Meccanica razionale

Meccanica Razionale

Sofia Gregorio

Anno 20-21

VETTORI

TEORIA DEI VETTORI

FISICHE

GRANDEZZE )

(

SCALARI P

GRANDEZZE T

VALORE

INDIVIDUATE NUMERICO

da

° M

UN

SOLO ,

,

,

VETTORIALI

GRANDEZZE NUMERICO

CARATTERIZZATE VALORE

OLTRE da

CHE

° UN ,

, ( )

FORZA

DA DIREZIONE VEL

DA UN VERSO

UNA E .

,

SEGMENTI ORIENTATI 9

È B

AB

UN CUI

ORIENTATO

SEGMENTO VIENE

SEGMENTO

UN IN

A B.

PERCORRENZA

DI

DEFINITO A

VERSO da

UN verso

,

SEGMENTI EQUIPOLLENTI

ORIENTATI B D

DUE 9

EQUIPOLLENTI 9

ORIENTATI se

SEGMENTI DICONO

SI a

STESSA la STESSA DIREZIONE

LUNGHEZZA

HANNO LA E C

,

STESSO VERSO

LO .

VETTORI LIBERI

LA RAPPRESENTA

TRA

EQUIPOLLENTI

ORIENTATI

SEGMENTI

CLASSE DEI LORO

VETTORE LIBERO

NOTO COME

MATEMATICO

ENTE

UN É CARATTERIZZATO

UN da

VETTORE LIBERO : 9

v

.

MODULO NUMERO NON NEGATIVO

UN

, 7

9

¥

d'

DIREZIONE RENA r

DETTA azione

. , 9

VERSO

-

VOTAZIONI B

PER UN VETTORE -

NOTAZIONI VETTORE

PER MODULO UN

DI B

-

VETTORE Q

I

NULLO =

VETTORE VERSO INDETERMINATI

DIREZIONE

NULLO E

MODULO

DI , .

Ù

VERSORE

VETTORE UNITARIO ORIENTAMENTO NELLO

DI UN

MODULO DEFINISCE

: SPAZIO

RAPPRESENTAZIONE VETTORE

INTRINSECA UN

DI

è

± v

= VERSORE

MODULO

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

ESTRINSECA O

COMBINAZIONE TRA la Èz

È è

TERNA TRIREMANGOLA I Vz Vs

VI t t

=

E componenti

le s 3

CARTESIANE

Va CARTESIANE

V

Vs COMPONENTI I

di RISPETTO

LE A

SONO

,

,

, }

{ è

èa

èe

TERNA TRIREMANGOLALEVOGIRA diversa

UNA .

, ,

{ }

èz è

La ès TRIREMANGOLA VERSORI

DICE SONO

SE

TERNA SI I

,

, ,

RECIPROCAMENTE

MUTUAMENTE ORTOGONALI LORO

TRA

LEVOGIRA SINISTRORSA

O

• ès

ès IN

OSSERVATORE RUOTARE

su VEDE

UN POSTO

SE èz

ANTIORARIO SOVRAPPORSI a

VERSO PER

DESTRO

GIRA DESTRORSA

O

° ès

è IN

OSSERVATORE RUOTARE

su VEDE

UN POSTO

SE 3 èz

ORARIO SOVRAPPORSI a

VERSO PER È

È GIRA

DESTRO

LEVOGIRA

È È

0

O

- 1

è

è .

OPERAZIONI VETTORI

TRA

PRODOTTO scalare QUANTITÀ

PRODOTTO SCALARE

SI E

DEFINISCE LA

VETTORI EI

DUE

TRA

da

data

scalare : 7

I a

osa

UV

V cosa tt

a

e. = i

L

ANGOLO É PIÙ

DIREZIONI

TRA ORIENTATE PICCOLO ANGOLO CHE

il

FORMA ORIENTATE

DUE DIREZIONI

TRA

SI .

Il ANNULLA DEI VETTORI

PRODOTTO ALMENO

SCALARE SE UNO DUE

SI

È OPPURE ORTOGONALI

VETTORI

DUE

NULLO SONO

SE I

LA PROIEZIONE ORTOGONALE I

di VETTORE

UN WNOO UNA

È

DIREZIONE PRODOTTO

DATA SCALARE

ORIENTATA VETTORE

TRA

DAL IL

E

ED VERSORE ORIENTATA

DIREZIONE

DELLA

IL 9

,

I "

Vr !

=L V cosa

. = a

Vr

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

CARTESIANE

COMPONENTI

LE PROIEZIONI

1 COINCIDONO CON LE

di

GLI CARTESIANI

ORTOGONALI VERSORI

LUNGO

VETTORE ASSI di

DEL

è

Èe èz OVVERO

i :

,

,

, ^

£3

èatvsès

Veèe N

I tv

= , ,

91

^ I

Vs

Vs I lei

•

= è

Vz 3

È \

I

✓ . i

=

2 z '

Vs in

è È

✓ I.

3 = }

PRODOTTO VETTORIALE

PRODOTTO

SI VETTORIALE DUE VETTORE

DEFINISCE IL

VETTORI

TRA U I

E

I.

w un

=

DIREZIONE INDIVIDUATA

GIACITURA

PERPENDICOLARE DUE

DA

alla

, VETTORI { }

VERSO I

TERNA UEVOQRA

SIA

CHE

TALE W

LI

la

. , , ,

MODULO DELL'

MODULI PER

al ANGOLO

DEI

PRODOTTO IL

pari SENO

' , COMPRESO V

Un UN seno

W =

= LATI

L' DUE

SONO

PARALLELOGRAMMA

RAPPRESENTA I

DEL

AREA CUI

I

> VETTORI

^ Il ANNULLA

VETTORIALE ALMENO

PRODOTTO SE

SI UNO

=L al

VI È SE

DEI DUE

OPPURE

NULLO VETTORI

VETTORI I

DUE

;

v. -

e

Ì )

(

si 4=0

PARALLELI

sono

PRODOTTO MISTO QUANTITÀ

DAI PRODOTTO MISTO

DEFINISCE

TRE VETTORI V SI

U W LA

, ,

(

SCALARE un 1 W

. /

) tal

nel

Iene e

a cosa

=

- -

- fu

AREA

È

IL NULLO ALMENO

PRODOTTO MISTO UNO DEI

SE

È NULLO

TRE VETTORI VETTORI SONO

SE TRE

O I

COMPLANARI

PROPRIETÀ DEL MISTO

PRODOTTO

È PERMUTAZIONI CICLICHE

A VETTORI

RISPETTO

INVARIANTE TRE

DEI

° )

( ( (

) )

v v

w

un law

w nu u

= .

. = .

È SCAMBIO VETTORIALI

OPERAZIONI

DELLE

INVARIANTE RISPETTO ALLO

• ( )

( vnw

a.

une on =

DOPPIO PRODOTTO VETTORIALE DOPPIO

DATI VETTORIALE

PRODOTTO

L si DEFINISCE

e

A

TRE VETTORI ,

,

DI

TRA ESSI VETTORE

IL le

Iene) lana) e e

na = -

IL ASSOCIATIVO

NON È

PRODOTTO VETTORIALE

DOPPIO Iene)

ante ) A nw

na

Per COMMUTATIVA

PROP ANTI PRODOTTO

DEL VETTORIALE

la HA

SI

. ( (

a) (

anima ) e

In a

na w non

v.

= - = -

la

a)

lui

antenne) e

e

= - { }

èz è

ès

INTRODOTTA VERSORI

TRIRETTANGOLA LEVOQRA

TERNA DI

UNA , ,

,

( (

( ) ) )

V-a.tl Va

a vs a

vi.

va Us V.

Ue VK.ws

we

Ue

: ;

; =

= =

,

,

,

, ,

PRODOTTO SCALARE I UN

I Vs

Have Us

t t

° =

PRODOTTO È ès

È

VETTORIALE def

I

In Us

Us Ur

= ✓

Vz

✓ e 3

( (

) è ) è

( )

èat una

Uevs

ne una

uns nave

una

↳ t -

= - -

, ,

PRODOTTO MISTO di virus

( ) det

K A va vs

an vi

. = We W3

We

)

( tusvswz-Usvswz-Uzvs.ws

Va

VI Uzvs

MI Ne W

¥ Ne 434 Ne

t

° = -

,

NOTAZIONE INDICA LE serve comparare Formule

a le )

( INDICI

GLI PEDICI

RAPPRESENTATI CON DEI

SONO DETTI

MATEMATICI

ENTI 1,2 3

POSSONO

MECCANICA classica VALORI

ASSUMERE

IN

Che , , , .

Vs ✓

✓ ✓

i 3

2 ,

, 3 NÈYNSFÉYN

vièi

vsèetvaèatvsès vi

I v. =

=

= 3 3

3

bi bis bis

bi dis

dis dis dis

=

= i , i ,

,

>

= =

=

ESPRESSIONI FALSI MONOMI

DI CHIAMANO

TIPO

QUESTO

MONOMIALI SI

RIPETUTI

INDICI NON FA

MUTI QUANTO

IN NOME

LORO

IL

DETTI

• , FASO

VALORE MONOMIO

DEL

CAMBIARE IL .

Èi

èn tvaè

è Vsè

Un Ve Vi

+

= =

, ,

,

LIBERI

INDICI

°

DUE UGUALI HANNO

SE STESSO

MONOMI SONO

FALSI NUMERO

LO DI

NOME

LIBERI STESSO

INDICI CON LO . LIBERI

UN INDICI

INDICI

MONOMIO

FALSO m

n

CONTENENTE e

RIPETUTI Rappresenta .

" 3M

3 POLINOMI CIASCUNO FORMATO DA TERMINI

è 30=1

=L 3

0

Vi TERMINI

POLINOMIO FORMATO da

M

n =

; , 3

bi POLINOMI FORMATI

3 TERMINI

di da

=L

n =L

M

, , 30=1 32=9

bis 2

-0 TERMINI

di POLINOMIO DA

FORMATO

M

n =

, , basta

basta

bis b

Ass

di e

= » »

] 923623+931631+932632+933633

bzztaszbeztaabsstdzzbzztazzbz.at

= se KRONECKER

SIMBOLO DI principale

diagonale

.fi !!

: te »

si .

.

PROPRIETÀ KRONECKER

DI

DEL SIMBOLO { VÀ

tvzszst

VISSI Vs

SOSTITUENDO =

Sis

Szgtvss 532

Vasi

Si

Sig Su

Seat Va

V

Vi tv

Vi Va

Vs

tra

= = =

,

=

»

, ,

, g. g

g =p

↳

+

+ ↳ ,

»

,

qq.gs

gnqggp aqep

µ , = ,

, , Sis

Si Vs

Vi Vs

Vivi

V Vi Vs -

,

RELAZIONE DI

KRONECKER

SIMBOLO VERSORI

DI ED

TRA IL I

{ }

ès è

è

TRIREMANGOLA LEVOGIRA

TERNA

UNA ,

, ,

NAUTÀ

è

è Si orto

CONDIZIONE di

= È

i. ,

, )

(

è 1. 0,0

=

,

lèi ) Sid

È

è Sia

Sis !

§

= = ;

ii. ,

SIMBOLO LEVI CIVITA

DI -

{ 0

Eses E

indici sono uguali E

due

se almeno =

= =

» » , .

. .

:[

epg ( 3)

PARI

1 È 1,2

i

SE PERMUTAZIONE CLASSE di

UNA di

K

5

= ,

, , ( 3)

DISPARI

-1 1,2

É CLASSE

PERMUTAZIONE

i di di

SE UNA

K

] ,

,

,

E 8213

E Essa

=L

Essa 321=1

E

= =

' =

123 231

IL LEVI CIVITA SI

CAMBIA SCAMBIANO

SIMBOLO DUE

CHE

DI VOLTA

SEGNO OGNI

-

Esik Eisk

INDICI = -

. { }

.ee

RELAZIONE è

CIVITA

LEVI è

SIMBOLO DI

TRA IL VERSCRI

E I

- ,

,

{ È ÈÌ (1,2/3)

nè

è È PARI

permutazione di

UNA classe

di

= ,

, ; .

; ( )

È DISPARI 1.

ii. 2,3

PERMUTAZIONE classe di

Se UNA di

n

( èinès) Eisner

= sia Sia Sis

( ) èn

nè

è §

Eisn ' . =

; ] , Sse Sse s

( »

)

È Sis Sis

sia

= , , Skz §

SKI }

TRASPOSTA

§ Spa si

Sia Spa

Sp Sia

Sis Sas

Sp Sis Sra

, ,

,

,

Ssa Sega

Ssa Ssa

Sqz

Sss Spa

Ssa

893 592

Sgs Sera

Epqr

Eisn =

= Su Sra sns.SN

Sn

Sms Srs

Srs 593

Sn Sr

5ps

, }

} Sip sia Sir

Silspl Sip

Azz sisspetsizspztsissps '

= gisngpqr-S.jp Ssq Ssr

Sissqetsizsqztsissqsesies Sia

Azz =

= Snq Star

snp )

Sii (

L C

Sia Sir SATURO

INDICE

CON RIPETUTO

O

-

efiissqsnrtssrsiasnitsnassisir-ssasirs-siissrsng-f.gs

Sisi Ssa Ssr !

Eisn Eiar = È isnriyis.si

%

'

srisnasnr

3ssaskrtssrsnatgrsna-ssgsnr-3ss.sn #

S

Einiar -

- nr

,

H

Ssgsnr Sang

Eisn Eiar -

e-

SII

# 2

Snr

Snr 2 SATURI

INDICI

Eisn E

Eisncisr -

' Srn

6 3 SATURI

INDICI

Eisn Eine

CAMBIAMENTO BASE

DI

lei

{ 3 Ei

} Su

è

è

E. Sis

è = =

.

.

.

. .

. , .

BASE È

ORTONORMALE BASE ORTOGONALE IN

UNA VETTORI

CUI HANNO

TUTTI I

scalare

PRODOTTO

FISSATO

RISPETTO

NORMA UNITARIA UN

A

{ }

B V È

UNA BASE

BASE ORTONORMALE

UNA SE

di SE SOLO

Va E

Vs .vn :

= .

. .

,

, 2

2 P

AL

ORTOGONALI RISPETTO

a Scalare

DEFINISCONO

VETTORI

I a

CHE SONO

la

° .

Il { .nl

Ville ( ) ti

=L

1 1

BASE NORMA

HA

DELLA

VETTORE

CIASCUN Vi

vi.

° e .

.

.

te Vsè vie

è è

: vi :

E- v =L ⇐

,

,

, èi Es

Ris

=

)

dèi IÈ

=L Estes

)

è è Rise

: , s

, è Rinèi

=

.

Ri

E

MATRICE DI ROTAZIONE = ,

BASI È ORTOGONALE

ROTAZIONE

ORTONORMALI MATRICE

matrice di

la UNA

( ) )

(Rsqèg Rsqlènoèg )

è

Rin Rsqsna

Rin Rin Rin

Rin

è

si -

. - -

=

-

= .

, , Snq

( (

) ( a)

)

Rqsèa Ras

Rin Rin

è

Su è

Ei Ris

Rin :

. =

=

= =

,

, Sig

% % !

!

:& :{

:S ri ;

!

datteri) ( )

! dette

1

detta

detta dette

dette 1

1 #

= {

èi è

Ris

=

{

{ } ,

} Ris

.es È

È È E

E. i.

, e.

. =p

. .

ORTOGONALITÀ Si

CONDIZIONI DI Rinrsn = ,

9

| 6 DI

dalle

DELLA DI

MATRICE SONO CONDIZIONI

ROTAZIONE LEGATI

ELEMENTI 3

ORTOGONALITÀ INDIPENDENTI

SONO

QUINDI SOLO . vi

te Vsè Levi'

è è

èi :

1 =L ,

,

, vi Risvs

=

(

) )

( Ris è

tie' è

Ri Ri

vi =L v

e.

. =

e =

i ,

,

, ,

, Rinvii

Un =

QUANTITÀ

le scalari CAMBIAMENTO

AD

RISPETTO DI

UN

INVARIANTI

SONO

BASE Ssnusvn

Risu Ris

Rink Rin

vivi Usvn

L.tl Usb

= =

= =

= ,

Ris rinvia

vivi

v' Ssnvsvn Vsv

Vs

= = =

= ,

ESERCIZIO

VETTORI APPLICATI

LE DIFFERENTI IN

FISICHE

GRANDEZZE POSSONO

VETTORIALI AVERE COMPONENTI

APPLICAZIONE

DIPENDENZA DI

LORO

DAL PUNTO .

-

/

UN APPLICATO

VETTORE È VETTORE PUNTO

DA

SPICCATO DEFINITO

UN UN

PUNTO APPLICAZIONE

DETTO DI

spazio

DELLO .

Si DEFINISCE l' VETTORE

APPLICATO LIBERO

DA

VETTORE COSTITUITO UN

ENTE ( 1)

A A

I PUNTO applicazione

di

DA

E UN : ,

PER CARATTERIZZARE COMPLETAMENTE

POTER VETTORE nello

applicato

UN

6 PARAMETRI

spazio OCCORRONO :

3 a

PUNTO

DEL DI applicazione

COORDINATE

le

° )

(

3 I

Va

LE Vs

CARTESIANE

COMPONENTI vs del VETTORE

° ,

, ( )

)

( Polo

P

Dato A ARBITRARIO si

DEMO

punto

e

v un

, ,

POLARE

MOMENTO RISPETTO

VETTORE APPLICATO AL

Definisce del

P VETTORE

POLO LIBERO Da

DATO

IL :

, POLO

µ

POLO ARBITRARIO LIBERO

VETTORE

PA

mp v

a

= 4

PUNTO DI

APPLICAZIONE

DEL VETTORE

IL NULLO

RISULTA ESSERE

APPLICATO

POLARE VETTORE

MOMENTO DI UN P PA Il

A

0

V ¥

QUANDO oppure

oppure

E =

P I

D'

RENA

APPARTIENE AZIONE

alla )

(

IL A

POLARE V SIA

VETTORE APPLICATO

rap DEL VARIA

MOMENTO ,

P a

POLO PUNTO

VARIARE

VARIARE DI applicazione

AL DEL che al DEL

DEL VETTORE

LEGGE POLARE

VARIAZIONE MOMENTO AL

DEL

DI PA

POLO

DEL

VARIARE I

rap n

=

P

¥ PA

QP

Q QA

QA I

# m n t

= =

Q

- )

( Pan

Pa QP

QP I I

alt

mia

n

t

m =

=

a _

- mp

VARIAZIONE

LEGGE

LA DI QP I

POLARE Nia

DEL Mp

MOMENTO a

t

AL =

POLO

VARIARE DEL RISPETTO

RISULTA SCORRERE

POLO

AL FA

invariante

polare SE SI

MOMENTO

IL parallela D'

RENA VETTORE

RENA

POLO LUNGO UNA DEL

azione

alla

r

IL 7

I . Q

HQ QP Il QP

I

=D MI ha A

er tap

ma

=D mpt - op

= -

E r

IL È INVARIANTE RISPETTO

POLARE SCORRIMENTO

MOMENTO DEL

ALLO

D'

VETTORE LUNGO azione

RENA

la

1 sua r

' f)

¥ ( '

D'

A

a a

# POLARE

r MOMENTO

e APPLICATO

VETTORE

DEL

Il p ,

I

È 7

DATO DA : http '

Pa

I ' I

n

'

A

> =

✓ r

A • )

(

'

' PA Caetani

'

PA PA taa

ra'

taa ne

= =

= p tap e

tnip A.

= p ( )

SI MOMENTO ASSIALE RISPETTO

a

DEFINISCE I

applicato

VETTORE

DI UN ,

Ì QUANTITÀ