Meccanica razionale

MECCANICA RAZIONALE - Prof. G. FROSALI

equazioni differenziali

tre modi di scrivere la stessa cosa in forma differenziale

caso 1-D

X = ^dx/_τ = X(x,y,t)

X(0) = X₀

X = ^g/_h (x,y,z,t)

Y = X

sistema di eq. differenziali. Ordinate del primo ordine

Sistema:

• X
• Y

Ȳ = f (x,t)

τ = ¹/_g(x,y,z)

SISTEMA DINAMICO

ESEMPIO

equilibrio posizione di equilibrio

mẍ = -kx

mẍ = -kx - λẋ

forza viscosa

mẍ + ω²x = 0

ẑ + 2Eˑx + ω²x = 8(t)

modello molla - smorzatore con termine forzante

smorzatore lineare

equazione di un moto smorzato ad una forza elastica e viscosa

Y = -2EˑY - ω²x + 8(t)

oscillog. in sistema fluente

circuit diagram:

• V
• i(t)
• R

^di/_dt = ^V/_L - ⁱ/_R

termine forzante sinusoidale

Sono tutti corpi rigidi (ognuno ha 6 gradi di libertà)

4,6,24 gradi di libertà

nei giunti

nei meccanismi più assurdo, i pezzi (leggi devono) avere 3,5,15 gradi di libertà al minimum

Campiglio GDB

devo togliere 3 soli dai solo totali dai vincoli imposti dal movimento fra delle ruote

è ruota

ψ rotazione ruota su se stesso

θ  imbardata (deviazione lungo la rota)

5 gradi di libertà x y z θ ψ

se disco che giuro che sia un nuovo ruote del nodo cemento 5 gradi di libertà (x, y, θ, ψ)

ottengo 3 soli per sistema bicicletta

x = y + t cos(θ)

considero che qui una sole sia 3 sol

y =  y + t sin(θ)

r・ψ = x

una vale nel caso di sola

x = r・ψ

modello a pendolo inverso

| vincolò in assolidamento

| fino a divinare su quel punto

una peso invece che per F

| ma luogo e per bole incertezza

ω_c=1

per limite a sordaine e’ l’angole θ=

F_c = mω²R

c centro di curvatura

l₂

ragion di curvatura che difende dell’angolo di sono

y

Iθ_{peso más}ηω²m

Tθ + mv²

I m h

momento di inerzia di un fiuto materiale

momento del peso → (G・0) F_G - mgs_x= (h|seul θ+ t|h cos θ k/n (l -mgs_y = mgh seul θ NB→ l|l x-δ

momento forza centripeta → (G・O) x mω²R²

(h|seul t + h cos θ y) (l - ω²) m ω²R cos θ z

I_{yθ g}h|seul t+ ω²ηcosθ

con seul θ e=cos θ

cosθ

mω²h + mgh θ + mω²h = 0

θ = (2 g )/g + θ(β l)

termine di controllo

è un utile per mantenere l’equilibrio

angolo di  sterzo

Se H₀ = 0 caso della corona

verso uguale e opposto

esto un piano dello spazio reale che M₀ la riduce detta

sede delle proiezione N₀

O₁ Npher (1, O₁)

ma risolvente in disegno europeo se se un totale di soluzioni

che forma sicura stessa nota

(A-O₁)R=N₀(0)

moltiplico (A-O₁) scaleni

L(A-O₁)

livello A-O₁

moltiplico per [A-D]/R + R[0-N]R/R=N(O,ARI)

X A₁ i.

= X O₁ m or r1 avoix

quindi R SA sul piano

nivelometo e iteca’uko

R fore tipo Y perche

losso seguire valore sopra

massimo of di prosioticare

B₁ R₂

P molèconetto contemporivario alla radio

bláctore sul piano

bassa tutto come moneta

errore in retto

punto compresse alcolina in l’azione/inagilezza stessa cela di retto nel

rega dei parallelereogramma

matricamento esorire nel piano P₁ so sul piano r 1

formula post quinta aspronifica

- VETTORI CONCORRENTI -

si può collegare qualicosa caso diverso quindi variabile

scaino suiparam cumulimeum

H₀=0

ora due radi questo puoi …

maa al topa Sicura potora

apply’re ven oppure forse viscatun in nulla

(1, C-O₁)R/M(O)

TUTTO sum is up nel VETTORE ANGOLARE

lorinylene tantentino cose copare alle MCCRUZIONI LASMOTONICHE E FRULLINES

Total un certo pro(z) su piano 2/week

INCASTRO ➔ toglie 3 gradi di libertà

momento di incastro

PATTINO (fisso o mobile) ➔ toglie 2 gradi di libertà

3 - 2 + 1 gr

CASO APPARENTEMENTE ISOSTATICO

2 - 3 + 0 ↻

3 + 3 = 6

3_s - m = 0 ISOSTATICO

> 0 LABILE

< 0 IPERSTATICO

3 = n cong. angolari

m = vincoli

Sistemi Piani

• ∑ X_x = 0
• ∑ Y_y = 0
• ∑ M_i = 0

nel piano sono sufficienti 3 equazioni condizionali

m vincoli

3_s coordinate nel piano

verifica: q₁, q₂, q₃,... q_3s = 0

(q₁, q₂, q_3s)

Vincolo sulle 3_s coordinate

ESEMPIO

2 - 3 + 0 ➔ ISOSTATICO

Vincolo in A (X_a, Y_a)

Vincolo in B (X_b, Y_b)

Vincolo in C

6 equazioni condizionali vincolari

• X_a = c₁
• Y_a = c₂
• X_b = c₃
• Y_b = c₄

(X_c = X_c)

(Y_c = Y_c)

6 gradi di libertà

3 e: uso per la traslazione

3 e: uso per la rotazione

ROTAZIONI NEL PIANO

Abbiamo le seguenti coordinate

P = rappresentato in un nuovo verso stesso sistema di riferimento

T: R² → R²

(cos φ -sen φ) (sen φ cos φ) ortogonale

= fa ruotare nel verso opposto

(cos φ -sen φ) (sen φ cos φ)

(x') (y') = (cos φ sen φ) (x) (sen φ cos φ) (y)

x = x cos φ - y sen φ

y = x sen φ + y cos φ

ESEMPIO rotazione base (i, j, k)

P = (1,0,0) → (cosψ, senψ, 0)

(cos ψ sen ψ 0) (-sen ψ cos ψ 0) (0 0 1)

(x₁) (x₂) = (cos ψ₁ + sen ψ₂ i) (-sen ψ₁ + cos ψ₂ i) k₁

Autovalori della matrice chiamati elementi invariante

Av = λv

(_PA)-_λω

equazione (vincente) della retta passante per A e diretta come ω

ASSE DI MOTO → luogo dei punti in cui vf è il minimo possibile, v_eff=ω

P∙O+_λA∙ω

=P(0)+[A(0)+tω)]

=P(t) = O(t)-[ω(t)∧A(0)]t∧ω(t)∧ω(t)

v_i(t) = [O(t)-ω]

Il asse del moto, segue il movimento del campo rigido, netto stress, simula una superficie rigidoa

visto da un altro sistema di riferimento

si sta muovendo senza la specifica vista dal riferimento fisso

ESEMPIO

{ v_O = C_O∧ω sin(Σ)

v_A = C_O∧ω sin(Σ)

} ¹

luogo secondo la curva fissa (BASE)

• l = senφ₁ • cosφ₂
• d = cosφ₁ • senφ₂
• i = senφ₁ • cosφ₂
• d₁ = -cosφ₁ • senφ₂

AB portato intorno al punto C in modo da generare una varia secondo una varia in generale a cambio tramite deduttivo Calvado

AB cosφ₁ + d = costante C₁ = (R • senψ, R • cosψ)

C gode della proprietà di avere distanza costante dal punto O

C è sulla circonferenza di centro O e raggio r/2

√(x² + y²) = r/2 (Luogo dei punti che giacciono sul la stessa longitudine eguale) x² + y² = r² / 4

Alto modo di calcolare le coordinate di C

V(C) = V(B) + W Λ (C - B)

• (ξ_c, η_c)
• Montague (x_c, y_c)

1 Sistema fisso

O = v(B) + WΛ(C - B)

(B - Ω) ≠ 0 se u = l • senψ è n interno e y fronte

O = l • cosφ₁ • ψ • l • φκ Λ (ξ_c - βsenψ) • intM₂

v(B) = l • cosφ₂ • y (O • B ∈ seup) β (β - l senψ, 0) (ξ_c - senψ, η_c, 0) (η_c, δ, BCΛC) = s_eup

O = l • cosφ₁ • i • ψ • l • φκΛ(C₁ - βsenψ•)•d _(ψc)

B = resty

O • χ ((cos₁ • M) + ψ) ((β - senφ) d₁

(ξ_c - senψ), η_c)

BCΛC cosφ₁ • (β_c

Ruleta sistema mobile

V(B) • tΛ(v_L(C - B) = 0

• W - Ψκ

B = (0, 0)

B nel sistema mobile e solidale → V(B) = 0