Meccanica razionale

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica - Isaac Newton

Pubblicato nel 1687, formato da 3 volumi, nasce da un contenuto della "Royal Society" che richiede un trattato "de motu corporum in gyrum" da Newton e lo convince a creare questa opera, poi presentata alla Royal Society.

Prefazione

"Cuius sine mechnicam (ut auctori est proprius) in rebus naturalium investigatione maxima necessitatem..."

"Mechanicam vero eorum, rationum est maximam abusi di investigatione ex rebus omnium naturu."

Definition

1. Quantitas materiae est mensura eiusdem orta ex illius densitate et magnitudine conjunctim.

   La quantita di materia (la massa) è la densita per il volume. Quindi varia la densita sopra in uno spazio dove la massa circola.

2. Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex velocitate et quantitate materiae conjunctim.

   La quantita di moto è ricavata dalla misura della massa sopra la velocita, o il movimento totale è la somma di quello delle singole parti.

3. Materia vis insita est potentia persistendi in statu suo...

   La forza insita nella materia è la disposizione a persistere e conservare nel suo stato di quiete o di moto uniforme diretto. La forza è proporzionale al corpo.

4. Vis impressa est corporia ad exercendum ad mutandum ejus statum vel quietis vel movendi uniformiter in directum.

   La forza (massa) è un’azione esercitanda sul corpo al fine di mutare il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

Assiomi o leggi del moto

1. "Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare." "Un corpo persevera nel suo stato di quiete o moto uniforme se non viene applicata alcuna forza impressa."
2. "Mutationen motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur." "Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa e avviene lungo a una retta nella direzione della forza motrice."
3. "Actioni contrariam semper esse æqualem et contrariam reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi." "Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria."

In natura ci sono 2 tipi di corpi, i corpi rigidi, che studieremo in questo corso, e i corpi non rigidi studiati in fluidodinamica.

Dallo studio dei corpi rigidi si formuleranno IPF (Ipotesi Fisiche) da cui consegue un M.M. (Modello Matematico) corretto da cui arriveremo a delle conseguenze.

Se le conseguenze sono in contraddizione con la realtà e il mondo fisico, le ipotesi sono errate, non il modello matematico.

= _dt^dc =

> derivata rispetto al

= _dt^du =

se fosse solidale col sistema = _d = 0 = _dt^du

w

Moti di corpo rigido

Moto traslatorio rigido

È un moto in cui tutti i punti di sistema rigido hanno la stessa velocità; quindi se la forma solida rimane regolarmente invariabile_p=0

allora _{(p =}

=0

Quindi in un moto traslatorio w=0, infatti non ho alcuna rotazione e variazione degli angoli

Moto rototraslatorio rigido

È un moto in cui una retta è solidale al corpo rigido che mantiene direzione invariata

si parla di moto rototraslatorio

inoltre le componenti della velocità di ogni punto del corpo rigido su una retta sono le stesse della velocità della retta

un caso particolare del moto rototraslatorio =

Moto eliocidale rigido

è un moto in cui una retta è solidale al corpo rigido cha abbia la velocità parallela alla retta stessa

Si muove nel piano xOy

Il riferimento ruota lungo asse z con velocite angolare costante w₀

O'(x,y,0) N(x,y,0) S(x₀,y₀,0)

w₀ = (0,0,w₀)

Quando "entra" agisce una forza di Coriolis

_Na red 0 0 0 w₀

d_N = 2m w₀ v_nL²d = -2m

x y 0

-₀x ₀y 0

Da cui, Q₁ = Q_x = 2m w₀ v_y (componente diretto a x)

Q₂ = Q_y = -2m w₀ v_x (componente rispetto a y)

Quindi le equazioni del moto sono:

d/dt(_Nt) - d_Qx

d/dt(_Nt) - _Nx_x9 - Q_q

d/dt(_Nt) - d_i) - d_N

OSS: La forza di Coriolis non e mai conservativa ma il suo lavoro potrebbe essere nullo

Una forza e conservativa l lavq che compie lungo una qualsladi trayectoria chiusa settana de nullo

Il lavoro e svolto su un percorso che venisse due punti dipende unicamente dal PI mirale e VI finale

Un sistema o rede inerziale o un sistema di R.F. in e dinamica (F = 0, una solido a fonte estera rimane nello stato di quiete e moto rettilineo uniforme)

Per trovare l'asse di Mozzi in questo istante fisso

Riprendo la dimostrazione del teorema di Mozzi:

calcolo μ: = λ_P tensors W con versor w =

scomponendo AP lungo la direzione di Ω e la sua perpendicolare posso così trovare la componente perpendicolare

λ_P^⊥ = λ_P - μ versor w

ΔP = λ_A + w λ_AP

λ_versorw + λ_P^⊥ = - λ_A + λ_P

λ^μ impone la condizione

λ_P^⊥ = w λ_AP

così ottengo le condizioni di

Atti di moto rigido

C'è una grande differenza tra moto e atto di moto, di qualsiasi natura esso sia:

Def moto oltremodo

la retta coincide al corpo rig.

L.c. λ_A = 0

La deferenza è il congelamento!

Esempi di attimo_moto rotatorio

• Corpo rigido con un punto fisso
• A presente solo per Ω (istante
• La retta che sta la resta passano per Ω
• io che attraverso l'istante rotazione

Con il teo di Huygens abbiamo visto come varia il momento di inerzia quando la retta v si muove parallelamente a se stessa

Ora studiare il caso in cui la retta si muove nella stessa o resta centrata su un punto o

Considero un sistema di riferimento

Prendo un punto materiale (P_i, m_i) car P_i(x_i;y_i;z_i)

Prendo una retta passante per o avente come coseni direttori (α, β, α) ovvero i coseni di direzione della retta si sostanza ⇒ α² + β² + γ² = 1

Per definizione y_r = ∑ m_i p_i² P_iQ_i = P_i = OP_i = OQ_i

⇒ y_r = ∑ m_i [(OP_i² + log_i²) = ∑ m_i [(x_i² + y_i² + z_i² - (x_i α + y_i β + z_i γ )²]=

= ∑ m_i [α² + β² + y² + z² x_i² + 2αβ + 2γ₁ x₂ - (x² α + y_i x_j β² + z₂ β² - x₂² y₂² β² = 2 β² x²

= ∑ m_i [(β² x² + α² ) (y_i + γ²)² - 2₁ x_i α β - 2₁ x_i α β - 2₂ z_i2 γ² β² ]

Polinomiox² ∑ m_i (y₂² + z₂) + β₂m_i (x_i²) + ∑ m_i (x_i² + y_i²) - 2α β ∑ m_i x_i y_i - 2α β ∑ m_i x_i z_i - 2 β ∑ m_i z

In generale in un sistema continuo I_x = ∫_Gμ(y₂ + z²)d_c

y_xg = ∑ m_i x_i y_y = ∑ m_i z₂ y_y = ∑ m_i y_i z_i

⇒ y_r = α² y_x + β² y_y + y_r y_z = 2α β y_xg - 2α β y_rz = 2β I_y