Meccanica razionale

Definizione

Un sistema di punti si dice corpo rigido se in ogni suo moto la distanza tra ogni sua coppia di punti rimane costante.

d(A, B) = cost. nel tempo ∀ A, B

Osservazioni

• Per definizione servono almeno due punti: per comporre un corpo rigido, quindi un corpo rigido non può essere considerato puntiforme;
• Se anche un solo punto del corpo si avvicina o si allontana rispetto ad un altro punto il corpo non è rigido ma deformabile.

Configurazioni di un corpo rigido

Quante e quali informazioni servono per descrivere la posizione di un corpo rigido in un ambiente bidimensionale?

Definizione

Si chiama configurazione di un sistema di punti l'insieme delle posizioni di tutti i punti del sistema.

Determinazione della configurazione di un corpo rigido

1. Si sceglie un punto significativo A del corpo rigido. A è libero di muoversi, e per descrivere la sua posizione servono due coordinate:

   OA̅ = X_aî + Y_aĵ

2. Si sceglie un secondo punto significativo B. Per definizione di corpo rigido la distanza ℓ tra A e B è fissata, quindi le possibili posizioni di B stanno su una circonferenza di raggio ℓ e centro A:

Per questo motivo serve solo una coordinata per definire la posizione di B, per esempio l'angolo Θ che il vettore AB forma con una direzione prefissata.

Teorema

Una volta che si sanno queste tre informazioni non servono altre per descrivere la configurazione di tutti i punti del corpo rigido.

Formula fondamentale dell'atto di moto rigido

L'atto di moto di un corpo rigido è caratterizzato da un vettore velocità angolare (ω) tale che per ogni suo punto P vale che:

v_B = v_A + ω ∧ AB

Il vettore ω ha le seguenti caratteristiche:

• è perpendicolare al piano su cui giace il corpo piano (i_P);
• ω ≠ 0

Dimostrazione:

La configurazione del corpo rigido la definiamo con X_i, Y_i, e φ.

Dimostriamo prima la proprietà per il punto B:

AB = (ℓ cosu, ℓ sesu)

v_B - v_A = ^ℓ/_d(-ℓ sesu i, ℓ cosu j) = ℓ δ (- sesu, cosu)

La formula è dimostrata per B se:

ω ∧ AB = ℓ δ (- sesu, cosu) /

Quindi verifichiamo che i due vettori abbiano direzione, verso e modulo uguali:

OK! - DIREZIONE

ω ∧ AB = ⊥ ω e ⊥ AB

Il vettore δ = +ω perché sta nel piano del corpo rigido e ⊥ AB in quanto il suo prodotto scalare con AB è nullo.

Moto

Definizione

Il moto di un sistema è l'insieme delle posizioni di tutti i suoi punti per ogni valore di t.

m = {P_i(t) ∀ P ∈ sistema e ∀ t ∈ [t_in, t_g: n]}

Moto di un corpo rigido piano

Per determinare il moto di un corpo rigido basta determinare x_A(t), y_A(t) e θ(t).

Casi particolari:

1. Moto traslatoriose ω̅ = 0 ∀ t ⇒ v̅_P(t) = v̅_A(t)
2. Moto rotatorioSe esiste CIR ∀ t ed è sempre lo stesso punto ⇒ CIR(t) = CIR(t₀)

Carrello e pattino

Carrello

Un punto Q del corpo rigido è vincolato a scorrere lungo una guida.

Effetti cinematici

Un carrello toglie un g.d.l., infatti per definire la posizione del punto speciale Q serve solo un’ascissa (perché y_Q(t) = 0 ∀t), quindi le coordinate libere che rimangono sono:

x_Q

Siccome Q può muoversi solo sull’asse x, V_a(t) // asse x ∀t, quindi se esiste il CIR esso si trova sulla retta perpendicolare alla guida e passante per Q.

Il moto è traslatorio se j-cost. Se x_Q = cost siamo in presenza non più di un carrello ma di una cerniera a terra.

La reazione vincolare sviluppata dal carrello è perpendicolare alla guida:

Φ_a = (0, V_a)

Pattino

Applicando due carrelli si ottiene un pattino:

Con un pattino un sistema rigido perde due g.d.l. e la coordinata libera rimanente è l’ascissa di uno dei due punti a cui è applicato un carrello:

x_Qa o x_Q2

ω̅_OA = +υî

ω̅_AB = -υî

Si nota che se υ aumenta in senso orario anche x_G aumenta, quindi:

ẋ_G = +rυθ̇

F₁ = -F₂

Definizione

Si dice COPPIA DI FORZE un sistema di due forze opposte.

Proprietà

E' il più semplice sistema con R = 0

Ricordando:

R = F₁ + F₂

Se R = 0 il momento non dipende dal polo rispetto al quale viene calcolato

M_O = M_A = QP ∧ F̅ = QO ∧ F̅ = OP ∧ F̅ = ± |F̅| ∙ braccio ∧ k̂ = - |F̅| ∙ braccio ∧ k̂

Distanza tra le rette di applicazione delle due forze che sono parallele

P

F₂

QP

braccio

Q

F

Trovare una coppia di momento dato M_O

braccio

|F̅|, -|-|F̅|-|braccio

-> ci sono infinite coppie.

ORARIE se M_O < 0

ANTIORARIE se M_O > 0

Equazioni cardinali della statica

Prima equazione cardinale della statica

Σ_i R_i = R^(e) = R⁽ⁱ⁾ = 0

R^(e)_x = 0

R^(e)_y = 0

R^(e) = 0

Seconda equazione cardinale della statica

Scelgo un polo: O.

Σ_O OP_i × F_i = M_O = M^(e)_O = M⁽ⁱ⁾_O = 0

M_O^(e) = 0

Esempi di utilizzo delle equazioni cardinali

1. Corpo rigido appeso

   Q = cerniera a terra

   F_Q = (H_a, V_a) in Q

   F_p = mgũ in G

   Qual è la configurazione di equilibrio?

   Quanto vale F_Q?

   La prima equazione cardinale contiene tutte le forze esterne agenti sul sistema. Nella seconda equazione cardinale non contribuiscono per esempio le forze applicate sul polo, quindi nel nostro caso è utile scegliere A come polo:

   I^a eq: F_a = a_Q × (-mgũ) = 0 ⇒ a_Q = jũ

   R^a eq: R_Q = F_p + F_Q = 0 ⇒ F_Q = -F_p = -mg jũ

   (applicando per due punti diversi e tracciando le rispettive verticali trovo G come intersezione delle verticali)

2. ? Q_B ⇒ R

   U_eq = π/6

Momento della quantità di moto

Teorema:

Per un punto _{P KO} = _OP ∧ m_pvp per un sistema di punti:

_KO = ∑_OPi ∧ m_ivi

Proprietà

Dimostrazione

Per un corpo rigido:

1. ∑_i m_iCA ∧ (ω ∧ m_ARi)
2. ∑_i m_iA ∧ (ω ∧ m_ARi) = ∑_i m_irA ∧ (ω ∧ m_Ari) = ∑_i m_ir_A ∧ (ω ∧ m_ARi)
3. ∑_i m_irA ∧ (ω ∧ m_Am_Ri) = ∑_i m_iA ∧ (ω ∧ m_Ari) = 0 ∧ (∑_i m_iRi)

Quando in un corpo è rigido:

_KO = m_totÔA ∧ m_OA + m_O ∧ (ω ∧ ∑_i m_ARi)

Osservazione:

Se _A ≠ C:

_KO = m_ÔA ∧ m_A + I_Oω

Se _A = 0:

_KO = m_ÔGA ∧ m_O + I_Oω

Se _A ⊂ CIR

_KO = I_Cω

Se _ω = ω_O

_KO = m_totÔP ∧ m_O

*_O ind._per: la scelta di _A perché se cos: ω:

_vB ≠ ü _ω