Metodi Matematici

Teoria

Prima Parte

Ripasso

• σ-algebre, σ-algebre prodotto, σ-Algebra di Borel, boreliani
• Evento, evento elementare
• Spazio misurabile, spazio di misura
• Spazio di probabilità, spazio probabilizzato
• Proprietà delle probabilità
• Definizione eventi certi, eventi impossibile, Ø-cert, Ø-impossibile
• Proprietà combinatorie
• Teorema delle probabilità totali (+ versione con prob. cond. isolate)
• Continuità delle probabilità
• Interpretazione molteplicità
• Teorema di Bayes
• Variabili aleatorie, proprietà delle variabili aleatorie
• Legge di X (v.a.): proprietà
• Distribuzione di X
• Indipendenza di variabili aleatorie
• Funzione semplice
• Valore atteso E[X]
• Legge di Bernoulli
• Teorema di convergenza dominata
• Interpretazione rapporto e misura di probabilità, caso discreto e continuo
• Varianza e proprietà
• Disuguaglianza di Markov
• Disuguaglianza di Chebyshev
• Leggi delle normale standardizzate
• V.C. multivariate, distribuzione congiunta, distribuzioni marginali, legge congiunta normale
• Indipendenza di v.c.
• Proprietà di v.c. indipendenti e sommabili → X+Y è sommabile
• Covarianza cov (X,Y)
• Famiglie di variabili aleatorie indipendenti, successioni di v.a. indip.
• Tipi di convergenze per successioni
• Probabilità
• Media quadratica
• Convergenza in costa

Legge dei Grandi Numeri

• Legge dei grandi numeri, (debole e forte) + dim
• Metodo Montecarlo + dim
• Funzione di ripartizione empirica + dim
• Entropia + dim
• Tempi di attesa, convergenze in legge
• Teorema centrale del limite + dim
• Teorema di Borel-Cantelli
• Approssimazione di Π con metodo Montecarlo

Matrici Stocastiche

• Spazio metrico e proprietà, distanza
• Definizione di convergenza di successione nello spazio metrico
• Definizione di successione di Cauchy
• Prop. posso succauere convergenze dello speto metrico: successione di Cauchy
• Definizione di spazio metrico completo + dos
• Chiuso è mettere un a distante
• Punti e punti nello spazio metrico
• Spazio normato e proprietà, norma
• Esempio normato: spazio metrico + distanza indotta
• Insiemi convessi
• Proprietà di combinazione lineare di vettori in insiemi convessi: +dim
• Innuo e banchoo
• Definizione di punto estremo
• Vettore stocastico
• Matrice stocastica
• Proprietà matrice stocastica
• Spazio (ell)
• Vettore stocastico caso numerabile
• Matrice stocastica caso numerabile
• Proprietà matriche stocastiche caso numerabile
• Proprietà di insiemi punto e numerabile -> J convesso, J compatto per succession +dim
• Grafo orientato
• Grafo orientato pesato
• Grafo
• Peso
• Cammino
• Riemezione accessibilità, communcatte
• Proprietà stato ricorrente, transiente
• Proprietà ricorente e transiente con elementi dello matriche +dim
• Riemezione codicil chiuse e proprietate, classi chiuse minimal
• Proprietà clasica chioso immer e testh, glé elementi solo communcatti
• Proprietà transiere/ricorrente rispetto alle classe chiusé minimal
• Ente interz e propato +dim
• Teorume di Brouwer +dim con pf lineare
• Definizione di contrbuzione
• Teoremo della contrbuzione +dim
• Corolario di contrazone -> J compatto perf +dim
• Teoreme di Perron-Frobenius
• Matrice stocastica irredicibile, regolare
• P indiricibile, + P](j)D P regolare +dim
• Proposizione insolenli convessi e metriche P +dim
• Teorema fatti sugli edemii
• P propanlo
• P indiricible e la mapio smollo potto
• 3 in 1C l’ins P' he tuti segnetti >0 +dim
• Teorina 3 per jJ
• Processi stocastica
• Indriccisti in T
• Tempo discreto
• Tempo continuo
• E stoti ali socati
• Processo stocatico onuperao

Legge delle Probabilità Totali (con P. Condizionata)

Sia (Ω, E, P) uno spazio probabilizzato e sia {Bi: i ∈ I} una partizione di Ω, a.s. aventi disposte vale

P(A) = ∑_{i ∈ I} P(A | Bi) · P(Bi)

Lemma di Bayes

Sia (Ω, E, P) spazio probabilizzato e siano A, B ∈ E f.d. P(A) · P(B) > 0. Allora

P(A, B) = P(B | A) · P(A)

Variabili Aleatorie

(Ω, E, P) spazio probabilizzato e sia X: ω ∈ Ω → X (ω) ∈ ℝ

R: {R | (-∞, +∞], [0, +∞[}, le puntuali X si dice Variabile Aleatoria (v.a.) su (Ω, E, P) se

∀E ∈ R

• {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ ξ} ∈ E ≠ ξ ∈ E

Proprietà

Sono equivalenti le seguenti condizioni:

1. X è ω ale v.a.
2. X ≤ ξ ∈ E ∀ξ ∈ ℝ
3. X ≤ ξ ∈ E ∀ξ ∈ ℚ
4. X ∈ ξ E E ξ ∈ E ∀ξ ∈ ℝ
5. X ≤ ξ ∈ E, ξ ∈ E e (a, b) ∈ E ∀ a ∈ E, b ∈ (ℝ)

Sia X una v.a. su (Ω, E, P), ∀ξ ∈ ℝ

E buò definito da funzione:

Fx: t ∈ ℝ |→ P(X ≤ ξ) ∈ [0, 1]

Che dice Legge di X o Funzione di Ripartizione di X o Funzione di Distribuzione o Cumulati V.A. di X

Proprietà

La legge Fx di una v.a. X godrà delle seguenti proprietà:

1. Fx è una funzione monotona crescescente
2. lim_{t → -∞} Fx(t) = P(X = -∞)
3. lim_{t → +∞} Fx(t) = 1 - P(X = +∞)
4. Fx è continua da destra, cioè: lim_{s → t⁺} Fx(s) = Fx(t) ∀t ∈ ℝ
5. lim_{s → t⁺} Fx(s) = Fx(t) (v→ t)

Fx è continua in t ⇔ P(X = t) = 0

{t ∈ ℝ: P(X = t) > 0} è al più numerabile

Varianza

Sia (Ω, , ℙ) uno spazio probabilizzato e se X: Ω → ℝ t.c. ∫|X| dℙ esiste finito allora Varianza di x è definita:Var[X] = E[(X - E[X])²] = ∫_Ω (X(ω) - E[X])² P(dω)

Proprietà

1. Var[X] ≥ 0
2. Var[X] = 0 sse X è ℙ.q.c. costante
3. Var[aX + b] = a²Var[X] ∀a,b ∈ℝ

La quantità √Var[X] si dice scarto quadratico medio di X e si indica con σ(x).

Disuguaglianza di Markov

Sia (Ω, , ℙ) uno spazio probabilizzato e se X una va da (Ω, , ℙ). Supponiamo che X sia sommabile dove E[X] esiste finito. AlloraP(|X - E[X]| > ε) ≤ _Var[X]/^ε2 ∀ε > 0

Esempio X v.a di Bernoulli

P(x = 1) = p E[X] = p_Var[X] = E[(X - E[X])²] = 0 P(x = 0) + 1 P(x = 1)= 0·p + 1² p (1 - p) = 1² p (1 - p)= p · p(1 - p) = (p^{1 - p} p) · 1² (p - z)²

Esempio X v.a con distribuzione possionato (Normale)

Dati M ∈ R e σ² ≥ 0 dico che x va ha distribuzione possionato col parametro M e σ²(ℝ, , μ) : X, G) se : P_X E d è associato ella densitàf_X(t) = ₁/^√2πσ2 exp _{- (x - M)²}/^{2 σ2} ∀x∈ᵂ

Osservazione: f_X(s) ≥ 0 ∀x∈ℝ ∈ C^∞ ∫_ℝ f_X(x) = stodamente molti decataviNel caso particolare M = 0, σ² = 1 la distribuzione è detta possione standard la densità èf_X(t) = ₁∕^√2π res> _{- x²}∕² ∀x∈ℝ

Se x = x t.c. σ FX = p(x)dx x = ∫ ℝ M · x b ∖_ P_x = x + bx⟩ e^{- (x - M)2}h_t(X) = ₁/^|a₁