Meccanica razionale - Geometria delle masse

Sistemi di forze e loro riduzione

sabato 23 novembre 2019 15:39

Definizione

Le forze sono esempi di vettori applicati, cioè vettori dei quali bisogna conoscere non solo il vettore (cioè direzione, verso e modulo), ma anche il loro punto di applicazione per conoscere il loro effetto.

Un sistema di vettori applicati è un insieme del tipo:

S = { (F₁, P₁), (F₂, P₂), ..., (F_n, P_n) }

Sistemi di forze e loro riduzione

sabato 23 novembre 2019 15:39

Definizione

Le forze sono esempi di vettori applicati, cioè vettori di cui bisogna conoscere non solo il vettore (cioè direzione, verso e modulo), ma anche il loro punto di applicazione per conoscere il loro effetto.

vettore applicato = ( \(\vec{F}\), \(\vec{P}\) )

Un sistema di vettori applicati è un insieme del tipo:

S = {(\(\vec{F}_1\), \(\vec{P}_1\)), (\(\vec{F}_2\), \(\vec{P}_2\)), ..., (\(\vec{F}_n\), \(\vec{P}_n\))}

Definizione

Si dice momento di una forza (F, P) rispetto ad un polo O:

M_o = OP ^ F

Quanto vale M_o?

• Direzione - ∥ î
• Verso - se α è antiorario il momento è uscente e viceversa
• Modulo: |OP ^ F| = |F| |OP| sin α = |F| |braccio|

Osservazione:

Il momento dipende dal polo preso in considerazione: per esempio rispetto ad O è uscente, mentre rispetto a O' è entrante.Si nota che la retta di applicazione divide il piano in due parti: per tutti i poli che stanno dalla stessa parte il momento avrà lo stesso verso; se, invece, sono da parti opposte avranno versi opposti. Per i poli che stanno sulla retta di applicazione il momento è nullo.

Vettori caratteristici e formula di trasporto del momento

Definizione

Si dicono vettori caratteristici di un sistema di forze i seguenti due vettori:

• vettore risultante _R = ∑_Fi
• vettore momento risultante rispetto ad un polo _O = ∑ _{Opi ∧ Fi}

Due sistemi di forze _S e _S' si dicono equivalenti, se hanno gli stessi vettori caratteristici.

formula di trasporto del momento risultante

Come sono legati i momenti risultanti calcolati rispetto a due poli diversi?

∑̅_Om ∧ F_i = ∑(OO' + Op_i) ∧ F_i = ∑ OO' ∧ F_i + ∑ Op_i ∧ F_i = ∑ OO' ∧ F_i + ∑ _{Opi ∧ Fi}

Quindi:

_O = _O' + OO' ∧ _R

Riduzione di un sistema di forze

Dato un sistema di forze S con vettori caratteristici R̅ e M̅_O, voglio trovare un altro sistema S' con il minor numero di forze possibile che sia equivalente a S.

S

• R̅
• M̅_O

S'

• R̅' = R̅
• M̅_O' = M̅_O

1. Se R̅ = 0̅ e M̅_O = 0̅, S' = ∅

2. Sia R̅ ≠ 0̅

   • Caso particolare: forze parallele, cioè F̅_i = F_iĵ

   R̅ = ∑ F_iĵ = F_TOTĵ

   Esiste un sistema S' = { (P*, F̅*) } equivalente a S'?

   R̅' = F̅* = R̅ = F̅ = F_TOTĵ

   Quindi S' è equivalente a S se:

   • F̅* = R̅
   • O̅P* = R̅ ∧ M̅_O / |R̅|
3. R̅ = 0̅ e M̅_O ≠ 0̅

   S' = { (P, F̅₁), (Q, F̅₂) }

   R̅ = F̅₁ + F̅₂ = 0̅

   quindi:

   F̅₂ = -F̅₁

_ℱ2=−_ℱ2

Definizione

Si dice COPPIA DI FORZE un sistema di due forze opposte.

Proprietà

È il più semplice sistema con _ℝ=0

Ricordando

_ℝ0=_ℝ0+_ℝ̂

Se _ℝ=0,

• _ℳ0=_ℳ0, cioè il momento non dipende dal polo rispetto al quale viene calcolato
• _ℳ0=_ℚℙ∧_ℱ+_ℚℚ∧_ℱ=_ℚℙ∧_ℱ≠±|_ℱ|.braccio_K̂ =−|_ℱ|.braccio_K̂

distanza tra le rette di applicazione delle due forze che sono parallele

Trovare una coppia di momento dato _ℰℳ

→ci sono infinite coppie.

ORARIE se _ℳ0<0

ANTIORARIE se _ℳ0>0

Centro di massa

giovedì 21 novembre 2019 09:25

Forze peso

∀ P_i, F_i = -m_igj^{^}

F_tot = m_totgj^{^}

Riduzione:

F* = F_tot

OP* = Σm_ig OP_i^~ / m_rg

CENTRO DI MASSA → punto dove si può applicare F_tot avendo un sistema equivalente.

x_G = Σm_ix_i / m_tot

OG = Σm_iOP_i / m_tot

y_G = Σm_iy_i / m_tot

1. SIMMETRIA MATERIALE

Un asse si dice di simmetria per un sistema se:

∀ P ∈ , ∃ P* ∈ * : dist (P,) = dist (P*,) ∧ PP* ⊥

Se m₂ = m_* la simmetria si dice MATERIALE.

Proprietà

Se é asse di simmetria materiale, G ∈

Se μ è asse di simmetria materiale, G ∈ μ

2) Proprietà di composizione

S = S₁ ∪ S₂ con m₁, m₂, G₂ e G₂ noti

OG̅ = ^{m₂ OG̅₂ + m₂ OG̅₂} ⁄ _{m1 + m2}

Esempi:

1

R = ¹ ⁄ ₄ ℓ y_c = ¹ ⁄ ₄ ℓ

x̅_G = 0 per simmetria materiale

m₃ = m y₄ = 0

m₂ = -^{m π} ⁄ ₁₆ ℓ² = -m^π ⁄ ₁₆

y₂ = -¹ ⁄ ₄ ℓ

y̅_c = -^{m π ⁄ ₁₆ ℓ + π ⁄ ₆₄ ℓ} ⁄ _{m(1 - ^π ⁄ 16)} = -^π ⁄ ₁₆

2

m₁ < m₂

Senza calcoli si riesce a prevedere in che zona si troverà il centro di massa.