Meccanica Razionale - Geometria delle Masse - Appunti

Descrizione dell'eq dell'ellissoide

Scrivere l'equazione dell'ellissoide in forma canonica riferita al punto Q. Tutti i sistemi di riferimento centrati nel centro del disco sono centrati e principali. In tal modo, posizionando parallelo a un sistema di riferimento principale e centrato, mi centro uno proprio in Q, evitando momenti centrifughi.

I_xo = ¹/₄ m R² I_yo = ¹/₄ m R² m = m_p - m_v → ⌀R² m_p = ⌀(3R)² - 9⌀j m_v = ⌀R²

Sostituisco j: m_p = ^9⌀R2/_8πR² m = ⁹/₈ m m_v = ^⌀/_8πR² m = -^m/₈

I_xpo = ¹/₄ ⁹/₈ m R² I_yo = ¹/₄ m R² → I_xo = ⁸⁰/₄₈ m R² = ⁵/₂ m R² = I_yo

Nel piano: I_z = I_x + I_y → I_zp = ²⁸/₂ m R²

λ² = I_x x + I_y y² + I_z⁴

λ² = ²³/₂ m R² x + ⌀² - ⌀ y² + ²⁸/₂ m R² (cancellato perché λ è costante)

λ² = ²⁵ x + ⁵ y + ²⁸

Equazione dell'ellissoide degenere

Scrivere l'equazione dell'ellissoide in forma canonica riferita al punto Q. Tutti i sistemi di riferimento centrati nel centro del disco sono centrali e principali. In tal modo, posizionando parallelo a un sistema di riferimento principale e centrale, ne salto uno proprio in O, evitando momenti centrifughi.

I_xo = ¹/₄ mR² I_yo = ¹/₄ mR² m = m_P + m_V → 8πpR² → p = m / 8πR²

m_P = πp(3R)² - 9Rπp m_V = πpR²

Sostituisco p: m_P = ^{9πR2 m}/_8πR² = ⁹/₈ m m_V = ^{πR2 m}/_8πR² = ^m/₈

I_xpo = ¹/₄ ⁹/₈ mR² Iyxo = ¹/₄ ^mR2/₈ → I_xo = ⁸⁰/₄₈ mR² = ⁵/₂ mR² = Iyo

Ix = ⁵/₂ mR² + ¹/₂ mR² = ²³/₂ mR² Iyp = Iye = ⁵/₂ mR²

Nel piano: p Iz = Ix + Iy → Izp = ²⁸/₂ mR²

λ² = Ix² + Iy² + Iz²

λ² = ²³/₂ mx² + ⁵/₂ my² + 28 mR² (cancello perché λ è costante)

λ² = 25x² + 5y + 28z

Calcolo degli ellissoidi degeneri

_{Pi, mi} ho un insieme di punti P_i, m_i orientati tutti sulla retta s.

Ix = ^m∑_i m_i d_i²

Di semp = di   ->   Ix = ^m∑_i m_i Di remp²

Momento di inerzia polare:   Ip = ^m∑_i m_i d_i²

Allora   Ix = Ip remp²

Prendo un punto Q su x: Q-O | = remp h |Q-O| = ^h⁄_remp |Q-O| = ^λ⁄_√Ix  =  ^h⁄_{remp √Ip}  =  ^h⁄_√Tp

h - ^λ⁄_√Tp

Una volta definita λ, calcolato Tp che non dipende esclusivamente dalla posizione di O, ottengo sempre un valore h indipendentemente da ψ

Ogni volta che abbiamo le masse allineate e l'ellissoide è degenere Ix = Ix α² + Iy β²

Posso scrivere che: α = cosφ ^a⁄_d β = sinψ ^b⁄_d

Allora: Ix = ¹⁄₁₂ mb ^a2⁄_d² + ^ma2⁄_{d² 6} + ^{ma2 b2}⁄_{d² 6} - 1 m h² h² - 1 mh²

Ix = ¹⁄₆ mh²