACE
2. EQUAZIONE DI POISSON
3. EQUAZIONE DEL CALORE

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MATERIALE PER L'ORALE DI

METODI ANALITICI

∂_∂t

1. TRASFORMATA DI LAPLACE
2. EQUAZIONE DI POISSON
3. EQUAZIONE DEL CALORE

Guido Perucchini

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Domande per la prova orale del blocco 2

1. Trasformata di Laplace ed applicazioni
2. Equazione di Poisson
3. Equazione del calore

Trasformata di Laplace

la trasformata di laplace è un operatore funzionale lineare che associa ad unafunzione di variabile reale una funzione di variabile complessa

Definizione:

consideriamo una funzione \( \in L(_loc)(0,+∞) \) ovvero unafunzione integrabile in un intervallo limitato.

• si definisce l'ascissa di convergenza di : \( (μ)=inf \{ λ>0 t.c.\int₀→∞ | |·e^-λt_dt < +∞ \}

ovvero i numeri λ per cui moltiplicata e^-λt per l'esponente decrescantef(t) deve essere integrabile. Può anche non essere limitata, più è grandepiù l'integrale è probabilità di essere finito. Si cerca il valore minimo di λ/per il quale l'integrale è finito.

• la trasformata di laplace della funzione ℓ è:

f_μ( (μ),+∞) → ℝ

• f_Δ(β) =_{∫0→∞ f.sub.μ( ) e^-λt} d.sub.t =

(l'ascissa di convergenza non appartiene al dominio della trasformata di loplace)

PROPRIETA'

1. L (αλ + βσ) = αLμ + βLσ (linearità)
2. L (μ(t-a))(γ) = e^-aγ Lμ(γ) (traslazione)

   cioè la T.L. di una funzione n traslata di a sull'asse x si ottiene premoltiplicando la trasformata della funzione per un esponenziale negativo con parametro uguale alla quantità traslata. Ovvio : traslare una funzione n logomente significa moltiplicare per un esponenziale negativo con parametro uguale alla quantità traslata.

   DIM

   L(μ(t-a))(γ) = ∫₀^∞μ(t-a) e^-γdt

   = usiamo t' = t-a ; dt= dx

   = e^-aγLμ(γ)

3. L(e^atμ(t))(γ) = Lμ(γ-a)
4. L(μ¹(t))(γ) = γLμ(γ) - μ(0)

DIM

L(μ¹(t))(γ) = ∫₀^∞μ¹(t) = e^{-λ μ(t) |∞_∞} - ∫₀^∞μ(t) (-γ)e^-λt

= -μ(0) + γ ∫₀^∞μ(t)e^-γt dt

5. L(μ^k(t))(γ) = γ^k (Lμ)(γ) - ∑_k-j=1^∞
6. L(t^kμ(t))(γ) = (-1)^k Lμ^(k)(γ)

PROPRIETA' DI CONTINUITA'

1. a ∈ L¹(0,+∞) ⇒ L a ∈ C_b(1,0,+∞) ⊂ L^∞(0,+∞) DIM ||L a||_∞ = sup ||∫|a(t+s)|dt| ^+∞₁ = ||a||_L¹
2. Se a_n → a_m ⇒ L a_n → L a_m DIM per il Teorema della Convergenza Dominata

CONVOLUZIONE

x, y ∈ L¹(0,+∞) ⇒ L^∞(0,+∞) operatore lineare Si definisce "convoluzione di funzioni":(t con v)(t) = ∫v(t-y)w(y)dy ^t₀

TEOREMA DI LAPLACE SULLA CONVOLUZIONE

ipotesi: w, v ∈ L¹(0,+∞) t.c. T.L. scambia il prodotto di Tesi: L con convoluzione con il prodotto delle trasformate 1) L((m con w) ∗ (L w) ∗ (L v)

DIM I)∫|∫v(t+y)|u(x-y)|dy|dt ^+∞₀ = ... ≤ ||u||_L¹ ||v||_∞

DIM II)L((m ∗ w)(x)) = ∫w(t-y)v(y)dy^+∞₀ = ∫v(t-y)e^-st dt = ∫w(t-y)

PROPRIETA' ASINTOTICHE DELLA TRASF. LAPLACE

1. lim _{x → ∞} x (Lμ)(x) = μ (o⁺) cioè (Lμ)(x) ~ μ (o⁺) / x

   DIM 1) per ipotesi μ ∈ L¹ (0,+∞)

   ∫₀^∞ (Lμ)(x) dx = ∫₀^∞ e^-xt dt = ∫₀^∞ x^-1 e^-at ( λx/a) e^-_x/at dt = μ ( x-_o / a ) [CAMBIAMENTO DI VARIABILE] [ λt = x dλt = dx ]

   = ∫_ox/a^∞ λ (x/λ) e^-λ μ (o⁺) = μ (o⁺)

2. lim_λ→∞ λ (Lμ)(λx) = μ (+∞) cioè (Lμ)(x) ~ μ_/x (+∞) x^λo+)

III ) sviluppo asintotico di λ: presuppone di dinuibile con costantuit ^∞ ( _o )

(Lμ)(x) - / m i y Σ₀^∞ 1/i (o^x_--o

APPLICATIONE DELLA TRASFORMOTA DI LAPLACE

ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE A COEFFICIENTI COSTANTI

Dado il problema di Cauchy y : [o,+∞) R ^+∞ | soluzione k-volte differenziabile

1. a _k y ^k a _{3 j - 1 / 1} un.... a ^j y ^a, + a _o + f(x),,

   y(s^+∞z){ y(s^+∞) = o₁, y(o)^k - (o_-) y_k-1

2. si applica la tjustify. Laplace ad entrambi ; neambri del DOC

   a_k (λ^k) (Lμ)(x) - Σ^∞ _{j = 0} μ ^k-1 ∫^k-1 _j=1 d,_j μ ^k-i ∫∞ -- Σ^∞ ai_μ y_ij ^∞ p,, + (o_eⁱ) (Lμ (α)x) e+ Da cui si ottiene

   (Lμ)(x) = (Lβ)(x) + P₁ (x) P₂ (x) con P₁, P₂ polinomi in x

   Ora bismu autnformer per alcem y

Se _∃ 3 funzioni G ₁ G ₂ disti che (L G₂) = P¹ ₁ P^∞ ₂ e (L G₂) = (1 / P₂)

si ha L(y) = 1 / P₂ P₂ (d / P₂) - (L G₂)(coeff) - (LG₁) = L (G_r, G₂ x0

Si applica T.F. ad entrambi i membri dell'eq. di Poisson

-∆u = ẑ ⇒ |y|^2∧ũ(y) = ∧f(y)

da cui ẑ(y) = ᶠ(y) / |y|^2

Per ipotesi ogni derivata parziale di f è in L^4 per cui (1+|y|)^2/m ẑ(y)∈L^1

quindi ∫_R^m |y|^2 ẑ(y) ∈ L_(R^m)

Occorre antitrasformare per ricavare ẑ

u(x) ∙ (|y|^4 ẑǎ)(y))(x) = π (2π)^m ∬ |y|^4 (y) t ^ixy

= π(2π)^m ∫_Rm 4π |y|'[2/m]e |y|^-tλ

∫-t/Λ|y|^ie_ixy (2π)^m) (y) dy

Ricordando

e^-tλ|y| (4π^2)^-m/2 γ⍺(y)

∬ (2π)^m∫_0→∞ e^ixy (4π^2)^-m/2 γ⍺(y). ȓ(y)

Convoluzione

∫_0→∞ (2π)^m∫ e |x| t'ᶠ e (4π^2)^-m/2 γ⍺+

= \int_{0}^{\infty} \left( 4\pi^2 \lambda^2 \right)^{-m/2} d\lambda \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^m} e^{ixy} \left( \partial_{\lambda \lambda} * \ell \right) (y) \, dy =

= \int_{0}^{\infty} \left( 4\pi^2 \lambda^2 \right)^{-m/2} d\lambda \cdot \left( \partial_{\lambda \lambda} * f \right) (x) = \text{SVOLGIAMO IL PRODOTTO DI CONVOLUZIONE}

= \int_{0}^{\infty} \left( 4\pi^2 \lambda^2 \right)^{-m/2} d\lambda \cdot \int_{\mathbb{R}^m} \partial_{\lambda} (x-y) \ell (y) dy =

= \int_{\mathbb{R}^m} f(y) dy \int_{0}^{\infty} \left( 4\pi^2 \lambda^2 \right)^{-m/2} \int_{\mathbb{R}^m} e^{-\frac{|x-y|^2}{4\pi^2 \lambda^2}} d\lambda =

= \frac{\pi^{m/2}}{\Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \int_{\mathbb{R}^m} f(y) dy \int_{0}^{\infty} \left( \lambda^2 \right)^{-m/2} e^{-\frac{|x-y|^2}{4\lambda^2}} d\lambda =

= \frac{\pi^{m-1}}{\Gamma \left( \frac{m-2}{2} \right)} \int_{\mathbb{R}^m} f(y) \left( \int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{m-3}}{|x-y|^{m-2}} d\lambda \right) \int_{0}^{\infty} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy =

\mu(x)/\pi \Biggr|

= \pi^{m-2} \int_{0}^{\infty} \left( \lambda^2 \right)^{-m/2} \int_{\mathbb{R}^m} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy =

\Rightarrow \mu(x) = \frac{\pi^{m-2}}{\Gamma \left( \frac{m-2}{2} \right)} \int_{\mathbb{R}^m} f(y) \frac{1}{|x-y|^{m-2}} dy =

= \frac{\pi^{m-2}}{\Gamma \left( \frac{m-2}{2} \right)} \int_{\mathbb{R}^m} f(y) \left( \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{\lambda^2 |x-y|^2}{4}} d\lambda \right) \int_{\mathbb{R}^m} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy =

= \frac{\pi^{m-2}}{\Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} \int_{0}^{\infty} \left( \lambda^2 \right)^{-m/2} d\lambda \int_{\mathbb{R}^m} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy =

= \left| \frac{\Gamma \left( \frac{m-2}{2} \right)}{\pi^{m-2}} \int_{0}^{\infty} \left( \lambda \right)^{-m+2} d\lambda \right| \int_{\mathbb{R}^m} \frac{f(y)}{|x-y|^{m-2}} dy =

= c \cdot \left( f * \frac{1}{|x|^{m-2}} \right)

Equazione del Calore

∂_tu - Δu = ∅

La diffusione è la capacità di un sistema di cedere le sue proprietà.

Modello della conduzione del calore

Ω ⊆ ℝ^m (m=2,3) : regione occupata dal mezzo conduttore

: Ω × [0,+∞) → ℝ flusione di temperatura u(x,t) = temperatura nel punto x al tempo t

ρ : Ω × [0,+∞) densità di massa del mezzo [T/m^m]

ρ(x)dx = m massa della regione infinitesima dx ⊂ Ω

c_U (x,t) colore specifico a volume costante

c_O (x) capacità termica

ΔU⋅c_p(x)dx energia interna = U = ∫ c_U ρ(x) ⋅u(x,t)dx energia interna totale

d/dt ∫_V c_U ρ(x)m(x,t)dx = ∫_V c_U ∂u/∂t (x,t)dx variazione nel tempo dell'energia interna totale V

j : Ω × [0,+∞) → ℝ^m campo vettoriale che descrive la densità di flusso termico

∫ j ds = Calore fluito attraverso ds nell'unità di tempo

- ∫_∂V j(x,t)ds = flusso di calore uscente da ∂V nell'unità di tempo

Legge di Coulomb

V ≡ Ω con ∂V fisso Q_V (t) = ∫ c₀ ρ(x) ⋅u(x,t)dx quantità di Calore

1. d/dt Q_V(t) = ∫_V c_U f(t) ∂²u(x,t)/∂t² dx V ≡ Ω ∀t > 0
2. ∫_∂V j(z,t)ds flusso di Calore

Legge di Fourier

j(x,t) = -k(x) ∇u(x,t) ∀ x ∈ V

cioè il flusso termico è proporzionale all'effetto del gradiente di temperatura.

Primo principio della termodinamica

d/dt (energia interna) = flusso in uscita

∫_V C_v ρ(x) ∂/∂t u(x,t) dx = -∫_∂V γ(x,t) ∂S

∫_V C_v ρ(x) ∂/∂t u(x,t) dx = +∫_∂V [k(x) ∇u(x,t) ∙ ∇(x,t)] dS

∫_V C_v ρ(x) ∂/∂t u(x,t) dx = ∫_V ∇∙ [k(x) ∇u(x,t)] dx

∇ = div∇ = grad

∫_V C_v ρ(x) ∂/∂t u(x,t) - ∇∙[k(x) ∇u(x,t)] = 0

∂/∂t u(x,t) - k/ C_v ρ ∇∙∇u(x,t) = 0

= D costante di diffusione

Quindi equazione del calore/diffusione: trovare una funzione u

T.C. (z, t) ∈ ℝⁿ → ℝ t.c. ∂/∂t u(x,t) - D Δu(x,t) = 0

Problema di Cauchy in ℝⁿ

sia u₀: ℝⁿ → ℝ

{ ∂/∂t u(x,t) - D Δu(x,t) = 0

u(x,0) = u₀(x) x ∈ ℝⁿ, t > 0

∫_ℝⁿ C_v ρ(x) u(x,t) dx = cost

∫_ℝⁿ u(x,t) dx

quindi (x,t) ∈ L¹(ℝⁿ) ∩ L^∞(ℝⁿ) ∀t > 0

Teorema di esistenza ed unicità della soluzione

μ₀ ∈ L¹(ℝⁿ) ∩ L^∞(ℝⁿ) ⟹ ∃! soluzione μ(.,t) ∈ L¹(ℝⁿ) ∩ L^∞(ℝⁿ) ∀t > 0

e μ (x,t) = ∫ K_t(x-y)μ₀(y) y ∈ ℝ^m ovvero:

μ(x,t) = ∫ K(t,x,y)μ₀(y) dy dove K (.,(4πDt)^n/2) ℯ^-|x-y|²/4Dt ⟶ K_t(x) = (4πDt)^-n/2 ℯ^-|x|²/4Dt

si ha μ_t(x) = K_t(x) * μ₀(x) ∀t

Dim.

F{∂/∂t} = ∂/∂t{F{μ(x)}} = F{μ(x,t)} = ∫_ℝⁿ ℯ^-ix·ξ F{μ(x,t)} dx

F{∂/∂t}>∫_ℝⁿ ∂/∂t{μ̂(x,t)} dx = μ̂(y,t)

∴ μ̂(y,t) – μ̂₀ ℯ^-|x|²t

ricordando δ(x-y) = |x-y| [π] δ(t) = π e^-|x-y|²/4Dt

μ̂(x,t) + (4π)>T = μ̂(y,t)μ₀' = μ̂(x_{t 0, x > 0μ(0, x) = μ0(x)   x > 0μ(0, t) = 0   ∀ t > 0   Condizione Di Dirichlet}

Soluzione : (4πDt)^-1/2 ∫dy μ₀ · e^{-|x-y|2⁄4Dt}

DIM.   Estensione di dato iniziale a tutto R con estensione dispari

μ̃₀ = { μ₀(x) x > 0    -μ₀(x) x < 0 ← μ̃₀ è una funzione dispari | μ₀(-x) = -μ₀(x)

Considerando la soluzione μ̃(x, t) dell' eq in R con dato iniziale μ̃₀

∂_tμ̃ - D ∆ μ̃ = 0

μ̃(x, 0) = μ̃₀(x)

la soluzione è data da μ̃(x, t) = (K_t * μ̃₀)(x) con K_t = e^-|x|2⁄4Dt / √4πDt

poiché K_t è pari e μ̃₀ è dispari, x μ̃(x) è dispariquindi: μ̃(-x, t) = -μ̃(x, t)   x ∈ R, t > 0

Per la regolarita della soluzione μ̃(x, t) deve esser continuaVerifica nel punto di discontinuità generato dall'estensione :

μ̃(-0, t) = - μ̃(0, t)

μ̃(0, t) = 0   necessariamente

quindi se estendiamo μ̃(x, t) E ∈ R a [0, ∞ ) essa soddisfa l'eq. iniziale.Verificatelo anche per x > 0:

μ(x, t) = ∫dy k_t(x-y) μ̃(x, y) = ∫dy k_t(x-y) μ̃₀(y)

= ∫₀^∞ dy k_t(x-y) (μ̃₀(y) - μ̃₀(-y)) + ∫₀^∞ dy k_t(x-y) μ̃₀(y) = Cambio di Variabile y -> z dy= -dz= = ∫[ dk_t(x+z) μ̃₀(z) ] + [ dy k_t(x-y) μ₀(y)] = raccogliendo

╯_b μ(x, t) = ∫₀^∞ dy [k_t (x-y) - k_t (x+y)] μ₀(y)

Principio del massimo in R^m

Deto

a) ||u(., t)||_p ≤ ||u₀||_p ∀t >= 0 ∀p ∈ [1,∞[

l'evoluzione nel tempo conserva norme Lp

b) in particolare ||u(., t)||_∞ ≤ ||u₀||_∞

cioè la Tmax all'istante t è sempre minore di Tmax a t=0

c) u₀ > 0 ⟶ u(t, x) > 0

se si parte da un dato iniziale positivo allora in assenza di forzante la distribuzione di temperatura è sempre positiva

Dim.

a) per p=1 ||u(., t)||₁ ≤ ∫ dx |u₀(x)| = ∫ dy |u₀(y)| ∫ dx k_t (x-y)

→ ||u(t, x)||₁ ≤ ||u₀||₁

b) |u(t, x)| ≤ ∫ dy k_t (x-y) |u₀(y)| ∈ (∫ dy k_t (x-y)) ||u₀||_∞

c) u(x, t) = ∫ dy k_t (x-y) u₀(y) poichè k_t > 0 ∀t ∈ R^m allora u > 0