Meccanica razionale

I I I

O O O

80 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 8.3. La matrice di inerzia

3. cioè

è definito positivo,

I O e ~

· ≥ · ⇒

(~v ) ~v 0 (~v ) ~v = 0 ~v = 0 ,

I I

O O

nel caso di un rigido con tutti i punti su una stessa retta caso che diremo

r,

tranne

degenere (e che per ora escludiamo). Per provarlo, attesa la linearità di , basta

I O

provarlo per un versore . Se infatti , si ha e A

2 2

· ·

~u ~v = λ~u (~v ) ~v = λ (~u

) ~u λ > 0.

I I

O O

questo punto per concludere è sufficiente ricordare che I e I tranne

·

(~u

) ~u = > 0,

I r r

O

nel caso di punti tutti appartenenti alla stessa retta r.

La cosa si può comunque provare anche direttamente. Mettiamo al posto di e

~u ~v w

~

nella formula (8.6) e otteniamo −

−→ −−→

h i

X 2 2

· − ·

(~u

) ~u = m OP (

OP ~u

) .

I

O P

P Si ha poi

P

H −−→

b

b | · |

OP ~u = OH ,

~u e, per il teorema di Pitagora,

b O −−→ −−→ 2

2 2

− · P H .

OP (

OP ~u

) =

8.3. La matrice di inerzia

Essendo l’operatore lineare, fissata una base in V , ha una matrice di rappresen-

I I

3

O O

tazione, che si chiama e che indicheremo ancora con .

(1)

matrice di inerzia I O

Poichè lo spazio in cui operiamo è dotato di prodotto scalare, e la base che usiamo

è sempre ortonormale, per determinare gli elementi della matrice si può allora fare

I

O

semplicemente

(8.7) ·

I = ~e (~e ) .

I

ij i j

O

La simmetria dell’operatore di inerzia ha come conseguenza la simmetria della matrice

di rappresentazione :

I O

(8.8) · · ·

I = ~e (~e ) = (~e ) ~e = ~e (~e ) = I .

I I I

ij i j i j j i ji

O O O

Se la terna scelta è solidale al rigido , come succederà sempre nel seguito, gli elementi

(2)

della matrice non variano nel tempo, ma è ovvio che essi dipendono dalla scelta della

I O

base.

Gli elementi della diagonale principale

(8.9) ·

I = ~e (~e )

I

ii i i

O

Si noti che se è l’operatore di inerzia e è un vettore si scrive per indicare il trasformato; se

1 ~v (~v )

I I I

O O O

è la matrice di inerzia e è la terna delle componenti si scrive (prodotto di matrici) per indicare

~v ~v

I

O

la terna delle componenti del vettore trasformato.

~k

Si noti che altre volte abbiamo usato per indicare la terna solidale. Qui usiamo invece la notazione

2 ~ı, ~,

“con indici” . Del resto in questo contesto siamo interessati solo al rigido stesso e non al suo

~e , ~e , ~e

1 2 3

moto rispetto a una terna fissa.

Luciano Battaia 81

8. Operatore d’inerzia Appunti di meccanica razionale

sono, per definizione di momento di inerzia, i momenti di inerzia del sistema rispetto agli

assi di riferimento.

Analizziamo gli elementi fuori diagonale. Si ha (i 6 = j)

(8.10) · ·

I = ~e (~e ) = (~e ) ~e =

I I

ij i j i j

O O

−

−→ −−→ −−→

h i

X 2 · − · ·

= m OP (~e ~e ) ( OP ~e )(

OP ~e )

i j i j

P

P −−→ −−→

X

− · ·

= m (

OP ~e )(

OP ~e ) .

i j

P

P Consideriamo il piano , ortogonale per a

π O ~e

i i

P (cioè il piano degli altri due vettori di base). È

b −−→ −−→

chiaro che fornisce la componente di

·

OP ~e OP

i

nella direzione orientata di , cioè la distanza con

~e

e i

i segno di dal piano (segno se sta nel

P π + P

i

semipiano, individuato da , che contiene ,

π O + ~e

b b i i

π H

i O segno altrimenti), cioè la coordinata di

− i-esima

.

P

Se indichiamo con le coordinate di , si ha dunque

(x, y, z) P

−−→ −−→ −−→

· · ·

OP ~e = x, OP ~e = y, OP ~e = z .

1 2 3

Se ne deduce che

(8.11) X X X

− − −

I = m xy , I = m yz , I = m xz .

12 23 13

P P P

P P P

Analogamente è immediato che

(8.12) X X X

2 2 2 2 2 2

I = m (y + z ) , I = m (x + z ) , I = m (x + y ) .

11 22 33

P P P

P P P

Si tenga presente che, in molti testi, nella matrice di inerzia si considerano gli opposti

di .

I , I , I

12 13 23

Gli elementi fuori diagonale si chiamano o ri-

momenti deviatori momenti centrifughi

spetto alla coppia di piani ortogonali a .

π , π ~e , ~e

i j i j

8.3.1. Il caso piano

Se il rigido è piano (lamina) conviene scegliere la terna di riferimento con due assi (x e

nel piano. Si ha allora

y)

(8.13) X X X

2 2 2 2

I = m y , I = m x , I = m (x + y ) = I + I ,

11 22 33 11 22

P P P

P P P

X

−

I = I = 0 , I = m xy .

13 23 12 P

P

Dunque la matrice di inerzia è del tipo

Ö è

I I 0

11 12

(8.14) I I 0

=

I 12 22

O 0 0 I + I

11 12

82 Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale 8.4. Ellissoide di inerzia

8.4. Ellissoide di inerzia

Considerata una retta e uno dei suoi versori, , indichiamo con le componenti

r ~u α, β, γ

(coseni direttori) di . Si ha allora

~u è

èÖ

Ö α

I I I

11 12 13

(8.15) I Ä ä β

I I I

α β γ =

= 12 22 23

r γ

I I I

13 23 33

2 2 2

= I α + I β + I γ + 2I αβ + 2I αγ + 2I βγ .

11 22 33 12 13 23

Questa formula fornisce il momento di inerzia rispetto a una retta qualunque per nota

O,

la matrice di inerzia e i coseni direttori della retta stessa.

Su ogni retta (orientata) uscente da consideriamo ora il punto dato da (3)

O L

1

(8.16) √

OL = (= d) .

I r

Le coordinate di sono date da e per trovare il luogo dei punti al

L L = (dα, dβ, dγ) L

variare della retta basterà sostituire

r, x y z

α = , β = , γ =

d d d

nell’espressione di I data da (8.15). Si ottiene facilmente

r

(8.17) 2 2 2

I x + I y + I z + 2I xy + 2I xz + 2I yz = 1 .

11 22 33 12 13 23

Si tratta dunque di una quadrica dello spazio che, avendo tutti i punti al finito per

la definizione di (I per l’ipotesi che abbiamo fatto di non considerare il caso

6

OL = 0

r

degenere), non può che essere un ellissoide, detto Noto

O.

ellissoide di inerzia relativo a

l’ellissoide di inerzia e considerata una retta per che interseca l’ellissoide in due punti

r O

e , il momento di inerzia rispetto a si trova subito come

L L r

1 2 1

(8.18) I .

=

r 2

OL

Notiamo che, considerata la funzione

3 2 2 2

→

f : , f (x, y, z) = I x + I y + I z + 2I xy + 2I xz + 2I yz ,

R R 11 22 33 12 13 23

l’ellissoide è la superficie di livello di questa funzione, che è chiaramente una forma

1

quadratica.

Si possono sfruttare tutte le note proprietà di queste forme quadratiche, in particolare

il fatto che ogni ellissoide ha, almeno, assi di simmetria tra loro ortogonali e che, se si

3

assumono questi come assi di riferimento con l’origine in l’equazione dell’ellissoide si

O,

riduce a forma canonica, ovvero la matrice di inerzia si diagonalizza. In questo caso gli

elementi della diagonale principale saranno indicati con :

J , J , J

1 2 3

Ö è

J 0 0

1

(8.19) 0 J 0

= .

I 2

O 0 0 J 3

Ricordiamo che abbiamo, per ora, escluso il caso di un rigido allineato.

3

Luciano Battaia 83

8. Operatore d’inerzia Appunti di meccanica razionale

L’equazione dell’ellissoide diventa, semplicemente, 2 2 2

x y z

(8.20) 2 2 2 ⇒

J x + J y + J z = 1 , + + = 1 .

1 2 3 1 1 1

J J J

1 2 3

Dai semiassi dell’ellissoide si possono dunque subito ricavare i momenti di inerzia ,

J , J , J

1 2 3

detti Gli assi dell’ellissoide si chiamano

momenti principali di inerzia. assi principali di

e la terna di questi assi (relativa a O).

inerzia terna principale di inerzia

8.5. Operatore di inerzia e autovalori

~k

Indicati con~ı, i versori della terna principale di inerzia, e con le notazioni e definizioni

~,

introdotte si ha subito ~k) ~k

(8.21) (~ı) = J ~ı , (~

) = J ~ , ( = J ,

I I I 3

1 2

O O O

basta, per calcolare per esempio, usare la terna principale di inerzia:

(~ı)

I

O è

Ö

è

è Ö

Ö èÖ 1

J

J 0 0 1 1

1 0

0

0 J 0 0 .

= J

=

(~ı) :

I 2 1

O 0

0

0 0 J 0

3

Le (8.21) affermano che i versori della terna principale di inerzia sono autovettori dell’o-

peratore di inerzia e che sono i rispettivi autovalori.

, ,

J J J

1 2 3

La ricerca degli assi principali di inerzia è dunque un problema agli autovalori. Data una

terna qualunque e considerata la matrice di inerzia relativa a quella terna, , si risolve il

I

O

problema agli autovalori per I

O

(8.22) −

det(I λI ) = 0 ,

3

O

dove è la matrice identica Considerata la simmetria dell’operatore di inerzia si

×

I 3 3.

3

può concludere che i tre autovalori sono sempre tutti tre reali (eventualmente coincidenti)

e che si possono presentare solo i seguenti casi:

1. in questo caso esiste una sola terna principale di inerzia e l’ellissoide

6 6

λ = λ = λ :

1 2 3

di inerzia non è un ellissoide di rotazione.

2. in questo caso la direzione individuata dall’autovettore corrispondente

6

λ = λ = λ :

1 2 3

all’autovalore è asse principale di inerzia (ed è di solito detta Una

λ asse di figura).

3

qualunque direzione per nel piano perpendicolare all’asse di figura è asse principale

O

di inerzia. Questo piano è anche detto spesso L’ellissoide di inerzia

piano eq