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Meccanica razionale

Appunti di meccanica razionale basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Gigante dell’università degli Studi di Bergamo - Unibg, facoltà di Ingegneria, Corso di laurea in ingegneria meccanica. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Meccanica razionale docente Prof. G. Gigante

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Università degli Studi di Trieste - Sede di Pordenone Facoltà di Ingegneria

Appunti ed esercizi

di Meccanica Razionale

Luciano Battaia

Versione del 16 febbraio 2016

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– In ogni caso si possono concordare con il titolare dei diritti d’autore usi di quest’opera

in deroga da questa licenza.

Indice

Premessa ix

I. Teoria 1

1. Introduzione 3

2. Richiami di algebra vettoriale 5

2.1. Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Operazioni tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Doppio prodotto vettoriale e prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Parallelismo, perpendicolarità, complanarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5. Scomposizione di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6. Vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7. Insiemi (o sistemi) di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8. Asse centrale di un sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.9. Sistemi di vettori equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.10. Riduzione di un sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.12. Sistemi particellari e sistemi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Vincoli e gradi di libertà 29

3.1. Vincoli e classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Il vincolo di rigidità e gli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3. Rappresentazione analitica dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. Coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.1. Aste rigide in moto piano variamente vincolate . . . . . . . . . . . . 35

3.5.2. Coppie di aste collegate, in un piano, mediante cerniere . . . . . . . 38

4. Cinematica dei rigidi 41

4.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. La formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3. Proprietà della velocità angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4. Moti rigidi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5. Punti di vista lagrangiano ed euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6. Il teorema di Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.7. Moti rigidi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.8. Il vincolo di puro rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

v

Indice Appunti di meccanica razionale

5. Equazioni cardinali 57

5.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2. Classificazione delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3. Equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4. Statica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5. Statica dei sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6. Lavori virtuali 65

6.1. Spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2. Spostamenti di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3. Lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4. Principio delle reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5. Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.6. Sistemi olonomi. Componenti lagrangiane della sollecitazione . . . . . . . . 70

7. Azioni interne in un rigido all’equilibrio (Cenni) 73

7.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2. Sforzi normali e di taglio. Momenti torcente e flettente . . . . . . . . . . . . 74

7.3. Il caso dei rigidi piani, con carichi nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.4. Il caso dei rigidi piani in una dimensione, con carichi nel piano . . . . . . . 76

7.4.1. Il caso di aste e archi “scarichi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8. Operatore d’inerzia 79

8.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.2. L’operatore di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.3. La matrice di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.3.1. Il caso piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.4. Ellissoide di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.5. Operatore di inerzia e autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.6. Il caso di un rigido rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.7. Ricerca di una terna principale di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.8. Il teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9. Cenni di cinematica delle masse 89

9.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2. Nuova forma delle equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3. Il caso dei corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10.Sistemi conservativi 95

10.1. Campi conservativi - Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.2. Esempi di forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.3. Sollecitazioni conservative nei sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.4. Sollecitazioni conservative ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.Equazioni di Lagrange 99

11.1. Relazione ed equazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.2. Il caso dei vincoli olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.3. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

vi Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale Indice

11.4. Energia cinetica di un sistema olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.5. Teorema dell’energia cinetica o delle forze vive . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11.6. Conservazione dell’energia in sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.7. Macchine semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

II. Esercizi 105

12.Esercizi di algebra vettoriale 107

13.Esercizi di cinematica 109

14.Esercizi di statica 121

15.Esercizi sugli sforzi interni 159

16.Esercizi di cinematica delle masse. Momenti di inerzia 163

17.Esercizi di dinamica 181

18.Suggerimenti “spiccioli” per la risoluzione dei problemi 187

18.1. Analisi cinematica, determinazione dei gradi di libertà, della velocità ango-

lare, delle coordinate dei punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

18.2. Analisi dei carichi presenti e dei vincoli. Lavoro virtuale. Eventuale energia

potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

18.3. Risultante e momento risultante delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

18.4. Momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

18.5. Momento delle quantità di moto di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

18.6. Energia cinetica di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

18.7. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

18.8. Macchine semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

18.9. Equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

A. Richiami di algebra lineare 197

A.1. Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

A.2. Problema agli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

A.3. Ricerca degli autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Notazioni utilizzate 201

Indicazioni bibliografiche 203

Elenco delle figure 205

Indice analitico 207

Luciano Battaia vii

viii

Premessa

Questi appunti contengono solo lo schema delle lezioni tenute, presso la sede di Pordenone

dell’Università degli Studi di Trieste, nell’anno accademico 2007/2008 e successivi. In

particolare essi non possono essere considerati un libro di testo.

Per una puntuale preparazione all’esame è indispensabile consultare anche i testi indicati

in bibliografia e le indicazioni fornite dal docente durante le lezioni.

Molti dei contenuti proposti sono presi da appunti distribuiti dal prof. Giorgio Tondo

che ha tenuto questo corso negli anni accademici precedenti al 2007/2008.

La lettura di un testo di Meccanica Razionale, anche se introduttivo come il pre-

sente, richiede un gran numero di prerequisiti matematici e fisici, tra cui segnaliamo

esplicitamente:

– la cinematica e la dinamica del punto materiale;

– l’analisi delle funzioni reali di una variabile reale, compresa la teoria dell’integrazione

secondo Riemann;

– l’analisi delle funzioni reali di due o tre variabili reali, compresa la teoria degli integrali

doppi, tripli, curvilinei, superficiali;

– la teoria delle equazioni differenziali ordinarie, con particolare riguardo a quelle fino

al secondo ordine;

– elementi di algebra lineare: sistemi, matrici e operazioni tra matrici, cenni alla teoria

degli autovalori, cenni alla teoria dell’ortogonalità;

– elementi di geometria analitica nel piano e nello spazio (in particolare coniche e cenni

alle quadriche).

Sostanzialmente si tratta dei contenuti normalmente inseriti nei corsi (abitualmente di

primo anno) di Analisi matematica I, Analisi matematica II, Geometria, Fisica generale I.

A tutto questo naturalmente si deve aggiungere la cosiddetta studiata

Matematica di base

alle scuole medie superiori.

Il contenuto di questi appunti è adatto a un corso di cinquanta ore di lezione, comprensive

di esercitazioni.

Naturalmente per un corso di durata così breve occorre fare delle scelte e delle rinunce

rispetto a quanto dovrebbe normalmente fare parte di un corso base di Meccanica Razio-

nale. Tra le “omissioni” più significative segnaliamo qualche cenno di Meccanica relativa,

di Meccanica dei fili e di Meccanica Hamiltoniana.

Il testo è diviso in due parti:

: Teoria

Parte I : Esercizi

Parte II

La prima parte contiene un riassunto delle lezioni, la seconda parte contiene solo alcuni

esercizi significativi. In molti casi gli esercizi sono accompagnati da una soluzione detta-

gliata e commentata, a complemento delle lezioni teoriche. In alcuni casi la soluzione è

solo accennata, in altri casi sono proposti solo i testi degli esercizi. ix

x Parte I.

Teoria 1

1. Introduzione

Questo corso è, sostanzialmente, un corso base di Meccanica Razionale e si prefigge lo

studio dell’equilibrio e del moto di alcuni modelli (o sistemi materiali) che approssimano i

sistemi fisici.

Lo studio della Meccanica è abitualmente suddiviso in:

studio del moto prescindendo dalle cause che lo provocano (“descrizione del

Cinematica – movimento”).

studio dell’equilibrio sotto l’azione di determinate cause.

Statica – studio del moto sotto l’azione di determinate cause.

Dinamica –

Per comodità i sistemi fisici di cui si occupa la Meccanica sono raggruppati in modelli

che possono essere schematizzati come segue:

– Discreti

– Punto materiale

– Sistemi di punti materiali

– Continui

– Corpi rigidi

– Corpi deformabili

I corpi rigidi sono caratterizzati dal fatto che la distanza tra due loro punti qualsiasi non

varia nel tempo; i corpi deformabili sono tutti gli altri e, in particolare ai fini di questo

corso, possono essere ulteriormente suddivisi in:

– sistemi di corpi rigidi opportunamente collegati tra di loro (per esempio con cerniere);

– fili, travi e in genere altri corpi che non possono essere schematizzati come un insieme

di corpi rigidi.

In questo corso tratteremo esclusivamente sistemi di punti materiali, corpi rigidi (breve-

mente: rigidi) e sistemi di rigidi.

Tutte le questioni di cinematica e dinamica del punto materiale si ritengono note dal

precedente corso di fisica generale. 3

4

2. Richiami di algebra vettoriale

La maggior parte delle nozioni presentate in questo capitolo dovrebbero essere già note,

in particolare dai corsi di geometria e fisica generale. Sono qui richiamate, con alcune esten-

sioni che interessano esplicitamente questo corso, per completezza e per fissare le notazioni.

Considerato lo scopo di questo capitolo, non sono quasi mai proposte dimostrazioni.

2.1. Vettori

Si suppone noto il concetto di o I vettori saranno indicati con

vettore, vettore libero.

notazioni del tipo

(2.1) ecc.

~a, ~v , w,

~

Se e sono due punti dello “spazio ordinario” (lo spazio ordinario della geometria

A B −−→

euclidea, che possiamo indicare con E ), e è il segmento orientato di primo estremo

AB A

3

e secondo estremo scriveremo, con un certo abuso di linguaggio,

B, −−→

(2.2) ~v = AB .

Useremo anche una comoda notazione (1)

(2.3) −

~v = B A ,

che potremo anche scrivere con

(2.4) B = A + ~v ,

rendendo evidente il fatto intuitivo che un vettore può essere pensato come un ente che,

operando su un punto lo trasla in un altro punto

(2)

A, B.

È chiaro che si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di E e l’insieme V

3 3

−−→

dei vettori fissando un punto e associando ad ogni vettore il punto dato da .

O ~v P ~v = OP

Vale la cosiddetta se sono tre punti (distinti) qualsiasi,

A, B, C

proprietà triangolare:

−−→ −→ −−→

(2.5) ovvero − − −

AB = AC + CB (B A) = (C A) + (B C) .

La notazione per indicare un segmento orientato è stata introdotta di William Rowan Hamilton

1 −

B A

(1805-1865), matematico irlandese. Si tratta di una notazione particolarmente felice e utile, come

avremo modo di vedere. Qui segnaliamo solo che la scrittura di un segmento orientato come differenza

rende evidente il diverso ruolo dei due estremi del segmento, esattamente come succede

di due punti

nella sottrazione ordinaria di numeri. Occorre tenere presente che da questa notazione non si può

dedurre alcun concetto di somma di due punti: ha un ben preciso significato, nessun significato

B A

si attribuisce alla scrittura B + A.

È opportuno ricordare che il nome deriva proprio da questa proprietà: significa infatti

2 vettore vehere

trasportare. 5

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

Se in E introduciamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali e indichiamo con

3

~k

e i dei tre assi coordinati, possiamo scrivere ogni vettore come

~ı, ~ ~v

versori ~k ~k

(2.6) ~v = v ~ı + v ~ + v = v ~ı + v ~ + v .

1 2 3 x y z

I numeri , e (oppure , e ) sono detti del vettore e potremo

v v v v v v ~v

componenti

1 2 3 x y z

scrivere

(2.7) ~v = (v , v , v ) = (v , v , v ) .

1 2 3 x y z

2.2. Operazioni tra vettori

In V si introducono quattro operazioni, di cui richiamiamo qui, per comodità e perché

3

ne faremo uso continuo, solo le proprietà essenziali.

Somma tra vettori C C

b b

=

~v C B

~v −

B B

b b

~u = +

w

~ ~u ~v

w

~

= =

~u B A ~u B A

− −

D

b

=

~v D A

b b

A A

Figura 2.1. Somma di vettori: regola del parallelogramma e regola del “testa-coda”

In termini di componenti si ha ~k

(2.8) ~u + ~v = (u + v )~ı + (u + v )~ + (u + v ) .

x x y y z z

Prodotto per uno scalare

In termini di componenti si ha ~k

(2.9) λ~v = λv ~ı + λv ~ + λv .

x y z

Prodotto scalare

Dati due vettori e , e un punto consideriamo i due punti e .

~u ~v O, A = O + ~u B = O + ~v

Si chiama tra i due vettori l’angolo convesso (eventualmente piatto), individuato

angolo

dalle semirette e

OA OB. B b

~v b

ϑ A

~u

b

O

Figura 2.2. Angolo tra due vettori

6 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.2. Operazioni tra vettori

Con riferimento alla figura 2.2, indichiamo con la proiezione ortogonale di sulla

0

A A

retta e con la proiezione ortogonale di sulla retta È immediato che

0

OB B B OA.

– e stanno sulle semirette e rispettivamente se ;

0 0

A B OB OA ϑ < /

π 2

– e coincidono con se

0 0

A B O ϑ = /

π 2

– e stano sulle semirette opposte a e rispettivamente, se .

0 0

A B OB OA, ϑ > /

π 2

Le lunghezze dei segmenti e , prese con il segno o a seconda che

0 0 −

OA OB + ϑ < /

π 2

oppure si chiamano di su (rispettivamente di su ), e si

/ < ϑ ~u ~v ~v ~u

π, proiezioni

π 2

indicano con e rispettivamente.

u v

v u B

B b

b ~v

~v ~u b

b ~u

ϑ A

A

b ′

B b

b

O b O

B

Figura 2.3. Proiezione di un vettore su un altro

Esattamente con le stesse parole si può introdurre anche il concetto di o

proiezione

di un vettore su una

~v

componente retta orientata.

Come da tradizione, indicheremo con le componenti di un vettore sugli assi

u , u , u ~u

x y z

rispettivamente.

x, y, z

Il di due vettori si può definire in uno dei seguenti tre modi equivalenti:

prodotto scalare

– · k~u

k k~v k

~u ~v = cos(ϑ);

– ;

· k~u

k

~u ~v = v u

– .

· k~v k

~u ~v = u

v

In termini di componenti si ha

(2.10) ·

~u ~v = u v + u v + u v .

x x y y z z

Il prodotto scalare di due vettori non nulli è nullo se e soltanto se i due vettori sono

ortogonali.

Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà, per ogni e per ogni

~u, ~v , w

~ λ:

– proprietà commutativa;

· ·

~u ~v = ~v ~u :

– · · ·

(λ~u ) ~v = ~u (λ~v ) = λ(~u ~v )

– proprietà distributiva;

· · ·

~u (~v + w)

~ = ~u ~v + ~u w

~ :

– (con la convenzione che un vettore nullo possa essere considerato

· ⇔ ⊥

~u ~v = 0 ~u ~v

perpendicolare a ogni altro vettore).

Il prodotto scalare fornisce un utile metodo per determinare le componenti di un vettore

qualunque:

~v ~k ~k) ~k

(2.11) ·~ı)~ı · ·

~v = v ~ı + v ~ + v = (~v + (~v ~

) ~ + (~v .

x y z

Prodotto vettoriale

In considerazione dell’importanza che l’operazione riveste per questo corso, e per fissare

bene le idee, la tratteremo con un po’ più di dettaglio rispetto alle precedenti.

Luciano Battaia 7

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

La definizione di prodotto vettoriale non è così semplice come le altre tre operazioni

introdotte nell’insieme dei vettori dello spazio e richiede l’uso di un concetto (quello di verso

o di non facile spiegazione formale, anche se intuitivamente evidente: la

orario antiorario)

definizione che daremo è comunque adatta agli scopi di questo corso.

È molto importante segnalare subito una differenza fondamentale con le operazioni pre-

cedenti, in particolare le operazioni lineari di somma e prodotto per uno scalare: una

combinazione lineare di due vettori paralleli è ancora un vettore parallelo ai dati, una com-

binazione lineare di due vettori è un vettore complanare ai vettori dati. Ciò significa che

si potrebbe anche operare, senza cambiare nulla, in V o V , anziché in V . Il prodotto

1 2 3

vettoriale è invece una operazione cioè non ha senso in

intrinsecamente tridimensionale,

V o V .

1 2

Il prodotto vettoriale si può definire come segue:

Dati due vettori e si dice loro il vettore che si indica

~u ~v w,

~

prodotto vettoriale o esterno

con , e si legge o , definito come segue:

~u ~v ~u ~v ~u ~v

vettore esterno

– se e sono paralleli ~

~u ~v ~u ~v = 0;

– se e non sono paralleli

~u ~v

– il modulo di è dato da

∧ k k~u ∧ k k~u

k k~v k

~u ~v wk

~ = ~v = sin ϑ

– la direzione è perpendicolare sia a che a ;

~u ~v

– il verso è quello di avanzamemto di una vite detrorsa (cavatappi) che ruoti nel

senso in cui ruota per sovrapporsi a , compiendo il minimo angolo.

~u ~v

È immediato che il modulo di è uguale all’area del parallelogramma di lati consecu-

∧~v

~u

tivi e dove è un punto qualunque e e . Per quanto riguarda

AB AC, A B = A+~u C = A+~v

il verso si può anche dire, in maniera equivalente (ma sempre un po’ azzardata dal punto

di vista del rigore), che il verso è quello testa-piedi di un osservatore che, posto sul piano

per i punti appena considerati, veda la minima rotazione di per sovrapporsi a

A, B, C ~u ~v

avvenire in senso antiorario, oppure ancora è il verso indicato dal pollice della mano destra

se il palmo della stessa mano compie la minima rotazione che porta a sovrapporsi a .

~u ~v

C b

~v

~u ~v

∧ b b

A ~u B

C b

~v

b b

A ~u B ~v ~u

Figura 2.4. Prodotto vettoriale di due vettori

Il prodotto vettoriale di due vettori gode delle seguenti proprietà, per ogni e per

~u, ~v , w

~

ogni λ:

8 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.3. Doppio prodotto vettoriale e prodotto misto

– proprietà anticommutativa;

∧ −~v ∧

~u ~v = ~u :

– proprietà distributiva;

∧ ∧ ∧

(~u + ~v ) w

~ = ~u w

~ + ~v w

~ :

– proprietà distributiva;

∧ ∧ ∧

~u (~v + w)

~ = ~u ~v + ~u w

~ :

– ∧ ∧ ∧

(λ~u

) ~v = ~u (λ~v ) = λ(~u ~v );

– (con la convenzione che un vettore nullo possa essere considerato

~

∧ ⇔ k

~u ~v = 0 ~u ~v

parallelo a ogni altro vettore).

Si noti che l’operazione di prodotto vettoriale è un’operazione interna all’insieme V : ad

3

una coppia di vettori fa corrispondere un terzo vettore.

Si tenga presente che la notazione qui adottata per il prodotto vettoriale non è l’unica

possibile. In particolare nei testi americani è più diffusa la notazione . Poiché la

×

~u ~v

stessa notazione è invece usata a volte per il prodotto scalare di due vettori, riteniamo

meglio evitarla del tutto, a scanso di equivoci. In ogni caso, leggendo un testo, è sempre

bene controllare le notazioni usate, o consultando l’apposita tabella (se presente), oppure

controllando le convenzioni usate in occasione del primo uso di un simbolo.

È molto importante prestare attenzione al fatto che il prodotto vettoriale non gode della

proprietà associativa, per cui, a esempio, dati tre vettori , , in generale

~u ~v w,

~

∧ ∧ 6 ∧ ∧

(~u ~v ) w

~ = ~u (~v w)

~ .

La non associatività del prodotto vettoriale risulta chiaramente dalla figura 2.5, dove sono

state evidenziate anche le coordinate dei punti, per rendere la figura stessa più leggibile.

z z

~v w

~

w

~ w

~

b b

b

y y

~v ~v

(~v

~u w)

~

∧ ∧

b b

b

~u ~u

b b

b

(~u )

~v w

~

∧ ∧ x x

~u ~v

b ∧

Figura 2.5. Non associatività del prodotto vettoriale di tre vettori

In termini di componenti il prodotto vettoriale si può calcolare con il seguente determi-

nante simbolico: ~k

~ı ~ ~k

(2.12) − − −

∧ = (u v u v )~ı + (u v u v )~ + (u v u v ) .

~u ~v = u u u y z z y z x x z x y y x

x y z

v v v

x y z

2.3. Doppio prodotto vettoriale e prodotto misto

Due particolari combinazioni delle operazioni precedenti hanno grande importanza nelle

applicazioni alla meccanica (e non solo).

Luciano Battaia 9

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

Doppio prodotto vettoriale

Dati tre vettori , e si possono considerare i due prodotti, tra loro diversi perché il

~u ~v w

~

prodotto vettoriale non è associativo,

(2.13) e

∧ ∧ ∧ ∧

(~u ~v ) w

~ ~u (~v w).

~

Entrambi prendono il nome di doppio prodotto vettoriale.

Valgono le seguenti identità, che si possono verificare per esempio utilizzando le compo-

nenti:

(2.14) ∧ ∧ · − ·

(~u ~v ) w

~ = (~u w)~

~ v (~v w)~

~ u.

(2.15) ∧ ∧ · − ·

~u (~v w)

~ = (~u w)~

~ v (~u ~v )

w

~ .

Esercizio

I due prodotti precedenti sono uguali se e solo se e sono paralleli.

~u w

~

Se i due prodotti sono uguali, da (2.14) e (2.15) si deduce subito che

Dimostrazione. ovvero che e sono paralleli (ciascuno dei due è un multiplo

· ·

(~v w)~

~ u = (~u ~v )

w,

~ ~u w

~

dell’altro). Se viceversa è parallelo a , si deduce che , da cui, sempre per (2.14)

w

~ ~u w

~ = λ~u

e (2.15), si deduce l’identità richiesta.

Prodotto misto

Dati tre vettori e considerato il prodotto vettoriale, , di due dei tre, ha senso

~u, ~v , w,

~ ~z

calcolare il prodotto scalare di per il terzo vettore, per esempio In considerazione

∧~v

~z (~u )· w.

~

delle caratteristiche dei due prodotti, le parentesi sono inutili: nella scrittura si deve

∧~v ·

~u w

~

eseguire prima il prodotto vettoriale e poi quello scalare, altrimenti la scrittura sarebbe

priva di senso.

Si prova facilmente che il modulo del prodotto misto di tre vettori uguaglia il volume

del prisma costruito sui tre vettori, come nella figura 2.6: basta solo tenere conto che il

prodotto vettoriale ha per modulo l’area del parallelogramma “di base”, mentre il successivo

prodotto scalare (a parte il segno) rappresenta il prodotto tra questa area di base e l’altezza.

b ~u ~v

∧ b

w

~ b

~v

~u b

Figura 2.6. Prodotto misto di tre vettori

10 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.4. Parallelismo, perpendicolarità, complanarità

In termini di componenti il prodotto misto di tre vettori si può calcolare con il seguente

determinante: u u u

x y z

(2.16) · ∧ v v v .

~u ~v w

~ = x y z

w w w

x y z

Tenendo conto delle proprietà dei determinanti, in particolare relativamente allo scambio

di righe, si deduce subito che

(2.17) · ∧ ∧ ·

~u ~v w

~ = ~u ~v w

~ ,

ovvero che si possono scambiare i simboli di prodotto scalare e vettoriale.

Valgono anche le seguenti proprietà:

– il modulo del prodotto misto non dipende dall’ordine in cui i vettori sono scritti, nè

dall’ordine in cui si eseguono i due prodotti, ovvero

|~u ∧ · |~u · ∧ | · ∧ |

~v w|

~ = ~v w|

~ = w

~ ~u ~v = . . .

(sempre per le proprietà dei determinanti);

– il prodotto misto è nullo se e solo se i tre vettori sono complanari, con la convenzione

di considerare complanari tre vettori di cui uno o più siano nulli (conseguenza o delle

proprietà dei determinanti o del fatto che il prodotto misto rappresenta, a meno del

segno, il volume del prisma costruito sui tre vettori).

2.4. Parallelismo, perpendicolarità, complanarità

Considerata l’importanza dei concetti di parallelismo, perpendicolarità, complanarità,

richiamiamo qui le relazioni, già menzionate, che intercorrono tra essi e le operazioni tra

vettori.

– Due vettori sono se e soltanto se il loro è nullo.

paralleli prodotto vettoriale

– Due vettori sono se e soltanto se il loro è nullo.

perpendicolari prodotto scalare

– Tre vettori sono se e soltanto se il loro è nullo.

complanari prodotto misto

In tutti i casi si comprende la possibilità che uno o più dei vettori sia nullo, con la

convenzione che il vettore nullo sia parallelo oppure perpendicolare a ogni altro vettore, e

che sia complanare a ogni altra coppia di vettori.

2.5. Scomposizione di vettori

Nel seguito ci interesseranno alcune scomposizioni di un vettore in altri vettori aventi

per somma il vettore dato.

Già la scrittura di un vettore mediante le componenti, vedi la formula (2.6), è una

scomposizione di questo tipo. Ne vedremo ora alcune altre.

Scomposizione di un vettore, in un piano, secondo due direzioni non parallele dello

stesso piano

Questo tipo di scomposizione è assolutamente elementare e riportiamo solo una figura

per chiarezza.

Luciano Battaia 11

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

r

~u r ~u

A b ~u s s

Figura 2.7. Scomposizione di un vettore secondo due rette

Scomposizione di un vettore secondo un piano e una direzione non complanare

B 2 B

b

b ~u

w

~

A b b B 1

~v

Figura 2.8. Scomposizione di un vettore secondo una direzione e un piano

Basta tirare da la parallela alla retta data, fino a incontrare il piano in . A questo

B B 1

punto da si tira la parallela ad :

B AB ~u = ~v + w.

~

1

Scomposizione di un vettore secondo tre direzioni concorrenti non complanari

Si tratta in sostanza della generalizzazione della scomposizione secondo tre assi ortogo-

nali. ~u

~u t ~u s ~v

A b ~u r

Figura 2.9. Scomposizione di un vettore secondo tre rette concorrenti

Basta scomporre il vettore secondo una delle tre direzioni date e il piano delle altre due,

~u

e successivamente applicare la scomposizione di un vettore in un piano secondo due rette

12 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.6. Vettori applicati

non parallele: .

~u = ~u + ~u + ~u

r s t

2.6. Vettori applicati

Un è una coppia dove è un punto e un vettore.

(A, ~v ), A ~v

vettore applicato

Il concetto di vettore applicato ha grande importanza in meccanica, come suggerisce

l’esempio delle forze in cui bisogna ovviamente tenere conto anche del punto di applicazione,

oltrechè dell’intensità, direzione e verso.

Momento di un vettore applicato rispetto a un polo O

Si chiama di un vettore applicato rispetto a un punto detto il

(A, ~v ), O

momento polo,

vettore (libero!) −→

(2.18) ∧ − ∧

m = OA ~v = (A O) ~v .

O

Nel caso che sia una forza si parla di nel caso che sia la quantità

~v ~v

momento della forza,

di moto di un punto (m~v ), si parla di o

momento della quantità di moto momento angolare.

È utile segnalare che il momento di un vettore applicato è un vettore applicato,

non

anche se, in molti casi, fa comodo pensarlo applicato nel polo rispetto a cui si calcola il

momento stesso.

Vale la seguente formula di trasporto:

−−→

− →

− →

0 0

(2.19) ∧ − ∧

m = m + O O ~v = m + (O O ) ~v .

0 O O

O

−−→ −−→ −−→

−→ −→

− , che è proprio

0 0 0

∧ ∧ ∧ ∧

m = O A ~v = ( O O + OA) ~v = O O ~v + OA ~v

Dimostrazione. 0

O

l’uguaglianza richiesta.

Dato un vettore applicato la retta per e parallela a si chiama

(A, ~v ), r A ~v retta di

del vettore .

~v

applicazione

Se è un punto di si ha

0

A r, −−→ −−→ −−→ −−→ −−→

−→

− 0 0 0 0 0

∧ ∧ ∧ ∧ ∧

m = OA ~v = (

OA + A A) ~v = OA ~v + A A ~v = OA ~v ,

O

−−→

in quanto .

0 k

A A ~v

Ne segue che se si sposta un vettore lungo la sua retta di applicazione, il momento dello

stesso rispetto a un punto non varia.

O

Momento assiale di un vettore applicato

Sia una retta orientata, di cui indichiamo con il versore, un punto di e

r ~e O r (A, ~v )

r

un vettore applicato. Si ha allora, detto un altro punto di

0

O r,

−−→ −−→

− →

− →

− →

0 0

· ∧ · · ∧ · ·

m ~e = ( m + OO ~v ) ~e = m ~e + OO ~v ~e = m ~e ,

0 0 0

r r r r r

O O O O

−−→

in quanto il prodotto misto è nullo ( ed sono paralleli).

0

OO ~e

r →

Il fatto che il cambio del polo non modifichi il prodotto scalare (cioè la componente

·~e

m r

O

di nella direzione di ci consente di introdurre il concetto di di un

m r) momento assiale

O

vettore applicato →

(2.20) ·

m = m ~e ,

r r

O

dove è un punto qualunque della retta

O r.

Luciano Battaia 13

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

2.7. Insiemi (o sistemi) di vettori applicati

Sia S S si dirà un

{(A

= , ~v ), i = 1, 2, . . . , n}. sistema di vettori applicati.

i i

Risultante e momento risultante

Se S è un sistema di vettori applicati, il vettore

n

(2.21) X

R = ~v

i

i=1

si dice del sistema, ed è un vettore libero.

Risultante

Il vettore n n

→ −→

(2.22) X X ∧

M = m = OA ~v

i i

O O,i

i=1 i=1

si dice del sistema, ed è un vettore libero. Nel seguito, quando

Momento risultante

non si darà adito a equivoci, tralasceremo dall’indicare esplicitamente gli estremi della

sommatoria. non si pensi al momento risultante come al momento del risultante, in

Attenzione:

quanto quest’ultima espressione è assolutamente priva di qualunque significato (poiché il

risultante non è un vettore applicato, non ha alcun senso calcolarne il momento).

Anche per il momento risultante di un sistema di vettori vale una formula che lega il

momento rispetto a diversi poli, formula molto simile a quella valida per un singolo vettore,

con la sostituzione però del vettore con il risultante .

~v R

Se S è un sistema di vettori applicati e sono due poli, si ha

0

O, O −−→

→ −

→ →

0

(2.23) ∧

M = M + O O R ,

0 O

O

formula analoga alla (2.19), valida per il momento di un singolo vettore.

Dimostrazione. −−→ −−→

→ −→

0 0

X X

∧ ∧

M = O A ~v = (

O O + OA ) ~v =

0 i i i i

O −−→ −−→

−→ −

0 0

X X X

∧ ∧ ∧

= O O ~v + OA ~v = O O ~v + M ,

i i i i O

e questa è proprio l’uguaglianza che si voleva provare.

Si noti, come conseguenza di questa formula, che per i sistemi a risultante nullo il

momento risultante non dipende dal polo.

Dato un sistema di vettori applicati e una retta per ciascun vettore si può calcolare il

r,

momento assiale; la somma dei momenti assiali si chiama del sistema di

momento assiale

vettori applicati.

Un risultato che ci sarà utile nel seguito e che riguarda il caso di vettori concorrenti in

un punto è il Teorema di Varignon.

Se i vettori sono concorrenti in un punto il momento risultante coincide con

(A , ~v ) A,

i i

il momento del risultante applicato in A.

14 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.7. Insiemi (o sistemi) di vettori applicati

Dimostrazione. −→ −→ −→ →

→ −→ (∗) X X

X ∧ ∧ ∧

∧ = OA ~v = OA ~v = OA R ,

M = OA ~v i i

i i

O

dove il passaggio segnato con è legato al fatto che se sposto i vettori lungo la retta di

(∗)

applicazione, il momento non cambia. ~v 4 ~v 3

~v A

5 4

b

A A

b

5 3

b b A

A 2

1 A ~v

b

b 2

~v 1

Figura 2.10. Teorema di Varignon

Coppia di forze

Un sistema costituito da due soli vettori di uguale modulo e direzione, ma con verso

opposto, si dice una e il caso che ci interesserà in particolare sarà quello

coppia di vettori,

di una coppia di forze. →

In questo caso , e quindi Per quanto riguarda il momento

~

−~v

~v = = ~u R = 0.

1 2

risultante, in base alla formula di trasporto 2.23 possiamo concludere, come già osservato,

che il momento risultante della coppia non dipende dal polo.

~v 1

A

1

b

d A

2

b

~v 2

Figura 2.11. Coppia di vettori

→ −

→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −

∀ ∧ ∧ ∧ ∧ −~u

O, M = M = A A ~v + A A ~v = A A ~v = A A = M ,

1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2

O A 1

Il momento è individuato dalle caratteristiche seguenti:

M

1. k k k;

M = dk~u

2. direzione: perpendicolare al piano individuato dai due vettori;

3. verso: individuato dalla regola della mano destra (nel caso della figura 2.11 il verso

è entrante nel foglio).

La distanza, tra le due rette d’azione dei vettori si chiama anche

d, braccio della coppia

e, se la coppia si dice In questo caso è nullo anche il momento

d = 0, di braccio nullo.

risultante (rispetto ad un polo arbitrario).

Luciano Battaia 15

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

Trinomio invariante o invariante scalare →

Se si moltiplicano ambo i membri della formula di trasporto (2.23) per si trova

R

−−→

→ →

− −

→ →

− →

− →

− −

→ →

0

· · ∧ · ·

M R = M R + O O R R = M R ,

0 0

O O O

→ →

che si può leggere dicendo che la componente di secondo la risultante non dipende

M R

O −

→ →

dal polo, ovvero è un invariante. Poiché la scrittura esplicita di con le componenti

·

M R

O

→ →

dà luogo a un trinomio, il prodotto scalare si chiama o anche

·

M R trinomio invariante

O

del sistema di vettori e, a causa dell’indipendenza da si può scrivere

O,

invariante scalare

→ →

semplicemente .

·

M R

2.8. Asse centrale di un sistema di vettori applicati

− −

Consideriamo un sistema S di vettori a risultante non nullo ( e sia il mo-

~

6

R = 0) M O

mento risultante rispetto a un polo che per il momento supponiamo non parallelo a

O,

− −

→ →

. Ha interesse notevole la scomposizione di secondo la direzione di e il piano

R M R

O

perpendicolare a stesso. La scomposizione è riportata nella figura 2.12 e si scrive:

R −

→ →

(2.24) M = µ + N ,

O O →

dove abbiamo indicato con la componente parallela a (che, come sappiamo, non

µ R

− →

dipende da e con quella nel piano perpendicolare (quindi perpendicolare a ).

O) N µ

O −

µ −

→ M

R O

O −

b N O

Figura 2.12. Scomposizione del momento risultante di un sistema di vettori

A scanso di equivoci segnaliamo che nella figura 2.12 il vettore è stato applicato in

M O

per pura comodità: come già detto non è un vettore applicato.

O M O −

Riprendiamo in esame la scomposizione di e tracciamo la retta per perpendicolare

M O

O

a e . Su di essa prendiamo un punto in modo che

µ N A

O →

− −→ →

(2.25) ∧

N = OA R ,

O →

cioè in modo tale che il momento, rispetto a del risultante applicato in sia proprio

O, R A

− −→

. Basterà scegliere in modo che

N OA

O →

−→ k k

N O

k ,

OAk = →

k k

R

16 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.8. Asse centrale di un sistema di vettori applicati

e, naturalmente, in modo che la formula (2.25) sia corretta anche dal punto di vista del

verso.

Per le note proprietà del momento, anche tutti i punti della retta per e parallela a

a A

− soddisfano la condizione espressa dalla formula (2.25).

R −

R

→ −

R µ b

M A

O a

O

r b −

N O

Figura 2.13. Individuazione dell’asse centrale

La retta non dipende dalla scelta del polo rispetto a cui si è calcolato il momento

a O

risultante. Sia infatti un altro polo e, in corrispondenza ad esso, determiniamo un altro

0

O

punto come sopra indicato. Si ha, naturalmente,

0

A −−→

→ →

− →

− →

0 0 ∧

M = N + µ = O A R + µ,

0 0

O O

→ →

− −

→ →

− →

M = N + µ = OA R + µ,

O O

e anche −−→

→ −

→ →

0 ∧

M = M + O O R .

0 O

O

Da qui si ottiene −−

→ −−

− −→ →

− →

− →

0 0 0

∧ ∧ ∧ ⇒

O A R + µ = OA R + µ + O O R

−−→ −−→ −−→ −−→

−→ →

− →

− →

0 0 0 0 0 0

~ ~

∧ ⇒ ∧ ⇒ k ⇒ ∈

( A O + O O + OA) R = 0 A A R = 0 A A R A a .

Dunque la retta dipende solo dal sistema di vettori e prende il nome di

a asse centrale

del sistema stesso.

Se prendiamo proprio sull’asse centrale otteniamo

O −

→ −→ →

− →

− →

M = OA R + µ = µ

O

cioè il momento risultante rispetto a un punto dell’asse centrale è parallelo al risultante e

coincide con la componente parallela al risultante del momento rispetto a un polo generi-

co. Se ne può anche dedurre che l’asse centrale è il luogo dei punti di minimo momento

→ →

risultante e anche che se per caso è parallelo a , allora è già un punto dell’asse

M R O

O

centrale.

Luciano Battaia 17

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

2.9. Sistemi di vettori equivalenti

Due sistemi di vettori applicati S e S si dicono se hanno lo stesso risultante

0 equivalenti

e lo stesso momento risultante rispetto a un polo qualunque.

O

In realtà l’uguaglianza del risultante e del momento risultante rispetto a un polo O

assicura l’uguaglianza del momento risultante rispetto a un polo qualunque. Sia infatti,

− →

− −

→ −

per un dato polo , , e consideriamo un altro polo . Si ha

0

O, R = R M = M O

1 2 O,1 O,2 −−→

→ −

→ →

0 ∧

M = M + O O R ,

0 1

O,1

O ,1 −−→

→ −

→ →

0 ∧

M = M + O O R .

0 2

O,2

O ,2

→ −

Da qui si deduce subito che .

M = M

0 0

O ,1 O ,2

Operazioni elementari

Alcune operazioni eseguite su un sistema di vettori applicati non ne modificano il risul-

tante e il momento risultante. Esse sono dette e sono le seguenti.

operazioni elementari

1. l’aggiunta o soppressione di una o più coppie di braccio nullo;

2. la sostituzione di più vettori applicati in un punto col loro risultante applicato nel-

lo stesso punto, oppure di un vettore applicato in un punto con due o più vettori

applicati nello stesso punto e aventi come risultante il vettore dato;

3. il trasporto di un vettore lungo la sua retta di applicazione.

In realtà la terza operazione è conseguenza della seconda, ma abbiamo preferito enun-

ciarla separatamente per semplicità. Dato infatti e considerato un punto della

(A, ~a

) B

retta di applicazione di aggiungiamo la coppia di braccio nullo e suc-

∨ −~a

A, (B, ~a

) (B, ),

cessivamente sopprimiamo la coppia di braccio nullo ci resta solo il vettore

−~a

(A, ~a

)∨(B, );

che è il traslato su del vettore .

(B, ~a

), B ~a

2.10. Riduzione di un sistema di vettori applicati

Utilizzando le tre operazioni elementari sopra descritte si può ridurre un sistema di

vettori applicati ad un sistema molto più semplice, senza alterare né il risultante né il

momento risultante.

È molto importante tenere presente che il sistema ridotto ottenuto è equivalente a quello

originario secondo la definizione data (cioè ha lo stesso risultante e lo stesso momento

risultante), ma ovviamente a tutti gli effetti. Per un esempio semplice si

non è equivalente

pensi a due punti materiali collegati da una molla e non sottoposti a nessuna altra forza: il

sistema di forze agenti è costituito da una coppia di braccio nullo e quindi, sopprimendo la

coppia stessa, è equivalente ad un sistema in cui non agisca alcuna forza, ma naturalmente

in questo caso la sola conoscenza di risultante e momento risultante non è sufficiente a

trattare il problema meccanico dei due punti collegati da una molla. Come vedremo nello

studio dei corpi rigidi, invece, la conoscenza di risultante e momento risultante del sistema

di forze agenti è sufficiente a risolvere i problemi di equilibrio e di moto, per cui, in casi

come questo, la semplificazione che si ottiene riducendo il sistema di forze originario ad

uno costituito da meno vettori è di grande importanza applicativa.

18 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.10. Riduzione di un sistema di vettori applicati

Riduzione a tre vettori applicati in tre punti prefissati, non allineati

Sia dato un sistema S di vettori applicati e tre punti , e , non allineati. Consi-

P P P

1 2 3

derato il vettore di S, possiamo considerare le tre rette , e

(A , ~a ) r : A P s : A P t : A P

i i i 1 i 2 i 3

e scomporre il vettore secondo le tre rette (vedi la figura 2.9 nella pagina 12). Se per

a

~

i

caso è complanare ai tre punti dati, la scomposizione può avvenire con solo due

(A , ~a )

i i

vettori. Trasportiamo poi i tre vettori ottenuti nei tre punti. Ripetendo l’operazione per

ogni vettore del sistema e sommando poi i vettori ottenuti in , e otteniamo la

P P P

1 2 3

riduzione richiesta. w

~ i P

2

~a

P i ~v

3 i

b

b

t s

A

i b P

1

r b ~u i

Figura 2.14. Riduzione a tre vettori

Riduzione a due vettori di cui uno in un punto prefissato

Sia dato un sistema S di vettori applicati e un punto . Si può ridurre il sistema S

P

preventivamente a tre vettori, di cui uno in e due in altri punti ed e

P Q S: (P, ~v ), (Q, w)

~

(S, ~u

).

Se e sono complanari, essi si possono ridurre a un unico vettore: se non

(Q, w)

~ (S, ~u

)

sono paralleli basta trasportarli lungo la loro retta di azione fino al punto di intersezione

O

delle due rette e poi sommarli; se sono paralleli si può aggiungere una coppia di braccio

nullo in ed sommare i due vettori che sono applicati in e i due che sono applicati

Q S, Q

in e poi ripetere l’operazione di trasporto.

S Q Q

w

~ b

b O w

~

b

O ~u

b

S

b ~u

b

S

Figura 2.15. Riduzione a due vettori: caso particolare

Anche il caso che stia sulla retta di applicazione di oppure di si risolve

P (Q, w)

~ (S, ~u

)

banalmente, sommando con il traslato di oppure di

(P, ~v ) (Q, w)

~ (S, ~u

).

Se non si verifica nessuna delle due condizioni indicate, consideriamo i piani indivi-

α,

duato da , e e individuato da , e , e indichiamo con la loro retta

P Q Q + w

~ β, P S S + ~u r

Luciano Battaia 19

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

di intersezione. Sia poi un punto di diverso da .

O r, P

Nel piano possiamo decomporre il vettore secondo le rette e nel piano

α (Q, w)

~ P Q OQ;

possiamo decomporre il vettore secondo le due rette e Di questi quattro

β (S, ~u

) P S OS.

vettori due si possono trasportare in e due in

P O.

A questo punto in abbiamo tre vettori che possiamo sommare, mentre in due vettori

P O

che possiamo sempre sommare: il gioco è fatto.

r

O S

b b

~u Q w

~

b

~v

P b

Figura 2.16. Riduzione a due vettori: caso generale

Riduzione a un vettore applicato in un punto e a una coppia

Se è il punto dato, riduciamo preventivamente il sistema a un vettore applicato in

P ~v

e a uno, applicato in un punto Applichiamo poi la coppia di braccio nullo

P w,

~ O. (P, w),

~

Se si sostituiscono i vettori e con la loro somma, si ha il risultato

(P, w).

~ (P, ~v ) (P, w)

~

richiesto: il sistema è ridotto a un vettore (il risultante!) applicato in e a una coppia.

P

È chiaro che il momento della coppia coincide con il momento del sistema di vettori

M

rispetto al punto .

P −

R

~v w

~

w

~

− b

P w

~

b

O

Figura 2.17. Riduzione a un vettore e a una coppia

20 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli

La conclusione, molto importante per le applicazioni in particolare ai corpi rigidi, è che

S S

0

un qualunque sistema è riducibile a un sistema costituito dal risultante applicato in

→ .

P M

un punto qualsiasi e da una coppia di momento uguale a P

Riduzione di sistemi a trinomio invariante nullo

Ridotto un sistema S al solo risultante applicato in un punto e a una coppia il cui

P

momento coincide col momento di S rispetto a , vediamo che cosa succede se il trinomio

M P

→ →

invariante ( ) è nullo.

·

M R

→ →

L’annullarsi di è possibile in uno dei seguenti casi:

·

M R

1. il sistema S è riducibile solo a una coppia;

~

R = 0 :

2. il sistema è riducibile solo al risultante (che possiamo applicare in un punto

~

M = 0 :

qualsiasi, in particolare su un punto dell’asse centrale, per analogia col successivo

caso);

→ →

− −

3. se scegliamo sull’asse centrale ne deduciamo che (oltre a essere

M R : P M

− →

perpendicolare a ) è anche parallelo a (perché questa è una proprietà dell’asse

R R −

centrale); questo è naturalmente possibile solo se e allora S è riducibile solo

~

M = 0

al risultante (applicato in un punto dell’asse centrale).

È viceversa immediato che se il sistema S è riducibile solo a una coppia o a un vettore,

il suo trinomio invariante è nullo.

Ne possiamo concludere che S

un sistema è riducibile solo a una coppia o al risultante

applicato in un punto dell’asse centrale se e solo se il suo trinomio invariante è nullo.

Sistemi piani →

È un sistema di vettori applicati contenuti in un piano. In questo caso ovviamente è

R

necessariamente parallelo al piano e, se si assume un polo sul piano, è perpendicolare

O M O

al piano. Dunque il trinomio invariante è nullo.

Allora:

1. se il sistema è riducibile solo a una coppia (eventualmente a braccio nullo se

~

R = 0

anche ~

M = 0);

2. se il sistema è riducibile a un solo vettore applicato sull’asse centrale (ovvia-

~

6

R = 0

mente contenuta nello stesso piano dei vettori).

2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli

Se i vettori di un sistema S sono tutti tra di loro paralleli (è un caso

{(A

= , ~a )}

i i

di grande importanza in quanto si applica, per esempio, al caso della forza peso per un

corpo non troppo esteso), il risultante è necessariamente parallelo ai vettori stessi, mentre

il momento risultante rispetto a un polo qualunque è parallelo a un piano ortogonale

O

alla direzione comune dei vettori, e quindi è perpendicolare al risultante. Ne segue che il

trinomio invariante è nullo e che il sistema è riducibile al solo risultante (applicato sull’asse

centrale) o a una coppia.

Supponiamo e applichiamolo su un punto dell’asse centrale (necessariamente

~

6

R = 0 A →

− −

parallela ai vettori dati). Poichè il sistema è equivalente a deve coincidere

( R , A), M O

con il momento del solo risultante (attenzione: questa proprietà non è valida in generale!).

Luciano Battaia 21

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

Dunque −

→ −−→ −→ →

(2.26) X ∧ ∧

M = OA ~a = OA R .

i i

O ~k),

Consideriamo un sistema di coordinate con l’asse parallelo ai vettori e

(O,~ı, ~, z

indichiamo con le coordinate di con quelle di , con e le

(x , y , z ) A, (x , y , z ) A R a

i i i i z iz

A A A

uniche componenti di e rispettivamente.

R ~a

i

Da (2.26) otteniamo ~k ~k

~ı ~ ~ı ~

X

= .

x y z x y z

i i i

A A A

0 0 R 0 0 a

z iz

Ne segue X X

x R = x a , y R = y a .

z i iz z i iz

A A

L’equazione dell’asse centrale è allora

1 1

(2.27) X X

x = x a , y = y a .

i iz i iz

R R

z z

Centro di un sistema di vettori applicati paralleli

Se introduciamo un versore parallelo ai vettori avremo (a è la componente

~e ~a ~a = a ~e

i i i i

di secondo ). Scelto ad arbitrio un punto consideriamo il punto dato da

~a ~e O, C

i −→ →

−−→ 1

(2.28) X ~

6

a OA ( R = R~e = 0) .

OC = i i

R

Se si fanno ruotare tutti i vettori di uno stesso angolo attorno ai loro punti di appli-

~a

i

cazione, le ed non cambiano e dunque il punto definito da (2.28) rimane lo stesso.

a R C

i

Se poi si prende un sistema di assi cartesiani con l’asse parallelo ed equiverso a , allora

z ~e

e coincidono con e di (2.27), dunque le coordinate di soddisfano l’equazio-

R a R a C

i z iz

ne dell’asse centrale o, detto in altri termini, sta sull’asse centrale e, in base alla sua

C

definizione si può pensare come il punto di intersezione tra l’asse centrale del sistema S

e quello di un sistema S ottenuto ruotando tutti i vettori come detto sopra. Dunque

0 C

non dipende da in quanto l’asse centrale è una caratteristica intrinseca di un sistema

O,

di vettori a risultante non nullo.

L’indipendenza di da ci autorizza a chiamare il punto

C O C centro del sistema di vettori

applicati paralleli.

Si noti, perché ci servirà in seguito, che in si può pensare applicato il risultante dei

C

vettori dati, essendo sull’asse centrale.

C

Esempio

Consideriamo il caso di due soli vettori e distinguendo il caso che siano

(A , ~a ) (A , ~a ),

1 1 2 2

concordi o discordi.

Scegliamo anche l’asse concorde con essi, così come il vettore . Nella

e concordi.

~a ~a ~e

1 2

formula (2.28) allora . Se prendiamo una volta coincidente con e una

R = a + a O A

1 2 1

volta con otteniamo

A

2 −−−→ −−−→

−−→ −−→

a A A a A A

2 1 2 1 2 1

A C = , A C = .

1 2

a + a a + a

1 2 1 2

22 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli

−−→ −−→ −−−→ −−−→

Dunque e sono paralleli ed equiversi, rispettivamente, ad e . sta

A C A C A A A A C

1 2 1 2 2 1

quindi sul segmento . Si ha inoltre

A A

1 2 a

A C 2

1 = ,

a

A C 1

2

ovvero la distanza di da e è inversamente proporzionale ai moduli dei due vettori.

C A A

1 2

(ma non costituenti coppia, altrimenti tutto il discorso cade, non esistendo

e discordi

~a ~a

1 2

più l’asse centrale). Si può procedere come nel caso precedente (e il lettore è invitato a

farlo per esercizio) e provare che ora è esterno al segmento e situato dalla parte del

C A A

1 2

vettore di modulo maggiore, e vale ancora la stessa proporzione di prima. Si può provare

(e lo si lascia per esercizio) che se il rapporto dei due moduli tende a allora tende

1, C

all’infinito.

In coordinate cartesiane, tenendo conto che

− da cui

ä

ÄX X

X X a ~e, R = a ,

R = ~a = a ~e = i i

i i

si ottiene P P P

a x a y a z

i i i i i i

(2.29) x = , y = , z = .

C C C

P P P

a a a

i i i

Si noti l’analogia con le definizione di centro di massa di un sistema di punti , di masse

P i

:

m

i P P

P m y m z

m x i i i i

i i

(2.30) , y = , z = .

x = CM CM

CM P P P

m m m

i i i

Baricentro

Il caso di vettori applicati paralleli è particolarmente importante quando si considera un

sistema, “non troppo esteso”, di punti soggetti alla forza peso. In questo caso i vettori ~a

i

sono le forze peso (parallele appunto se il corpo non è troppo esteso) e il punto prende

C

il nome di e si indica abitualmente con (centro di gravità).

G

baricentro

Si noti che il se le forze peso non possono essere considerate pa-

baricentro non esiste

rallele. Si noti altresì che, invece, il concetto di centro di massa ha sempre senso. Se poi

esistono entrambi, allora i due punti coincidono. Per provarlo si può osservare che se, in

un sistema di vettori applicati paralleli, ogni vettore viene moltiplicato per un fattore il

k,

centro non cambia. Si ha infatti:

C −→ −→

−−→ P P

a OA ka OA

i i i i

OC = = .

P P

a ka

i i

Per passare dal baricentro al centro di massa si può osservare che nel primo caso a = m g,

i i

nel secondo .

a = m

i i

Proprietà del baricentro

Per l’importanza che ha nelle applicazioni future occupiamoci subito un po’ più in det-

taglio del baricentro di un sistema di punti, facendo dunque l’ipotesi che le forze peso siano

parallele (ovvero che il sistema di punti non sia troppo esteso).

Luciano Battaia 23

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

Richiamiamo, per comodità, la definizione di baricentro (che coincide con quella di centro

di massa nelle ipotesi in cui ci siamo posti): −

−→

−−→ P OP

m i

i

(2.31) OG = .

P m i

Segnaliamo, perché ci sarà utile in seguito, che dalla formula (2.31) si deduce la seguente

−−→

(2.32) X ~

GP = 0 .

m i

i

Per il baricentro valgono alcune proprietà che qui riassumiamo brevemente.

Se S S S e S ha baricentro e risultante , mentre S

Proprietà distributiva. = G R

1 2 1 1 1 2

ha baricentro e risultante , allora il baricentro di S si trova come baricentro dei

G R G

2 2

− →

due vettori ed , applicati in e .

R R G G

1 2 1 2

Un sistema S ha un

Proprietà di simmetria materiale. π,

piano diametrale coniugato a

non parallela al piano, quando a ogni punto di S ne fa riscontro un altro,

s,

una direzione

di ugual massa, situato sulla parallela a passante per il primo punto e alla stessa distanza

s

da ma da banda opposta. Si veda un esempio nella figura 2.18 che segue.

π, s

π

Figura 2.18. Piano diametrale coniugato a una direzione

Nel caso di sistemi piani si può parlare di retta diametrale coniugata a una direzione A

s.

volte si usano i nomi “piano (o retta) di simmetria materiale”.

Agli effetti del calcolo del baricentro si può affermare che se un sistema ha un piano di

simmetria materiale, allora il baricentro vi appartiene.

Il baricentro appartiene sempre all’involucro convesso

Proprietà dell’involucro convesso.

del corpo.

Esempio

Baricentro di una lamina triangolare omogenea.

24 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli

B b C

b

b M

A AC

b

Figura 2.19. Ricerca del baricentro di una lamina triangolare omogenea

Le mediane sono assi di simmetria materiale coniugate ai rispettivi lati: G coincide con il

baricentro geometrico del triangolo.

Esempio

Baricentro di una lamina omogenea a forma di quadrilatero convesso.

Usando le due diagonali possiamo dividere il quadrilatero in due triangoli in due modi

diversi, ottenendo i baricentri , , , e , facilmente determinabili. Per la propreità

G G G G

1 2 3 4

distributiva il baricentro del quadrilatero deve stare sull’intersezione tra e .

G G G G G

1 2 3 4

Come esercizio si generalizzi l’esempio precedente a un poligono di lati: basterà

n

decomporlo, in due modi diversi, in un poligono di lati e un traingolo, e poi. . .

n 1

B B

b b

C C

G b b

G

1 4

b b

G 3

G 2 b

b

b b

A

A b b

D D

Figura 2.20. Baricentro di un quadrilatero omogeneo

Esempio

Baricentro di un tetraedro omogeneo ABCD.

Luciano Battaia 25

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

A

b

G G

2 D

b b b

B b b G 1

b

M b C

Figura 2.21. Determinazione del baricentro di un tetraedro omogeneo

I piani per uno spigolo e il punto medio del lato opposto sono palesemente piani di

simmetria materiale (come il piano della figura 2.21), coniugati alla direzione dello

ADM

spigolo che tagliano a metà. Pertanto appartiene all’intersezione di questi piani. Per

G

ogni vertice, per esempio ne passano Essi contengono, ciascuno, una delle mediane

A, 3.

della faccia opposta, per esempio Dunque tutti tre passano per il baricentro del-

BCD.

la faccia opposta (in questo caso ) e quindi contengono la retta dal vertice a questo

G 1

baricentro. Dunque sta su , e analogamente su : questo consente di trovarlo

G AG DG

1 2

immediatamente.

Nel triangolo , è di e è di i due triangoli

1 1

M G G M G / M A, M G / M D; M G G

3 3

2 1 2 1 2 1

e sono allora simili per avere un angolo in comune e due lati proporzionali. Allora

M AD

è di ed è parallelo ad

1

G G / AD AD.

3

2 1

La similitudine dei triangoli e permette di concludere che è la terza

G GG AGD GG

2 1 1

parte di Si può concludere che è il baricentro della sezione parallela alla base

AG. G BCD,

condotta a dell’altezza, a partire dalla base. Si completino per esercizio le poche parti

1

/

4

mancanti della dimostrazione.

2.12. Sistemi particellari e sistemi continui

In tutto questo capitolo si è trattato sempre di sistemi “particellari” di punti. Nelle

applicazioni sono di grande importanza anche i sistemi continui. La trattazione dei sistemi

continui, dal punto di vista meccanico, non manifesta alcuna differenza.

Dal punto di vista matematico le grandezze “finite” che sono state utilizzate andranno

sostituite con “funzioni densità” e le sommatorie andranno sostituite opportunamente con

integrali.

Ci spieghiamo con un esempio, riservandoci di precisare la situazione tutte le volte che

sarà necessario.

26 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 2.12. Sistemi particellari e sistemi continui

La definizione di baricentro (formula 2.31 nella pagina 24)

−→

−−→ P OP

m i

i

(2.31) OG = ,

P m

i

andrà riscritta nel seguente modo: −−→

Z %(P )

OP dτ

−−→

(2.33) OG = Z %(P ) dτ

ove è la densità (lineare, superficiale o cubica) di massa, è “l’elemento infinitesimo”

%(P ) dτ

di linea, superficie o volume, e l’integrale è esteso a tutta la regione occupata dal sistema.

La quantità è, come si usa dire, la “massa infinitesima” “dell’elemento infinitesimo”

%(P ) dτ

.

Luciano Battaia 27

28

3. Vincoli e gradi di libertà

3.1. Vincoli e classificazione

Per individuare la posizione di un punto nello spazio fisico (assimilabile a ) abbiamo

3

P R

bisogno di tre parametri, per esempio le sue tre coordinate cartesiane. Se consideriamo un

sistema di punti avremo bisogno in generale di parametri, e per un corpo continuo

N 3N

addirittura di parametri.

Ci rendiamo però subito conto che ci possono essere, in generale, delle condizioni sui

possibili valori di questi parametri. Per esempio, se nel caso di due punti “liberi” servono

sei parametri, è evidente che se i due punti sono costretti a mantenere invariata la loro

distanza, di parametri atti a determinare in ogni istante la loro posizione ne bastano di

meno (5 come vedremo).

(Vincolo).

Definizione 3.1 Ogni “condizione restrittiva” che limita le posizioni e/o le

vincolo.

velocità di un sistema si chiama un Queste “condizioni restrittive” sono espresse

da equazioni e/o disequazioni (anche differenziali) tra le coordinate dei punti o i parametri

che servono a individuare la posizione dei sistemi di punti.

Per quanto interessa le applicazioni ci sono varie classificazioni possibili dei vincoli: ne

esamineremo qui di seguito alcune, segnalando subito che di una caratteristica importante

dei vincoli (lisci o non lisci) potremo occuparci solo in seguito.

Vincoli interni ed esterni

Una prima distinzione tra i tipi di vincoli si può fare tra i e quelli

vincoli interni esterni.

Sono vincoli per esempio il vincolo di rigidità, che impedisce ai punti di un

interni

sistema di variare le loro mutue distanze, e il vincolo di incomprimibilità nei liquidi.

Sono vincoli invece quei dispositivi, in genere dovuti alla presenza di altri corpi,

esterni

che impediscono ad un sistema di muoversi nel modo più generale possibile. Esempi sono

quelli dell’appartenenza di un punto a una linea o a una superficie, il vincolo che costringe

un corpo rigido a ruotare attorno ad un asse, oppure ad avere un punto fisso, ecc.

Vincoli olonomi e anolonomi

Una seconda distinzione, di grande importanza ai fini di questo corso, è quella tra i

e quelli

vincoli olonomi anolonomi.

Si dicono i vincoli che limitano le configurazioni accessibili da un sistema, cioè

olonomi

che sono esprimibili mediante equazioni o disequazioni in termini finiti coinvolgenti le

coordinate dei punti o i parametri che servono a individuare la posizione dei sistemi di

punti. Gli esempi sopra citati sono tutti di vincoli olonomi.

Si dicono o non olonomi i vincoli la cui rappresentazione analitica non è possi-

anolonomi

bile solo mediante equazioni o disequazioni in termini finiti tra i parametri che determinano

la posizione del sistema, ma richiedono anche qualche relazione differenziale non ricavabile

per derivazione da una relazione in termini finiti. Generalmente si tratta dei cosiddetti

“vincoli di mobilità”, che limitano le velocità che i punti di un sistema possono assumere.

29

3. Vincoli e gradi di libertà Appunti di meccanica razionale

Un esempio classico è il vincolo che costringe una sfera a rotolare senza strisciare su

un piano. Anche il vincolo che costringe un disco a rotolare senza strisciare su una guida

rettilinea, mantenendosi in un piano fisso, è di questo tipo, ma, come vedremo, esso può

anche essere espresso in termini finiti: si tratta di un vincolo intrinsecamente anolonomo,

ma che può essere trattato come vincolo olonomo.

Vincoli bilateri e unilateri

Una ulteriore distinzione che ci interesserà nel seguito è quella tra (o

vincoli bilateri

e (o

bilaterali) vincoli unilateri unilaterali).

Si dicono quei vincoli che possono essere espressi da coinvolgenti le

bilateri equazioni

coordinate dei punti o i parametri che servono a individuare la posizione dei sistemi di

punti.

Si dicono quei vincoli che possono essere espressi da coinvolgenti

unilateri disequazioni

le coordinate dei punti o i parametri che servono a individuare la posizione dei sistemi di

punti.

Nel caso di vincoli distinguiamo tra le posizioni in cui le disequazioni presenti

unilateri

sono effettivamente verificate come disuguaglianze (il vincolo è come se non ci fosse) che

chiameremo posizioni (o configurazioni) e le posizioni in cui almeno una delle

ordinarie

disequazioni è verificata come equazione, posizioni che chiameremo di confine.

Se si ha, come esempio, un pendolo a filo (punto materiale sospeso tramite un filo

inestensibile e di massa trascurabile) e si prende un sistema di coordinate con centro nel

punto di sospensione, i parametri atti a determinare la posizione del pendolo sono le tre

coordinate cartesiane del punto: Il vincolo può essere espresso mediante una

x, y, z.

disequazione del tipo , dove è la lunghezza del filo. In una posizione

2 2 2 2

x + y + z l l

di confine si ha e il vincolo stabilisce effettivamente un legame tra i

2 2 2 2

x + y + z = l

tre parametri: noti due di essi si può ricavare il terzo; in una posizione ordinaria si ha

e la presenza del vincolo non permette di stabilire un legame per cui noti

2 2 2 2

x + y + z < l

due dei tre parametri si possa ricavare il terzo.

Vincoli fissi e mobili

L’ultima caratteristica dei vincoli che ci interesserà è la distinzione tra e

vincoli fissi

vincoli mobili.

Si dicono i vincoli nei quali il tempo non compare nelle equazioni o

fissi esplicitamente

disequazioni che li definiscono.

Si dicono i vincoli nei quali il tempo compare in maniera nelle equazioni

mobili esplicita

o disequazioni che li definiscono.

Consideriamo come esempio un punto , individuabile tramite le sue coordinate car-

P

tesiane vincolato ad appartenere a un piano di equazione se

x, y, z, ax + by + cz = d:

i coefficienti sono costanti, il vincolo è fisso, se almeno uno di essi è variabile

a, b, c, d

nel tempo, il vincolo sarà mobile. Più in generale se il punto è vincolato a stare su una

superficie fissa, rappresentabile in coordinate cartesiane, il vincolo sarà esprimibile con una

equazione del tipo se invece è vincolato a stare su una superficie mobile, sem-

f (x, y, z) = 0,

pre rappresentabile in coordinate cartesiane, il vincolo sarà esprimibile con una equazione

del tipo f (x, y, z, t) = 0.

È molto importante distinguere la dipendenza esplicita dal tempo dalla dipendenza im-

plicita: è chiaro che durante il moto del punto i suoi parametri variano nel tempo. Quello

30 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 3.2. Il vincolo di rigidità e gli angoli di Eulero

che però qualifica un vincolo come mobile non è ovviamente questa dipendenza implicita

dal tempo, ma solo la dipendenza esplicita dal tempo dell’equazione che esprime il vincolo.

3.2. Il vincolo di rigidità e gli angoli di Eulero

Il vincolo di rigidità gioca un ruolo essenziale in questo corso e in generale nelle applica-

zioni. Per lo studio del moto di un corpo sottoposto al vincolo interno di rigidità (corpo ri-

o, brevemente, occorre in sostanza studiare il moto di una terna di riferimento,

gido rigido)

~k)

detta S(O,~ı, rispetto alla terna di riferimento fissa,

~, Σ(Ω, ~e , ~e , ~e ).

solidale, 1 2 3

Per determinare la posizione di S rispetto a occorre innanzitutto individuare, per

Σ

esempio mediante le sue tre coordinate cartesiane, la posizione di successivamente

O;

~k)

occorrerà determinare l’orientazione della terna rispetto alla Tra le

(~ı, ~, (~e , ~e , ~e ).

1 2 3

scelte più comode e più comuni per fare questo rientra quella degli Per

angoli di Eulero.

la loro individuazione possiamo supporre ≡

Ω O.

~e 3

~k ~

ϑ ~e 2

b O Ω

ϕ

~e 1 ψ

~n ~ı

Figura 3.1. Angoli di Eulero ~k,

Cominciamo ad indicare con l’angolo, compreso tra e tra e angolo che chiame-

ϑ 0 ~e

π, 3

~k

remo Il piano di e (a cui appartiene l’angolo di nutazione) prende

~e

angolo di nutazione. 3

anche il nome di Se oppure i piani (detto

ϑ = 0 ϑ = (Ω, ~e , ~e )

π,

piano meridiano. piano

1 2

e (detto coincidono e l’angolo tra e permette

(O,~ı, ~

) ~e ~ı

dell’eclittica) piano equatoriale) 1

di determinare la posizione della terna solidale. Altrimenti consideriamo l’intersezione dei

due piani detti e indichiamola con (linea orientandola definendone il versore

n dei nodi),

~k.

mediante Consideriamo poi l’angolo formato da ed ,

∧ ≤

~n = ~e ϕ (0 ϕ < 2π) ~e ~n

3 1

che chiameremo e l’angolo formato da e che

ψ (0 ψ < 2π) ~n ~ı,

angolo di precessione,

chiameremo angolo di rotazione propria.

I tre angoli di nutazione, precessione e rotazione propria prendono il nome di

ϑ, ϕ, ψ

angoli di Eulero e individuano univocamente l’orientazione della terna solidale (e quindi del

rigido) rispetto alla terna fissa. Segnaliamo che i nomi degli angoli e dei piani intervenuti

nella introduzione degli angoli di Eulero hanno origini astronomiche evidenti.

Luciano Battaia 31

3. Vincoli e gradi di libertà Appunti di meccanica razionale

3.3. Rappresentazione analitica dei vincoli

Gli esempi proposti rendono evidente che nel caso di un sistema particellare (punti

materiali) o nel caso di un sistema di corpi continui costituiti da uno o più rigidi, occorrono

parametri per individuare la posizione di ogni punto e parametri per individuare la

3 6

posizione di ogni corpo rigido: in totale un numero di parametri, che possiamo indicare

r

con .

ξ , ξ , . . . ξ

1 2 r

Ciò significa che se è il generico punto del sistema, la sua posizione può essere espressa

P

in funzione degli parametri ed eventualmente, anche se non rientra tra le

r ξ , ξ , . . . ξ

1 2 r

situazioni che noi considereremo, può dipendere esplicitamente dal tempo. Scriveremo

brevemente: −−→ −−→

(3.1) OP = OP (ξ , ξ , . . . , ξ , t) .

1 2 r

Un vincolo può essere pensato sempre come un’equazione o una disequazione coinvolgente

questi parametri ed eventualmente le loro derivate prime. In linea teorica si potrebbero

anche considerare situazioni in cui esistono equazioni (o disequazioni) coinvolgenti anche le

derivate di ordine superiore, ma una tale situazione rappresenterebbe un modello di sistema

materiale non concretamente realizzabile e quindi (almeno per ora!) privo di interesse. Un

vincolo di posizione (olonomo) è costituito da equazioni o disequazioni nei parametri, un

vincolo di mobilità (anolonomo) è costituito da equazioni (o disequazioni) coinvolgenti

anche le derivate (prime) dei parametri.

Ci occuperemo in questo corso in maniera quasi esclusiva di vincoli olonomi e bilateri: le

condizioni imposte dai vincoli potranno dunque essere espresse mediante un certo numero,

di equazioni nei parametri ed eventualmente nel tempo (se i vincoli sono mobili):

ν,  f (ξ , ξ , . . . , ξ , t) = 0

1 1 2 r

 f (ξ , ξ , . . . , ξ , t) = 0

 2 1 2 r

(3.2) . . .

 f (ξ , ξ , . . . , ξ , t) = 0

 ν 1 2 r

Le stesse equazioni (3.2) potranno rappresentare anche situazioni di vincoli unilateri in

posizione di confine.

Per evitare situazioni “patologiche” richiederemo che i vincoli soddisfino le seguenti due

condizioni:

1. deve esistere almeno una configurazione possibile;

compatibilità:

2. il rango della matrice Jacobiana

indipendenza:  

∂ f ∂ f ∂ f

1 1 1

...

∂ξ ∂ξ ∂ξ r

1 2

 

 

∂ f ∂ f ∂ f

2 2 2

...

Ç å

∂ f  

i ∂ξ ∂ξ ∂ξ

(3.3)  

= r

1 2

 

∂ξ  

... ... ... ...

j  

 

 

∂ f ∂ f ∂ f

ν ν ν

...

∂ξ ∂ξ ∂ξ r

1 2

deve essere massimo.

Per esempio se un punto è vincolato ad appartenere a due piani, a x + b y + c z + d = 0

1 1 1 1

e occorrerà che

a x + b y + c z + d = 0,

2 2 2 2

32 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 3.4. Coordinate lagrangiane

1. i due piani non siano paralleli (compatibilità);

2. i due piani non siano coincidenti (altrimenti una delle due equazioni può essere

eliminata e si tratterebbe di un solo vincolo anziché due).

3.4. Coordinate lagrangiane

Il numero di vincoli compatibili e indipendenti si chiama abitualmente

ν grado di vincolo.

Se si parla di se di e così via.

ν = 1 ν = 2

vincolo semplice, vincolo doppio,

Il numero

(3.4) −

g.l. = N = max{0, r ν}

si chiama del sistema o anche numero dei gradi di libertà del sistema.

grado di libertà

In sostanza un vincolo è semplice se riduce di uno i gradi di libertà, doppio se li riduce

di due, e così via.

Useremo la seguente nomenclatura:

sistema o

r > ν (g.l. > 0): ipostatico labile;

sistema

r = ν (g.l = 0): isostatico;

sistema (uno o più dei vincoli presenti può essere eliminato

r < ν (g.l = 0): iperstatico

senza che il sistema diventi labile).

È chiaro che nello studio del moto di un sistema ha interesse il caso ipostatico, in

cui i vincoli consentono al sistema infinite posizioni per le quali esso può passare con

un movimento continuo, mentre nei problemi di statica sono interessanti (anzi spesso di

notevole interesse) anche i sistemi iso o iperstatici.

Considerando il caso dei sistemi ipostatici, le (3.2) permettono, in generale, di ricavare ν

parametri in funzione dei restanti oppure di esprimere tutti i parametri in funzione

r ν,

di parametri indipendenti, che indicheremo con e che chiameremo

−ν

N = r q , q , . . . , q

1 2 N

o

coordinate lagrangiane libere.

La posizione del generico punto del sistema può essere espressa solo in termini di

P

queste coordinate libere: −−→ −−→

(3.5) OP = OP (q , q , . . . , q , t) ,

1 2 N

dove il tempo compare esplicitamente solo in presenza di vincoli mobili.

Nel caso dei sistemi iso o iperstatici, esiste una sola configurazione consentita e non

è necessario alcun parametro libero per individuare la posizione del generico punto del

sistema.

3.5. Esempi

Nelle applicazioni più comuni spesso la scelta dei parametri lagrangiani si può fare senza

risolvere esplicitamente il sistema di equazioni che definiscono i vincoli, esaminando atten-

tamente le proprietà del sistema meccanico in esame. Si noti comunque che la scelta di

quali coordinate usare è largamente arbitraria e spesso una scelta al posto di un’altra può

influire in maniera determinante sulla trattazione di un problema. Per esempio nel caso

di un punto vincolato a stare in piano, scelto l’asse perpendicolare al piano, si possono

z

Luciano Battaia 33

3. Vincoli e gradi di libertà Appunti di meccanica razionale

usare come coordinate libere le coordinate cartesiane o quelle polari ed è evidente la sem-

plificazione che si ha nella trattazione dei moti circolari con l’uso delle coordinate polari al

posto delle cartesiane.

Proponiamo nel seguito alcuni esempi di possibili scelte, con particolare riguardo al caso

di corpi rigidi in circostanze di interesse applicativo.

Punto vincolato su una curva piana di equazione cartesiana f (x, y) = 0

Si può scegliere come coordinata libera una delle due coordinate cartesiane, mentre l’altra

è dipendente dalla prima attraverso l’equazione della curva (anche se ci possono essere

difficoltà nell’esplicitare in generale una delle due coordinate in funzione dell’altra). A volte

si possono operare scelte alternative, come quella di usare una opportuna parametrizzazione

della curva (magari usando l’ascissa curvilinea). Se per esempio la curva è data da 2 2

x +y =

(circonferenza di centro l’origine e raggio variabile nel tempo), la scelta più conveniente

2

t t

è quella di passare in coordinate polari: e usare come parametro

x = t cos ϑ, y = t sin ϑ ϑ

libero (sistema a un solo grado di libertà).

Corpo rigido piano (lamina), vincolato a muoversi nel suo piano

È sufficiente conoscere la posizione di un suo punto, e un parametro (per esempio un

angolo), per fissare la sua orientazione attorno ad Ω.

y ϑ

Ω b

b

O x

Figura 3.2. Lamina rigida mobile in un piano

Il sistema in questione ha tre gradi di libertà e, con la scelta indicata, le coordinate

lagrangiane sono: q = x , q = y , q = ϑ .

1 2 3

Ω Ω

Un caso comune nelle applicazioni è quello in cui il rigido in questione si riduce ad un’asta

di lunghezza l.

“Pendolo ad asta rigida”

Un sistema come questo ha due gradi di libertà. La figura 3.3 illustra una possibile scelta

dei due parametri lagrangiani atti a individuare la posizione dell’asta.

34 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 3.5. Esempi

z P

b

ϑ y

O b

ϕ

x

Figura 3.3. Pendolo ad asta rigida

3.5.1. Aste rigide in moto piano variamente vincolate

Un’asta rigida in moto piano ha tre gradi di libertà, come visto nel primo degli esempi

riportati (figura 3.2). Nel seguito indicheremo sempre con e gli estremi dell’asta e

A B

considereremo varie situazioni di vincoli per l’asta stessa. Nel caso di asta libera nel piano

essa ha, come detto, tre gradi di libertà. Per chiarezza supponiamo di scegliere come

coordinate q = x , q = y , q = ϑ .

1 2 3

B B

Ogni ulteriore vincolo imposto all’asta si potrà tradurre in una diminuzione dei parametri

lagrangiani. y A

b

l ϑ

B b

b

O x

Figura 3.4. Asta rigida mobile in un piano

Asta con vincolo a carrello

Come primo esempio supponiamo che uno dei due estremi, per esempio sia vincolato

A,

ad appartenere a una retta di equazione (diremo questo tipo di vincolo

r, ax + by + c = 0

“vincolo a carrello”).

Il vincolo di appartenenza si può scrivere Essendo

ax + by + c = 0.

A A

x = x + l cos ϑ, y = y + l sin ϑ ,

A B A B

si ricava Poiché uno dei due coefficienti e

a(x + l cos ϑ) + b(y + l sin ϑ) + c = 0. a b

B B

deve essere diverso da zero, da qui si può ricavare o , supponiamo . Allora e

x y y x

B B B B

saranno libere e il sistema ha gradi di libertà (ipostatico). Se il punto dovesse stare

ϑ 2 A

sopra (o sotto) la retta, avrei invece un vincolo unilatero e dovrei distinguere le posizioni

Luciano Battaia 35

3. Vincoli e gradi di libertà Appunti di meccanica razionale

ordinarie (3 gradi di libertà) da quelle di confine (2 gradi di libertà). Il vincolo in questione

è un vincolo semplice. y A

b

ϑ

b

B

b

O x

Figura 3.5. Asta rigida con vincolo a carrello

Asta con due vincoli a carrello

Come secondo esempio supponiamo che entrambi gli estremi e siano vincolati ad

A B

appartenere a due rette, per esempio i due assi cartesiani (caso della “scala appoggiata”).

Scegliendo sempre gli stessi parametri, le equazioni di vincolo si possono scrivere

−l ⇒

x = cos ϑ x + l cos ϑ = 0

B B

y = 0 ,

B

e la matrice Jacobiana è x y ϑ

B B å

Ç −l

1 0 sin ϑ

f 1 0 1 0

f 2

che ha palesemente rango cioè massimo. Il sistema ha un solo grado di libertà (sistema

2,

ipostatico, vincolo doppio). y

A

b ϑ x

b b

O B

Figura 3.6. Scala appoggiata

Asta con un vincolo a cerniera fissa

Se uno dei due estremi dell’asta è vincolato a un punto fisso (vincolo a cerniera fissa),

il sistema ha un solo grado di libertà ed è ancora ipostatico (vincolo doppio).

36 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 3.5. Esempi

y A

b

ϑ

B ☼ x

b

O

Figura 3.7. Asta rigida con cerniera fissa

Questo vincolo può anche essere visto come la sovrapposizione di due vincoli a carrello,

per esempio su due rette perpendicolari, rendendo ancora più evidente il significato di

vincolo doppio, come sovrapposizione di due vincoli semplici.

A A

y

y b b

B b

☼ ☼

b

B x

x

b b

O O

Figura 3.8. Vincolo doppio come sovrapposizione di due vincoli semplici

Asta con incastro y B

b

(fisso)

ϕ x

”

b

O

Figura 3.9. Vincolo ad incastro

Si tratta di un sistema con gradi di libertà (isostatico). Si può vedere come la

0

sovrapposizione di vincoli semplici (vincolo triplo).

3

Luciano Battaia 37

3. Vincoli e gradi di libertà Appunti di meccanica razionale

Asta con cerniera fissa e carrello y h A

b

ϑ

b

B x

b

O

Figura 3.10. Asta con cerniera fissa e carrello

I vincoli possono essere scritti analiticamente: −

x = a, y = b, l cos ϑ h = 0 .

B B

Per la compatibilità si richiede che Il sistema ha gradi di libertà ed è isostatico.

h l. 0

Asta con due cerniere y h A

b k

ϑ

b

B x

b

O

Figura 3.11. Asta con due cerniere

I vincoli possono essere scritti analiticamente:

− −

x = a, y = b, l cos ϑ h = 0, l sin ϑ k = 0 .

B B

Si tratta di un sistema iperstatico: se tolgo uno dei quattro vincoli il sistema non diventa

labile.

3.5.2. Coppie di aste collegate, in un piano, mediante cerniere

Trattiamo alcune situazioni di particolare interesse applicativo e concernenti coppie di

aste rigide variamente collegate tra di loro con cerniere e mobili in un piano.

Siano dunque e due aste, di lunghezze rispettive ed , per ciascuna delle quali

0 0 0

AB A B l l

abbiamo scelto i parametri lagrangiani più volte utilizzati. In totale si tratta di un sistema

a gradi di libertà:

6 x , y , ϑ, x , y , ϕ .

0 0

B B B B

Supponiamo ora che le due aste siano incernierate, con una cerniera interna che collega

i punti e .

0

B B

38 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 3.5. Esempi

y A ′

A

b b

ϕ

l ′

l

ϑ

›

b ′

B B

b

O x

Figura 3.12. Due aste incernierate

I vincoli si scrivono analiticamente:

x = x , y = y .

0 0

B B

B B

La matrice Jacobiana è: x y ϑ x y ϕ

0 0

B B B B

Ç å

−1

f 1 0 0 0 0

1 ,

−1

f 0 1 0 0 0

2

palesemente di rango Il sistema ha quattro gradi di libertà e le coordinate lagrangiane

2.

potrebbero essere: x , y , ϑ, ϕ.

B B

Come esercizio si possono trattare i seguenti casi:

– bipendolo;

– sistema biella-manovella;

– arco a tre cerniere.

Si scrivano, servendosi dei parametri più volte utilizzati, le equazioni dei vincoli e la

matrice jacobiana.

Si determini il numero dei gradi di libertà e si precisi quali coordinate lagrangiane

conviene scegliere.

Nelle figure che seguono indica una cerniera fissa, indica una cerniera interna,

☼ ›

mobile, convenzione del resto già adottata nelle figure precedenti. ›

b

›

b ☼

b

›

b ☼

☼ b

b b

b Figura 3.13. Bipendolo, sistema biella-manovella, arco a tre cerniere

Luciano Battaia 39

40

4. Cinematica dei rigidi

4.1. Generalità

Lo studio della cinematica dei sistemi rigidi può essere ritenuto equivalente, come già

~k),

osservato, a quello dello studio di una terna di riferimento S(O,~ı, detta solidale al

~,

rigido, rispetto a una terna di riferimento detta terna fissa.

Σ(Ω, ~e , ~e , ~e ),

1 2 3

Segnaliamo che è fondamentale, in quanto segue, il fatto che ci mettiamo nel modello

della cioè assumiamo che le misure di lunghezze e intervalli di tempo

Meccanica Classica,

siano indipendenti dall’osservatore. P

e b

3 k j

b O

i e 2

b Ω

e 1

Figura 4.1. Terna fissa e terna solidale

è un punto qualunque del rigido e indica il tempo. In realtà in cinematica può

P t t

essere un qualunque parametro atto ad individuare la posizione del generico punto ,

P

ma, in vista delle applicazioni alla dinamica, possiamo tranquillamente identificarlo con il

tempo fisico. →

Indichiamo, come è tradizione, con il vettore posizione di rispetto a S, cioè al rigido,

X P

− −−→

, notando che le sue componenti rispetto a S sono costanti. Denotiamo poi con

X = OP ~x

−−→

il vettore posizione di rispetto a , e con il vettore posizione di sempre

P Σ, ~x = ΩP ~x O

O

−−→ →

rispetto a In sostanza il vettore indica il punto materiale scelto nel rigido,

Σ, ~x = ΩO. X

O →

il vettore indica il punto spaziale, posizione o piazzamento di in un istante

~x X t.

Un o del rigido è una funzione

piazzamento, configurazione, →

− 7→

σ : X ~x ,

che sia un’isometria, ovvero che mantenga le distanze tra i punti.

Un del rigido è una famiglia di piazzamenti dipendenti da un parametro (che per

t

moto

noi sarà sempre il tempo). 41

4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale

Si possono fare considerazioni analoghe anche per corpi continui non rigidi. In questo

caso occorrerà, per individuare i punti del corpo, fissare una particolare configurazione,

detta iniziale, e indicare con il vettore posizione di un generico punto rispetto a un

X P

sistema S “solidale” al corpo in questa specifica configurazione. Naturalmente in questo caso

i piazzamenti non saranno più isometrie, ma generiche trasformazioni di un sottoinsieme

di (configurazione iniziale) in , con opportune condizioni di regolarità che qui non

3 3

R R

occorre precisare. →

Tornando ai sistemi rigidi è opportuno scrivere il vettore nelle sue componenti rispetto

X

a S (che sono costanti), mentre i vettori e nelle loro componenti rispetto a Nel

~x ~x Σ.

O

futuro useremo sempre queste convenzioni.

4.2. La formula di Poisson

Indichiamo con la matrice di trasformazione di coordinate tra S e Come è noto,

R Σ.

trattandosi di sistemi ortogonali, è ortogonale, cioè .

−1 T

R R = R

Si può allora scrivere →

(4.1) ~x = ~x + R X

O

o, meglio, →

(4.2) ~x (t) = ~x (t) + R(t) X ,

O →

evidenziando il fatto che , ed dipendono da mentre no. Per derivazione rispetto

~x ~x R t, X

O

al tempo si ha →

d~x d~x dR

O

(4.3) = + X.

dt dt dt

D’altro canto →

− →

− −1

(4.4) T

− ⇒ − −

R X = ~x ~x X = R (~x ~x ) = R (~x ~x ) .

O O O

Se ne deduce che d~x d~x dR d~x

O O

(4.5) T − −

= + R (~x ~x ) = + A(~x ~x ) ,

O O

dt dt dt dt

ove abbiamo posto dR

(4.6) T

A = R .

dt T

A A + A = 0 t).

Lemma 4.1. La matrice è antisimmetrica, ovvero (per ogni

˙

Usiamo, come è d’abitudine in meccanica, la scrittura per indicare la

f

Dimostrazione.

derivata di una funzione di rispetto a

t, t.

Avendosi , si ha da cui

−1

T T

R = R RR = I, T T

ṘR + RṘ = 0 .

42 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 4.2. La formula di Poisson

Ora da cui

T

ṘR = A, T

T Ä ä

ä

Ä T T T

T

T Ṙ = RṘ = A .

= R

ṘR

Ne segue subito che T

A + A = 0. di ordine

A 3, ω

~

Lemma 4.2. Se è una matrice antisimmetrica esiste un unico vettore

3

(di ) tale che

R

(4.7) 3

∧ ∀ ∈

A~v = ω

~ ~v , ~v .

R

La dimostrazione che faremo è costruttiva. Se la matrice è antisimme-

A

Dimostrazione.

trica, essa è del tipo è

Ö 0 a a

12 13

−a 0 a .

A = 12 23

−a −a 0

13 23

Posto è

Ö v 1

v ,

~v = 2

v 3

si ha Ö èÖ è Ö è

0 a a v a v + a v

12 13 1 12 2 13 3

(4.8) −a −a

0 a v v + a v .

A~v = =

12 23 2 12 1 23 3

−a −a −a −

0 v v a v

13 23 3 13 1 23 2

Cerchiamo ora un tale che .

ω

~ ω

~ ~v = A~v Ö è

~k −

ω v ω v

~ı ~ 2 3 3 2

(4.9) −

∧ ω v ω v

ω

~ ~v = = .

ω ω ω 3 1 1 3

1 2 3 −

ω v ω v

v v v 1 2 2 1

1 2 3

Da (4.8) e (4.9) si deduce subito

(4.10) −ω −ω

a = , a = ω , a = ,

12 3 13 2 23 1

e queste formule determinano univocamente .

ω

~

Si noti che per la dimostrazione di questo lemma si è usato il prodotto vettoriale, ope-

razione (per quanto ci riguarda) caratteristica di , e dunque il lemma vale per le

3 solo

R

matrici ×

3 3.

Possiamo ora riscrivere la formula (4.5) nella forma seguente:

d~x d~x O

(4.11) ∧ −

= + ω

~ (~x ~x ) .

O

dt dt

Se, come a noi interesserà, è il tempo, si può riscrivere la formula(4.11) usando le

t

velocità: −−→

(4.12) ∧ − ∧

~v = ~v + ω

~ (P O) = ~v + ω

~ OP .

P O O

Luciano Battaia 43

4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale

Questa formula è detta o

Formula di Poisson Formula fondamentale della cinematica di

ed è la formula più importante per lo studio della meccanica dei corpi rigidi.

rigidi

Essa si può leggere dicendo che P

la velocità di un qualunque punto di un rigido è nota

non appena si conoscono la velocità di un qualsiasi altro punto prefissato del rigido e il

.

ω

~

vettore

Il vettore , per un motivo che vedremo fra poco, è detto

ω

~ velocità angolare.

Una conseguenza immediata della formula di Poisson è la seguente: se e sono due

P Q

punti qualsiasi di un rigido si ha

−−→ −−→

d QP

(4.13) − ∧

= ~v ~v = ω

~ QP ,

P Q

dt

formula che riesce utile in molte circostanze.

Il campo delle velocità di un rigido è equiproiettivo

Una proprietà molto importante relativa ai rigidi, proprietà che discende immediata-

mente dalla formula di Poisson, è espressa dal seguente

Teorema 4.3. Condizione necessaria e sufficiente perché il moto di un sistema di punti

P Q

sia rigido è che, dati due qualunque punti e del sistema, le componenti delle velocità

~v ~v P Q

e secondo la direzione di siano uguali.

P Q

Dimostrazione. Q

~v b

P ~v Q

b

P

Figura 4.2. Velocità di due punti di un rigido

Se il moto è rigido, scegliendo come origine della terna solidale, si ha

Q ∧ −

~v = ~v + ω

~ (P Q) .

P Q

Ne segue subito, ricordando che il prodotto misto è nullo se due dei tre vettori coincidono,

che · − · −

~v (P Q) = ~v (P Q) .

P Q

Se viceversa consideriamo la distanza dei due punti e

· − · −

~v (P Q) = ~v (P Q), P Q,

P Q

che indichiamo con Si ha

l. 2 2

kP − − · −

l = Qk = (P Q) (P Q) .

Derivando rispetto al tempo otteniamo:

2

dl − · −

= 2(~v ~v ) (P Q) = 0 ,

P Q

dt

per l’ipotesi. Ma se la distanza di due punti qualunque rimane costante, il corpo è rigido

per definizione.

Questa proprietà si usa richiamare dicendo che il campo delle velocità di un rigido è

equiproiettivo.

44 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 4.3. Proprietà della velocità angolare

Una ulteriore conseguenza della formula di Poisson è il fatto che, se e sono due

P Q

punti qualsiasi di un rigido,

(4.14) · ·

~v ω

~ = ~v ω

~ ,

P Q

cioè le velocità di due punti qualunque hanno uguali componenti secondo la direzione

orientata della velocità angolare. Poiché, esplicitando i prodotti scalari che compaiono in

(4.14) si ottengono dei trinomi, l’espressione invariante si chiama

·~

~v ω trinomio invariante

P

o invariante scalare.

4.3. Proprietà della velocità angolare

La velocità angolare prima introdotta è strettamente legata al moto della terna solidale.

ω

~

Infatti si ha il seguente

Teorema 4.4. La velocità angolare di un rigido è data da

~k !

1 d~ı d~ d

~

(4.15) ∧ ∧ ∧

ω

~ = ~ı + ~ + k .

2 dt dt dt

Prendiamo, nel rigido, il punto ; se deriviamo rispetto al tempo

P = O +~ı

Dimostrazione.

otteniamo d~ı ;

~v = ~v +

P O dt

dalla formula di Poisson abbiamo inoltre Se ne deduce

∧ − ∧~ı.

~v = ~v + ω

~ (P O) = ~v + ω

~

P O O

subito che ~k

d~ı d~ d ~k

(4.16) e, analogamente,

∧~ı ∧ ∧

= ω

~ = ω

~ ~ , = ω

~ .

dt dt dt ~k,

Moltiplichiamo vettorialmente, a sinistra, queste tre uguaglianze per rispettiva-

(1) ~ı, ~,

mente e sommiamo membro a membro, tenendo conto, vedi la formula (2.15) nella pagina

10, che ∧ ∧ · − ·

~u (~v w)

~ = (~u w)~

~ v (~u ~v )

w

~ .

Otteniamo ~k

d~ı d~ d

~ ~k ~k)

∧ ∧ ∧ ∧ ∧~ı) ∧ ∧ ∧ ∧

~ı + ~ + k = ~ı (~

ω + ~ (~

ω ~

) + (~

ω =

dt dt dt ·~ı)~ − · · − ·

= (~ı ω (~ı ω

~ )~ı + (~ ~

)~

ω (~ ω

~ )~

+

~k ~k)~ ~k ~k

· − ·

+ ( ω ( ω

~ ) =

~k

− − − −

= ω

~ ω ~ı + ω

~ ω ~ + ω

~ ω = 3~

ω ω

~ =

1 2 3

= 2~

ω,

da cui si conclude immediatamente.

Come conseguenza della (4.15), si potrebbe provare, ma rinunciamo a farlo, che è

ω

~

indipendente dalla particolare terna solidale scelta.

In alcuni testi sono queste tre formule che prendono il nome di Formule di Poisson.

1

Luciano Battaia 45

4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale

4.4. Moti rigidi particolari

Per capire bene il significato di , e in generale della formula di Poisson, consideriamo

ω

~

alcuni moti rigidi particolari.

Moti rigidi traslatori

Si tratta di quei moti in cui una terna solidale, e quindi tutte, mantiene orientamento

invariabile, cioè in cui il moto trasforma rette solidali al rigido in rette ad esse parallele.

− ~k

Se S ha orientamento invariabile, dalla (4.15) si ha (le derivate di rispetto al

ω

~ = 0 ~ı, ~,

− ~k

tempo sono nulle) e quindi . Se invece , dalle formule (4.16) segue che

~v = ~v ω

~ = 0 ~ı, ~,

P O

hanno derivate nulle, cioè sono costanti: la terna S ha orientamento invariabile. Abbiamo

dunque provato il seguente →

ω

~ = 0

Teorema 4.5. Un moto rigido è traslatorio se, e solo se, .

La matrice della formula (4.1) nella pagina 42

R →

~x = ~x + R X ,

O

è costante (addirittura è la matrice identica se si sceglie la terna solidale parallela alla terna

fissa) e lo studio del moto può essere ridotto a quello di un solo punto del corpo.

Moti rigidi rototraslatori

Si tratta di quei moti rigidi in cui una retta solidale al rigido, mantiene direzione

a,

invariabile (e quindi ciò succede per ogni retta parallela ad In questo caso scegliamo la

a).

~k ~k

terna solidale in modo che sia parallelo ad Allora è costante e quindi

a.

~k →

d = 0 ,

dt

~k

ma allora e quindi

ω

~ = 0

– o (moto traslatorio),

ω

~ = 0 ~k.

– oppure k

ω

~ ~k

Escluso il primo caso (che abbiamo già considerato) possiamo dire che è parallela a e

ω

~

quindi che ha direzione invariabile nel tempo. Vale anche il viceversa: se ha direzione

ω

~ ω

~

invariabile, il moto rigido è rototraslatorio. Se infatti è il versore (che risulta essere

ω

~ 1

costante) di , si ha

ω

~ ·~ı)

d(~

ω d~

ω d~ı

1 1 ·~ı · · ∧~ı

= + ω

~ = ω

~ ω

~ = 0 ,

1 1

dt dt dt

il che indica che ha componente costante rispetto a In modo analogo si prova che

ω

~ ~ı. ω

~

1 1

~k,

ha componenti costanti rispetto a e ovvero che è costante anche rispetto alla terna

~ ω

~ 1

solidale. Se allora e sono due punti del rigido su una retta parallela a , tenendo

P Q r ω

~

anche conto di (4.13), si ha −−→ −−→ →

d QP ∧

= ω

~ QP = 0 ,

dt

il che implica l’invariabilità della direzione di Possiamo dunque concludere con il

r.

Teorema 4.6. Un moto rigido è rototraslatorio se e solo se la sua velocità angolare ha

direzione costante.

46 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 4.4. Moti rigidi particolari

Vediamo come si scrive esplicitamente, in questo caso, la matrice che compare nella

(2) R

formula (4.1) della pagina 42 →

~x = ~x + R X .

O

Per fare ciò osserviamo che la matrice stessa è unicamente determinata dall’orien-

R

tazione della terna solidale rispetto alla terna fissa. Per individuare questa orientazione

~k

possiamo supporre i vettori e coincidenti e rappresentare graficamente solo

O Ω, ~e

3

il piano di . L’orientazione della terna solidale sarà determinata solo dall’angolo

~e , ~e , ~ı, ~

1 2

tra i versori e (oppure e ), angolo che supponiamo orientato in senso antiorario.

ϕ ~e ~ı ~e ~

1 2

Tutto questo è in accordo con il fatto che l’angolo di nutazione (vedi la figura 3.1 nella

pagina 31) è 0. ~

ϕ ~e 2

O Ω

≡ b ϕ ~ı

~e 1

Figura 4.3. Moti rigidi rototraslatori e orientazione delle due terne

Si ha facilmente Ö è

cos ϕ sin ϕ 0

sin ϕ cos ϕ 0

R = .

0 0 1

Allora Ö èÖ è Ö è

− − −1

sin ϕ cos ϕ 0 cos ϕ sin ϕ 0 0 0

T − −

cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 1 0 0

A = ṘR = ϕ̇ = ϕ̇ .

0 0 0 0 0 1 0 0 0

Questo costituisce intanto una verifica del fatto che è una matrice antisimmetrica e poi

A

fornisce, vedi la formula (4.10) nella pagina 43, la velocità angolare in questo particolare

moto: ~k

(4.17) ovvero

ω

~ = (0, 0, ϕ̇) , ω

~ = ϕ̇ .

In sostanza si può concludere che in un moto rigido rototraslatorio la velocità angolare

è la derivata di un angolo, esattamente come succede nel moto circolare di un punto.

Dunque in ogni moto rototraslatorio ~k

(4.18) ω

~ = ϕ̇ .

~k

Notiamo che si avrebbe se l’angolo fosse scelto con orientazione “oraria”.

ω

~ = ϕ̇ ϕ

Ricordiamo che gli elementi della matrice di rotazione si ottengono prendendo, sulle colonne, le

2 R

~k)

componenti della base “ruotata” (~ı, rispetto alla base “originaria” (~e ).

~, , ~e , ~e

1 2 3

Luciano Battaia 47

4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale

Moti rigidi rotatori

Sono quei moti rigidi in cui esiste una retta solidale al rigido, fissa, cioè i cui punti hanno

a

velocità nulla. Si tratta, evidentemente, di un caso particolare di moto rototraslatorio.

In questo caso si può ovviamente scegliere scegliamo sull’asse (asse di rotazione) e

O a

~k

addirittura coincidente con Scegliamo inoltre paralleli all’asse

Ω. ~e a.

3

La formula (4.1) della pagina 42 si semplifica in

~x = R X .

Per quanto riguarda la velocità angolare vale naturalmente, a maggior ragione, la formula

(4.18).

Moti rigidi elicoidali

Sono quei moti rigidi in cui i punti di una retta, hanno velocità parallela alla retta

a,

stessa (la retta “scorre su se stessa”). La retta in questione si chiama asse del moto elicoidale

e si tratta ovviamente ancora di un caso particolare di moto rototraslatorio. Se scegliamo

sull’asse del moto elicoidale, nella formula di Poisson e sono paralleli ad e di

O ~v ω

~ a

O

direzione invariabile. Anzi se durante tutto il moto esiste un punto tale che e

O ~v ω

~

O

risultino paralleli e di direzione invariabile, il moto risulta senz’altro elicoidale e l’asse

del moto è la retta per parallela a . Infatti il moto è intanto rototraslatorio per

O, ω

~

l’invariabilità della direzione di ; inoltre i punti della parallela a per hanno velocità

ω

~ P ω

~ O

data da −−→

~v = ~v + ω

~ OP = ~v .

P O O

Dunque O ~v

Teorema 4.7. Un moto rigido è elicoidale se e soltanto se esiste un punto tale che O

ω

~

e risultino paralleli e di direzione invariabile.

Per quanto riguarda la velocità angolare vale naturalmente ancora la formula (4.18).

Moti rigidi con un punto fisso, o moti polari

Sono quei moti in cui un punto del rigido ha, costantemente, velocità nulla . Conviene,

(3)

naturalmente, scegliere per individuare la posizione del rigido bastano solo i tre

Ω O:

angoli di Eulero (3 gradi di libertà).

Vogliamo vedere come si può scrivere esplicitamente la matrice in questo caso, segna-

R

lando che, ovviamente, la determinazione effettuata vale in generale, in quanto la matrice R,

come più volte ricordato, è determinata solo dall’orientazione della terna solidale rispetto

alla terna fissa.

Per la determinazione della matrice, consideriamo la trasformazione da a S come la

Σ

composizione di tre successive semplici rotazioni.

1-Precessione

Si tratta di una rotazione attorno a di un angolo (appunto angolo di precessione),

~e ϕ

3

in modo che si sovrapponga alla linea dei nodi.

~e

1

In alcuni testi questi moti sono detti di precessione, ma riteniamo impropria questa denominazione,

3 usata abitualmente per uno speciale moto con un punto fisso, precisamente quel moto in cui una retta

, detta passante per e solidale al rigido, forma un angolo fisso con una retta detta

f O p,

asse di figura,

passante per e fissa nello spazio ambiente.

O

asse di precessione,

48 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 4.4. Moti rigidi particolari

~e ~e

3 3 ′

~e

O 2

b ϕ

ϕ ~e 2

~e 1 ′

~n ~e

≡ 1

Figura 4.4. Precessione

La matrice di trasformazione, diciamola è la stessa già considerata per i moti di

R

1

rototraslazione: è

Ö −

cos ϕ sin ϕ 0

(4.19) sin ϕ cos ϕ 0 .

R =

1 0 0 1

2-Nutazione

Rotazione, attorno a , di un angolo (appunto angolo di nutazione), in modo che

~n ϑ ~e

3

~k.

si vada a sovrapporre a ′

~e ~e

3 3

~k ′′

′′ ~e

~e ≡ 2

3 ϑ ϑ ′

~e 2

O b ′ ′′

~n ~e ~e

≡ ≡

1 1

Figura 4.5. Nutazione

La matrice di trasformazione, diciamola , si ottiene facilmente con la solita regola (le

R

2

sue colonne sono le componenti della base “nuova” rispetto alla “vecchia”). Si trova

Ö è

1 0 0

(4.20) −

0 cos ϑ sin ϑ

R = .

2 0 sin ϑ cos ϑ

3-Rotazione propria ~k,

Rotazione, attorno a di un angolo (appunto angolo di rotazione propria), in modo

ψ

che si vada a sovrapporre a (e quindi a ).

00

~n ~ı ~e ~

2

Luciano Battaia 49

4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale

~

~k ′′

~e 2

ψ

O b

ψ ~ı

~n

Figura 4.6. Rotazione propria

La matrice di rotazione, diciamola , si trova nel modo ormai usuale e si ottiene

R 3 è

Ö −

cos ψ sin ψ 0

(4.21) sin ψ cos ψ 0 .

R =

3 0 0 1

Applicando, nell’ordine dato, le tre trasformazioni, si ottiene la matrice come prodotto

R

delle tre matrici . Con calcoli un po’ noiosi, ma utili come esercizio, si trova

R = R R R

1 2 3

(4.22) Ö è

− − −

cos ϕ cos ψ sin ϕ cos ϑ sin ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ cos ϑ cos ψ sin ϕ sin ϑ

− −

sin ϕ cos ψ + cos ϕ cos ϑ sin ψ sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos ϑ cos ψ cos ϕ sin ϑ

R = .

sin ϑ sin ψ sin ϑ cos ψ cos ϑ

Per trovare la velocità angolare si deve ora scrivere la matrice e poi usare

T

A = ṘR

la già vista proprietà che lega agli elementi di questa matrice. Si tratta di un lungo e

ω

~

noioso calcolo, che però non presenta nessuna difficoltà teorica. Si ottiene:

(4.23) è

Ö −( −

0 ϕ̇ + ψ̇ cos ϑ) ϑ̇ sin ϕ ψ̇ sin ϑ cos ϕ

−(

A = ϕ̇ + ψ̇ cos ϑ 0 ϑ̇ cos ϕ + ψ̇ sin ϑ sin ϕ)

−( −

ϑ̇ sin ϕ ψ̇ sin ϑ cos ϕ) ϑ̇ cos ϕ + ψ̇ sin ϑ sin ϕ 0

È anche interessante osservare che la scomposizione della generica trasformazione in

R

tre rotazioni “elementari”, implica che la velocità angolare si potrà scrivere come

~k

(4.24) ω

~ = ϕ̇~e + ϑ̇~n + ψ̇ .

3

Naturalmente questa formula non può essere usata direttamente, perché nei problemi

abbiamo la necessità di esprimere i vettori o rispetto a S o rispetto a Σ.

Segnaliamo anche che, abitualmente, si preferisce scrivere nelle sue componenti rispetto

ω

~

a S, componenti che, tradizionalmente, vengono indicate con p, q, r:

r~k

(4.25) ω

~ = p~ı + q~ + .

4.5. Punti di vista lagrangiano ed euleriano

Nello studio del moto di un rigido (ma anche di un continuo non rigido), si possono

adottare due diverse impostazioni.

50 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 4.6. Il teorema di Mozzi

1. Se si considerano le varie grandezze fisiche (per quanto ci interessa qui, la velocità) in

funzione dei punti del corpo in moto, si adotta il cosiddetto punto di vista lagrangiano

o molecolare.

2. Se si considerano le stesse grandezze in funzione dei punti dello spazio, si adotta il

cosiddetto punto di vista In questo caso la formula di Poisson definisce un

euleriano.

cioè una funzione che associa, in ogni istante, a ogni punto dello

campo di velocità,

spazio una velocità, e precisamente la velocità di quel punto materiale che, nell’istante

considerato, si trova a passare per quel punto dello spazio. Questa descrizione è

particolarmente utile nel caso del moto dei fluidi.

La distribuzione delle velocità del rigido in un dato istante si chiama atto di moto.

Si possono usare per l’atto di moto gli stessi nomi già usati per i moti: traslatorio,

rotatorio, elicoidale (come vedremo non ci sono, per i corpi rigidi, atti di moto diversi da

questi).

È bene ricordare che un atto di moto può essere, per esempio, rotatorio, senza che il

moto sia rotatorio: nell’atto di moto conta soltanto la distribuzione delle velocità nello

spazio in un dato istante. Per esempio è facile rendersi conto che se consideriamo il caso

particolare di un moto con punto fisso, gli atti di moto sono tutti rotatori, ma il moto

ovviamente non è rotatorio. Ciò significa che, in ogni istante, il moto appare come una

rotazione attorno a un asse, ma tale asse non è sempre lo stesso.

Per l’importanza che hanno nel seguito occupiamoci in particolare degli atti di moto

elicoidali. In base alla definizione di moto elicoidale, dato il campo delle velocità di un

rigido, in un dato istante deve esistere un punto tale che, per ogni punto , si abbia

A P

con e paralleli. Se teniamo conto che in un moto rigido la

∧ −

~v = ~v + ω

~ (P A), ~v ω

~

P A A

componente della velocità di un punto nella direzione di non dipende dal punto e che

ω

~

in questo caso , ne deduciamo che è una costante, che possiamo semplicemente

k

~v ω

~ ~v

A A

indicare con . Dunque un atto di moto rigido è elicoidale se esiste un punto tale che il

~τ A

campo di velocità del rigido sia dato da

(4.26) con

∧ − k

~v = ~τ + ω

~ (P A) , ~τ ω

~ .

P

È evidente che gli atti di moto traslatorio e rotatorio sono casi particolari di quello elicoi-

dale: nel primo basterà che nel secondo che In questi casi parleremo di atto

~ ~

ω

~ = 0, ~τ = 0.

di moto elicoidale degenere.

4.6. Il teorema di Mozzi

Il risultato fondamentale per quanto riguarda gli atti di moto è il seguente

(Teorema di Mozzi ).

(4)

Teorema 4.8 Ogni atto di moto rigido è elicoidale, cioè si può

scomporre in modo unico in un campo di velocità traslatorio uniforme e in un campo di

asse di Mozzi:

velocità rotatorio attorno all’asse del moto elicoidale, detto

(4.27) ∧ − ∈

~v = ~v + ~v = ~τ + ω

~ (P A) , A .

con asse di Mozzi

P P,⊥

P,k

La dimostrazione procede in modo formalmente identico a quella seguita

Dimostrazione.

per determinare l’asse centrale di un sistema di vettori applicati. In sostanza allora la

G.Mozzi,

4 −

1730 1813

Luciano Battaia 51

4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale

determinazione dell’asse centrale era basata sostanzialmente sulla formula di trasporto

−−→ −−→

→ −

→ →

− −

→ →

− −

→ →

0 0 0

∧ ∧ ∧ −

M = M + O O R = M + R OO = M + R (O O) ,

0 O O O

O

e, a parte l’ovvio diverso significato dei vettori che vi compaiono, questa formula è simile

alla formula di Poisson ∧ −

~v = ~v + ω

~ (P A) .

P A

Se per caso l’atto di moto è traslatorio, allora in quell’istante , e non

~v = ~v = cost = ~τ

P A

c’è nulla da provare; se invece l’atto di moto è rotatorio, allora esiste un punto tale che

A

e ancora non c’è nulla da provare.

∧ −

~v = ω

~ (P A)

P Supponiamo dunque che l’atto di moto non sia né traslatorio né rotatorio e consideriamo

un punto qualunque (P è, in questo caso, la posizione occupata da un punto del rigido

P

nell’istante in esame). Come sappiamo, il componente di nella direzione di è costante

~v ω

~

P

→ →

(come era costante il componente di nella direzione di quando trattavamo i sistemi

M R

O

di vettori applicati). Indichiamo questo componente con . Con indichiamo invece il

~τ ~v

P,⊥

componente di perpendicolare alla direzione di . Si ha allora

~v ω

~

P ~v = ~τ + ~v .

P P,⊥

I vettori e sono entrambi non nulli, altrimenti l’atto di moto sarebbe o rotatorio

~τ ~v

P,⊥

o traslatorio, casi che abbiamo già considerato. Applichiamo i vettori in .

~v , ~τ , ~v P

P P,⊥

ω

~ ω

~

~τ ~v P b

A

b

P ~v P,⊥

Figura 4.7. Ricerca dell’asse di Mozzi

Consideriamo poi un punto tale che se applichiamo in il suo momento rispetto a

A ω

~ A,

sia , ovvero

P ~v

P,⊥ −→ −→

∧ ∧ ∧ −

~v = P A ω

~ = ω

~ AP = ω

~ (P A) .

P,⊥

Ma allora ∧ −

~v = ~τ + ω

~ (P A) .

P

È chiaro che si può trovare esattamente come indicato per la costruzione della figura

A

2.13, nella pagina 17, e che ogni altro punto della retta per e parallela a va bene.

a A ω

~

Per concludere basta provare che non dipende dalla scelta del punto usato nella

A P

dimostrazione. Se, partendo da un punto diverso da si ottiene un punto e si

0

Q P A

considera la retta per , parallela a , per la formula di Poisson si deve avere

0 0

a A ω

~ 0

(4.28) ∧ −

~v = ~v + ω

~ (A A ) .

0

A A

Poiché e devono essere entrambi paralleli a e quindi tra di loro, mentre è

0

∧(A−A

~v ~v ω

~ ω

~ )

0

A A

perpendicolare a , si conclude che ovvero che oppure

0 0 0

~

∧(A−A ≡ k

ω

~ ω

~ ) = 0, A A ω

~ (A−A ),

che è come dire che sta su e che quindi le due rette e coincidono.

0 0

A a, a a

52 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 4.6. Il teorema di Mozzi

La retta dunque esiste ed è unica, a meno che l’atto di moto non sia traslatorio e,

a

come già detto, si chiama o o anora

asse di moto asse di Mozzi, asse istantaneo di moto.

Si noti (anche qui in analogia con l’asse centrale di un sistema di vettori applicati)

che l’asse di moto è la retta i cui punti hanno, nell’istante considerato, velocità minima

(oltreché parallela a ).

ω

~

Nel caso in cui l’atto di moto sia rotatorio, l’asse di Mozzi prende il nome di asse

istantaneo di rotazione.

Tenendo conto di quanto detto a proposito del teorema di Mozzi e tenendo conto che,

qualunque sia , I è un invariante (invariante scalare), possiamo concludere con

·

P = ~v ω

~

P

il seguente (Teorema di classificazione).

Teorema 4.9 I ω

~ ~v tipo di atto di moto

P

6 = 0 effettivamente elicoidale

~

6

=0 = 0 rotatorio

~ ~

6

=0 = 0 = 0 traslatorio

~ ~

=0 = 0 = 0 nullo

Proviamo, per esempio, che e I l’atto di moto è rotatorio.

~

6 ⇔

ω

~ = 0 = 0

Dimostrazione.

Basta osservare che il componente di parallelo a si scrive in generale

~v ω

~

P I

å

Ç ω

~

ω

~

· = ω

~ .

~v = ~v

P

P,k 2

k~ k k~ k k~ k

ω ω ω

Dunque se esso si annulla se e solo se I e quindi, in tal caso sopravvive solo il

~

6

ω

~ = 0, = 0,

componente (detto anche per evidenti motivi).

~v componente rotatorio

P,⊥

Equazione dell’asse di moto

Consideriamo un atto di moto non traslatorio (~ e indichiamo con l’asse di moto

~

6

ω = 0) a

di cui vogliamo trovare l’equazione. Dato il punto origine di S, consideriamo un punto

O,

di che stia nel piano per perpendicolare a . come ogni punto dell’asse di moto,

A a O ω

~ A,

ha , e dunque Allora:

~

k ∧

~v ω

~ ω

~ ~v = 0.

A A

~

∧ ∧ ∧ −

ω

~ ~v = 0 = ω

~ [~v + ω

~ (A O)] =

A O

∧ ∧ −

= ω

~ [~v + ω

~ (~x ~x )] =

O A O

∧ ∧ ∧ −

= ω

~ ~v + ω

~ (~

ω (~x ~x )) =

O A O

∧ · − − · −

= ω

~ ~v + [~

ω (~x ~x )] ω

~ [~

ω ω

~ ] (~x ~x ) ;

O A O A O

−→

poiché in quanto , ne segue

· − ⊥

ω

~ (~x ~x ) = 0, OA ω

~

A O 2

~ ∧ − · − ∧ − −

0 = ω

~ ~v [~

ω ω

~ ] (~x ~x ) = ω

~ ~v ω (~x ~x ) .

O A O O A O

Dunque ∧

ω

~ ~v

O

~x = ~x + .

A O 2

ω

Come detto, per ottenere gli altri punti dell’asse di Mozzi, basterà spostarsi lunga la

retta per parallelamente a , ovvero aggiungere al vettore trovato prima un vettore

A, ω

~ ~x A

Luciano Battaia 53

4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale

del tipo . L’equazione dell’asse di moto in forma parametrica, e con parametro sarà

λ~

ω λ,

allora ∧

ω

~ ~v

O

(4.29) ~x = ~x + + λ~

ω.

O 2

ω

4.7. Moti rigidi piani

Si chiamano così i moti dei rigidi piani (lamine) che avvengono nel piano della lamina.

π

~k

In questo caso possiamo prendere le terne e S con assi e paralleli e perpendicolari

Σ ~e

3

a Un moto rigido piano è ovviamente rototraslatorio, in quanto le rette perpendicolari

π.

al piano hanno direzione invariabile.

Il corpo rigido ha tre gradi di libertà ed è sufficiente la conoscenza delle coordinate

dell’origine della terna mobile e l’angolo tra e (che volendo possiamo chia-

(x , y ) ϕ ~e ~ı

1

O O

mare angolo di precessione, anche se, a rigore, in questo caso la linea dei nodi non è

definita e quindi non si potrebbe parlare di angolo di precessione) e possiamo concludere

~k,

(moti rototraslatori) che o è nulla o è data da cioè è perpendicolare a Poichè

ω

~ ϕ̇ π.

è ovviamente parallelo a il trinomio invariante I è nullo e quindi l’atto di moto è

v π,

P

traslatorio o rotatorio. Nel caso sia rotatorio l’intersezione dell’asse di moto (che in questo

caso è anche asse istantaneo di rotazione) con il piano si chiama

π centro di istantanea

Questo risultato, già noto indipendentemente dal teorema di Mozzi, prende il

rotazione.

nome di (Teorema di Eulero).

Teorema 4.10 Il campo di velocità (non nullo) di un moto rigido

~

6

ω

~ = 0), C,

piano o è traslatorio o è rotatorio (se intorno a un punto detto centro di

istantanea rotazione che è l’intersezione dell’asse di istantanea rotazione con il piano del

moto e ha coordinate ∧

ω

~ ~v

O

(4.30) ~x = ~x + .

C O 2

ω

Il punto è l’unico punto del piano solidale al rigido che ha (nel caso di atto di moto

C

rotatorio) velocità nulla e inoltre, per ogni punto punto solidale al rigido,

P

(4.31) ∧ −

~v = ω

~ (P C) .

P

Come ovvia conseguenza della formula (4.31) si ha che (per atti di moto rotatori) è

~v

P

perpendicolare a cioè alla retta passante per e ne segue che il punto è

(P C), P C: C

intersezione delle rette passanti per due punti e del rigido e ortogonali alle velocita

P Q

(supposte non parallele). Questo risultato è anche noto come

(Teorema di Chasles).

Teorema 4.11 Il centro di istantanea rotazione di un moto rigido

piano (in ogni istante in cui l’atto di moto è rotatorio) è dato dall’intersezione delle rette

P Q

passanti per due punti e del rigido e ortogonali alle velocita (supposte non parallele).

È ora chiaro che se sono noti e si può trovare la velocità di ogni punto del rigido

C ω

~

(in un dato istante). D’altro canto se sono note le direzioni delle velocità di due punti

(supposte non parallele) si può trovare subito C.

54 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 4.8. Il vincolo di puro rotolamento

4.8. Il vincolo di puro rotolamento

Come già accennato nella pagina 30, il vincolo di puro rotolamento di una sfera su un

piano è un classico esempio di vincolo anolonomo, mentre il vincolo di puro rotolamento

di un disco su una guida rettilinea (se il disco si mantiene in un piano fisso), pur essendo

intrinsecamente anolonomo, può essere trattato come vincolo olonomo. Vediamo le ragioni

di questi fatti, segnalando che si tratta di situazioni molto comuni sia nelle applicazioni

che nei problemi.

Consideriamo il caso di una sfera rigida, di raggio vincolata a rimanere con un suo

R,

punto sempre a contatto con un piano per esempio il piano e scegliamo una terna

π, Ωxy,

solidale con origine nel centro della sfera stessa. Il vincolo impone che la terza coordinata

del centro sia sempre uguale a Il sistema ha gradi di libertà.

z R: z = R. 5

O O

L’equazione del vincolo, per derivazione, porta a concludere che condizione che

ż = 0,

O

esprime il fatto evidente che la velocità del centro della sfera deve essere parallela al piano

Ωxy.

L’equazione e l’equazione sono perfettamente equivalenti per descrivere

ż = 0 z = R

O O

il vincolo: pur essendo la prima espressa in termini delle derivate dei parametri, essa

può essere ricavata per derivazione da un’equazione in termini finiti e dunque rappresenta

comunque un vincolo olonomo.

Imponiamo ora il vincolo che la velocità del punto di contatto, della sfera con il

C,

piano sia, in ogni istante, nulla (moto di puro rotolamento o moto senza strisciamento):

ciò implica che l’atto di moto del rigido deve essere rotatorio attorno ad un asse passante

per e che deve aversi, per ogni punto ,

C P −−→

(4.32) ∧

~v = ω

~ CP .

P

È chiaro che quest’ultima equazione, espressa mediante i parametri che individuano la

posizione della sfera, porta a un’equazione coinvolgente sia i parametri stessi che le loro

derivate: ebbene si può dimostrare che una tale equazione non è deducibile da una relazione

Per questo il vincolo di puro rotolamento della sfera

in termini finiti nei parametri stessi.

è anolonomo.

Vediamo ora il caso di un disco, di centro che rotoli senza strisciare su una guida

O,

rettilinea, mantenendosi in un piano fisso Assumiamo come piano il piano e

π. Ωxy π

come asse delle ascisse la guida rettilinea su cui il disco rotola. Fissiamo poi un raggio OQ

di riferimento sul disco e indichiamo con l’angolo formato da con una parallela per

ϑ OQ

all’asse orientato in modo che cresca al crescere dell’ascissa di

O y, ϑ O.

Senza il vincolo di puro rotolamento il sistema avrebbe chiaramente due gradi di libertà e

i parametri lagrangiani potrebbero essere proprio l’angolo e l’ascissa del centro del disco.

ϑ x

La scelta dell’angolo implica che la velocità angolare (necessariamente perpendicolare al

ϑ

piano è data da

π)

(4.33) −

ω

~ = ϑ̇~e .

3

Luciano Battaia 55

4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale

y ′

y

ϑ

O b Q

b x

b

b

Ω C

Figura 4.8. Puro rotolamento di un disco

−−→

Scelto nella (4.32) si ha: Inoltre . Se ne deduce

≡ ∧

P O ~v = ω

~ CO. ~v = ẋ~e 1

O O

~e ~e ~e

1 2 3

ẋ~e = ,

0 0 ϑ̇

1 0 r 0

da cui discende

(4.34) ẋ = rϑ̇ .

A differenza dell’equazione (4.32), è chiaro che la (4.34) è integrabile e produce

(4.35) x = rϑ + x ,

0

con la condizione naturalmente che l’angolo non sia limitato all’intervallo ≤

ϑ 0 ϑ < 2π.

Il vincolo dunque è esprimibile mediante un’equazione in termini finiti tra i parametri e

riduce il numero dei gradi di libertà da a

2 1.

Quindi il vincolo di puro rotolamento, anche se in generale è anolonomo, in particolari

situazioni può essere pensato come olonomo.

56 Luciano Battaia

5. Equazioni cardinali

5.1. Generalità

Supponiamo noti dal corso di Fisica il concetto di forza e i principi della dinamica.

Segnaliamo qui in particolare, perché importante ai fini dello studio del moto dei corpi

rigidi, il principio di azione e reazione che ha come conseguenza che l’insieme delle forze

interne a un qualunque sistema materiale è costituito da coppie di braccio nullo e quindi

con risultante e momento risultante rispetto a un polo qualsiasi sempre nulli.

Segnaliamo poi che il principio di inerzia si può ritenere valido anche in sistemi non iner-

ziali, pur di includere nelle forze anche le forze cosiddette di inerzia (forze di trascinamento

e di Coriolis).

5.2. Classificazione delle forze

Per quanto riguarda le applicazioni è importante una precisa classificazione delle forze,

scegliendo diversi possibili criteri, a seconda delle necessità. Ci interesseranno, per ora, le

seguenti considerazioni.

Forze interne ed esterne

Si dicono quelle che si esercitano tra le varie parti che costituiscono un

forze interne

sistema, per esempio le forze che vicendevolmente si esplicano i pianeti e il sole all’interno

del sistema solare.

Si dicono quelle che vengono esercitate sul sistema da parte di agenti

forze esterne

esterni. Per esempio se consideriamo un sistema di aste variamente collegate tra di loro,

la forza peso è una forza esterna.

È da notare che il concetto di interno ed esterno dipende dal sistema scelto.. Per esempio

le forze di attrazione Terra-Sole sono interne al sistema solare, ma esterne al sistema

Terra-Luna.

Forze attive e reattive

Un’altra distinzione di grande importanza è quella tra forze attive e forze reattive. Pre-

cisamente si chiamano le forze che i vincoli esercitano su un sistema, ovvero

forze reattive

le forze che bisogna sostituire ai vincoli per realizzare lo stesso stato di quiete o di moto

ottenibile in presenza dei vincoli.

Questa definizione si basa in realtà su un postulato, detto Postulato delle reazioni vin-

che afferma appunto che le azioni che un vincolo esercita su un sistema materiale

colari,

sono sempre rappresentabili con un insieme di forze.

Tutte le forze non reattive si chiamano forze attive. 57

5. Equazioni cardinali Appunti di meccanica razionale

Forze concentrate e forze distribuite

Si chiamano o quelle forze che sono applicate a spe-

forze concentrate, carichi concentrati,

cifici punti del sistema. Per esempio quando apro una porta esercito una forza concentrata

sulla maniglia.

Si chiamano o quelle che sono applicate in ogni punto

forze distribuite carichi distribuiti

di un sistema (o di una sua parte) e che di solito sono assegnate mediante una densità.

Esempio classico è la forza peso: dato un corpo continuo, di densità di massa la

µ(P ),

forza di densità vettoriale è la forza peso, e il peso di un “elemento infinitesimo” di

µ(P )~g

materia è dato da , mentre il peso di un corpo B è dato da da

µ(P )~g dτ Z µ(P )~g dτ .

B

L’elemento è un elemento infinitesimo di linea, di superficie, o di volume o seconda dei

casi.

Altre classificazioni che interessano sono quelle tra e

forze a distanza forze a contatto,

tra e

forze conservative forze non conservative.

Esempio

Arco a tre cerniere con le forze indicate. C

›

b −

F E

C b B

D ☼

b

b

b

A Figura 5.1. Esempi di forze

1. Forze attive: peso, , forze elastiche in ed

F D E.

C

Forze reattive: reazioni delle cerniere in A, B, C.

2. Forze esterne: peso, , reazioni delle cerniere in e

F A B.

C

Forze interne: forze elastiche in ed reazioni della cerniera in

D E, C.

3. Forze distribuite: forza peso.

Forze concentrate: tutte, tranne il peso.

Si noti che la distinzione tra forze attive e forze reattive gioca un ruolo essenziale in molti

problemi a applicazioni. In parecchie questioni è noto il moto del sistema, o addirittura

esso è in quiete, e le incognite del problema sono proprio le reazioni vincolari, la cui

determinazione consente di assicurarsi che i dispositivi che le realizzano siano costruiti in

maniera adeguata.

5.3. Equazioni cardinali

Consideriamo ora un qualunque sistema materiale. Per semplicità ci riferiremo sempre

a un sistema particellare, costituito cioè da un insieme finito di ciascuno

punti materiali,

dotato di una massa , mobile con velocità , accelerazione , e sottoposto a delle forze

m ~v ~a

i i i

− →

in cui abitualmente distingueremo quelle attive ( ) da quelle reattive o vincolari ( ).

F Φ

i i

58 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 5.4. Statica dei sistemi

Per ciascun punto potremo allora scrivere l’equazione della dinamica nella forma

− →

(5.1) F + Φ = m ~a .

i i i i

Tutto quanto diremo mantiene però intatta la validità se si sostituiscono le somme con

integrali (ove opportuno, cioè in presenza di carichi e masse distribuite) anche per corpi

continui.

Se sommiamo tutte le equazioni (5.1) e teniamo conto che le forze interne eventualmente

presenti sono coppie di braccio nullo, per cui si elidono a vicenda, si ottiene

− →

− →

(5.2) X

e e,a e,v

R = R + R = m ~a ,

i i

con ovvio significato dei simboli.

Detto poi un punto qualunque dello spazio, se si moltiplica ciascuna delle (5.1) per

T

−→ e si somma membro a membro si ottiene, tenendo conto che le forze interne essendo

T P i

coppie di braccio nullo non contribuiscono nemmeno al momento risultante,

→ −

→ −

→ −→

e,a e,v

(5.3) X

eT ∧

M = M + M = T P m ~a .

i i i

T T

Le equazioni (5.2) e (5.3) si chiamano e costituiscono

Equazioni cardinali della dinamica

due equazioni (tranne nel caso di un singolo punto, nel quale la (5.3) è con-

indipendenti

seguenza diretta della (5.2)), utili per lo studio del moto dei sistemi, o delle condizioni di

equilibrio.

È molto importante segnalare che le equazioni cardinali a determi-

non sono sufficienti

nare il moto di un sistema, o a garantirne l’equilibrio. Per un esempio banale consideriamo

un compasso che sia sottoposto a due forze uguali e contrarie (coppia di braccio nullo).

›

b

− →

F

− F

Figura 5.2. Aste a compasso con coppia di braccio nullo

È chiaro che si ha →

− −

e eT

~ ~ ∀

R = 0 , M = 0 , T ,

ma questo non è sufficiente a garantire l’equilibrio (supposto il compasso inizialmente

fermo).

Daremo, nel caso dinamico, una nuova forma alle equazioni cardinali, che ci sarà utile

nelle applicazioni. Ora occupiamoci del caso statico.

5.4. Statica dei sistemi

Se un punto si trova in quiete rispetto a un sistema di riferimento, l’equazione (5.1) si

riduce a →

− →

(5.4) F + Φ = 0 .

Luciano Battaia 59

5. Equazioni cardinali Appunti di meccanica razionale

Si dice allora che è in Se viceversa si trova in una posizione

P P

posizione di equilibrio.

dove è verificata la (5.4) ed ha velocità nulla, allora si verifica sempre che il punto rimane

(1)

in quiete in quella posizione.

A partire dalla equazione (5.4), applicata a tutti i punti di un sistema particellare, si

possono ottenere le equazioni →

− →

(5.5) e,a e,v ~

R + R = 0

→ −

e,a e,v

(5.6) ~

M + M = 0 ,

T T

dette Equazioni cardinali della statica.

Si noti che la (5.6), se è valida per un polo , lo è per ogni altro polo , a causa di

0

T T

(5.5).

5.5. Statica dei sistemi rigidi

Nel caso di sistemi rigidi le equazioni cardinali sono sufficienti a garantire l’equilibrio,

come proveremo successivamente.

Le equazioni cardinali allora, nel caso di un rigido, possono essere usate per determi-

nare le condizioni di equilibrio. Questo ci permetterà, in molti casi, di determinare sia le

posizioni di equilibrio, che le reazioni vincolari all’equilibrio.

Vedremo successivamente i dettagli, per ora consideriamo un esempio.

Esempio di determinazione dell’equilibrio e delle reazioni vincolari

Sia data un’asta come nella figura 5.3, di lunghezza

OA, l.

y →

F A

b

G

b

ϕ x

b b

Ω O

Figura 5.3. Esempio di problema di statica

Il piano è supposto verticale e l’asse delle è verticale ascendente. Le forze agenti

Ωxy y

sono: →

– una forza di modulo noto e costante, agente in e perpendicolare a

F A OA;

– una forza di tipo elastico di costante agente sul punto e avente centro in

k, O Ω;

– il peso della sbarra, che è supposta omogenea e di massa m;

– una reazione vincolare in che costringe il punto stesso a scorrere sull’asse delle

O, O

(vincolo a carrello).

x

La cosa non è però facile da verificare analiticamente e dipende da questioni di regolarità delle forze e

1 delle reazioni vincolari presenti.

60 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 5.5. Statica dei sistemi rigidi

Premessa e osservazioni importanti per la trattazione di problemi di meccanica

– In Meccanica razionale le forze elastiche che si considerano sono sempre “molle ideali”

nel senso che

1. possono subire qualunque allungamento;

2. esercitano esclusivamente una forza proporzionale alla loro lun-

di richiamo,

ghezza: detto il “punto di fissaggio” della molla e il punto di applicazione,

C P

si ha →

− −−→

−k −k(P −

F = CP = C) ,

el

ove è una costante positiva, detta Si noti che con questa

k costante elastica.

convenzione le molle possono essere solo allungate e non compresse.

– I corpi che si considerano nei problemi pratici non sono mai troppo grandi, per cui

ha senso parlare di baricentro (le forze peso possono essere pensate sistemi di vettori

applicati paralleli) e il baricentro coincide con il centro di massa.

Inoltre abbiamo provato che, per sistemi di vettori applicati di questo tipo, si può

operare una riduzione, ai fini del calcolo del risultante e del momento risultante

rispetto a un dato polo, a un solo vettore applicato in un punto dell’asse centrale e,

in particolare, nel centro del sistema di vettori applicati paralleli (in questo caso il

baricentro).

Poichè per i sistemi rigidi le equazioni cardinali della statica sono sufficienti a carat-

terizzare l’equilibrio, e poichè nelle equazioni cardinali compaiono il risultante e il

momento risultante, potremo sempre, per i corpi rigidi, pensare al peso come a un’u-

nica forza applicata nel baricentro. Si tenga comunque sempre presente che questa

riduzione dell’insieme delle forze peso a un’unica forza è valida per questioni legate

all’uso delle equazioni cardinali; vedremo che, nel caso dei rigidi, la cosa sarà possibile

anche per questioni connesse al calcolo del lavoro, ma in generale è bene evitare di

pensare sempre alla forza peso come una forza unica agente sul baricentro.

– Anche le reazioni vincolari agiscono sui punti di un rigido e dunque, agli effetti dell’uso

delle equazioni cardinali, il sistema di forze che descrivono le reazioni vincolari potrà

sempre essere ridotto a un unico vettore applicato in un punto e a una coppia il

A

cui momento coincide col momento del sistema di reazioni rispetto ad A.

Nelle applicazioni che ci interessano, di solito, i vincoli agiscono (mediante cerniere,

carrelli, incastri,. . . ) in determinati punti del rigido o al più in un intorno di questi

punti e conviene analizzare separatamente le reazioni in ciascuno di questi punti,

riducendo il sistema di reazioni in ogni punto a un vettore applicato in quel punto

e a una coppia. Si tenga ben presente che il “punto” su cui agiscono le reazioni

vincolari è, in realtà, quasi sempre una zona estesa circondante il punto stesso (un

intorno opportuno), ed è per questo che nel ridurre il sistema di reazioni bisogna

considerare sia un risultante che un momento risultante: se le forze agissero su un

singolo punto esse sarebbero sempre riducibili solo al vettore risultante, senza bisogno

di alcuna coppia. Si tenga altresì presente che, se è richiesto il momento risultante

rispetto a un polo diverso dal punto in considerazione, bisognerà poi applicare la

consueta formula di trasporto.

Naturalmente questo non esclude che, in alcune situazioni (peraltro abbastanza fre-

quenti nei problemi), ci si possa limitare a ridurre il sistema di reazioni vincolari al

solo risultante, per di più di direzione facilmente individuabile a priori: è questo, per

esempio, il caso di “vincoli senza attrito”, su cui torneremo più avanti.

Luciano Battaia 61

5. Equazioni cardinali Appunti di meccanica razionale

Queste considerazioni pratiche sui vincoli sono di grande importanza perché, co-

me abbiamo già detto, è proprio la determinazione delle reazioni vincolari uno dei

problemi cruciali delle applicazioni.

Tornando al nostro problema della pagina 60 assumeremo (per ora perchè in seguito ne

daremo una giustificazione) che il vincolo in sia schematizzabile con un unico vettore

O

perpendicolare a ΩO.

Schematizziamo il problema, come conviene sempre fare, con un diagramma delle forze.

y →

F A

b

ϕ

G

b

Φ

− m~g

ϕ

F el x

b b

Ω O

Figura 5.4. Diagramma delle forze →

Si noti che, anche se abbiamo disegnato nel diagramma il vettore verso l’alto, non

Φ

facciamo alcuna ipotesi sul suo verso, ma solo sulla sua direzione: sia il verso che il mo-

dulo dovranno esserci forniti (se le equazioni saranno sufficienti!) dalla risoluzione delle

equazioni.

Il sistema ha due gradi di libertà e possiamo scegliere come parametri lagrangiani

e

x = x ϕ.

O

Indichiamo con e i versori degli assi e rispettivamente e scriviamo le equazioni

~ı ~ x y

cardinali della statica usando come polo così due delle quattro forze (tra cui quella

O,

incognita) non compariranno nell’equazione dei momenti.

− →

− →

− →

e ~

R = F + Φ + m~g + F = 0

el

→ −−→ −→ →

eO ~

∧ ∧

M = OG m~g + OA F = 0

Per quanto riguarda le forze e gli altri vettori abbiamo:

– −kx~ı;

F =

el

– (Φ è incognita);

Φ = Φ ~

y y

– ;

−mg~

m~g =

– ;

−F

F = sin ϕ~ı + F cos ϕ~

−−→ l l ;

– cos ϕ~ı + sin ϕ~

OG = 2 2

−→

– .

OA = l cos ϕ~ı + l sin ϕ~

Dunque ~k

~ı ~

−−→ l

l l ϕ~k

– ;

−mg

∧ =

OG m~g = cos

cos ϕ sin ϕ 0 2

2 2

−mg

0 0

62 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 5.5. Statica dei sistemi rigidi

~k

~ı ~

−→ →

− l~k

– .

OA F = = F

l cos ϕ l sin ϕ 0

−F sin ϕ F cos ϕ 0

L’equazione dei risultanti fornisce due equazioni scalari nelle componenti e mentre

x y,

l’equazione dei momenti fornisce una sola equazione scalare nella terza componente (suc-

cede sempre così quando si ha ha che fare con sistemi piani in cui tutte le forze hanno

componenti solo nel piano).

Le tre equazioni sono  −kx − F sin ϕ = 0

 −

Φ + F cos ϕ mg = 0

 y .

l

 −mg cos ϕ + F l = 0

 2

Si tratta di un sistema di tre equazioni nelle incognite , da cui si possono ricavare

x, ϕ, Φ

y

sia le posizioni di equilibrio che il valore di (almeno in teoria, in quanto il sistema non

Φ

y

è lineare in ma solo in e ).

ϕ, x Φ

y

Dalla terza equazione ricaviamo 2F = λ.

cos ϕ = mg

– Se non ci sono soluzioni, il sistema non può stare in equilibrio (fisicamente

λ > 1

significa che il peso non può essere sufficiente a bilanciare la spinta perpendicolare

all’asta impressa dalla forza ).

F

– Se c’è un’unica soluzione

λ = 1 ϕ = 0;

– ci sono due soluzioni simmetriche rispetto a e una con

±

λ < 1 ϕ = arccos λ, x

1,2

, l’altra con −

0 < ϕ < / / < ϕ < 0.

π π

2 2

Dalla prima equazione si ricava ora, se la terza ha soluzioni,

se

 0, λ = 1;

F  √

− sin ϕ =

x = F se

2

± −

k 1 λ , λ < 1.

 k

Dalla seconda equazione si ricava infine Φ

y 2 2 2 2

2F m g 2F

− − = .

Φ = mg F cos ϕ = mg

y mg mg

Poiché, per avere soluzioni, deve essere ovvero si deduce che 2 2

≤ ≤ ≥

λ 1, 2F mg, m g

e quindi ovvero che è sempre diretta verso l’alto.

2 2 2 2 2

4F > 2F m g 2F > 0, Φ

Luciano Battaia 63

64

6. Lavori virtuali

6.1. Spostamenti

Se un punto si sposta da una posizione a una posizione il vettore si

P A B, B A

chiama spostamento (finito) del punto e si può indicare con : Se la

P ∆P ∆P = B A.

posizione è “infinitamente vicina” ad lo spostamento si dice e si indica

B A, infinitesimo

generalmente con , o con , o ancora con , a seconda dei casi, come vedremo.

∂P dP δP

Spostamenti infinitesimi generici

In alcune questioni ha interesse considerare spostamenti infinitesimi generici, non tenuti

a soddisfare nemmeno le condizioni imposte dai vincoli; lo spostamento del generico punto

del sistema si indica in questo caso con e si ottiene per differenziazione delle (3.1)

P ∂P

−−→ −−→

r OP

∂ OP

(6.1) X

∂P = ∂ξ + ∂t ,

i

∂ξ ∂t

i

i=1

ove le sono completamente arbitrarie. Non avremo però, in questo corso, bisogno di

∂ξ

i

occuparci di spostamenti di questo tipo.

Spostamenti possibili e spostamenti effettivi

Uno spostamento infinitesimo si può sempre pensare ottenuto attribuendo a ogni punto

una velocità opportuna, e considerando lo spostamento come Se le velocità

w

~ w

~ dt.

P P

sono del tutto arbitrarie e non tengono conto degli eventuali vincoli esterni presenti, ma

solo eventualmente del vincolo di rigidità, si ottiene un generico spostamento infinitesi-

mo. Se invece sono delle velocità consentite al sistema dai vincoli presenti, si ottiene uno

spostamento detto possibile.

Se il sistema è espresso mediante coordinate lagrangiane, gli spostamenti possibili si

ottengono per differenziazione delle (3.5) −−→ −−→

N ∂ OP ∂ OP

(6.2) X

dP = dq + dt ,

h

∂q ∂t

h

h=1

ove l’ultimo termine compare sono in presenza di vincoli mobili e ove le sono completa-

dq h

mente arbitrarie in assenza di vincoli unilateri e devono soddisfare opportune disequazioni

in presenza di vincoli unilateri, ma solo a partire da posizioni di confine.

Se le velocità sono addirittura quelle effettive (conseguenti alle forze agenti e alle condi-

zioni iniziali), si ottiene lo spostamento detto o anche che si indica,

effettivo elementare,

come del resto quello possibile, con dP : dP = v dt.

p

Spostamenti virtuali

Il caso di maggior interesse per la statica è quello degli spostamenti cosiddetti virtua-

essi si ottengono se le velocità considerate sono un insieme di velocità consentite al

li: 65

6. Lavori virtuali Appunti di meccanica razionale

sistema dai vincoli quali essi sono nell’istante considerato (“vincoli congelati” all’istante

considerato).

Nel caso particolare, e particolarmente importante, di vincoli fissi gli spostamenti virtuali

e quelli possibili coincidono. Gli spostamenti virtuali si indicano con .

δP

Se il sistema è espresso mediante coordinate lagrangiane, gli spostamenti virtuali si

ottengono per differenziazione delle (3.5), considerando il tempo costante

−−→

N ∂ OP

(6.3) X

δP = δq ,

h

∂q

h

h=1

ove le sono completamente arbitrarie in assenza di vincoli unilateri e sono sottoposte

δq

h

a limitazioni solo in presenza di vincoli unilateri a partire da posizioni di confine.

Spostamenti reversibili

Uno spostamento virtuale si dice se anche il suo opposto è virtuale. Nel caso

reversibile

di vincoli bilateri tutti gli spostamenti virtuali sono reversibili; nel caso di vincoli unilateri

gli spostamenti a partire da posizioni ordinarie sono tutti reversibili, quelli a partire da

posizioni di confine, no.

6.2. Spostamenti di un rigido

Nel caso di un rigido gli spostamenti di qualunque tipo devono ovviamente tenere conto

del vincolo interno di rigidità e quindi si possono ricavare dalla formula di Poisson, pensando

le velocità non come quelle effettive, ma quelle di un atto di moto opportuno, a seconda

del tipo di spostamento richiesto.

Poichè siamo particolarmente interessati al caso degli spostamenti virtuali, consideriamo

un atto di moto caratterizzato dalla possibile velocità “virtuale” di un punto arbitrario

0

~v O

O

del rigido e da una possibile velocità angolare “virtuale” , dove con “virtuale” intendiamo,

0

ω

~

come sopra detto, consentito al sistema dai vincoli quali essi sono nell’istante considerato.

Se scriviamo la formula di Poisson e moltiplichiamo ambo i membri per otteniamo:

dt

−−→

0 0 0 ∧

~v dt = ~v dt + ω

~ dt OP ,

P O

ovvero →

− −−→

(6.4) ∧

δP = δO + Ψ OP ,

ove rappresenta lo spostamento virtuale di un punto scelto arbitrariamente nel rigido

δO O

e è un vettore (infinitesimo) avente la direzione di una possibile velocità angolare del

Ψ

rigido, consentita dai vincoli “congelati” all’istante in esame.

6.3. Lavoro virtuale

Come conseguenza della definizione di spostamento, si ha quella di lavoro, in particolare

di lavoro virtuale. Data una forza (attiva o reattiva), agente su un punto , si chiama

F P

− →

di , e si indica con il prodotto :

·

F δL, F δP

lavoro virtuale →

(6.5) ·

δL = F δP .

66 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 6.4. Principio delle reazioni vincolari

Nel caso di un sistema di forze agenti su più punti, il lavoro virtuale totale è la somma

dei lavori virtuali delle singole forze (l’integrale nel caso di forze distribuite).

Nel caso particolare, e particolarmente importante, di forze applicate ai punti di un

rigido, che supponiamo per semplicità costituito da un numero finito di punti, si ha

− →

− →

− −−→

X X

· · ∧

δL = F δP = F (δO + Ψ OP ) =

i i i i

− →

− →

− −−→

X X

· · ∧

= δO F + F Ψ OP =

i i i

− →

− −−→ →

X

· ∧ ·

= δO R + Ψ OP F =

i i

− →

− −−→ →

X

· · ∧

= δO R + Ψ OP F =

i i

− →

− −−→ →

X

· · ∧

= δO R + Ψ OP F =

i i

− →

− −

· ·

= δO R + Ψ M ,

O

ovvero →

− →

− −

(6.6) · ·

δL = δO R + Ψ M .

O

La formula (6.6) ha come importante conseguenza che nel calcolo del lavoro di un sistema

di forze applicate ai punti di un rigido contano solo il risultante e il momento risultante

delle forze. È questo un fatto di grande importanza nella risoluzione dei problemi. Per

esempio, per un corpo rigido non troppo esteso, le forze peso costituiscono un sistema

di vettori applicati paralleli, riducibile dunque al solo risultante applicato nel baricentro.

Ebbene, anche per il calcolo del lavoro delle forze peso ci si può limitare a calcolare il lavoro

del risultante applicato nel baricentro. Si badi bene che questa proprietà è valida in

non

caso di forze applicate ai punti di un sistema non rigido.

6.4. Principio delle reazioni vincolari

vincoli non dissipativi, vincoli lisci,

Definizione 6.1. Si chiamano o brevemente tut-

ti i vincoli le cui reazioni vincolari compiono un lavoro virtuale non negativo, per ogni

spostamento virtuale del sistema →

(6.7) X

v · ≥

δL = Φ δP 0 .

i i

Nel caso di spostamenti reversibili, in particolare nel caso di vincoli bilateri, la (6.7) si

scrive, ovviamente, →

(6.8) X

v ·

δL = Φ δP = 0 .

i i

Questa definizione, che costituisce un vero e proprio in aggiunta

principio di Meccanica,

alle leggi di Newton, trova la sua giustificazione nell’analisi di tutti i casi concreti che capita

di considerare, come mostrano i seguenti esempi.

Appoggio su una superficie priva di attrito

− Il vincolo è normale al piano di appoggio, gli spostamenti

Φ virtuali possono fare solo un angolo acuto con la reazione

vincolare , da cui v ≥

Φ δL 0.

Luciano Battaia 67

6. Lavori virtuali Appunti di meccanica razionale

Puro rotolamento di un disco o una sfera su una superficie scabra

Osserviamo innanzitutto che il vincolo di puro rotolamento richiede che la superficie di

appoggio sia scabra; nonostante questo il vincolo è non dissipativo, o liscio nel senso che

abbiamo detto. Non si confonda dunque il concetto di vincolo non dissipativo con quello

di vincolo privo di attrito. Il vincolo, come osservato, non è normale al piano di ap-

poggio, ma il puro rotolamento impone che in un qualun-

Φ que atto di moto si abbia ovvero da cui

~ ~

~v = 0, δC = 0,

C C

v

δL = 0.

b

Corpo rigido con asse fisso, senza attrito

La rotazione attorno a un asse fisso, in assenza di attrito,

si può schematizzare pensando che una parte cilindrica del

corpo sia vincolata a stare dentro un cilindro fisso, di rag-

b gio leggermente più grande. La figura a fianco mostra la

situazione in sezione.

Le reazioni vincolari, in assenza di attrito, sono tutte perpendicolari alle due superfici

cilindriche, e quindi passano per l’asse comune dei due cilindri.

→ Se si prende un punto sull’asse, si ha e inoltre

~

O δO = 0

Φ P

2 2 −−→ →

b perpendicolare all’asse, e quindi

OP Φ

− i i

Φ P

1 1 →

− →

− −

b v · ·

δL = R δO + Ψ M = 0 ,

O →

ove abbiamo tenuto conto del fatto che deve essere ne-

Ψ

b cessariamente parallelo all’asse, in quanto deve avere la

O

& direzione di una velocità angolare consentita al sistema.

Corpo rigido con un punto fisso, senza attrito

Il vincolo si può schematizzare pensando che una parte sfe-

O rica del corpo sia vincolata al’interno di una sfera fissa,

b di raggio leggermente più grande e concentrica alla prima.

Scegliendo coincidente con il punto fisso, si ha ~

O δO = 0

− −

e sempre concorrente in per cui Ne segue

~

Φ O, M = 0.

O

che deve essere v

δL = 0.

6.5. Il principio dei lavori virtuali

Il è, nella nostra impostazione, un teorema conseguente alla

Principio dei lavori virtuali

definizione di vincolo non dissipativo; ad esso si dà comunque il nome di per la

principio

sua grande importanza nello sviluppo della meccanica, in quanto, come vedremo, permette

l’eliminazione delle incognite reazioni vincolari. Nella sua forma definitiva il principio è

dovuto a Lagrange.

(Principio dei lavori virtuali).

Teorema 6.2 Condizione necessaria e sufficiente a garantire

l’equilibrio di un qualsiasi sistema materiale a vincoli lisci è che il lavoro virtuale delle forze

68 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 6.5. Il principio dei lavori virtuali

attive sia non positivo per ogni spostamento virtuale

(6.9) a ≤

δL 0 .

Se i vincoli sono tutti bilateri la relazione si scrive, più semplicemente,

(6.10) a

δL = 0 .

Il principio è una diretta conseguenza della definizione di vincolo liscio e

Dimostrazione.

si può assumere l’uno o l’altro concetto come postulato di partenza. Nel caso di un solo

punto la cosa è quasi ovvia: →

− →

− a v

F + Φ = 0 δL + δL = 0 ,

e quindi a v

≤ ⇔ ≥

δL 0 δL 0 .

Esempio di applicazione del principio dei lavori virtuali

~ P

b →

l F

P P

ϕ

O

l b

%

R ~ı

b

R −

F R

Figura 6.1. Applicazione del principio dei lavori virtuali alla leva

Si ha:

−−→

– ;

OP = l cos ϕ~ı + l sin ϕ~

P P

−−→

– ;

−l −

OR = cos ϕ~ı l sin ϕ~

R R

– ;

−l

δP = sin ϕδϕ~ı + l cos ϕδϕ~

P P

– ;

δR = l sin ϕδϕ~ı l cos ϕδϕ~

R R

– ;

−F

F = ~

P P

– (F ed rappresentano qui i moduli delle due forze).

−F

F = ~ F

R R P R

Se ne deduce a −

δL = cos ϕ(F l F l )δϕ .

R R P P

Quindi π

a ⇔ ± ∨

δL = 0 ϕ = l F = lP F ,

R R P

2

che rappresentano condizioni ben note per l’equilibrio di una leva e che sono state ricavate

senza la necessità di trovare anche la reazione vincolare in O.

Luciano Battaia 69

6. Lavori virtuali Appunti di meccanica razionale

6.6. Sistemi olonomi. Componenti lagrangiane della

sollecitazione

Se un sistema è a vincoli olonomi, la posizione di ogni punto del sistema è individuata

P

da parametri lagrangiani o liberi, ed eventualmente dal tempo (equazione (3.5) nella

N

pagina 33): −−→ −−→

(3.5) OP = OP (q , q , . . . , q , t) .

1 2 r

Si ha allora (equazione (6.3) nella pagina 66): −−→

N ∂ OP

(6.3) X

δP = δq .

h

∂q

h

h=1 →

Se consideriamo un sistema di punti su cui agiscono le forze attive , si ottiene,

n P F

i i

successivamente e applicando più volte le proprietà distributiva e associativa della somma

(che ci permettono tra l’altro di scambiare l’ordine delle sommatorie),

n →

X

a ·

δL = F δP =

i i

i=1 −−→ −−→

N

n n N

! →

− ∂ OP ∂ OP

i i

X

X X X ·

· F

= F δq = δq =

i

i h h

∂q ∂q

h h

i=1 i=1

h=1 h=1

−−→

N n N

!

− ∂ OP i

X X X

·

= F δq = Q δq ,

i h h h

∂q

h

i=1 h=1

h=1

ovvero N

(6.11) X

a

δL = Q δq ,

h h

h=1

con −−→

n →

− ∂ OP i

(6.12) X ·

Q = F .

i

h ∂q

h

i=1

Le sono dette o e la

Q forze generalizzate componenti lagrangiane della sollecitazione

h →

(6.11) può essere vista come la generalizzazione del lavoro per una forza F = (F , F , F )

1 2 3

agente su un punto che subisce uno spostamento virtuale

P δP = (δx , δx , δx )

1 x 3

3

(6.13) X

·

δL = F δP = F δx .

i i

i=1

L’analogia tra le formule (6.11) e (6.13) è evidente, e giustifica il nome dato alle .

Q

h

La condizione di equilibrio per un sistema olonomo a vincoli lisci e bilateri si può allora

scrivere N

X

a ⇒

δL = Q δq = 0

h h

h=1

70 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale6.6. Sistemi olonomi. Componenti lagrangiane della sollecitazione

(6.14) ∀

Q = 0 h = 1, 2, . . . , N ,

h

vista l’arbitrarietà dei .

δq

h

Naturalmente anche le (6.14) forniscono una ulteriore giustificazione all’appellativo usato

per le , in quanto sono simili alle condizioni

Q

h F = 0 i = 1, 2, 3 ,

i

che caratterizzano l’equilibrio di un punto sottoposto, come più sopra precisato, alla forza

totale F = (F , F , F ).

1 2 3

Esempio

Come esempio ritroviamo le condizioni di equilibrio per l’esercizio proposto nella pagina

60, usando il principio dei lavori virtuali. Con riferimento alla figura 5.4 nella pagina 62 e

alle formule ivi riportate, otteniamo

−−→ l l

Å ã

– ;

ΩG = x + cos ϕ ~ı + sin ϕ~

2 2

−−→

– ;

ΩA = (x + l cos ϕ)~ı + l sin ϕ~

−−→

– .

ΩO = x~ı

Quindi l l

Å ã

– ;

δG = δx sin ϕδϕ ~ı + cos ϕδϕ~

2 2

– ;

δA = (δx l sin ϕδϕ)~ı + l cos ϕδϕ~

– .

δO = δx~ı

Ne segue →

− →

a · · ·

δL = F δO + m~g δG + F δA =

el l 2 2

−kxδx − cos ϕδϕ F sin ϕδx + F l sin ϕδϕ + F l cos ϕδϕ =

= mg 2 l

Å ã

− −

= (−kx F sin ϕ) δx + F l mg cos ϕ δϕ .

2

Le componenti lagrangiane della sollecitazione sono

 −kx −

Q = F sin ϕ

x

 .

l

Q = F l mg cos ϕ

ϕ

 2

Uguagliando a zero le due forze generalizzate trovate si ottengono due equazioni pure

(cioè senza le reazioni vincolari) di equilibrio che coincidono esattamente con la prima e la

terza equazione scritte nella pagina 63.

Luciano Battaia 71

72

7. Azioni interne in un rigido all’equilibrio

(Cenni)

7.1. Generalità

Consideriamo un rigido in equilibrio sotto l’azione di un insieme di forze applicate (attive

e vincolari) →

n o

S = (A , F ) ,

i i

supponendo per semplicità di avere un insieme finito di carichi concentrati (ma nulla cambia

se si considerano carichi distribuiti, basta “sostituire” le somme con gli integrali).

Saremo particolarmente interessati a sistemi unidimensionali piani, ma la teoria generale

si può fare anche per sistemi 3D, senza complicazioni particolari.

Supponiamo di sezionare virtualmente il rigido con un piano che non passi per nessuno

π

dei punti di applicazione dei carichi concentrati: il rigido sarà suddiviso in due parti,

ciascuna delle quali è in equilibrio. F F

3 3

A

A 3

3

○ ○

2 2 b

b ○

A A

F F 1

1

1 1

1 1

b b

A A

2 2

b b

F F

2 2

Figura 7.1. Sezione virtuale di un solido con un piano

Poiché le forze esterne agenti su ciascuna delle due parti sono ora solo una parte delle

forze totali agenti, è chiaro che se le due parti sono in equilibrio, dovremo introdurre delle

nuove azioni, per ciascuna, che consentano l’equilibrio. In sostanza dobbiamo ritenere

che le azioni della parte sulla parte e viceversa, siano schematizzabili con un sistema

1 2,

di forze (uguali e contrarie per il principio di azione e reazione), che chiameremo forze

interne della parte sulla parte e viceversa. Nelle applicazioni ha grande interesse la

1 2

determinazione di queste forze.

Useremo le seguenti notazioni:

S : la parte di forze esterne agenti sulla parte

est,→1 1; 73

7. Azioni interne in un rigido all’equilibrio (Cenni) Appunti di meccanica razionale

S : la parte di forze esterne agenti sulla parte

est,→2 2;

S : le forze esercitate dalla parte sulla parte

int,2→1 2 1;

S : le forze esercitate dalla parte sulla parte

int,1→2 1 2.

È chiaro che, per l’equilibrio di ciascuna delle due parti, per esempio la il sistema

1,

S S deve essere equilibrato. Poichè si tratta di forze applicate a un rigido,

est,→1 int,2→1

come sappiamo la condizione affinché questo sistema sia equilibrato si può scrivere con

un’equazione dei risultanti e una dei momenti risultanti. È tradizione, perché conveniente,

scegliere il dopodiché le equazioni dell’equilibrio, per la

polo dei momenti sulla sezione,

parte ad esempio, si scrivono

1 →

− →

(7.1) est,→1 int,2→1 ~

R + R = 0 ,

→ −

est,→1 int,2→1

(7.2) ~

M + M = 0 .

P P

7.2. Sforzi normali e di taglio. Momenti torcente e flettente

Consideriamo ora la normale alla sezione e orientiamola scegliendo il versore, , in senso

~n

uscente, cioè dalla parte verso la parte (il contrario se studiamo l’equilibrio della parte

1 2

2). →

− −

→ int,2→1 secondo si chiamano

Le componenti, di e di

int,2→1 n,

R M sforzo normale

scalari, P

e rispettivamente, e si indicano con e

N (P ) M (P ):

momento torcente, t

(7.3) normale)

int,2→1 ·

N (P ) = R ~n (sforzo ,

→ int,2→1

(7.4) torcente)

·

M (P ) = M ~n (momento .

t P

I componenti lungo il piano di sezione si chiamano, rispettivamente, o

vettori azione

− −

e e si indicano con e rispettivamente:

T (P ) M (P )

sforzo di taglio momento flettente f

− →

(7.5) di taglio)

int,2→1 −

T (P ) = R N~n (sforzo ,

→ −

→ int,2→1

(7.6) flettente)

− M ~n (momento .

M (P ) = M t

f P

Si noti, a scanso di equivoci, che lo sforzo normale e il momento torcente sono scalari, in

quanto la direzione di è ben definita; il taglio e il momento flettente sono invece vettori,

n

in quanto non esiste una ben definita direzione tangente la sezione.

I nomi utilizzati sono significativi di per sè e non hanno bisogno di spiegazioni.

Se la parte è “tirata” dalla parte altrimenti è “compressa”: si parla appunto di

N > 0 1 2, →

e Notiamo che se consideriamo la parte anziché la ha

int,1→2

2, 1, R

trazione compressione.

verso contrario a (principio di azione e reazione), ma anche cambia verso, per

int,2→1

R n

cui mantiene sempre lo stesso segno: si può parlare di sforzo normale e analogamente

N

di momento torcente nella sezione, senza dover precisare di quale parte del rigido stiamo

parlando. È per questo che di queste componenti si considera solo la parte scalare e non

la componente vettoriale.

Per quanto riguarda il taglio e il momento flettente invece, non potendo, almeno nel caso

generale, conoscere la direzione, si considera la componente vettoriale che, naturalmente,

è opposta se passo dalla parte alla parte

1 2.

74 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 7.3. Il caso dei rigidi piani, con carichi nel piano

7.3. Il caso dei rigidi piani, con carichi nel piano

Nel caso di un rigido 2D (lamina), che supporremo piano, limitiamoci a considerare casi

in cui le forze agenti siano anch’esse nel piano, e consideriamo una sezione perpendicolare

al piano stesso, che dunque taglia il rigido lungo un segmento o un’unione di segmenti.

piano della lamina

:

σ

○ ○

1 1

2 ~n

π π

Figura 7.2. Sezione di un rigido 2D

Si ha, ovviamente, →

− →

(7.7) int,2→1 est,→1

− ∈

R = R σ,

→ est,→1

int,2→1

(7.8) ⊥

− σ.

= M

M P

P

In questo caso il taglio sta necessariamente nel piano e dunque, dovendo essere ortogonale

a , ne conosciamo la direzione (ma non il verso!). Se si sceglie il sistema di riferimento

~n ~k

con e nel piano, come è naturale, è ortogonale al piano e possiamo considerare un

~ı ~

versore tale che

~τ ~k

(7.9) ∧

~τ ~n = ,

~k) ~k).

cioè la terna abbia la stessa orientazione di

(~τ , ~n, (~ı, ~,

In questo caso si chiama lo scalare

componente di taglio

(7.10) int,2→1 ·

T (P ) = R ~τ .

→ int,2→1

Per quanto riguarda il momento delle forze , osserviamo che il momento torcente

M P

è nullo, in quanto essendo tutte le forze nel piano, il momento è perpendicolare al piano

stesso e quindi a . Si considera poi la nella direzione

~n componente del momento flettente

~k,

di data da −

→ int,2→1 ~k

(7.11) ·

M (P ) = M .

f P

Analogamente a quanto fatto con il caso generale, se si considera la parte anziché la

2 1,

~ ~k.

si sceglie opposto e conviene scegliere anche opposto. Si ha dunque, ancora, 0 0

~n ~τ ~τ n =

Dunque il segno della componente di taglio non varia (cambiano sia il verso di che

int,1→2

R −

→ int,1→2

quello di ), mentre il segno della componente del momento flettente è opposto (

~τ M P

~k

è opposto, ma rimane uguale).

Luciano Battaia 75

7. Azioni interne in un rigido all’equilibrio (Cenni) Appunti di meccanica razionale

7.4. Il caso dei rigidi piani in una dimensione, con carichi nel

piano

Consideriamo ora il caso, particolarmente importante, dei rigidi 1D (aste, archi,. . . ),

e con In questo caso si usa assumere nel rigido un

piani carichi contenuti nel piano.

sistema di ascisse curvilinee, con origine su uno dei due estremi del rigido stesso. Il versore

è ora il versore tangente al rigido, mentre è normale al rigido stesso, nel suo piano. Si

~n ~τ

mantengono naturalmente valide tutte le considerazioni fatte per i rigidi 2D, solo che ora

si può esprimere tutto in funzione dell’ascissa curvilinea da cui dipendono naturalmente

s,

~k

e , ma non

~n ~τ →

(7.12) sforzo normale

int,2→1 ·

N (s) = R ~n

(s)

(7.13) componente di taglio

int,2→1 ·

T (s) = R ~τ (s)

(7.14) momento torcente nullo

int,2→1 ·

M (s) = M ~n

(s) = 0

t −

→ ~k

(7.15) momento flettente

int,2→1 ·

M (s) = M

f

Si badi bene che, come anche nel caso 2D, il momento torcente è nullo solo nell’ipotesi

che le forze stiano nel piano del rigido. Analogo discorso per le componenti di taglio e

flettente che hanno una direzione nota a priori solo nel caso di forze contenute nel piano

del rigido.

7.4.1. Il caso di aste e archi “scarichi”

Consideriamo ora il caso, semplice ma frequente, di un arco con solo carichi concentrati

sugli estremi. →

F B

b B È chiaro che l’arco può restare in equilibrio solo le

− →

→ le forze e agli estremi costituiscono una

F F

F A B →

− →

A b A coppia di braccio nullo: .

F = F

B A

Figura 7.3. Arco scarico

Operiamo la solita sezione in due parti e teniamo conto delle (7.7) e (7.8).

(s)

P

b →

− →

~n b B − · ·

N (s) = F ~n

(s) = F ~n

(s)

~τ A B

○ d

1 →

− →

− · ·

~ T (s) = F ~τ (s) = F ~τ (s)

A B

−→ →

→ ~k

F ∧ ·

M (s) = P A (− F )

A A

f

b A e quindi →

Figura 7.4. Arco scarico e azioni interne |M k kd(s)

(s)| = F A

f

76 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale

7.4. Il caso dei rigidi piani in una dimensione, con carichi nel piano

Quindi l’azione normale, quella di taglio e il momento flettente dipendono dal punto P

in cui faccio la sezione e inoltre il momento flettente si annulla necessariamente agli estremi

e (d

A B = 0).

Nel caso (importante per le applicazioni) in cui gli “archi scarichi” siano addirittura

rettilinei (aste scariche), si deve tenere conto che il versore è costantemente diretto

~n

parallelamente all’asta, e quindi è normale all’asta stessa. Se teniamo conto che deve

− →

aversi , se ne deduce che

− k

F = F ~n

B A →

− ·

N = F ~n

A

− ·

T = F ~τ = 0

A

k kd

M = F = 0

A

f

Dunque in un’asta scarica le azioni interne si riducono solo alla componente normale

(cioè parallela all’asta), che viene chiamata mentre il taglio e il momento

azione assiale,

flettente (oltreché quello torcente) si annullano. Inoltre l’azione assiale è costante in ogni

punto dell’asta in quanto è costante.

~n

Se si dice che l’asta è soggetta a trazione, mentre se si dice che è soggetta

N > 0 N < 0

a compressione. Per esprimere il fatto che le altre azioni interne si annullano, si dice che

un’asta scarica si comporta da

se N > 0;

tirante se N < 0.

puntone

Ribadiamo ancora una volta che tutte le considerazioni che abbiamo fatto nei casi 2D e

1D si applicano solo se i carichi appartengono allo stesso piano delle lamine o degli archi

considerati.

Luciano Battaia 77

78

8. Operatore d’inerzia

Anche in questo capitolo, come nei precedenti, considereremo solo sistemi particellari, per

semplicità. Tutte le considerazioni fatte si applicano comunque anche a sistemi continui,

con opportune sostituzioni di somme con integrali, come più volte indicato.

8.1. Generalità P m r,

Definizione 8.1. Dato un sistema di punti di massa , e considerata una retta

P

momento di inerzia I

r,

si chiama del sistema, rispetto a e si indica con , il numero non

r

negativo 2

(8.1) I Ä ä

X ,

= m d(P )

r P

P

d(P ) P r.

ove è la distanza del generico punto dalla retta

È ovvio che questo numero è non negativo e può essere nullo solo se tutti i punti P

stanno sulla retta r.

La definizione 8.1 si applica a un sistema qualunque, anche non rigido, ma ha un interesse

particolare nel caso di corpi rigidi e di rette solidali al rigido stesso, quando I dipende

r r

esclusivamente dalla geometria delle masse costituenti il rigido, in rapporto alla retta r

stessa.

Il momento di inerzia gioca un ruolo essenziale nello studio della meccanica dei sistemi

e ne faremo uno studio abbastanza dettagliato. Ci interesserà in particolare studiare come

varia il momento di inerzia al variare della retta in una stella di rette di centro un punto

r

fissato.

O

8.2. L’operatore di inerzia

r Dato il corpo (rigido) e un punto con-

~u O,

O

H sideriamo una retta per e indichiamo

b r O

b con uno dei suoi due versori. Sia poi

~u P

un punto generico del corpo.

P

b −−→ Allora

È evidente che si ha k~u ∧ k.

P H = OP

−−→ −−→ −−→

(8.2) I X X

2

k~u ∧ k ∧ · ∧

m OP = m [~u OP ] [~u OP ] .

=

r P P

P P 79

8. Operatore d’inerzia Appunti di meccanica razionale

−−→

~b ~b ~b

Applichiamo la proprietà del prodotto misto , con , ,

∧ · · ∧

~a ~c = ~a ~c ~a = ~u = OP

−−→ e otteniamo

~c = ~u OP )

( −−→ −−→

−−→ −−→

(8.3) I X X ∧ ∧

· ∧ ∧ ·

= OP [~u OP ] .

m ~u OP [~u OP ] = ~u m

r P P

P P

Ora consideriamo il vettore, in parentesi graffe nell’equazione (8.3),

−−→ −−→

X ∧ ∧

m OP [~u OP ] .

P

P

È evidente che esso, per un rigido fissato, dipende solo da e dal punto (in quanto segue

~u O

il corpo sarà sempre rigido, la retta una retta solidale al rigido e un punto fisso sulla

r O

retta r).

Consideriamo allora la funzione −−→ −−→

(8.4) V V X

→ ∧ ∧

: , (~v ) = OP [~v OP ] .

m

I I

3 3

O O P

P

Mostreremo che si tratta di una trasformazione lineare di V in V . Essa si chiama tra-

3 3

o relativo a Da quanto detto risulta ovvio che, se è

O. r

sformazione operatore d’inerzia

una retta per e è uno dei suoi due versori, si ha

O, ~u

(8.5) I ·

= ~u (~u

) .

I

r O

Veniamo ora alle proprietà di .

I

O

1. Siano infatti V e Allora

∈ ∈

~v , w

~ λ, µ

è lineare.

I R.

3

O (λ~v + µ w)

~ = λI (~v ) + µI (

w)

~ ,

I

O O O

come conseguenza immediata della definizione.

2. ovvero

è simmetrico rispetto al prodotto scalare,

I

O · · ∀

(~v ) w

~ = ~v (

w),

~ ~v , w

~ .

I I

O O

Si ha infatti " #

−−→ −−→

(8.6) X

· ∧ ∧ ·

(~v ) w

~ = m OP [~v OP ] w

~ =

I

O P

P

" #

−→ −

−→ −

−→

h i

ä Ä ä

Ä

X 2 − · ·

OP ~v OP ~v OP w

~ =

= m

P

P −

−→ −

−→ −−→

h h i i

Ä ä Ä ä

X 2 − · ·

= m OP ~v OP ~v OP w

~ =

P

P −

−→ −

−→ −−→

h i

Ä ä Ä äÄ ä

X 2 · − · ·

= m OP ~v w

~ OP ~v OP w

~ .

P

P

Siccome l’ultimo membro è simmetrico in e si deduce subito che

~v w,

~

Ä ä

· · ·

(~v ) w

~ = (

w)

~ ~v = ~v (

w)

~ .

I I I

O O O

80 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 8.3. La matrice di inerzia

3. cioè

è definito positivo,

I O e ~

· ≥ · ⇒

(~v ) ~v 0 (~v ) ~v = 0 ~v = 0 ,

I I

O O

nel caso di un rigido con tutti i punti su una stessa retta caso che diremo

r,

tranne

degenere (e che per ora escludiamo). Per provarlo, attesa la linearità di , basta

I O

provarlo per un versore . Se infatti , si ha e A

2 2

· ·

~u ~v = λ~u (~v ) ~v = λ (~u

) ~u λ > 0.

I I

O O

questo punto per concludere è sufficiente ricordare che I e I tranne

·

(~u

) ~u = > 0,

I r r

O

nel caso di punti tutti appartenenti alla stessa retta r.

La cosa si può comunque provare anche direttamente. Mettiamo al posto di e

~u ~v w

~

nella formula (8.6) e otteniamo −

−→ −−→

h i

X 2 2

· − ·

(~u

) ~u = m OP (

OP ~u

) .

I

O P

P Si ha poi

P

H −−→

b

b | · |

OP ~u = OH ,

~u e, per il teorema di Pitagora,

b O −−→ −−→ 2

2 2

− · P H .

OP (

OP ~u

) =

8.3. La matrice di inerzia

Essendo l’operatore lineare, fissata una base in V , ha una matrice di rappresen-

I I

3

O O

tazione, che si chiama e che indicheremo ancora con .

(1)

matrice di inerzia I O

Poichè lo spazio in cui operiamo è dotato di prodotto scalare, e la base che usiamo

è sempre ortonormale, per determinare gli elementi della matrice si può allora fare

I

O

semplicemente

(8.7) ·

I = ~e (~e ) .

I

ij i j

O

La simmetria dell’operatore di inerzia ha come conseguenza la simmetria della matrice

di rappresentazione :

I O

(8.8) · · ·

I = ~e (~e ) = (~e ) ~e = ~e (~e ) = I .

I I I

ij i j i j j i ji

O O O

Se la terna scelta è solidale al rigido , come succederà sempre nel seguito, gli elementi

(2)

della matrice non variano nel tempo, ma è ovvio che essi dipendono dalla scelta della

I O

base.

Gli elementi della diagonale principale

(8.9) ·

I = ~e (~e )

I

ii i i

O

Si noti che se è l’operatore di inerzia e è un vettore si scrive per indicare il trasformato; se

1 ~v (~v )

I I I

O O O

è la matrice di inerzia e è la terna delle componenti si scrive (prodotto di matrici) per indicare

~v ~v

I

O

la terna delle componenti del vettore trasformato.

~k

Si noti che altre volte abbiamo usato per indicare la terna solidale. Qui usiamo invece la notazione

2 ~ı, ~,

“con indici” . Del resto in questo contesto siamo interessati solo al rigido stesso e non al suo

~e , ~e , ~e

1 2 3

moto rispetto a una terna fissa.

Luciano Battaia 81

8. Operatore d’inerzia Appunti di meccanica razionale

sono, per definizione di momento di inerzia, i momenti di inerzia del sistema rispetto agli

assi di riferimento.

Analizziamo gli elementi fuori diagonale. Si ha (i 6 = j)

(8.10) · ·

I = ~e (~e ) = (~e ) ~e =

I I

ij i j i j

O O

−→ −−→ −−→

h i

X 2 · − · ·

= m OP (~e ~e ) ( OP ~e )(

OP ~e )

i j i j

P

P −−→ −−→

X

− · ·

= m (

OP ~e )(

OP ~e ) .

i j

P

P Consideriamo il piano , ortogonale per a

π O ~e

i i

P (cioè il piano degli altri due vettori di base). È

b −−→ −−→

chiaro che fornisce la componente di

·

OP ~e OP

i

nella direzione orientata di , cioè la distanza con

~e

e i

i segno di dal piano (segno se sta nel

P π + P

i

semipiano, individuato da , che contiene ,

π O + ~e

b b i i

π H

i O segno altrimenti), cioè la coordinata di

− i-esima

.

P

Se indichiamo con le coordinate di , si ha dunque

(x, y, z) P

−−→ −−→ −−→

· · ·

OP ~e = x, OP ~e = y, OP ~e = z .

1 2 3

Se ne deduce che

(8.11) X X X

− − −

I = m xy , I = m yz , I = m xz .

12 23 13

P P P

P P P

Analogamente è immediato che

(8.12) X X X

2 2 2 2 2 2

I = m (y + z ) , I = m (x + z ) , I = m (x + y ) .

11 22 33

P P P

P P P

Si tenga presente che, in molti testi, nella matrice di inerzia si considerano gli opposti

di .

I , I , I

12 13 23

Gli elementi fuori diagonale si chiamano o ri-

momenti deviatori momenti centrifughi

spetto alla coppia di piani ortogonali a .

π , π ~e , ~e

i j i j

8.3.1. Il caso piano

Se il rigido è piano (lamina) conviene scegliere la terna di riferimento con due assi (x e

nel piano. Si ha allora

y)

(8.13) X X X

2 2 2 2

I = m y , I = m x , I = m (x + y ) = I + I ,

11 22 33 11 22

P P P

P P P

X

I = I = 0 , I = m xy .

13 23 12 P

P

Dunque la matrice di inerzia è del tipo

Ö è

I I 0

11 12

(8.14) I I 0

=

I 12 22

O 0 0 I + I

11 12

82 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 8.4. Ellissoide di inerzia

8.4. Ellissoide di inerzia

Considerata una retta e uno dei suoi versori, , indichiamo con le componenti

r ~u α, β, γ

(coseni direttori) di . Si ha allora

~u è

èÖ

Ö α

I I I

11 12 13

(8.15) I Ä ä β

I I I

α β γ =

= 12 22 23

r γ

I I I

13 23 33

2 2 2

= I α + I β + I γ + 2I αβ + 2I αγ + 2I βγ .

11 22 33 12 13 23

Questa formula fornisce il momento di inerzia rispetto a una retta qualunque per nota

O,

la matrice di inerzia e i coseni direttori della retta stessa.

Su ogni retta (orientata) uscente da consideriamo ora il punto dato da (3)

O L

1

(8.16) √

OL = (= d) .

I r

Le coordinate di sono date da e per trovare il luogo dei punti al

L L = (dα, dβ, dγ) L

variare della retta basterà sostituire

r, x y z

α = , β = , γ =

d d d

nell’espressione di I data da (8.15). Si ottiene facilmente

r

(8.17) 2 2 2

I x + I y + I z + 2I xy + 2I xz + 2I yz = 1 .

11 22 33 12 13 23

Si tratta dunque di una quadrica dello spazio che, avendo tutti i punti al finito per

la definizione di (I per l’ipotesi che abbiamo fatto di non considerare il caso

6

OL = 0

r

degenere), non può che essere un ellissoide, detto Noto

O.

ellissoide di inerzia relativo a

l’ellissoide di inerzia e considerata una retta per che interseca l’ellissoide in due punti

r O

e , il momento di inerzia rispetto a si trova subito come

L L r

1 2 1

(8.18) I .

=

r 2

OL

Notiamo che, considerata la funzione

3 2 2 2

f : , f (x, y, z) = I x + I y + I z + 2I xy + 2I xz + 2I yz ,

R R 11 22 33 12 13 23

l’ellissoide è la superficie di livello di questa funzione, che è chiaramente una forma

1

quadratica.

Si possono sfruttare tutte le note proprietà di queste forme quadratiche, in particolare

il fatto che ogni ellissoide ha, almeno, assi di simmetria tra loro ortogonali e che, se si

3

assumono questi come assi di riferimento con l’origine in l’equazione dell’ellissoide si

O,

riduce a forma canonica, ovvero la matrice di inerzia si diagonalizza. In questo caso gli

elementi della diagonale principale saranno indicati con :

J , J , J

1 2 3

Ö è

J 0 0

1

(8.19) 0 J 0

= .

I 2

O 0 0 J 3

Ricordiamo che abbiamo, per ora, escluso il caso di un rigido allineato.

3

Luciano Battaia 83

8. Operatore d’inerzia Appunti di meccanica razionale

L’equazione dell’ellissoide diventa, semplicemente, 2 2 2

x y z

(8.20) 2 2 2 ⇒

J x + J y + J z = 1 , + + = 1 .

1 2 3 1 1 1

J J J

1 2 3

Dai semiassi dell’ellissoide si possono dunque subito ricavare i momenti di inerzia ,

J , J , J

1 2 3

detti Gli assi dell’ellissoide si chiamano

momenti principali di inerzia. assi principali di

e la terna di questi assi (relativa a O).

inerzia terna principale di inerzia

8.5. Operatore di inerzia e autovalori

~k

Indicati con~ı, i versori della terna principale di inerzia, e con le notazioni e definizioni

~,

introdotte si ha subito ~k) ~k

(8.21) (~ı) = J ~ı , (~

) = J ~ , ( = J ,

I I I 3

1 2

O O O

basta, per calcolare per esempio, usare la terna principale di inerzia:

(~ı)

I

O è

Ö

è

è Ö

Ö èÖ 1

J

J 0 0 1 1

1 0

0

0 J 0 0 .

= J

=

(~ı) :

I 2 1

O 0

0

0 0 J 0

3

Le (8.21) affermano che i versori della terna principale di inerzia sono autovettori dell’o-

peratore di inerzia e che sono i rispettivi autovalori.

, ,

J J J

1 2 3

La ricerca degli assi principali di inerzia è dunque un problema agli autovalori. Data una

terna qualunque e considerata la matrice di inerzia relativa a quella terna, , si risolve il

I

O

problema agli autovalori per I

O

(8.22) −

det(I λI ) = 0 ,

3

O

dove è la matrice identica Considerata la simmetria dell’operatore di inerzia si

×

I 3 3.

3

può concludere che i tre autovalori sono sempre tutti tre reali (eventualmente coincidenti)

e che si possono presentare solo i seguenti casi:

1. in questo caso esiste una sola terna principale di inerzia e l’ellissoide

6 6

λ = λ = λ :

1 2 3

di inerzia non è un ellissoide di rotazione.

2. in questo caso la direzione individuata dall’autovettore corrispondente

6

λ = λ = λ :

1 2 3

all’autovalore è asse principale di inerzia (ed è di solito detta Una

λ asse di figura).

3

qualunque direzione per nel piano perpendicolare all’asse di figura è asse principale

O

di inerzia. Questo piano è anche detto spesso L’ellissoide di inerzia

piano equatoriale.

è rotondo con asse di rotazione coincidente con l’asse di figura.

3. una qualunque terna centrata in è principale di inerzia e l’ellissoide

λ = λ = λ : O

1 2 3

di inerzia è una sfera.

8.6. Il caso di un rigido rettilineo

In questo caso l’operatore di inerzia non è definito positivo. Tuttavia si possono ripetere

sostanzialmente le stesse considerazioni precedenti, con opportuni adattamenti. In parti-

~k

colare se si prende una terna con parallelo all’asse che contiene il rigido, si ottiene subito

84 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 8.7. Ricerca di una terna principale di inerzia

che essa è principale di inerzia e che l’ellissoide di inerzia degenera in un cilindro (si può

ottenere al limite per circolare

J 0)

3

2 2

x y

(8.23) per simmetria)

+ = 1 , (J = J = J .

1 2

1 1

J J

8.7. Ricerca di una terna principale di inerzia

Il metodo più efficiente per la ricerca di una terna principale di inerzia (cosa di grande

importanza nelle applicazioni) è quello di risolvere il problema agli autovalori . Tuttavia

(4)

esistono alcune situazioni in cui la ricerca è facilitata da particolari considerazioni. Ne

tratteremo due.

Se è già noto un asse principale di inerzia

~k),

Prendiamo una terna con parallelo all’asse principale di inerzia già noto e

(~e , ~e , k

1 2 ~k

calcoliamo la matrice rispetto a questa terna. Poiché è autovettore di , si deve

I I

O O

~k ~k.

avere Usando la matrice si avrà allora

= J

I I

3

O O è

è Ö

èÖ

Ö 0

0

I I I

11 12 13 0

0

I I I ,

= J

12 22 23 3 1

1

I I I

13 23 33

ovvero Ö è Ö è

I 0

13

I 0

= .

23

I J

33 3

La matrice ha dunque una forma più semplice rispetto al caso generale

I

O Ö è

I I 0

11 12

I I 0 .

12 22

0 0 J

3

Se per caso abbiamo già una terna principale di inerzia. Se invece 6

I = 0 I = 0

12 12

~k)

andiamo a cercare una terna in modo che, rispetto a essa, , che possiamo

(~ı, ~, I

12

indicare con , sia nullo. Teniamo conto che Per trovare e usiamo la

0 0 ·

I I = ~ı (~

). ~ı ~

I

O

12 12

~k).

matrice che già abbiamo e la terna Dovremo scrivere le componenti di e in

(~e , ~e , ~ı ~

1 2

questa terna. ~ ~ı = (cos ϕ, sin ϕ, 0) ,

~e ~ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) .

2

~e ϕ

1 ~k è perpendicolare al piano del foglio e di verso uscente.

Allora Ö è Ö è

I I 0 sin ϕ

11 12

0 Ä ä

cos ϕ sin ϕ 0 I I 0 cos ϕ

I = =

12 22

12 0 0 J 0

3

Attenzione: l’equazione agli autovalori è di grado e non è detto che sia di facile risoluzione.

4 3°

Luciano Battaia 85

8. Operatore d’inerzia Appunti di meccanica razionale

è

Ö −I sin ϕ + I cos ϕ

11 12

Ä ä −I

cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ + I cos ϕ =

= 12 22

0

2 2

−I −

= cos ϕ sin ϕ + I cos ϕ I sin ϕ + I sin ϕ cos ϕ

11 12 12 22

Uguagliano a zero si trova −

I I

11 22

ctg 2ϕ = ,

2I 12

ottenendo il valore di e quindi la terna richiesta.

ϕ

Proprietà di simmetria materiale

Un piano si dice di per un corpo se il corpo è invariante per riflessione

simmetria materiale

rispetto al piano. Se un tal piano esiste, ogni asse perpendicolare al piano è principale di

~k

inerzia. Se infatti è perpendicolare al piano e sono due versori ortogonali nel piano,

e

~ , ~e

1 2 ~k

calcoliamo rispetto a questa terna e verifichiamo che è un autovettore di . Si ha

I I

O O

è

è Ö

èÖ

Ö I I I I

0 13

11 12 13

~k) I

0

I I I .

=

( :

I 23

12 22 23

O I

1

I I I 33

13 23 33

Ma Se il piano è di simmetria, a ogni punto in un semispazio

− P

I = m xz. xy P

33 P

corrisponde un punto nel semispazio opposto, che ha dunque stesso e ma opposto:

0

P x y, z

la somma precedente è nulla. Allo stesso modo si prova che Dunque

I = 0.

23

Ö è Ö è

0 0

~k) 0 0

( : = I .

I I 33

O O 1 1

~k

Ne segue che è autovettore e è momento principale di inerzia.

I 33

Se dunque un solido ha simmetrie è possibile trovare a priori uno o più assi principali di

inerzia.

8.8. Il teorema di Huygens-Steiner

Se è il centro di massa di un rigido, l’ellissoide di inerzia relativo a si chiama

G G

Il teorema di Huygens-Steiner lega il momento di inerzia

ellissoide centrale di inerzia.

rispetto a un asse qualunque al momento di inerzia rispetto alla parallela a questo asse

condotta per il centro di massa (o baricentro, per corpi non troppo estesi). Precisamente

(Huygens-Steiner). r r

Teorema 8.2 Se ed sono due parallele, passanti rispettivamente

O G

O G M

per un punto e per il baricentro di un rigido, e è la massa totale del rigido, si ha

(8.24) I I 2

= + M d (r , r ) ,

r r O G

O G

d(r , r ) r r

ove è la distanza tra le due rette parallele ed .

O G O G

Dimostrazione. −−→ −−→

X h i

∧ ∧

(~u

) = m OP ~u OP =

I

O P

86 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 8.8. Il teorema di Huygens-Steiner

−→ −−→ −

−→ −−→

X h i

∧ ∧

= m OG + GP ~u OG + GP =

P

(applicando due volte la proprietà distributiva) −−→ −−→

−−→ −−→ h i

X h i X ∧ ∧

∧ ∧ m OG ~u GP +

m OG ~u OG +

= P

P −−→ −−→ −−→ −−→

X h i h i

X

∧ ∧ ∧ ∧

+ m GP ~u OG + m GP ~u GP =

P P −−→

−→ −−→ −−→ i

h i h X

ä

ÄX ∧ ∧ ∧ ∧ GP +

OG ~u OG + OG ~u m

m

= P

P −−→ −−→

−−→ −−→ h i

h i

X X ∧ ∧

∧ ∧ GP ~u GP =

GP ~u OG + m

+ m P

P

−−→ −−→

h i

∧ ∧

= M OG ~u OG + (~u

) ,

I G

dove abbiamo tenuto conto della formula (2.32) e della definizione (8.4) di operatore di

inerzia relativo a un punto.

Moltiplichiamo ora scalarmente per e otteniamo

~u

I · ·

= ~u (~u

) = (~u

) ~u =

I I

r O O

O −−→ −−→

h i

· ∧ ∧ ·

= (~u

) ~u + M OG ~u OG ~u =

I G −

−→ −−→ −

−→ −−→

h i

I · − · ·

= + M OG OG ~u OG ~u OG ~u =

r G −−→ −

−→ 2 ò

ï I

I 2

2 − · = + M d ,

= + M OG OG ~u r

r G

G ~u

−−→ r

· G

G

O b

dove per l’ultima ugua- G

glianza abbiamo utilizzato r O

la figura a lato. d ~u

b

O

Luciano Battaia 87

88

9. Cenni di cinematica delle masse

9.1. Definizioni

Quantità di moto

Dato un punto di massa e velocità , si chiama di il vettore

P m ~v P

quantità di moto

(9.1) p

~ = m~v .

Nel caso di un sistema di punti (che, al solito, supporremo particellare solo per sempli-

cità), si chiama quantità di moto la somma delle quantità di moto dei singoli punti

(9.2) X X

P = m ~v = p

~ .

i i i

Momento angolare

Dato un punto di massa e velocità , e considerato un punto (“polo”) si chiama

P m ~v O,

o rispetto al polo il vettore

O,

momento angolare momento delle quantità di moto,

−→ −−→

~l

(9.3) ∧ ∧

= OP m~v = OP p

~ .

O

Nel caso di un sistema di punti (che, come prima, supporremo particellare solo per

semplicità), si chiama momento angolare del sistema il vettore

− −

−→ −

−→

(9.4) X X

∧ ∧

L = OP m ~v = OP p

~ .

i i i i i

O

Se è una retta orientata, di versore , e un suo punto, come sappiamo la componente

a ~u O

di rispetto alla retta non dipende dal polo e potremo chiamarla

L a O, momento angolare

O

rispetto all’asse: →

(9.5) ·

L = L ~u .

a O

Energia cinetica

Sempre nelle stesse ipotesi di punto di massa e velocità , lo scalare

P m ~v

1 1

(9.6) 2 2

K = m~v = mv

2 2

prende il nome di o del punto.

energia cinetica forza viva

Al solito, per un sistema di punti l’energia cinetica sarà la somma delle energie cinetiche

dei singoli punti: 1 1

(9.7) X X

2 2

K = m ~v = m v .

i i i i

2 2 89

9. Cenni di cinematica delle masse Appunti di meccanica razionale

9.2. Nuova forma delle equazioni cardinali

Tenendo conto della definizione di centro di massa di un sistema di punti

−−→ −−→

(9.8) X

M OG = m OP ,

i i

si trova subito, per derivazione rispetto al tempo, →

(9.9) X

M~v = m ~v = P .

i i

G

Se ne deduce, per ulteriore derivazione, che

−̇

(9.10) P = M~a ,

G

e quindi che la prima equazione cardinale della dinamica si può scrivere in una delle forme

− →

−̇

(9.11) e

R = P ,

oppure →

(9.12) e

R = M~a .

G

Passiamo ora a calcolare la derivata temporale del momento della quantità di moto,

−−→ −−→

˙

tenendo conto che, se si ha :

− −

~u = AB = B A, AB = ~v ~v

B A

−̇ −

−→

Ä ä

X X

− ∧ ∧

L = (~v ~v ) m ~v + OP m ~a =

i i i i i i

O O −

−→

X X X ∧

∧ − ∧ OP m ~a =

= (~v m ~v ) (~v m ~v ) + i i i

i i i i i

O −

−→

X X

~ ∧

− ∧ OP m ~a =

= 0 ~v (m ~v ) + i i i

i i

O

−→

X ∧ − ∧

= OP m ~a ~v M~v .

i i i O G

Se teniamo conto poi della seconda equazione cardinale della dinamica

→ −

−→

X

eO ∧

M = OP m ~a ,

i i i

ne deduciamo −

→ →

−̇

(9.13) eO ∧

M = L + ~v M~v .

O O G

Se poi è o si ha, semplicemente,

O fisso coincidente con il baricentro

→ →

−̇

(9.14) eO

M = L ,

O

forma particolarmente significativa della seconda equazione cardinale della dinamica, dove

si manifesta una perfetta simmetria con la forma (9.11) della prima equazione cardinale

della dinamica.

90 Luciano Battaia


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:
Università: Bergamo - Unibg
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher amine199713 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica razionale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bergamo - Unibg o del prof Gigante Giacomo.

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