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Meccanica Razionale
- Il Tempo in meccanica classica, è postulato
- assoluto
- omogeneo
- totalmente ordinato
Si può rappresentare lo spazio euclideo orientato e i suoi elementi (t) sono detti istanti.
- Lo Spazio deve essere tridimensionale (per far avvenire il moto).
- Lo spazio è euclideo affine tridimensionale.
- I suoi elementi sono detti punti.
Un vettore libero è definito da una coppia ordinata di punti (A,B)
- r direzione "verso da A a B"
- A origine
- B estremo libero
- |B-A| = d (A,B)
Sono equivalenti se hanno stessa direzione, verso, modulo.
Lo spazio dei vettori è uno spazio vettoriale di dimensione 3.
Formalmente
- u = (B-A)
- A = B + u
(B-A) verso da A a B
Spazio dei Vettori
V3
Calcolo Vettoriale
- Prodotto scalare
- \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = | \overrightarrow{u} | | \overrightarrow{v} | \cos \varphi\)
- commutativo \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}\)
- bilineare \((a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = a \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + b \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}\)
- definito positivo \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} \geq 0\)
- \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\) vettore nullo
- \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \Leftrightarrow \forall \overrightarrow{u} \rightarrow \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\)
Se \(\varphi = 90^\circ\) \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) perché \(\cos \varphi = \cos 90 = 0\)
- Prodotto vettoriale
- \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = | \overrightarrow{u} || \overrightarrow{v} | \sin \varphi\)
La direzione è ortogonale al piano
Il modulo è l'area del parallelogramma formato
Verso tale che valga terna destra
- anti-commutativo \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{u}\)
- bilineare
- non è associativo \((\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}) \wedge \overrightarrow{w} \neq \overrightarrow{u} \wedge (\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{w})\)
- Non ha senso scrivere \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{w}\)
Se \(\varphi = 0\) (parallele \( \overrightarrow{u} || \overrightarrow{v} \)) \(\Rightarrow \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\)
Non è univocamente determinato (dipende da x)
Di conseguenza il prodotto vettoriale sarà tra ũ e ũ' paralleli
Piano
Un piano è il luogo dei punti P|(P-Po)⊥K̂
(P-Po) K̂ = 0
PiPo ∑n=13 (xn-xn0)ên
K̂ = K1ê1 + K2ê2 + K3ê3
P = (x1, x2, x3)
K1x1 + K2x2 + K3x3 = K̂Mx̂10 + K̂Mx̂20 + K̂Mx̂30
Retta
La retta è il luogo dei punti P|(P-Po)‖K̂
(P-Po)∩K̂ = 0
quindi |K2(x1-x10) = K1(x2-x20)|
|K3(x2-x20) = K2(x3-x30)|
|K1(x3-x30) = K3(x1-x10)|
Una è comb. lineare delle altre
x1-x10 = x2-x20 = x3-x30
K1² + K2² + K3² ≠ 1
(Sono coseni direttori della retta)
Dato un sistema Σ con risultante R̄ e momento risultante mO riferito ad un polo O, esso è equivalente a (O, R̄) + una coppia di momento mO
"Ogni sistema di vettori è uguale ad un vettore + la coppia"
Quando possiamo ridurci ad un sol vettore o a una sola coppia?
- Se R̄ ≠ 0 il sistema è equivalente ad una coppia.
- Se R̄ ≠ 0
0 = mO ∧ R̄ = [rO + R̄ ∧ (O' - O)] ∧ R̄R̄ ∧ mO = | R̄ |2 (O' - O) = [R̄ ∧ (O' - O)] ∧ R̄
Quando mO = 0?
Moltiplicando scalarmene per R̄ ambo i membri della legge dei momenti si ha
mO · R̄ = mO · R̄ + R̄ ∧ [rO · (O' - O)] · R̄
mO · R̄ = I, non dipende dal polo
È un INVARIANTE SCALARE
Se Σ è ad invariante scalare nullo, allora Σ è equivalentead un solo vettore o una sola coppia
N.B. Se prendo il polo sull'asse centrale, mO è nullo oparallelo al R̄
SPOSAMENTO ELEMENTARE
dP spostamento elementare
dP = v̅ dt
ACCELERAZIONE
ā(t) = d/dt v̅(t) → ā(t) = d²/dt² (P(t) - O)
v̅(t) = ∑k=13 ẋk(t) ũk
ā(t) = ẍ1(t) ũ1 + ẍ2(t) ũ2 + ẍ3(t) ũ3
Anche qui me interviene la traiettoria:
v̅(t) = ő(t) ḟ(α(t)) → ā(t) = ő(t) ẍ ḟ(α(t)) + ő(t) dũt/ds ḟ(t)
ma d/dt f(α) = ?
d/ds f(α) = limh→0 [f(α+h) - f(α)]/h
df/ds ⊥ ũ̅ perché |ũ̅| = 1
Ottengo che il limite mi porta al concetto di CURVATURA 1/ꞵ
dũ/ds appartiene al piano osculatore ed è diretto verso il centro di curvatura, centro del cerchio osculatore, cerchio di raggio ꞵ
Definito n̅ = normale principale
dũ/ds = 1/ꞵ n̅ | Formula i Freuset |
Sapendo che il moto è piano introduciamo nel piano un sistema di coordinate polari di polo O
l'ipotesi ap‖(PO) porta
- ap = (β2 - β2ȧ2)r
- quindi d/dt (β2ȧ) = 0 →
- β2ȧ = c
- La velocità areale rispetto al polo o vale
- 1/2 β2ȧ = c/2
- C = costante delle aree
Formula di Binet
[Teorema]
In un moto centrale nota la costante delle aree C
e l'equazione della traiettoria β = β(α), l'accelerazione è data
dalla formula
- a̅p = [β̇(t) - β(t)ȧ2(t)]r̂
- β2(t)ȧ(t) = c
- "acc. traversa è nulla"
- essendo la traiettoria si ha
- β(t) = β(α(t))
- d/dt β(t) = dβ/dαȧ(t) = dβ/dα c/β2 = - c d/dt (1/β(α))
- - d2/dt2 = d/dt [- c d/dα (1/β(α))] = - c2 d2/dα2 (1/β(α))ȧ(t) - c2/β2 d2/dα2 (1/β(α))
- βȧ2 = βc2/β4 = c2/β3
- Sostituendo si ottiene la formula di Binet
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