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Meccanica Razionale
Libro di testo: V. Franceschini - C. Verona Meccanica Razionale per Ingegneria Pitagora Editore
La meccanica razionale è una fisica matematica che non si basa su esperimenti empirici ma è totalmente deduttiva a partire da assiomi e dati come la fisica della fisica generale.
Concetti Preliminari
Osservatore: sistema di riferimento ortogonale. Perciò rispetto al punto è possibile prendere le misure e manometrie di ciò per prendere il tempo.
Grandezze scalari: grandezze che dipendono dai numeri.
Grandezze vettoriali: caratteristiche dei vettori.
- Intensità o modulo
- Direzione
- Verso
Notazione vettore: \( \vec{u} = \vec{b} - \vec{a} \) Si chiama verso il vettore che ha modulo unitaria; se è nullo è O, ha vettore nullo.
Vettori equipollenti: vettori che hanno stessa direzione e verso e modulo, paralleli.
Vettori liberi (non sono definiti all’interno di un sist. Riferimento) infiniti vettori equipollenti.
Vettore applicato: vettore che viene definito rispetto ad un sistema di riferimento. Esempio: le forze è un vettore applicato.
Supponiamo di avere \( m \in \mathbb{R} \) \( \vec{a} \), il prodotto fra i due è un vettore. Ma se direzione è opposta verso coincide ma se \( m \lt 0 \) diventa se cambia modulo: \( |m| = |m| |\vec{u}| \).
Se \( n = -1 \), allora \( a = -\vec{a} \) vettore opposto.
Siano \( \vec{a} \ne \vec{0} \) \( b = m \vec{a} \)
Somma fra vettori: \( \vec{a}_1, \vec{a}_2 \), allora \( \vec{a}_1 + \vec{a}_2 \). \( \vec{a}_2 = (\vec{a}_1 - \vec{a}_2) \), \( \vec{a}_2 = \vec{a}_2 - \vec{a} \).
Le somme e la diagonale del parallelogramma formato da \( \vec{a}_1 \) e \( \vec{a}_2 \) si può ampliare per \(\sum\) a m vettori.
Vale la proprietà commutativa
q1 + q2 = q2 + q1
Vale la proprietà associativa
(q1 + q2) + q3 = q1 + (q2 + q3)
Vale la distributiva per uno scalare
m(q1 + q2) = mq1 + mq2
Dato un vettore R−A è sempre possibile scomporlo come somma di
R−A = (C−A) + (B−C), dove C è un punto qualsiasi dello spazio
La differenza è definita secondo la somma.
q1−q2 = q1 + (−q2)
Teorema: è sempre possibile scomporre un qualunque vettore O nella
somma di due vettori aventi direzioni r1 e r2 distinte e complanari
con il vettore O
O = R−A = (B−C) + (B+C−A) = q1 + q2
Teorema: è sempre possibile scomporre un qualunque vettore O nella
somma di tre vettori aventi direzioni r1, r2, r3 distinte e non
complanari.
q2 = q1 + q2
Prodotto tra vettori
Prodotto scalare
dati due vettori l’operatore restituisce uno scalare.
q1·q2 = q1q2 cos Θ
q1·b = 0 se a b ≠ 0 oppure se
a⊥b
Vale la proprietà commutativa q1·q2 = q2·q1
La proprietà associativa non è definita
Vale la proprietà distributiva
a·(b+c) = (a+b)·c
a·a = a2
(a+b)2 = a2+b2+2·a·b
(a·b)2 = a2b2 - 2 a·b
Se p(P) = cost il corpo si dice omogeneo e la massa si calcola
M = pV
Supponiamo di avere un sistema discreto di punti (Pi, mi), i = 1, 2, ... , m
si definisce baricentro il punto
(G - O) = Σi mi (Pi - O) / Σi mi,
dove O è un punto qualunque dello spazio.
Se abbiamo un sistema continuo di punti materiali, abbiamo che il BARICENTRO
è (G - O) = ∫E ρ(P) (P - O) dℓ / ∫E ρ(P) dℓ , ∀ P ∈ E
Il baricentro G ha coordinate (xG, yG, zG), di cui possiamo trovare l’equazione del
baricentro lungo ogni asse del sistema di riferimento scelto.
Se un sistema discreto o continuo di punti è disposto lungo una retta, piano o superficie
allora anche il baricentro deve appartenere alla retta, piano o all’interno della
superficie stessa.
G ∈ r G ∈ π
Teorema
Noti i momenti di deviazione AG, BG, CG di un sistema materiale di punti Ps, Mi, ms rispetto al tema di riferimento baricentrica G x'y'z', i momenti di deviazione A', B', C' rispetto al tema di riferimento Oxyz parallelo a quello baricentrica, valgono:
A' = AG + MxGyG
B' = BG + MxGzG
C' = CG + MyGzG
dove M è la massa totale del sistema di punti e dove xG, yG, zG sono le coordinate del baricentro misurate localmente rispetto XYZ.
Dimostrazione
Ps= (xs, ys, zs) in Oxyz
Ps= (XG, YG, ZG) in Gx'y'z'
Per def: A' =
∑s=1M ms xsys = ∑s=1M ms (x' + xG)(y' + yG) =
∑s=1M ms[ xsys + xsyG + xGys + xGyG] =
= ∑s=1M ms xsys + (∑s=1M ms xs)yG + (∑s=1M ms ys)xG + ∑s=1M ms xsys + xGyG M
A' = AG + M ( xG + yG ) + MxGyG
"Ao poiche xG è origine di Oxy'e e pure y" è origine di Oxy'2, quindi AO' = AO + MxGyG Le altre due formule hanno lo stesso dimostrazione.
Moto Circolare (P, m)
Punto materiale che ha come traiettoria una circonferenza di centro C e raggio R.
Sceglo una terna c, x, y, z con asse z che viene verso di noi e x, y che sono sul foglio.
Termo intrinseca
bz = k (asse z) verso dell'asse z
v = ṡ t vettore telato ā = s̈ t + (ṡ2 / ρc) m vettore accelerazione
s = RΘ ṡ = RΘ̇ s̈ = RΘ̈ ρc = R
quindi: v = ṡ t = RΘ̇ t
Countershift Moto Circolare in Termo Intrinseca
ā = s̈t + ṡ2 / ρc m = RΘ̈ t + RΘ̇2m
Θ̇ => velocità angolare scalare di P
t = m x k
C - P = RM
quindi
v = RΘ̇ t = RΘ̇ (m x k) = -RΘ̇ (k x m) = Θ̇k x (-RM)
chiamo Θ̇ k = W velocità angolare di P lungo la circonferenza
chiamo -RM = (P - C) => v = W x (P - C) velocità tangenziale del punto P
Se suppongo che ṡ = cost = vo, ho un Moto Circolare Uniforme
δ(t) = vot + so => Θ(t) = s(t) / R = (vo / R) t + so / R = ωo t + Θo
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