Meccanica razionale

Definizione

Un sistema di punti si dice corpo rigido se in ogni suo moto la distanza tra ogni sua coppia di punti rimane costante.

d(A,B) = cost. nel tempo ∀ A,B

Osservazioni:

• Per definizione servono almeno due punti per comporre un corpo rigido, quindi un corpo rigido non può essere considerato puntiforme;
• Se anche un solo punto del corpo si avvicina o si allontana rispetto ad un altro punto il corpo non è rigido ma deformabile.

Definizione di corpo rigido

Definizione:Un sistema di punti si dice corpo rigido se in ogni suo moto la distanza tra ogni sua coppia di punti rimane costante.

d(A, B) = cost. nel tempo ∀ A, B

Osservazioni:

• per definizione servono almeno due punti per comporre un corpo rigido, quindi un corpo rigido non può essere considerato puntiforme;
• se anche un solo punto del corpo si avvicina o si allontana rispetto ad un altro punto il corpo non è rigido ma deformabile.

Configurazioni di un corpo rigido

mercoledì 13 novembre 2019

Configurazioni di un corpo rigido

Quante e quali informazioni servono per descrivere la posizione di un corpo rigido in un ambiente bidimensionale?

Definizione

Si chiama CONFIGURAZIONE di un sistema di punti l'insieme delle posizioni di tutti i punti del sistema.

Determinazione della configurazione di un corpo rigido

1. Si sceglie un punto significativo A del corpo rigido. A è libero di muoversi e per descrivere la sua posizione servono due coordinate:

2. Si sceglie un secondo punto significativo B. Per definizione di corpo rigido la distanza ℓ tra A e B è fissata, quindi le possibili posizioni di B stanno su una circonferenza di raggio ℓ e centro A:

Per questo motivo serve solo una coordinata per definire la posizione di B, per esempio l'angolo θ che il vettore AB forma con una direzione prefissata.

Teorema

Una volta che si sanno queste tre informazioni non servono altre.

Teorema

Una volta che si sanno queste tre informazioni, non servono altre informazioni per conoscere la posizione degli altri punti del corpo rigido.

Dimostrazione:

Consideriamo un qualunque altro punto Q del corpo rigido piano.

Ripetendo per Q il secondo passaggio (quello svolto per B) si scopre che servirebbe un altro angolo φ per definire la posizione di Q.

Tuttavia se si considera il triangolo ΔABQ si osserva che di questo triangolo sono noti tutti i lati: che sono le distanze invariabili l, e', e".

Quindi, tramite varie equazioni (come il teorema di Carnot), si possono conoscere anche tutti gli angoli interni di ΔABQ, quindi l'angolo α = ∠BAQ è noto.

Si osserva che:

φ = ψ + α

⇒ l'angolo φ è noto perché è la somma di un angolo noto (ψ) e di un angolo calcolabile (α) conoscendo le distanze fisse tra i punti di un corpo rigido.

Quindi: la configurazione di un corpo rigido è nota conoscendo:

• 2 coordinate di un punto A;
• l'angolo che AB forma con una direzione prefissata. ▫ c.v.d.

Atti di moto rigido piano

Come sono distribuite le velocità in un corpo rigido?

Definizione:

Si definisce ATTO DI MOTO di un qualunque sistema di punti l'insieme delle posizioni e delle velocità di tutti i suoi punti.

Nota bene: Sia la configurazione che l'atto di moto sono riferiti ad un determinato istante.

Proprietà

Se A e B sono parte dello stesso moto rigido:

1. \[\overrightarrow{V_A} - \overrightarrow{V_B} \perp \overrightarrow{AB}\]
2. \[\overrightarrow{V_A}, \overrightarrow{V_B}\] devono avere la stessa proiezione lungo la congiungente \[\overrightarrow{AB}\]
3. \[\overrightarrow{V_A} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{V_B} \cdot \overrightarrow{AB}\]

Queste affermazioni sono equivalenti:

Dimostrazione:

- Secondo la III: \[\overrightarrow{V_A} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{V_B} \cdot \overrightarrow{AB}\]

\[(\overrightarrow{V_A} - \overrightarrow{V_B}) \cdot \overrightarrow{AB} = 0\]

Ma questo prodotto scalare è nullo

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{V_A} - \overrightarrow{V_B} \perp \overrightarrow{AB}\]

che è la I c.v.d.

\[\therefore \overrightarrow{V_A} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{V_B} \cdot \overrightarrow{AB}\]

_VA - _VB ⊥ AB che è ⬜

- Secondo la III

_VA ⋅ AB = _VB ⋅ AB

|_VA||AB|cosθ = |_VB||AB|cosϕ

Quindi:

|_V