Metodi maematici

L'

MATEMATICI

METODI PER INFORMATICA e

-

( )

INSIEMI ¢

E.

: DEFINIZIONE INSIEME ALGEBRA

DI ( )

• STRUTTURE ALGEBRICHE

: N

•

( =)

ESTENSIONE

ASSIOMA DI ( )

• RETICOLI

SEMI v

•

ELÈNA

( 1)

)

?

Infn (

#

RAPPRESENTAZIONE RETICOLI V.

• •

( )

SPECIFICAZIONE PG ) ( )

DI

ASSIOMA DISTRIBUTIVI

RETICOLI str

d'

• •

(a)

VUOTO (

INSIEME TI

A. 1-

avi

BOOLE

DI

ALGEBRA

• • ,

PROPRIETÀ )

( (

SOTTOINSIEME À )

convinzione

E

• •

( Y) )

INTERSEZIONE

UNIONE / ✓

^

LEGGI →

MORGAN

DE

• DI

•

, I )

(

COMPLEMENTO

DIFFERENZA

• , ( b)

ORDINATA a.

COPPIA LOGICA

• (

: OMOMORFISMO )

2.3+4

1.

•

)

?

FRÈ )

( "

I

PROPOSIZIONALE

PRODOTTO CARTESIANO Stone

DI

TEOREMA

• zione •

)

( PCA )

POTENZA ( Indie )

• connettivi LOGICI

• )

(

CORRISPONDENZE >

<

•

RELAZIONI B)

DEFINIZIONE (

RELAZIONE

: 1-

DI ✗

• )

( THE

PROPOSIZIONALE

LOGICA

•

( )

Rea B

' ✗

R R

_

Sottoinsieme

• Captcha) ( )

, SEMANTICA

CONSEGUENZA t

•

)

( F.

R' ARIF SIMM

I

I

RELAZIONI .

,

✗ Asim

• TRANS (

IMPLICAZIONE B)

, A-

. • →

@ )

CHIUSURA

• ( )

TABELLA IMPLICAZIONE Tr

•

( )

EQUIVALENZA ]

[

CLASSE DI a )

• %'È

(

ALGEBRA HEYTING

DI

•

( ) →

RELAZIONE EQUIVALENZA

DI R.si

• ( )

def

PROPOSIZIONALE

LOGICA II

• .

)

RAS

( T veloce

+ )

D'

RELAZIONE ORDINE (

.

• { :}

¥

TEOREMA SEMANTICA

DI DEDUZIONE

IAR T •

) ,

(

PARTIZIONE

• ( )

AIB

SEMANTICA

EQUIVALENZA

• )

( v

COMPLETEZZA FUNZIONALE

•

FUNZIONI 1- "" )

( °

☐

: DEFINIZIONE FUNZIONE

DI solo

• uno

IMMAGINE IMMAGINE

CONTRO )

(

TABLEAU

• Soddimo »

, Tavole .

verità

di

: VALIDA

•

INIEITNA BIIEITNA

suriettiva PRO POSIZIONALI )

IIII

( ?

• PRO ?

, TABLEAU POSIZIONALI

, •

( gof ) " " ce

FUNZIONE COMPOSTA )

(

• non

base e

tableau di

•

( )

D

PARZIALE

FUNZIONE )

(

• PMP

FOGLIE chiuse

•

( )

in

IDENTITÀ

FUNZIONE NÒÉÉAIIÈ intese

/ )

'

• '

. VALIDITA

•

)

"

( f-

FUNZIONE INVERSA ( ) ①

( )

× ne "

• METODO DEI TABLEAU

• ② DIM NEG

- .

WSODDISF

① )

( ASSIOMI .

SISTEMA ②

• REGOLE ① )

( ) 0

NUMERI FREGE II

I.

{} II.

(

0

: • ,

HILBERT

SISTEMA

, DI

• ② M.p.

IO II Deniz

)

succ

( , .

,

Peano

ASSIOMI

NATURALI DI % :&

• #

☒ I. E .

,

I atto

( )

INDUZIONE (

②

① )

:

LOG

• (

/ SILLOGISMO

A R

Pra →

•

Pas PREDICATIVA (

NON PER

INDUZIONE )

• termini

SINTASSI

•

)

( Plm )

COMPLETA

INDUZIONE )

( TÉTI

I'

• LIBERE

VARIABILI LEGATE

E

• .

)

/ U.TL ]

SEMANTICA

•

CARDINALITÀ ( )

NUMERI TRANS FINITI wiwtiiwtw )

( ]

• [

AMBIENTE trov

p ✗

•

? )

Les

"

(

CARDINALITÀ

• )

( =/

CANTOR BI

/

la

DI

TEOREMA )

TABLEAU ( % '

• : TABLEAU PREDICATI V1

•

)

( "

POLVERE Cantor c- ^

↳

DI PREDICATI VI

"

• ( Iei

'

ALBERGHI TRANS FINITI

• ( )

IWI

124

PROVA DI CANTOR

LA >

• ( )

CALCOLABILI

NON

FUNZIONI TURING

•

INSIEMI sono

Gli formati

INSIEMI ELEMENM PROPRIETÀ

da GRUPPO

un DI AD

ASSOCIATI ESSO MEDIANTE

: GENERALI . ELEMENTI

ELENCAZIONE

Attraverso

VIENE SUOI

l'

INSIEME DEI

UN DEFINITO ;

DEFINIZIONE (E)

appartengono

PIÙ

UNO (f)

stabilendo ADESSO

ELEMENTI MENO

se

D, O O .

INSIEME INOLTRE

: APPARTENENZA DEVONO

le AFFERMAZIONI essere OGGETTIVE

DI .

" }

" { { }

}

ASSIOMA {

HANNO }

INSIEMI

DI SE

SOLO

SONO ELEMENTI

GLI

E

SE {

UGUALI -1M

STESSI

DUE =

,

↳ #

ESTENSIONE }

DEGLI

ELEMENTI {

INSIEMI

GLI

TRA

NOZIONE

: {

ORDINE

UNA }

D { {

} }

. ,

}

{

RAPPRESENTAZIONE I importanza

L' ORDINE elencazione

2,5

1 * è privo

di di

= , .

TABULARE : }

{

RAPPRESENTAZIONE I CONDIZIONE

ASSEGNATA

UN'

× Rispetta

:X

= N

CARATTERISTICA : NUMERI

↳

↳ NATURALI

'

' . =

" tare me Z " INTERI

i =

GENERALMENTE specifichiamo che " RAZIONALI

X i

INSIEME

E TRA

UN :

ad = "

# R REALI

UTILIZZATA IN

QUANDO .

L' INSIEME =

QUESTIONE "

(

È INFINITI ELEMENTI COMPLESSI

DA =

.

COSTITUITO

ASSIOMA "

DI APPARTENENZA UN ELEMENTO

PREDICATO PER AD

DI UN

condizione

=D

• ,

,

"

(

SPECIFICAZIONE )

p DETERMINATO INSIEME

: PG

" )

INSIEME UTILIZZEREMO

" UN

PROPRIETÀ

PER INDICARE GODE delle DI

X

• .

,

}

{

↳ Plxi

XEA : "

"

INSIEME VUOTO ELEMENTI L'

DI

PRIVO INSIEME TRIANGOLI

DEI AM

: CON 4

INSIEME es

= . "

" A

SOTTOINSIEME A È

B

BE DI

ANCHE ELEMENTO

INSIEME a DI

: DATO ELEMENTO

UN se OGNI .

, 0

Io

• ① L'

{ SOTTOINSIEME

' SEMPRE VUOTO

COME

AVRA INSIEME ;

A

INSIEME :

OGNI , ② A

L' STESSO

INSIEME

A B

BEA

AEB

SE allora

E =

, ( )

AEA

" B

" "

A B

A

13 INSIEMI

DEGLI

UNIONE DI

✓ : e

A

" "

A B

B %

M AEB

DI

INTERSEZIONE

: APPARTENGONO

ELEMENTI che

zza • AD A

SIA B

CHE A .

" B) È

(

l'

TRA Al APPARTENGONO

IFFERENZA L'

B QUALE

AL

INSIEME

A- GLI

INSIEME o

DUE INSIEMI "

¢

E

: A

ELEMENTI ADA B

Ma

CHE .

, }

{

4

{ # B

EA

AIB X

:X

POSSIAMO AFFERMARE CHE X 1

INFATTI =

: 0

B

A III

PROPRIETÀ ;

=

: .

- I Ii

=

• 0

0 TI

, • = .

COMPLEMENTO " È SOLO ABBIAMO

VERIFICA

PARTICOLARE QUANDO

CHE

DIFFERENZA SI

: DI

TIPO

un "

BEA . :3 " :

÷

:[ ÷

• III.

¥

" "

E

B

TALE a

CHE .

,

"

COPPIA (a)

( b)

A

DATI È

EB PRIMO

LA ELEMENTO

COPPIA

INSIEMI ORDINATA DAL

INSIEME

DUE COSTITUITO

UN

a.

,

ORDINATA "

APPARTENENTE ALL'

: A

ALL' E B

SECONDO

INSIEME APPARTENENTE

DAL INSIEME

, .

% ALL'

ORDINAMENTO

UN

SPECIFICARE PARTICOLARE INSIEME

UTILIZZATA PER DI UN

INTERNO .

"

PRODOTTO È

B)

( L' DALLE

1-

DATI COMPOSTO

INSIEMI Prodotto INSIEME

DUE AEB LORO CARTESIANO

IL ✗

, "

CARTE

SIANO (

: A

b)

COPPIE E B

ORDINATE CHE E SECONDO

IL

E

IL PRIMO ELEMENTO

TALI

a .

, ,

{

↳ } #

be B

A

A B B

( ) B. 1-

v.

b costruzione di

^

c-

a

: :

a.

✗ ✗

= {

{ } }

:b q.be

a

i →

,

L L

A A

B 0 B

=P

SE 0

ALLORA

o

- = ✗ = successiva Fissa

, 2 successive

} B

DI

AXB

PROIEZIONE A

DI }

1,2 .

}

su {

A.

per

sono

- }

1,2

= , ,

{ }

e bi # 1- B Bxa

☐ •

=

B ' =/

b.

ma su ✗

a. c

=

" "

POTENZA ( )

L' PCA

DEI sottoinsiemi )

INSIEME DI A

GENERICO

INDICHIAMO UN INSIEME

PARTI

INSIEME

0

: DELLE , )

%

• (

L' 0

L'

↳ INSIEME VUOTO

INSIEME STESSO

DI ESSO SEMPRE PARTE ;

FANNO -

: .

- "

P

ALLORA (A) 2

A elementi

se Elementi ;

n =

= .

"

RELAZIONE A

È UNA

: PROPRIETÀ

SI EB

INDIVIDUARE INSIEMI

DUE COMUNE

IN

POSSIBILE

VERIFICA TRA

QUANDO ,

, "

TRA B

GLI DI

A ELEMENTI

ELEMENTI E GLI

DI

" " REAXB

A

b) È B

R

(a) RELAZIONE

INSIEME

sotto DATA sottoinsieme con

UN IN

COPPIA DI

LA .

,

R "

R R

-

E " INVERTONO COPPIE RISULTANTI

R LE

: QUANDO SI

PARTENDO

VERIFICA Dalla

SI .

• ,

,

" "

RELAZIONI LE UN

RELAZIONI INSIEME

TRA SE AVERE PROPRIETÀ

E 5

POSSONO

STESSO DIVERSE :

. ,

I [

I ] " "

Ra

RIFLESSIVA

:

✗ PUÒ

QUANDO

a OGNI ELEMENTO IN Relazione stesso

essere se

: con

messo ;

• [ "

atra

] "

ANTI RIFLESSIVA QUANDO PUÒ

NESSUN ELEMENTO

: IN Relazione stesso

essere se

• con

messo ;

"

"

] R

b CON

bla

:[ b

Rb '

SIMMETRICA ALLORA

con ANCHE è

RELAZIONE

Sea IN

e ;

a

a in

• ,

, "

b)

:[ " b

bla

/ora Rb

ANMSIMMETRKA ALLORA

arb Anche

ALLORA

Sea ANCHE a ;

a- =

• ,

,

,

, "

"

]

brc

arb

:[ Rb brc

TRANSITIVA E Rc

are ALLORA

Sea Anche a

• , , , .

" A È

CHIUSURA P

Rispetto

B.

CHIUSURA PROPRIETA

A

DI ' QUANDO

UNA

INSIEME INSIEME

UN

UN

: : "

, B c

AEBEC

P AEB

B 2

DI ;

1 GODE ; 3 .

"

CLASSE DI ( )

LA È

]

CLASSE EQUIVALENZA

DI [

ELEMENTO

DI sottoinsieme

IL

UN FORMATO tutti

DA

a

EQUIVALENZA GLI PROPRIETÀ

: ELEMENTI CON

X DI

LA STESSA a.

"

RELAZIONE )

(

DI RELAZIONE REIXI

UNA

IN INSIEME

TRA UN E SE STESSO TALE E DEITA

RELAZIONE

,

[ ]

RELAZIONE ara

EQUIVALENZA RIFLESSIVA

EQUIVALENZA

DI

: QUANDO I

: ]

abb

[ bla

SIMMETRICA

2 , ]

TRANSITIVA

3 [ are

brc

arb ,

,

"

RELAZIONE )

(

RELAZIONE REIXI

UNA

IN INSIEME

TRA UN E SE STESSO TALE E DEITA

RELAZIONE

,

D' ORDINE [ ]

RELAZIONE ara

RIFLESSIVA

D' ORDINE

: PARZIALE QUANDO I

: ]

b

[ bha

2 ANM arb

SIMMETRICA a

PARZIALE -

.

, , ]

TRANSITIVA

3 [ are

brc

arb ,

,

"

RELAZIONE )

(

RELAZIONE REIXI

UNA

IN INSIEME

TRA UN E SE STESSO TALE E DEITA

RELAZIONE

,

D' ORDINE RELAZIONE aka]

: [

D' STRETTO

ORDINE QUANDO ANMRIFLESSIVA

: 1 ]

TRANSITIVA [ are

brc

2 arb

O

STREIT ,

,

"

RELAZIONE )

(

RELAZIONE

UNA REIXI

IN INSIEME

TRA UN E SE STESSO TALE E DEITA

RELAZIONE

,

DI RELAZIONE [ ]

ara

RIFLESSIVA

DI PRE ORDINE QUANDO I

:

- ]

TRANSITIVA [ are

brc

2 arb

PRE ORDINE : ,

,

- "

PARTIZIONE " '

SI i

QUANDO

VERIFICA -

INSIEME

IN UN ELEMENTO

OGNI APPARTIENE

: SOTTOINSIEMI

A -

GRUPPO DI

UN .

.

,

, .

"

FUNZIONI )

(

( )

D DOMINIO

INSIEME

RELAZIONI ELEMENTI

: CHE

TRA TALI

DOMINIO

e

UN

DI c •

sono GLI ,

UNOEDUNSOLO-EEMENTODIC.it

ti D CORRISPONDA

ELEMENTO DI ,

f C

:D

↳ → CORRISPONDE UNOOPIÙ

AD

(c)

L' ELEMENTI DEL

CHE

ELEMENTO CODOMINIO

IMMAGINE ' SOLO DEL

• IL

E

(d)

DOMINIO ; ( )

È ELEMENTO

DOMINIO

ELEMENTI DEVE

D

DEL

IMMAGINE TUTTI

L' AVERE

DI OGNI

;

GLI

INSIEME

CONTRO

LA UNA

• RELAZIONE

"

" più

" .

" uno o

UNO SOLO

UNO Ed .

• / ✓

×

b b

→

, IMMAGINE

× - . ma

\ Xz →

b

. , ↳ contro immagine

"

DELLE

INSIEME (

È )

ELEMENTI AVENTI

l' ALMENO

CODOMINIO NEL

CONTRO

UNA IMMAGINE

INSIEME DEL c

DEGLI ,

"

IMMAGINI DOMINIO

: . DELLE

a) INSIEME ELEMENTI RELAZIONE

DEL IN

CODOMLNIO

Q C

II. =

. •

,

b IMMAGINI

2 . CON DOMINIO

DEL

ELEMENTI

GLI

c .

"

IEITIVA

IN DEL

INIEITNA OGNI ELEMENTI

PER

SE COPPIA

DICE

FUNZIONE corrisponde

DOMINIO

SI DI una coppia

: UNA ,

"

DI CODOMINIO

DEL

ELEMENTI .

} arena

:#

Ia

-

• •

= . .

•

•

"

RI

SU IVA

E IT : ALMENO CONTROIMMAGINE

UNA

UNA corrisposta

SURIEITIVA

FUNZIONE Ha

DEL CODOMINIO

DICE SE OGNI

SI ELEMENTO

,

"

NEL DOMINIO . } "

= e ,

.

•

•

" Il

BIIEITIVA SURIETNA

' Che

INIEITNA

BIIEITIVA

FUNZIONE DICE

SI se

: UNA sia

e .

,

} V' )

(

CODOMINIO CORRISPONDE

• ELEMENTO DEL

- c

• •

.

• _ )

CONTRO

UNA IMMAGINE (

UNA

E SOLA DEL D

DOMINIO

.

-

• .

ll

FUNZIONE A

)

( FA CORRISPONDERE

C-

QUANDO essa

Elemento

AD OGNI

VERIFICA

gof si

UNA a

COMPOSTA

FUNZIONE

COMPOSTA ↳

"

f

( )

)

L' (

: C

ELEMENTO opera

a e

g indica ultima

FUNZIONE

prima per

si LA che .

.

ALBI

( C)

908 ) ( BEB

aea ce

c

. , ,

"

FUNZIONE ( D) detto

SOTTOINSIEME

DEFINITA

QUEST' UN

QUANDO DA

VIENE

PARZIALE

UNA ULTIMA

FUNZIONE VERIFICA

SI ,

"

PARZIALE DOMINIO DEFINIZIONE

: DI .

(D) " AXA aea

FUNZIONE '

RELAZIONE

IDENTITÀ QUANDO con

FUNZIONE UNA cioe

ABBIAMO

UNA SI VERIFICA :

,

,

{

IDENTITÀ }

A

la FUNZIONE

È

)

( BIIETNA

C-

: ; essa

a UNA

a. a :

= .

in

( "

" f-

f

FUNZIONE UNA

SI INVERTIBILE (

DICE FUNZIONE

FUNZIONE )

GENERICA IN

UNA ( QUANDO

) :

x

x ,

INVERSA : È

1 BIIETNA : '

f-

propria RELAZIONE

( ANCHE

) RISPETTA LA

)

( FUNZIONE

2 INVERSA

' la DEFINIZIONE DI

f- ×

( )

× .

,

NUMERI FREGE PIÙ

PER NUMERI

INTRODURRE astratta

UNA UNA

VISIONE NATURALI ESPONE

DEI DEFINIZIONE

NUOVA

NUOVA

:

• concetto

NATURALI DI NUMERO

DEL

: : { }

[ ( )

0 STESSO

DIVERSO

NUMERO ZERO ELEMENTO ;

DA SE

→ : }

{

{ }

(1) ZERO

SINGOLO 1