Meccanica razionale

Meccanica razionale

Equazioni differenziali

Equazioni differenziali: m ẍ = 0

m ẍ = 0

m ẍ = 0

Tre modi di scrivere la stessa cosa in forma differenziale.

Caso 1-D

Dẍ = 1/m g(x,y,z,t)

Y = d (x,y,z,t)

ẋ = y

Ẋ = AX(T) + 1/m g(x,y,z,t)

X(0) = X₀

X(0) = X₀

Sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

X = (x₁, x₂), ... , X˙ = (ẋ₁, ẋ₂), ...

Sistema dinamico

τ x

Esempio: modello di oscillazioni

Posizione di equilibrio

mẍ = -kx

mẍ = -kx - λẋ

ẍ + ω₀x = 0

ẍ + k/m x + 2λ/m x = 0

ẋ = 2ɛx1_{N0x3 + 8(t)}

Modello massa - molla ammortizzatore con termine forzante

ẋ = y, y = 2Ɛ y - ẇ₀² + 8(t)

Ed osservo un sistema fluido

Equazioni differenziali

d²i / dt² + R L di / dt² + i = μ / L ω sin ωt

Meccanica razionale

Equazioni differenziali: mu_a mu_b=a mu_c=0

Tre modi di scrivere la stessa cosa in forma differenziata.

Segue di ea. differenziale, ordinaria del primo ordine

x = x^_

X(0)=x₀

Invece di avere un'equazione del 2^° ordine ne ho due del 1^°.

Grado n → n equazioni del primo ordine

Sistema dinamico

ƒx = x

ƒy = g(x,y,z,t)

Esempio

ƒx Massa + molla + smorzatore con termine forzante

x + 2εx₁ω²x=0

Smorzatore funziona

Forza viscosa ƒy

Ossia un sistema fluente

Corpi rigidi e gradi di libertà

Sono tutti corpi rigidi (ogni corpo ha 6 gradi di libertà)

4,6,24 gradi di libertà

Nel momento cui assemblato i pezzi tolgo 3,5,15 gradi di libertà al sistema

#Immaginario GDL

Devo trovare 6 GDL che salvo tutti dai vincoli

Tiponi del rotolamento

Pure devono essere ruote ϕ rotulo ψ rotazione ruotano su se stesso

ρ lubandata (deviazione lungo la retta)

Il disco gira fino a che un ruoto vincolati del rotolamento, 5 gradi di libertà (x,y,ϕ,ψ,ϑ)

Esempio di 3 corpi fissi in bicicletta

Considerando che quita ruota sono 3 gradi

rϕ=γx=ϕψ X&#gamma;=ϕψ

Non vale nel caso di sora x=ϕ cos(ϑϕ) y=γ sin(ϑϕ)

Il vincolo di rideamento può dividere sul piano (mai posso insegnate per c.ᵥ (no ridere di corPE eziucentre))

Modello a pendolo inverso

ω=1 nel punto a sodazione è cugolo ϑ - Fc=-mω² RT e G=-mgγ

Tc = mω² momento di inerzia di un fanno materiale MOMENTO DEL PESO = -(G • 0) - mg s g=k(γ seυletϑ+h cosϑ•k) n> = -mg h sezϑj NB: 1X. = G MOMENTO FORZA CENTREFOG=-(G • 0) - mω² R=ζ(γ seυlet - h cosϑ•k) -( N-mω² R/γ) = -mω² R h cosϑ

Iyy e il vettore di momento

Iyy ġ≈ h × seυlet = mω² R h cosϑ con sezϑ ≠ 0 e cos ≠ pϑm h Υ + mg h θ/pass 0 θ ≈ h × seυlet = (0₀) + (g)/(0)_{(tensime del mariepeon e peofieixo)}

Angolo di sterzo

tg θ = \(\frac{v_z}{v_x}\) nel caso statico → formula di RANKINE(1)

α - \(\dot{θ}\) × sinα = 0 \(\dot{θ}\) + \(ω\) sinα = 0tθ± → α = π - θsenα = senθ ⇒ \(\dot{θ}\) - α\(\dot{i}\)

Spazio vettoriale

Bilinerietà

Additività

V = {v1, v2, ..., vn} αV + βW = 0 W = {w1, w2,..., wn}

⇒ Se vi generano tutto lo spazio vettoriale si dicono base e la dimensione è n Base e la dimensione è n

Prodotto scalare

V × V → \(\mathbb{R}\)^u |^v|cosΦ ei · ej = δ_ij

\[\left\{ \begin{array}{cc} 1, &\text{i = j} \\ 0, &\text{i} ≠ \text{j} \end{array} \right\}\]

Delta di Kronecker

Spazio affine

→ \(\mathbb{A}\) spazio di Punti - Vettori (A, V) A × V → \(\mathbb{A}\)

Lo spazio vettoriale ha un punto "privilegiato", lo spazio affine NO in quanto NON LINEARE(P, V) P punto di applicazione → Vettore libero

R: spazio di punti

R: spazio 1-dimensionale Prodotto vettoriale U ∧ W = \(\left| {U}^W\right|sinΦ \), a seconda della terna destrorsa

| i j k || u1 u2 u3 || w1 w2 w3 |

Prodotto misto

(U ∧ W) · U = \(\left|\begin{array}{ccc} u1 & u2 & u3 \\ w1 & w2 & w3 \\ n1 & n2 & n3 \\\end{array}\right|\) → \(\mathbb{R}\)

Derivata di un vettore

\(d\overrightarrow{\underline{u}}\) = \(\sum\limits_{i=1}^{n} \left[P(t+h) - P(t)\right]\) ⇒ Derivata di un Vettore

Il vettore applicato