Appunti di Meccanica razionale

(P)

a = a + Λ O P + Ω Λ (Ω Λ O P)

- Accelerazione di trascinamento t O

p′ p′

a = 2 V

(V )

- Accelerazione di Coriolis (o completamento) C

Teorema di Rivals: detta ω la velocità angolare di un corpo rigido, le accelerazioni di una qualunque coppia

a = a + ω̇ Λ QP + ω Λ (ω Λ P)

di punti del corpo sono legate dalla relazione t Q

Il teorema di Rivals permette di dimostrare che in molti moti rigidi esiste un punto, detto centro delle

accelerazioni: in ogni istante di ogni moto rigido piano esiste un punto C la cui accelerazione è nulla. Tale

≠ 0 ̇ ≠ 0,

centro delle accelerazioni risulta unico ogni volta che ω e/o e in tal caso la sua posizione

rispetto a un qualunque punto Q è data da ω̇ Λ a + ω Λ (ω Λ a )

Q Q

= ̇ 2 4

+

CAPITOLO 4: Geometria delle masse

Vettori applicati: un vettore applicato è una coppia (P,v) composta da un punto P ϵ E, detto punto di

applicazione, e un vettore v ϵ V, che si dice essere applicato a P.

Dato un vettore applicato (P,v) si definisce essere una retta di applicazione l’insieme di punti

{(λ) = P + λv, λ ϵ R} ovvero la retta per P parallela a v.

(

(λ) = + ) =

Scelto un qualunque polo Q si ha quindi che il momento di un

vettore applicato rispetto a un polo qualunque non cambia se si applica lo stesso vettore in un altro punto

della sua retta di applicazione.

Vettori applicati concorrenti: un sistema di vettori applicati concorrenti in Q avrà momento risultante nullo

= 0),

rispetto a Q (M quindi il sistema ha momento nullo anche rispetto a tutti e soli i poli appartenenti

Q

alla retta passante per Q e parallela a R. {(P ),

L = , v i ϵ I} I

Sistema di vettori: è un insieme di vettori applicati dove è un insieme di indici che può

i i

essere o non essere finito.

• Equivalenza: due sistemi di vettori applicati L e L’ si dicono equivalenti se hanno uguale

R = R′ M = M ′

risultante e uguale momento risultante rispetto a un qualunque polo Q: Q Q

• I = R ∙ M

Invariante scalare: è definito come Q

I = 0

- Invariante scalare nullo: 0

▪ Sistemi piani: l’invariante scalare si annulla perché il risultante appartiene al

piano del sistema, mentre il momento risultante è ortogonale a tale piano

▪ Vettori paralleli: consideriamo un sistema tale che tutti i vettori siano

{(P

L = , v k), i ϵ I}

paralleli a un versore assegnato k: i i

∑

(Σ )k

R = v M = QP Λ v k = (∑ v QP ) Λ k M ⊥ k

si avrà e

i i Q i i i i i i Q

• R , M

Riduzione: sia L un sistema di vettori applicati di vettori caratteristici e sia

o 0 Q0

I = R ∙ M l’invariante scalare di L . Il sistema ricade in una delle seguenti tipologie:

o

0 0 Q0

R = 0 M = 0

- Se il sistema si dice equilibrato ed è equivalente al sistema vuoto,

0 Q0

ovvero composto da zero vettori

R ≠ 0 I = 0

- Se il sistema è equivalente del sistema composto dal solo vettore

0 0

R , applicato in un qualunque punto della retta di applicazione del risultante,

0 R Λ M

0 Q0

QP = + λR λϵR

ovvero la retta (parallela al risultante stesso) per ogni

0

2

R

0

R = 0 M ≠ 0

- Se il sistema è equivalente a una coppia

0 Q0

R ≠ 0 I ≠ 0

- Se il sistema è equivalente a un sistema formato dal risultante più

0 0

una coppia. Se il risultante viene applicato in uno dei punti della retta, la coppia

necessaria per l’equivalenza ha momento risultante di modulo minimo

Momento: indichiamo con momento del vettore applicato (P,v) rispetto al polo Q il vettore QP Λ v

Il momento gode delle seguenti proprietà:

- Si annulla se e solo se il polo Q coincide con il punto di applicazione P in quanto ha braccio nullo

rispetto alla retta di applicazione, il vettore v è nullo, o la congiungente QP è parallela a v

- Ha direzione ortogonale al piano contenente QP e v

- Ha modulo pari al modulo del vettore moltiplicato la componente di QP ortogonale a v, detta

braccio. Detto α l’angolo che formato QP con v, il braccio è dato da 2

(QP ∙ v)

2

2 2 2 2

b = |QP| = |QP| sin α = |QP| −

⊥ 2

v

Le forze concorrenti in un punto non compaiono nell’equazione del momento fatta rispetto a quel punto.

{(P ),

L = , v i ϵ I}

Vettori caratteristici: i vettori caratteristici di un sistema di vettori applicati sono il

i i

risultante R e il momento risultante rispetto a un polo

∑ ∑

R = v M = QP Λ v

iϵI i Q iϵI i i

Il momento risultante dipende dal polo rispetto al quale lo si calcola.

Trasporto del momento: è possibile collegare i momenti ottenuti rispetto a poli diversi. I momenti risultanti

di un sistema di vettori applicati rispetto a due poli Q,R sono legati dalla relazione

M = M + RQ Λ R = risultante del sistema

R Q {(P,

C = v), (Q, −v)}

Coppia: si dice coppia un sistema composto da due vettori applicati uguali e opposti

Il momento risultante di una coppia non dipende dal polo rispetto a cui la si calcola, in quanto

(C) (−v) (OP

M = OP Λ v + OQ Λ = − OQ) Λ v = QP Λ v per ogni O ϵ E

O

Il modulo del momento risultante della coppia è quindi pari al prodotto del modulo del vettore che la

compone moltiplicato per il braccio di uno qualunque dei due vettori applicati rispetto all’altro punto di

(C) ()

||

=

|M |

applicazione. Chiamata braccio della coppia O {(P ),

M = , m i ϵ I}

Sistema materiale: è un insieme di punti dotati di massa i i

• () =

Omogeneo: quando la densità associata ad esso è uniforme . In tal caso la massa

di ogni sotto parte si ottiene moltiplicando per la sua lunghezza/area/volume.

• Composto: consideriamo un sistema materiale che risulta l’unione disgiunta di due sistemi,

di masse rispettivamente pari a e e centri di massa posizionati in e , allora in

1 2 1 2

+

1 1 2 2

=

centro di massa del sistema composto di trova nel punto +

1 2

Se un sistema materiale possiede un piano di simmetria, il suo centro di massa appartiene ad esso.

Centro di massa: il centro di massa di un sistema materiale è il punto C definito

∑

=

Q è un punto arbitrario e è la massa totale del sistema

: → ,

Qualora il sistema considerato sia rappresentabile da un continuo di densità allora diventa

()

∫

= = ()

con QϵE ∫

La posizione del centro di massa risulta indipendente dal particolare valore di .

∑

=

Per trovare la coordinata Xc del centro di massa si può utilizzare

Il cento di massa coincide con il centro di ogni sistema di vettori paralleli la cui intensità sia proporzionale

alla massa dei rispettivi punti di applicazione. Esso coincide con il baricentro, ovvero il centro delle forse

peso, qualora queste ultime si considerino di direzione costante e intensità proporzionale alla massa

= − g = accelerazione di gravità

,

Il centro di massa si trova nell’inviluppo convesso dei punti del sistema.

• Lamina triangolare omogenea: si trova nel punto di incontro delle mediane, e le sue coordinate

sono la media aritmetica delle coordinate dei vertici

Simmetria materiale: un piano π si dice di simmetria materiale per un sistema materiale quando per ogni

∉ =

punto il sistema contiene un punto simmetrico di rispetto a π, tale che . Qualora il

sistema sia continuo, rappresentato da una densità ρ definita un una regione B, il piano π si dice di

simmetria materiale se, rispetto a π, B è simmetrico e ρ è pari. M

Momento d’inerzia: si definisce momento d’inerzia del sistema materiale (discreto o continuo) rispetto

all’asse u la quantità non negativa

2 2

∑ ( (, (,

= , ) = () ) )= distanza di P dall’asse u

∫

La distanza di un punto da un asse u si può calcolare scegliendo un qualunque punto Q ϵ u e un versore u

)=|QP

parallelo all’asse: d(, Λ u|

Due sistemi rigidi aventi pari massa e pari momenti di inerzia effettuano lo stesso movimento se sottoposti a

sollecitazioni equivalenti.

• Momento d’inerzia di assi concorrenti: scelto un qualunque sistema di riferimento con origine in Q

I

e assi [i,j,k], definiamo la matrice di inerzia rispetto al polo Q, di elementi:

Q

I I I

x xy xz

I I I

( )

xy y yz

I I I

xz yz z

Dove gli elementi diagonali rappresentano i momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati, mentre:

∑ ∑ ∑

I = − I = − I = −

xy xz yz

sono i prodotti di inerzia, costruiti attraverso le coordinate di tutti i punti rispetto all’origine.

, = + +

Scelto un qualunque asse parallelo al versore e passante per Q, il

momento d’inerzia del sistema materiale rispetto a risulta:

2 2 2

I = ∙ ) = I + I + I + 2I u u + 2I u u + 2I u u

(I

Qu Q x y z xy x y xz x z yz y z

• I

In un sistema piano: nel piano coordinato z=0, il momento d’inerzia rispetto all’asse ortogonale al

z

piano passante per Q è pari alla somma dei due momenti di inerzia rispetto agli assi contenuti nel

I = I + I

piano del sistema z x = : = ∙ = 0}.

{

Consideriamo un sistema materiale contenuto nel piano coordinato 0

I I

Ogni sistema materiale contenuto in avrà nulli i prodotti di inerzia e . Utilizzando la

0 xz yz

2 2 2 2 2

+ + = 1 I = I (1 − ) + 2I u u + I (1 − )

relazione otteniamo u x xy x y y

M,