Meccanica razionale

Appunti ed esercizi

di Meccanica Razionale

Università degli Studi di Trieste - Sede di Pordenone Facoltà di Ingegneria

Appunti ed esercizi

di Meccanica Razionale

Luciano Battaia

Versione del 16 febbraio 2016

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– In ogni caso si possono concordare con il titolare dei diritti d’autore usi di quest’opera

in deroga da questa licenza.

Indice

Premessa ix

I. Teoria 1

1. Introduzione 3

2. Richiami di algebra vettoriale 5

2.1. Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Operazioni tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Doppio prodotto vettoriale e prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Parallelismo, perpendicolarità, complanarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5. Scomposizione di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6. Vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7. Insiemi (o sistemi) di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8. Asse centrale di un sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.9. Sistemi di vettori equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.10. Riduzione di un sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.12. Sistemi particellari e sistemi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Vincoli e gradi di libertà 29

3.1. Vincoli e classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Il vincolo di rigidità e gli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3. Rappresentazione analitica dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. Coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.1. Aste rigide in moto piano variamente vincolate . . . . . . . . . . . . 35

3.5.2. Coppie di aste collegate, in un piano, mediante cerniere . . . . . . . 38

4. Cinematica dei rigidi 41

4.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. La formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3. Proprietà della velocità angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4. Moti rigidi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5. Punti di vista lagrangiano ed euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6. Il teorema di Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.7. Moti rigidi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.8. Il vincolo di puro rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

v

Indice Appunti di meccanica razionale

5. Equazioni cardinali 57

5.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2. Classificazione delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3. Equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4. Statica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5. Statica dei sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6. Lavori virtuali 65

6.1. Spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2. Spostamenti di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3. Lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4. Principio delle reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5. Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.6. Sistemi olonomi. Componenti lagrangiane della sollecitazione . . . . . . . . 70

7. Azioni interne in un rigido all’equilibrio (Cenni) 73

7.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2. Sforzi normali e di taglio. Momenti torcente e flettente . . . . . . . . . . . . 74

7.3. Il caso dei rigidi piani, con carichi nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.4. Il caso dei rigidi piani in una dimensione, con carichi nel piano . . . . . . . 76

7.4.1. Il caso di aste e archi “scarichi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8. Operatore d’inerzia 79

8.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.2. L’operatore di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.3. La matrice di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.3.1. Il caso piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.4. Ellissoide di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.5. Operatore di inerzia e autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.6. Il caso di un rigido rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.7. Ricerca di una terna principale di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.8. Il teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9. Cenni di cinematica delle masse 89

9.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2. Nuova forma delle equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3. Il caso dei corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10.Sistemi conservativi 95

10.1. Campi conservativi - Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.2. Esempi di forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.3. Sollecitazioni conservative nei sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.4. Sollecitazioni conservative ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.Equazioni di Lagrange 99

11.1. Relazione ed equazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.2. Il caso dei vincoli olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.3. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

vi Luciano Battaia

Appunti di meccanica razionale Indice

11.4. Energia cinetica di un sistema olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.5. Teorema dell’energia cinetica o delle forze vive . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11.6. Conservazione dell’energia in sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.7. Macchine semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

II. Esercizi 105

12.Esercizi di algebra vettoriale 107

13.Esercizi di cinematica 109

14.Esercizi di statica 121

15.Esercizi sugli sforzi interni 159

16.Esercizi di cinematica delle masse. Momenti di inerzia 163

17.Esercizi di dinamica 181

18.Suggerimenti “spiccioli” per la risoluzione dei problemi 187

18.1. Analisi cinematica, determinazione dei gradi di libertà, della velocità ango-

lare, delle coordinate dei punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

18.2. Analisi dei carichi presenti e dei vincoli. Lavoro virtuale. Eventuale energia

potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

18.3. Risultante e momento risultante delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

18.4. Momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

18.5. Momento delle quantità di moto di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

18.6. Energia cinetica di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

18.7. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

18.8. Macchine semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

18.9. Equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

A. Richiami di algebra lineare 197

A.1. Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

A.2. Problema agli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

A.3. Ricerca degli autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Notazioni utilizzate 201

Indicazioni bibliografiche 203

Elenco delle figure 205

Indice analitico 207

Luciano Battaia vii

viii

Premessa

Questi appunti contengono solo lo schema delle lezioni tenute, presso la sede di Pordenone

dell’Università degli Studi di Trieste, nell’anno accademico 2007/2008 e successivi. In

particolare essi non possono essere considerati un libro di testo.

Per una puntuale preparazione all’esame è indispensabile consultare anche i testi indicati

in bibliografia e le indicazioni fornite dal docente durante le lezioni.

Molti dei contenuti proposti sono presi da appunti distribuiti dal prof. Giorgio Tondo

che ha tenuto questo corso negli anni accademici precedenti al 2007/2008.

La lettura di un testo di Meccanica Razionale, anche se introduttivo come il pre-

sente, richiede un gran numero di prerequisiti matematici e fisici, tra cui segnaliamo

esplicitamente:

– la cinematica e la dinamica del punto materiale;

– l’analisi delle funzioni reali di una variabile reale, compresa la teoria dell’integrazione

secondo Riemann;

– l’analisi delle funzioni reali di due o tre variabili reali, compresa la teoria degli integrali

doppi, tripli, curvilinei, superficiali;

– la teoria delle equazioni differenziali ordinarie, con particolare riguardo a quelle fino

al secondo ordine;

– elementi di algebra lineare: sistemi, matrici e operazioni tra matrici, cenni alla teoria

degli autovalori, cenni alla teoria dell’ortogonalità;

– elementi di geometria analitica nel piano e nello spazio (in particolare coniche e cenni

alle quadriche).

Sostanzialmente si tratta dei contenuti normalmente inseriti nei corsi (abitualmente di

primo anno) di Analisi matematica I, Analisi matematica II, Geometria, Fisica generale I.

A tutto questo naturalmente si deve aggiungere la cosiddetta studiata

Matematica di base

alle scuole medie superiori.

Il contenuto di questi appunti è adatto a un corso di cinquanta ore di lezione, comprensive

di esercitazioni.

Naturalmente per un corso di durata così breve occorre fare delle scelte e delle rinunce

rispetto a quanto dovrebbe normalmente fare parte di un corso base di Meccanica Razio-

nale. Tra le “omissioni” più significative segnaliamo qualche cenno di Meccanica relativa,

di Meccanica dei fili e di Meccanica Hamiltoniana.

Il testo è diviso in due parti:

: Teoria

Parte I : Esercizi

Parte II

La prima parte contiene un riassunto delle lezioni, la seconda parte contiene solo alcuni

esercizi significativi. In molti casi gli esercizi sono accompagnati da una soluzione detta-

gliata e commentata, a complemento delle lezioni teoriche. In alcuni casi la soluzione è

solo accennata, in altri casi sono proposti solo i testi degli esercizi. ix

x Parte I.

Teoria 1

1. Introduzione

Questo corso è, sostanzialmente, un corso base di Meccanica Razionale e si prefigge lo

studio dell’equilibrio e del moto di alcuni modelli (o sistemi materiali) che approssimano i

sistemi fisici.

Lo studio della Meccanica è abitualmente suddiviso in:

studio del moto prescindendo dalle cause che lo provocano (“descrizione del

Cinematica – movimento”).

studio dell’equilibrio sotto l’azione di determinate cause.

Statica – studio del moto sotto l’azione di determinate cause.

Dinamica –

Per comodità i sistemi fisici di cui si occupa la Meccanica sono raggruppati in modelli

che possono essere schematizzati come segue:

– Discreti

– Punto materiale

– Sistemi di punti materiali

– Continui

– Corpi rigidi

– Corpi deformabili

I corpi rigidi sono caratterizzati dal fatto che la distanza tra due loro punti qualsiasi non

varia nel tempo; i corpi deformabili sono tutti gli altri e, in particolare ai fini di questo

corso, possono essere ulteriormente suddivisi in:

– sistemi di corpi rigidi opportunamente collegati tra di loro (per esempio con cerniere);

– fili, travi e in genere altri corpi che non possono essere schematizzati come un insieme

di corpi rigidi.

In questo corso tratteremo esclusivamente sistemi di punti materiali, corpi rigidi (breve-

mente: rigidi) e sistemi di rigidi.

Tutte le questioni di cinematica e dinamica del punto materiale si ritengono note dal

precedente corso di fisica generale. 3

4

2. Richiami di algebra vettoriale

La maggior parte delle nozioni presentate in questo capitolo dovrebbero essere già note,

in particolare dai corsi di geometria e fisica generale. Sono qui richiamate, con alcune esten-

sioni che interessano esplicitamente questo corso, per completezza e per fissare le notazioni.

Considerato lo scopo di questo capitolo, non sono quasi mai proposte dimostrazioni.

2.1. Vettori

Si suppone noto il concetto di o I vettori saranno indicati con

vettore, vettore libero.

notazioni del tipo

(2.1) ecc.

~a, ~v , w,

~

Se e sono due punti dello “spazio ordinario” (lo spazio ordinario della geometria

A B −−→

euclidea, che possiamo indicare con E ), e è il segmento orientato di primo estremo

AB A

3

e secondo estremo scriveremo, con un certo abuso di linguaggio,

B, −−→

(2.2) ~v = AB .

Useremo anche una comoda notazione (1)

(2.3) −

~v = B A ,

che potremo anche scrivere con

(2.4) B = A + ~v ,

rendendo evidente il fatto intuitivo che un vettore può essere pensato come un ente che,

operando su un punto lo trasla in un altro punto

(2)

A, B.

È chiaro che si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di E e l’insieme V

3 3

−−→

dei vettori fissando un punto e associando ad ogni vettore il punto dato da .

O ~v P ~v = OP

Vale la cosiddetta se sono tre punti (distinti) qualsiasi,

A, B, C

proprietà triangolare:

−−→ −→ −−→

(2.5) ovvero − − −

AB = AC + CB (B A) = (C A) + (B C) .

La notazione per indicare un segmento orientato è stata introdotta di William Rowan Hamilton

1 −

B A

(1805-1865), matematico irlandese. Si tratta di una notazione particolarmente felice e utile, come

avremo modo di vedere. Qui segnaliamo solo che la scrittura di un segmento orientato come differenza

rende evidente il diverso ruolo dei due estremi del segmento, esattamente come succede

di due punti

nella sottrazione ordinaria di numeri. Occorre tenere presente che da questa notazione non si può

dedurre alcun concetto di somma di due punti: ha un ben preciso significato, nessun significato

−

B A

si attribuisce alla scrittura B + A.

È opportuno ricordare che il nome deriva proprio da questa proprietà: significa infatti

2 vettore vehere

trasportare. 5

2. Richiami di algebra vettoriale Appunti di meccanica razionale

Se in E introduciamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali e indichiamo con

3

~k

e i dei tre assi coordinati, possiamo scrivere ogni vettore come

~ı, ~ ~v

versori ~k ~k

(2.6) ~v = v ~ı + v ~ + v = v ~ı + v ~ + v .

1 2 3 x y z

I numeri , e (oppure , e ) sono detti del vettore e potremo

v v v v v v ~v

componenti

1 2 3 x y z

scrivere

(2.7) ~v = (v , v , v ) = (v , v , v ) .

1 2 3 x y z

2.2. Operazioni tra vettori

In V si introducono quattro operazioni, di cui richiamiamo qui, per comodità e perché

3

ne faremo uso continuo, solo le proprietà essenziali.

Somma tra vettori C C

b b

=

~v C B

~v −

B B

b b

~u = +

w

~ ~u ~v

w

~

= =

~u B A ~u B A

− −

D

b

=

~v D A

−

b b

A A

Figura 2.1. Somma di vettori: regola del parallelogramma e regola del “testa-coda”

In termini di componenti si ha ~k

(2.8) ~u + ~v = (u + v )~ı + (u + v )~ + (u + v ) .

x x y y z z

Prodotto per uno scalare

In termini di componenti si ha ~k

(2.9) λ~v = λv ~ı + λv ~ + λv .

x y z

Prodotto scalare

Dati due vettori e , e un punto consideriamo i due punti e .

~u ~v O, A = O + ~u B = O + ~v

Si chiama tra i due vettori l’angolo convesso (eventualmente piatto), individuato

angolo

dalle semirette e

OA OB. B b

~v b

ϑ A

~u

b

O

Figura 2.2. Angolo tra due vettori

6 Luciano Battaia

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