Meccanica razionale

MECCANICA RAZIONALE

Richiami di calcolo vettoriale

vettore posizione (P-O): x₁x₂x₃; q v

componenti scalarie vettori associati detto retta contenenta col origine fixe O

prodotto scalareuguale ai componenti scalari lungo vettoria ∙ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ (combinazione di u lungo v)simmetricolinealeanticommutativovettore ortonorma: ortogonale

deg geometrico x = a ∙ b/ab ∣b cosθ

somma prodotto vettorialesi ottiene di prodotti scalari

• (a × b) ∙ c = (b × c) ∙ a
• a ∙ (b × c) = (a × b) ∙ c

prodotto misto (tripletta vettoriale)a ∙ (b × c) = -a ∙ (c × b)fa permutazione fra cambiando di piu il segno se due vettori coincidono → soddisfa nullea

espressione lineare vettoriale

û ∙ v condizioni: a ∙ b = 0 (I)integratob = a_ia + b_ic

û' = a_ic ∙ b_i -a⁄^∣ab∣û, û̅'û̅' c ∙ b_i = û⁄|û|^2

Cinematica del punto materiale

vettore posizionez(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

• v(t) = x'(t)i + y'(t)j + z'(t)k
• curva: traiettoria/orbita
• acc(t) = a(t) = x''(t)i + y''(t)j + z''(t)k
• spostamento infinitesimo dp^addr(t) dt = (x(t) + ẋ(t)i + ẏ(t)j + ž(t)k) dt
• lunghezza infinitesima di arco ds^bdp i|v

ds[Lt(t)] ds = morbilest(et) ≤ ẋz

P(t) ̅ pt(s) = P̅(s,t)

fiume confiume sperfico

curvo: sopra asse curvilinea s(quanto stabile e sotto pressione) → descrizione caleco materiale

modus per ottenere il modo fp(s)T

P(t) ̅ peronale del brumo di fiume di t

P(s,t) - curvo intersanta e strada peocasa

stt) - distrizza plexxa mett-manta di Regina

Teorema intrinseco (lunghe unità) — base ortonormale

versione tangente

curvatura

raggio di curvatura

_w versione normale

versione binomiale

_{a b t} ^a

Movimento piano in coordinate polari

versori

v e a

a

possono essere decampioni nel riferimento cartesiano

v =

a =

vincolo:

• significato di vincolo fisico
• espresso del vincolo attraverso equazione variazionale

n = 3A - ξ

• vincolo bilatero
• vincolo bilatero

Casi particolari

ABH traslatoriov(c)=0"tutti i punti del corpo rigido hanno uguale velocità"

ABH roto_traslatorioQ punto fisso = punto a velocità nulla in ogni istante di tempo = CIRtetto passante per Q = c = w/ |w| _{asse di istantanea rotazione}

Riconoscere ABH roto_trasl

v(c) ≠ 0v(a) = v(c) + omega × (a-c)omega (a-c)=0

Sia x, a, b dei vettori linearecondizione : a.b=0x.a b a+b{(a-c)² = w (v(a)) + λw(v, V(a)) = 0λ = 0

Teorema: Un ABH roto

Se (c-i)₂ = w (v(a)) + λw

DM

I/O = ABH istantaneov(c) v(a) = omega = (P-c)

√omega_Pv(P).v(c) = ω × (P-c)

√(v(P)) = | v(c)) | | (P-c)" ]¹ |v(P)| > |v(C)|

Moto rigido _pianoI. v(c) = w × R

Proposizione: un sistema in moto rigido piano fra atto di moto|uname o w-o | CIRasse sempre è asse di istantanea rotazione

Teorema di Chasles:due sistemi piani equiparabili con uno simile in moto rigido piano se e cre asse passa per il CIR dell'altro ass

Derivata direzionale del potenziale

Data una forza posizionale conservativa, calcoliamo la derivata di u lungo una curva c descritta da S

• du/ds = Fx(dx/ds) + Fy(dy/ds) + Fz(dz/ds)
• u = f, t, n (x(s),y(s),z(s)...)

La derivata del potenziale rispetto a una certa variabile è l’opposto della sua componente della forza

Forze Conservative

• Forze Costanti
  • F = costante (Indirizzo assoluto preso)
  • ds: sFP = C [P0->A] (fx=0 = Caratteristica)
  • U(P): F .[P0->C] = costante
    • Invariante
    • Le proprietà sono oggetto
• Forze Peso [Ug = mgh]
  • Ug(s) = mgh + costante
  • [campo elettr. In P̅(à), variabile di quota del baricentro]
  • [Vuoto org di potenziale e’VI sempre il medesimo scalare]
    • Forze orizzontale costanti
    • U(P) = F . (P0)₂ + costante

Spiegamento vettore direttrice della forza

Esempio

F = forza orizzontale costante (ampiezza nel baricentro)

Sostanza della retro

Proprietà se è differenziabile

• Moto data: Xs = X1-Xr
• Vettore Filo tra Xx = X1-Xx

Equazione cinematico

X = V2t

Vm = √(km . ω(V-X = X)) = U - k

V = sin[(V-V2).X]

v_{R}, S: Lω (V-V±) = Y / k

X2 / U-RZ = u l

(V: x / y)>Fs2 F

U = 1/2kx^2 - Fx1 - u| (F)|P

Forza Cinemat, il cui valore direttrice delle direttrice

F = zero di ampiezza + Singolarità, e costante

Definitiva sulla curva di disponibilità a P con punto fissio O

F . ψ1(e) . f = ψ1(r)

du / dr = fc . ψ1(e) . e

J|U(r,) | ψ1(r) dr + costante

Esempio: Forza elastica schierzmatosa da una molla

• F . k( -, P)`
• L’obiettivo posto linea verso di exame)
• E . ψ1(V|, e|sotre)
  • U(r) = J-k dr + costante + 1/2kr^2 + costante
• E punto verso esterno

per asse fisso: giacitura non fissa

formula: (P_B-O)= A_x x ̇ + B_y y ̇ + C_z z ̇ + 2Dψ ̇ + 2Eθ ̇ + 2Fφ ̇ y

• I₀ =

coniche

(luogo dei punti in cui si azzerano i tre valori coniugati) e coni che sono piano equazione dei punti indipendenti dall'str)

I_xx + 1 = equazione di una superficie quadrica (c

equazione di un cilindro (cilindro ≠ 0)

cilindro cartesiano

asse cartesiano

in auto equilibrio

asse cartesiano x^-2, 1 equazione dell

ci sono due equazioni per lo più con una piazzati con uno stesso asse

asse dell'equazione delle quadro

sistema quell'asse notiamo che se osservato equival c quadrature e massimi di inerzia

sistema quel asse passante per il suo centro la equipan & equilibrio di ossiera

FORMA NORMALE A_xx + B_yy + C_zz + 1

elimina le masse di inerzia

di calcolo e calcolare & in & rotolare

asse: MOMENTI PRINCIPALI d'inerzia

I_xx + I_α = Aφ_zx ẋ + Bφ_y ẏ + C

k (asse principale d'inerzia)

l arc x passante principal d'inerzia

in gereral generale:

P_ki + Dφ_j

+ Dφ_k...

rotif (piano rotular)

la momente di durata tempo e & sempre asse da c con costi

in generale:

r² or - I_xx + 1w_c w_c

p. di (peso)

polare di distanza

parametrica a dimensione & centri

MOMENTI DI INERZIA

spezz continu con olt.

• massa angolare smeriglia

• semiche con; carrossere centrifuge angu.

a (p.costante)

& to fissano (issana) se asse di piano c

d = (corda in direzione da piano c)

momento di inerz dipende in un asse e il piano

e passante per − (inter ine di asse degli)

r = h

semiassi...

asse passante per il baricentri. ordinare mo.

1/3

I_xx =

serete organiche per p. rossi baricentro

2L² 2pl

I_zz =

m

L

quadro

2

1/3H²

I_lm = L

proporzione convolute p.con.

r₂dr dx₂ =

H

momento d'inerz r ρ dr per (a roid d/r hi)

I_x(2.2)

momento d'inerzia dice el priana e passante per il baricentro del piano...

per elementro di munghia & di coordinates x₂

al centro dell'interblo su direzion e extendsa da pe (peso o stabilio) u

momentia inert con asse di piarsa + d.... intermedona 3

passante p il baricentro del piano e passante per

distibuz per il compart centrale e silenzi per h per eplesso con paralle di e/h

I.

I

H

L² 2 + 4H² + 2p

H² 3