Meccanica razionale - Appunti

P

y sistema fisso e il punto P può essere scritto come somma

dei due segmenti OO’ e O’P:

O’ 15)

j θ

O i x Il nostro scopo è ora quello di trovare la velocità assoluta

del punto P, ossia la derivata rispetto al tempo di OP:

16) ′ + ̇ ′

(̇ ),

Concentriamoci ora sul termine in quanto anche ed sono funzioni del tempo, oltre ad

1 2 1 2

x’ e y’. Per questo il termine sarà uguale a:

17)

A questo punto si dimostra che la derivata di un qualsiasi versore relativo è uguale al prodotto vettore tra la

= ∧

velocità angolare e il versore stesso ; dunque . Quest’ultima formula è detta Formula di Poisson.

La validità di tale formula è dovuta al fatto che il sistema relativo , oltre che traslare , può anche ruotare

rispetto al sistema fisso. Un aspetto da sottolineare della formula di Poisson è che la velocità angolare, uguale

̇ , ed

a è nel piano (e solo nel piano) parallela ad , ossia uscente dal piano individuato da . Vale

3 1 2

//

dunque la condizione di parallelismo . Per questo nel piano posso indistintamente esprimere la velocità

3

̇ ̇

angolare come e indistintamente e senza ricorrere a matrici di rotazione. Come tutti i prodotti

3

vettoriali, anche la formula di Poisson si esegue come una matrice 3×3; supponendo che il versore relativo

sia :

1

18) = ∧ ,possiamo

Una volta dimostrato che andare a continuare lo sviluppo della formula 17):

19)

Infine sostituiamo il risultato nella 16):

20)

7

La velocità che appare nell’equazione è detta velocità di trascinamento, ossia la velocità che il punto P

avrebbe se fosse legato saldamente al sistema relativo, ossia se la distanza OO’ fosse fissa.

A questo punto arriviamo analizziamo il Teorema di Coriolis; per farlo, deriviamo l’equazione :

20)

21)

A questo punto possiamo scrivere la formula dell’accelerazione assoluta del Punto P:

22)

Scriviamo quindi con una notazione più compatta tale formula dell'accelerazione assoluta:

̅ = ̅ + ̅ + ̅

Questa equazione è detta anche legge di composizione delle accelerazioni. Ovviamente, come esiste tale

legge di composizione delle accelerazioni, esiste una legge di composizione delle velocità angolari, che si

dimostra essere: Velocità angolare di P

rispetto al sistema relativo

Velocità angolare assoluta del punto Velocità angolare del sistema relativo

P rispetto al sistema fisso

̅̅̅̅ =

̅ +

̅

rispetto al fisso

Per concludere la trattazione sulla cinematica del punto, ritorniamo al principio dei moti relativi.

3

ℝ

Consideriamo un generico vettore in (vale anche per tutti gli altri) :

( )

̅ = , ,

1 2 3

Il principio dei moti relativi afferma che la sua derivata assoluta rispetto al tempo sarà sempre uguale alla

derivata relativa rispetto al tempo più il prodotto vettore tra la velocità angolare il vettore stesso:

ⅆ(̅) ⅆ(̅)

= +

̅ ∧ ̅

ⅆ ⅆ

̅

Ovviamente, come tutti i vettori anche avrà dei versori associati alle quantità scalari. Nel caso della derivata

̅)

(

relativa e utile ricordare che tali versori sono funzioni del tempo e dunque derivano anche loro.

8 Per rigido intendiamo che le singole

distanze (la radice quadrata dei

quadrati delle coordinate) tra i punti

Per corpo intendiamo un insieme finito di punti. interni rimangono costanti durante lo

spostamento. I punti sono soggetti

2.CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO quindi il cosiddetto vincolo di rigidità.

CONFIGURAZIONI E GRADI DI LIBERTÀ.

Nell analisi della cinematica del corpo rigido e utile cominciare col dire che l’insieme delle posizioni di tutti i

punti del corpo rigido è detta configurazione (non più posizione come nella cinematica del punto). Il

passaggio da parte del corpo da una configurazione ad un'altra traccerà nel piano (o nello spazio) una

traiettoria con delle equazioni cartesiane associate.

Se all'interno di un corpo rigido fisso tre punti non allineati, tale corpo rigido è fermo (in altre parole se

blocchiamo il corpo rigido in tre punti, esso non si muoverà), e dunque si ottiene la configurazione fissa.

Se invece fissiamo due punti allineati in un corpo rigido, esso ruoterà attorno alla retta passante per i due

punti; tale retta sarà l'asse di rotazione del corpo. In tal caso il corpo può solo ruotare (esempio: porta di una

stanza); tutti i punti sull'asse saranno fissi rispetto al sistema relativo, mentre tutti i punti interni al corpo ma

fuori dall'asse ruoteranno tracciando delle circonferenze con centro sull'asse stesso. In tal caso il corpo

ruoterà secondo un angolo di rotazione, il quale è una coordinata relativa al corpo, detto grado di libertà.

I gradi di libertà saranno, in generale, il minimo numero di parametri linearmente indipendenti tra di loro per

determinare univocamente la configurazione di un corpo rigido. Essi sono a tutti gli effetti delle nuove

coordinate, sempre funzioni del tempo, utili per descrivere il moto del corpo rispetto ad un sistema relativo.

Spieghiamo meglio cosa intendiamo per linearmente indipendenti; consideriamo un corpo rigido nello spazio

con tre punti fissi; come abbiamo già detto tale corpo sarà fermo rispetto al sistema di riferimento relativo.

Rispetto ad un sistema fisso il corpo occuperà una configurazione ben precisa, individuabile scrivendo le

coordinate dei 3 punti fissi: ( )

≡ , ,

1 1 1

z ( )

≡ , ,

2 2 2

A ( )

≡ , ,

3 3 3

B C Tali punti avranno una distanza dal sistema fisso ed

una distanza tra di loro, oltre che ovviamente 9

coordinate cartesiane. Si potrebbe pensare che il

corpo abbia dunque 9 gradi di libertà, Avendo i tre

O y punti fissi 9 coordinate totali punto in realtà queste

x coordinate non sono linearmente indipendenti ma,

mediante la formula della distanza possono essere scritte l'una in funzione dell'altra, e dunque sono

dipendenti l’una dall’altra. Per questo i parametri liberi non saranno più 9, ma 6 (supponendo ad esempio di

voler calcolare le tre distanze AB,BC e AC, che sono come abbiamo visto fisse nel tempo, potrei scrivere tre

delle nove coordinate cartesiane l’una in funzione dell'altra mediante le relazioni di tali distanze). Per questo

un corpo libero con tre punti fissi nello spazio avrà 6 (9 meno 3 linearmente dipendenti) gradi di libertà.

9 Vediamo cosa accade considerando un corpo rigido, ad esempio una sfera, con un punto fisso, nello spazio:

Asse di rotazione che fuoriesce In questa casistica, la sfera può ruotare, ma attorno

z

dal punto O’ e dunque dalla sfera ad un asse non interno al corpo ma uscente da

(uscente dal piano della sfera). esso. Anche in questo caso tutti i punti sull'asse

sono fissi, mentre tutti gli altri punti interni al corpo

si muovono secondo traiettorie sferiche. I gradi di

libertà in questo caso saranno 3 ( ruota rispetto a

tre angoli e dunque 3 direzioni); il corpo può infatti

O’ ruotare rispetto all'asse delle x, all'asse delle y e all

asse delle z senza che tali rotazioni si influenzino tra

loro (ecco perché i tre angoli sono linearmente

indipendenti). Più avanti ci concentreremo più nel

dettaglio

O y

x

SPOSTAMENTO DEL CORPO RIGIDO.

Nel caso di un corpo rigido , abbiamo uno spostamento quando tale corpo Passa da una configurazione A una

configurazione B in un determinato tempo. Per i corpi rigidi è utile misurare lo spostamento attraverso un

piano fisso detto direttore;

se tutti i punti del corpo rigido si muovono parallelamente al piano direttore lo spostamento è detto piano:

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

PIANO DIRETTORE Configurazione B

Configurazione A

Lo spostamento piano è un caso particolare di un tipo di spostamento più generale, detto spostamento

traslatorio. In tale spostamento tutti i punti del corpo si muovono allo stesso modo, ossia con stessa direzione

(non necessariamente parallela al piano direttore).

Altro spostamento degno di nota è il cosiddetto spostamento rotatorio. In tale spostamento tutti i punti del

corpo ruotano attorno ad una retta detta asse di rotazione.Supponiamo di avere tre configurazioni differenti

in tre istanti diversi. Si dice che lo spostamento finale da A a C il prodotto di due spostamenti. Lo spostamento

finale dipenderà chiaramente dagli spostamenti intermedi.

B C

A

10 Esistono numerosi teoremi concernenti lo spostamento dei corpi rigidi; vediamone alcuni:

1. CHARSLES I: Un corpo rigido nel piano può avere, rispetto ad un sistema fisso, o uno spostamento

traslatorio o uno spostamento rotatorio.

2. EULERO I: Un corpo rigido con un punto fisso può avere solo un spostamento rotatorio attorno

all'asse passante per il punto fisso.

3. CHARSLES II: Un corpo rigido con un punto fisso può ruotare rispetto ad un asse di rotazione, ma tale

asse può anche traslare rispetto ad un sistema fisso ( esempio: trottola).

A questo punto Eulero, basandosi sul teorema di Charsles II, ricavò le equazioni cartesiane di un corpo rigido

che ruota e il cui asse passante per il punto O’ trasla rispetto ad un sistema fisso: chiamiamo O l’origine del

sistema fisso (x-y-z) e consideriamo O’ ( punto fisso in cui passa l’asse) come l’origine di un sistema relativo.

Dato che tutti i punti del corpo rigido si muovono secondo vincolo di rigidità, e dunque in linea di massima,

allo stesso modo, posso considerare un punto P interno al corpo. Fatte tali premesse avrò dunque due

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ (, (′,

= , ) ′ = ′, ′).

distanze e Quindi OP è:

23)

, rappresentano i cosiddetti coseni direttori, che come già detto misurano la posizione angolare di

P e che si ottengono mediante prodotti di seni e coseni di angoli precisi.

MOTO DEL CORPO RIGIDO.

Tutti i discorsi fatti per lo spostamento possono essere replicati anche per il moto del corpo rigido, con la

differenza che stavolta entreranno in gioco le velocità. Così un moto si dirà traslatorio