Meccanica razionale - Appunti

1 Meccanica razionale

La meccanica razionale fa parte delle scienze matematiche, si tratta infatti di fisica matematica. Partiamo dalla cinematica del punto. Essa studia le grandezze che derivano da lunghezze e tempi indipendentemente dalle masse dei punti e dalle forze implicate.

Per misurare tali grandezze, la prima cosa da fare è scegliere un sistema di riferimento, in particolare due:

• Terna di assi cartesiani fissi (sistema di riferimento fisso).
• Un orologio che mi permetta di assegnare ad ogni istante la posizione del mio punto materiale.

1. Cinematica del punto

Posizione di un punto nello spazio, equazioni e definizioni

Consideriamo ora il corpo rigido della figura 1.

z P1. Il nostro scopo è quello di calcolare la posizione del punto P esterno al corpo. All’istante t il punto P si troverà, rispetto al sistema di riferimento fisso nella posizione: = () = (){ = ()

Ossia 3 coordinate scalari che dipende da t; in particolare si tratterà di 3 funzioni lineari, continue (salvo casi eccezionali, che riguardano anche la geometria degli insiemi) e derivabili.

O yx

Al variare di t, P occuperà posizioni diverse, disegnando una curva detta traiettoria (vedi figura 2). Tale curva può essere determinata dalle funzioni lineari x(t), y(t), z(t) (equazioni parametriche), eliminando il parametro t dalle equazioni. Attraverso questo processo, si può stabilire quale figura geometrica (ellisse, parabola, circonferenza) è delimitata dalla traiettoria.

ℝ3

Logicamente, in , le tre equazioni scalari precedentemente incontrate, possono essere scritte anche come un'unica funzione vettoriale: ()̅()̅ = ()̅ + ()̅ + vettore posizione (notazione con versori i,j,k)

2 Per capire come si muove P, devo assegnare un’origine MMz alla mia traiettoria, stabilendo se il corpo si muove a destra o a sinistra dell’origine M. Il tratto di curva MP prende il P nome di ascissa curvilinea. MP è uguale ad s(t), ossia lo spazio percorso dal punto P nel tempo t. La scrittura MP=s(t) è detta legge oraria del moto e si ottiene mediante un integrale di linea. Ovviamente tale legge oraria potrà essere scritta anche in forma vettoriale: yx 1)

Tale legge in forma vettoriale deriva dal fatto che, ovviamente, il punto P si muove secondo un verso, che può essere positivo o negativo.

Moto del punto

Il punto P si può ovviamente muovere in vari modi, tra questi vi è il moto uniforme. Un moto è uniforme quando il punto si muove sulla sua traiettoria secondo una funzione lineare del tempo, e dunque quando lo spazio è una funzione lineare del tempo:

spostamento = ± () + 0

Questa velocità è detta velocità scalare e I segni più e meno rappresenta il fatto che rappresenta la rapidità con cui il punto P il punto P può essere: raggiunge all'istante t la posizione s, può

• Progressivo (+), se si muove a destra dell'origine fissata. ∆
• Retrogrado (-) se si muove a = ∆ sinistra dell'origine.

Matematicamente è:

Nel caso dei moti non uniformi, la dipendenza tra spostamento e tempo non sarà più lineare. La variazione di velocità non sarà più costante e quindi introdurremo Il limite del rapporto incrementale:

RICORDA! Il cerchio comprende i punti interni, la circonferenza ∆ invece comprende solo il bordo della figura circolare (il lim = ̅ Velocità vettoriale ∆∆→0 perimetro).

Il punto P può ovviamente muoversi anche lungo una circonferenza, in questo caso si parlerà di moto circolare. Dato che la circonferenza è fissa, mentre il punto P è mobile, scelgo un sistema di riferimento in cui O coincide con il centro della circonferenza:

2)

3 N.B. La notazione con le coordinate polari è particolarmente opportuna quando si parla di circonferenza, ma può essere estesa a qualsiasi tipo di figura e traiettoria, introducendo un vettore posizione e un angolo compreso tra esso e l'asse delle x.

Quando il moto è circolare, oltre che con le due coordinate cartesiane, la posizione del punto P può essere individuata anche con le due coordinate polari r(t) (raggio) e θ(t) (angolo formato con l’asse x, anche detto anomalia); ciò vale soltanto nel piano, infatti quando siamo nello spazio le coordinate si dicono sferiche e non più polari. Il raggio in questo caso è una coordinata costante (se avessimo avuto una figura diversa dalla circonferenza, esso non sarebbe stato costante), l’angolo dipende invece dal tempo e può essere:

• Positivo, se P si muove in senso antiorario
• Negativo, se P si muove in senso orario

Andiamo a questo punto ad analizzare le equazioni parametriche in funzione di tali coordinate polari:

3)

Va da sé che sapendo che la traiettoria del punto P è in questo caso una circonferenza, dalle due equazioni parametriche dovrò ottenere una equazione della circonferenza del tipo:

2 2 2( (− ) + − ) =

Ma essendo nulle le coordinate del centro nel caso specifico, tale equazione si riduce a:

2 2 2() ()+ =

Per combinare le due equazioni parametriche ed eliminare il parametro, elevo tali equazioni al quadrato e poi sommo le sommo (per ottenere l’equazione di una circonferenza):

4)

Il moto circolare può essere ovviamente sia:

• Uniforme: se il punto si muove con variazione di θ costante (Ossia quando θ è una funzione lineare del tempo): 5)
• Non uniforme: θ non è una funzione lineare del tempo: 6)

Velocità

Come abbiamo imparato la velocità altro non è se non la derivata della posizione rispetto al tempo. La velocità può My essere calcolata sia partendo dalla posizione del punto PP (ossia il segmento OP): 7)

Se invece volessi calcolare la velocità direttamente sulla traiettoria, sfruttando dunque l'ascissa curvilinea MP, la sopracitata derivata cambierebbe:

O x4 8)

Derivata di una funzione di funzione. se ho y = f(g(x)) allora y' = f'(g(x)) · g'(x)

L'aspetto importante da analizzare in tale derivata è che il tratto di curva MP non è una funzione diretta del tempo, ma lo è tramite l'ascissa curvilinea (per questo MP è una funzione di funzione, per cui bisogna derivarla prima rispetto a sé stessa poi rispetto al tempo), essendo non un segmento rettilineo ma un tratto di curva generico. La quantità , che rappresenta come già detto il versore tangente alla curva nel punto (ossia P) in cui si deriva, evidenzia il fatto che il punto P, pur seguendo la direzione della velocità tangente alla traiettoria, rimane vincolato alla curva, senza uscire fuori.

Adesso andiamo a calcolare la velocità nel piano sfruttando le coordinate polari; esprimiamo quindi la posizione OP in funzione delle suddette coordinate polari:

9) Oppure in forma vettoriale:

My 10)

P Con le coordinate polari le cose si complicano rispetto alle coordinate cartesiane; infatti, in questo caso saranno r(t) funzioni del tempo sia r (che non è più una quantità costante, dato che non stiamo parlando più di una θ circonferenza) sia coseno e seno, con queste due ultime che O saranno addirittura funzioni di funzioni e che dunque non x dipenderanno dal tempo in maniera diretta, ma tramite l'angolo θ. Fatte queste premesse, possiamo andare a derivare:

11)

Come abbiamo evidenziato, il punto P avrà due velocità, una radiale e una trasversa. In particolare, le due quantità tra parentesi quadre rappresentano due versori relativi ed , come tali, non sono fissi come ̅̅, ̅ , ma si muovono insieme al punto. Più specificatamente:

• Versore radiale, che ha direzione parallela ad r(t)+ ()] = [cos()
• + ()] = [−sen() Versore trasverso, che ha direzione ortogonale ad My Va da sé che, essendo ed , versori avranno modulo 1. P Essendo essi funzioni del tempo, essi varieranno in direzione e verso, muovendosi come il punto P. Ovviamente si tratta di r(t) vettori, dunque potranno traslare lungo la retta su cui giacciono θ senza alterare le loro proprietà. Nella prima esercitazione sul quaderno, si ricaveranno le relazioni che legano i versori fissi con O i versori mobili. La relazione tra questi due tipi di versori è gestita x da una matrice due per due di questo tipo:

12)

Accelerazione

5 Accelerazione.

L'accelerazione vi è quando vi è una variazione di velocità, pertanto se il moto è uniforme ā=0. Esistono diversi tipi di accelerazione, la più semplice è quella relativa ad un sistema di riferimento fisso x-y-z. Essa si ottiene semplicemente eseguendo la derivata seconda delle coordinate cartesiane o la derivata della velocità:

13)

Volendo esprimere l’accelerazione vettoriale attraverso l'ascissa curvilinea la derivata diventerà:

14)

M Direzione e verso dei versori t ed n sono mostrati in figura. y Un aspetto da sottolineare è che l'accelerazione P tangenziale (accelerazione con versore t) fa tendere P all'infuori della curva, mentre l'accelerazione centripeta n (accelerazione con versore n) lo mantiene sulla traiettoria. θ O x

Principio dei moti relativi

Consideriamo un punto P in due sistemi di riferimento, uno fisso con origine O, e uno relativo o mobile con origine O’. Il sistema di riferimento x’-y’, è bene specificarlo, non si muove con lo stesso moto di P, come succedeva quando abbiamo incontrato i due versori ed , ma si muove di un moto distinto e diverso da quello di tale punto. Il passaggio dai versori fissi a quelli mobili è gestito da una matrice detta matrice di rotazione, che è sempre identica aldilà della posizione di P. Tale matrice è la (12, già incontrata in precedenza. In virtù di tale matrice i legami matematici tra versori fissi e versori relativi saranno i seguenti:

= cos − sin 1 2y P = sin − cos 1 2O’ = cos() + ()1j −sen() + ()θ =2O i x6

Teorema di Galileo

Tale teorema permette di calcolare la velocità di un punto rispetto ad ambedue i sistemi di riferimento e, in definitiva, la velocità assoluta di tale punto.

Consideriamo i due sistemi di riferimento: Va da sé che il segmento OP che congiunge l'origine del Py sistema fisso e il punto P può essere scritto come somma dei due segmenti OO’ e O’P:

O’ 15)

j θ O i x Il nostro scopo è ora quello di trovare la velocità assoluta del punto P, ossia la derivata rispetto al tempo di OP:

16)

′ + 775; ′ (775; ), Concentriamoci ora sul termine in quanto anche ed sono funzioni del tempo, oltre ad 1 2 1 2x’ e y’. Per questo il termine sarà uguale a:

17)

A questo punto si dimostra che la derivata di un qualsiasi versore relativo è uguale al prodotto vettore tra la = ∧ velocità angolare e il versore stesso ; dunque . Quest’ultima formula è detta Formula di Poisson.

La validità di tale formula è dovuta al fatto che il sistema relativo, oltre che traslare, può anche ruotare rispetto al sistema fisso. Un aspetto da sottolineare della formula di Poisson è che la velocità angolare, uguale 775; , ed a è nel piano (e solo nel piano) parallela ad , ossia uscente dal piano individuato da . Vale 3 1 2// dunque la condizione di parallelismo . Per questo nel piano posso indistintamente esprimere la velocità 3 775; 775; angolare come e indistintamente e senza ricorrere a matrici di rotazione. Come tutti i prodotti 3 vettoriali, anche la formula di Poisson si esegue come una matrice 3×3; supponendo che il versore relativo sia : 1

18) = ∧ , possiamo Una volta dimostrato che andare a continuare lo sviluppo della formula 17):

19)

Infine sostituiamo il risultato nella 16):

20)

7 La velocità che appare nell’equazione è detta velocità di trascinamento, ossia la velocità che il punto P avrebbe se fosse legato saldamente al sistema relativo, ossia se la distanza OO’ fosse fissa.

A questo punto arriviamo analizziamo il Teorema di Coriolis; per farlo, deriviamo l’equazione:

20)

21)

A questo punto possiamo scrivere la formula dell’accelerazione assoluta del Punto P:

22)

Scriviamo quindi con una notazione più compatta tale formula dell'accelerazione assoluta:

̅ = ̅ + ̅ + ̅

Questa equazione è detta anche legge di composizione delle accelerazioni. Ovviamente, come esiste tale legge di composizione delle accelerazioni, esiste una legge di composizione delle velocità angolari, che si dimostra essere:

Velocità angolare di P rispetto al sistema relativo Velocità angolare assoluta del punto Velocità angolare del sistema relativo P rispetto al sistema fisso ̅̅̅̅ = ̅ + ̅ rispetto al fisso

Per concludere la trattazione sulla cinematica del punto, ritorniamo al principio dei moti relativi.

3ℝ

Consideriamo un generico vettore in (vale anche per tutti gli altri) :( )̅ = , , 1 2 3

Il principio dei moti relativi afferma che la sua derivata assoluta rispetto al tempo sarà sempre uguale alla derivata relativa rispetto al tempo più il prodotto vettore tra la velocità angolare il vettore stesso:

ⅆ(̅) ⅆ(̅)= +̅ ∧ ̅ⅆ ⅆ̅

Ovviamente, come tutti i vettori anche avrà dei versori associati alle quantità scalari. Nel caso della derivata ̅)(relativa e utile ricordare che tali versori sono funzioni del tempo e dunque derivano anche loro.

2. Cinematica del corpo rigido

8 Per rigido intendiamo che le singole distanze (la radice quadrata dei quadrati delle coordinate) tra i punti Per corpo intendiamo un insieme finito di punti. interni rimangono costanti durante lo spostamento. I punti sono soggetti quindi il cosiddetto vincolo di rigidità.

Configurazioni e gradi di libertà

Nell analisi della cinematica del corpo rigido e utile cominciare col dire che l’insieme delle posizioni di tutti i punti del corpo rigido è detta configurazione (non più posizione come nella cinematica del punto). Il passaggio da parte del corpo da una configurazione ad un'altra traccerà nel piano (o nello spazio) una traiettoria con delle equazioni cartesiane associate.

Se all'interno di un corpo rigido fisso tre punti non allineati, tale corpo rigido è fermo (in altre parole se blocchiamo il corpo rigido in tre punti, esso non si muoverà), e dunque si ottiene la configurazione fissa.

Se invece fissiamo due punti allineati in un corpo rigido, esso ruoterà attorno alla retta passante per i due punti; tale retta sarà l'asse di rotazione del corpo. In tal caso il corpo può solo ruotare (esempio: porta di una stanza); tutti i punti sull'asse saranno fissi rispetto al sistema relativo, mentre tutti i punti interni al corpo ma fuori dall'asse ruoteranno tracciando delle circonferenze con centro sull'asse stesso. In tal caso il corpo ruoterà secondo un angolo di rotazione, il quale è una coordinata relativa al corpo, detto grado di libertà.

I gradi di libertà saranno, in generale, il minimo numero di parametri linearmente indipendenti tra di loro per determinare univocamente la configurazione di un corpo rigido. Essi sono a tutti gli effetti delle nuove coordinate, sempre funzioni del tempo, utili per descrivere il moto del corpo rispetto ad un sistema relativo.

Spieghiamo meglio cosa intendiamo per linearmente indipendenti; consideriamo un corpo rigido nello spazio con tre punti fissi; come abbiamo già detto tale corpo sarà fermo rispetto al sistema di riferimento relativo. Rispetto ad un sistema fisso il corpo occuperà una configurazione ben precisa, individuabile scrivendo le coordinate dei 3 punti fissi:

( ) ≡ , , 1 1 1z ( ) ≡ , , 2 2 2A ( ) ≡ , , 3 3 3B C

Tali punti avranno una distanza dal sistema fisso ed una distanza tra di loro, oltre che ovviamente 9 coordinate cartesiane. Si potrebbe pensare che il corpo abbia dunque 9 gradi di libertà, Avendo i tre O y punti fissi 9 coordinate totali punto in realtà queste x coordinate non sono linearmente indipendenti ma, mediante la formula della distanza possono essere scritte l'una in funzione dell'altra, e dunque sono dipendenti l’una dall’altra. Per questo i parametri liberi non saranno più 9, ma 6 (supponendo ad esempio di voler calcolare le tre distanze AB,BC e AC, che sono come abbiamo visto fisse nel tempo, potrei scrivere tre delle nove coordinate cartesiane l’una in funzione dell'altra mediante le relazioni di tali distanze). Per questo un