Metodi Analitici - Dimostrazioni per l'orale

MATERIALE PER L'ORALE DI

METODI ANALITICI

• TRASFORMATA DI LAPLACE
• EQUAZIONE DI POISSON
• EQUAZIONE DEL CALORE

Guido Perucchini

www.guidoperucchini.com

Domande per la prova orale del blocco 2

1. Trasformata di Laplace ed applicazioni
2. Equazione di Poisson
3. Equazione del calore

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è un operatore funzionale lineare che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa.

Definizione

Consideriamo una funzione f ∈ L₁_loc(0,+∞) ovvero una funzione integrabile su un intervallo limitato.

• Si definisce ascissa di convergenza di f: λ(f) = inf { λ∈ℝ t.c. ∃ a>0, |f(t)|⋅e^-λt ≤ a_t∈(0,+∞) }
• Ovvero il numero per cui moltiplicata |f(t)| per l’esponenziale decrescente e^-λt deve essere integrabile. Può anche non essere limitata, più si è giocata più l’integrale è probabilità ed ampio punto. Si cerca il valore minimo di λ per il quale l’integrale è finito.
• La trasformata di Laplace della funzione f è:

L_λ = { λ > λ(f), +∞ } → ℝ

L_λ(f) = ∫₀^+∞ |f(t)| e^-stdt = F(λ)      per λ ≫ λ(f)

(l’ascissa di convergenza non appartiene al dominio della trasformata di Laplace)

Equazione di Poisson

L'equazione di Poisson è un'equazione alle derivate parziali ellittica.

Definizione : sia u:Ω → ℝ una funzione definita sullo chiuramo dell'insieme U di ℝⁿ a valori ℝ.

l'equazione di Poisson per u ha la forma Δu=-f dove Δ è l'operatore di Laplace.

Modello elettrostatico : derivazione dell'equazione di Poisson per il potenziale elettrico dalla legge di Gauss

-Ω⊆ℝⁿ è la regione di spazio che contiene carica elettrica distribuita per volume, ovvero è presente un campo elettrico.

ρ : Ω → ℝ è la densità di carica.

E : Ω → ℝⁿ è il campo elettrico.

La legge di Gauss dell'elettrostatica: relazione generale tra il flusso elettrico totale attraverso una superficie e la carica elettrica contenuta nella superficie stessa.

∫ ∂V E̅⃗ . ds = 1/ε ∫ V ρ(c') dv = Q(V)/ε̅

Flusso del campo elettrico attraversa la frontiera di V s.a.t.

Carica totale contenuta in V

Costante dielettrica del mezzo

Per il Teorema della Divergenza:

∫ ∂V E̅⃗ .ds = ∫ V div E̅⃗ = 1/ε ∫ V ρ(c') dv. ∀V ∈ Ω

Si ha quindi che ρ/ε = div E̅⃗ ∀Q.

Il campo elettrico è conservativo ed ammette potenziale, ovvero ∃U: Ω → ℝ tale che E̅⃗ = -∇U per cui ρ/ε; div E̅⃗ = -div ∇U = -ΔU da cui

- ΔU = ρ/ε in Ω Equazione di Poisson per il campo elettrico

Teorema di esistenza ed unicità della soluzione

μ₀ ∈ L¹(ℝᵐ) ∩ L^∞(ℝᵐ) ⟹ ∃! Soluzione μ(t,x) ∈ L¹(ℝᵐ) ∩ L^∞(ℝᵐ) ∀ t > 0

(∗) (μ₀)(x) = 1_V ∘ (K₂ ∗ μ₀) ∀ x ∈ ℝᵐ ovvero :

μ(t,x) = ∫_ℝᵐ K_t(x) μ₀(y) dy dove K = (4πDt)^−m/2 ⋅ e^{−|x−y|²/4Dt} ⟶ K_t(x) = (4πDt)^−m/2 e^−|x|²/4Dt

μ(t,x) = K_t ∗ μ₀ = K_t(x−⋅) ∈ C^∞ ∀ t

DIM. Si applica la trasformata di Fourier all'eq. del Calore

∫ e^−ix⋅y/ε F{ƒ}(x) dx ⟶ ∫ e^−ix⋅y/ε F{μ(x,t)}(x,t) dx = ∫ e^−ix⋅y/ε (x,t) dx

λ^∖(z, t) = e^{−|x|²2^2} e − |ℝᵐ| |t

∀F{μ}(x, t) = ∫ e^−ix⋅y/∘ e  dx = = 

∫ e^μ*(1:i)2} λ(y,t) iθtε

∃! sol. ∫(x,t) − i√yl̑()t'e bisogna ANTITRASFORMARE

RICORDANDO δ(χ − ε) = 1≝1

φ(α') = 1εT e δ ⋅ e^!1/^2µ/α

σ  

T ⋅ 

̂ δ(α∘) = ±ογμ²e 

̂/(x − t, t) = 1|y| e^1/i1², e³ &sup>|1|^∴ ̂y μ₀(x) e⊃∫] dy^μ₀.

Verificare che la condizione iniziale sia verificata in senso L¹, ovvero che

lim ^t⟶0⁺ ‖ μ(.,t) − μ₀, ‖_L¹=0

DIM μ_(x) − K_t ∗ μ₀(x) ∥₁ = ∫ K_t(x)(x_t, μ ) dx − ∫ _Ry ) μ₀(u)(x_t)

=∫ x K_t (y)(x−x)+z(z)^(x)

= ∫ K_t(x) |x_u|(x+z) e(z) c ≸

= ∫ 1^1₂1 d e |x/a|

= ∫^2μe^4Dt∥ |x|^+4Dt 

d e |x/a|

Vπuting

∫ _{not ajuding could know^cap>}

CAMBIO DI ORIGINI

∫ = 2e 

= ≤ μ¹