Appunti di Meccanica quantistica

Principio di indeterminazione di Heisenberg

Incertezza nel determinare la posizione e la quantità di moto.

Principio di corrispondenza

Quando si passa dal microscopico al macroscopico bisogna ritrovare le leggi della fisica classica: le previsioni della meccanica quantistica e classica devono coincidere per grandi numeri quantici.

Osservabili fisiche misurabili

Qualsiasi grandezza che è in qualche modo misurabile, direttamente tramite le operazioni e gli appositi strumenti di misura, oppure indirettamente, attraverso il calcolo analitico.

Le grandezze della meccanica classica si rappresentano in quantistica con un operatore lineare del Hermitiano ad ogni osservabile fisico comparabile.

Operatori lineari

Un operatore è un simbolo che ordina di agire su ciò che appare dopo di esso.

Esempio: âf(x) = g(x) dice âagisci su f(x), e la porta a g(x).

Un operatore si dice lineare quando vale questa formula:

 [ C₁ f₁(x) + C₂ f₂(x) ] = C₁  f₁(x) + C₂  f₂(x)

Proprietà degli operatori lineari

• Se  è lineare, lo è anche C Â.
• Se  e B̂ sono lineari, lo sono anche C  + C B̂ e  B̂.

ma  B̂ può essere diverso da B̂  (l'ordine di applicazione è importante).

Come si costruiscono gli operatori?

I due operatori fondamentali, da cui si possono costruire tutti gli altri, sono la posizione e la quantità di moto (o impulso).

La posizione è un operatore semplicemente moltiplicativo: x̂ f(x) = x f(x).

La quantità di moto è invece un operatore differenziale: p̂_x f(x) = -iħ d/dx f(x)

dove i è l’unità immaginaria e ħ = h/2π

• Se la funzione f dipende da più variabili si utilizzerà la derivata parziale
• Se la grandezza fisica implica il quadrato della quantità di moto, si otterrà come operatore "il quadrato" dell'operatore quantità di moto.

I assiomi della meccanica quantistica: indistinguibilità delle particelle

«Se le particelle sono identiche, non possiamo distinguerle.»

II assioma della meccanica quantistica: principio di indeterminazione

«Non si conoscono contemporaneamente tutti gli osservabili fisici di un sistema.»

III assioma della meccanica quantistica: dualismo onda-particella

«L'entità è un'entità che a seconda dell'esperimento che stiamo facendo può comportarsi da onda o da particella.»

I POSTULATO

Dato un sistema, sicuramente esiste una funzione Ψ(q,t) che è in grado di descrivere il sistema in maniera completa (spazio-temporale).

• q=t: coordinate generali esistenti.

proprietà della funzione Ψ

La funzione Ψ non può essere una funzione qualsiasi ma deve godere di alcune proprietà, deve essere a buon comportamento (o di classe q) cioè:

• continua: abbiamo solo "una" probabilità e non due;
• derivabile;
• continua e derivabile la derivata prima; serve la derivata seconda;
• finita nel suo campo di definizione;
• ad un solo valore di stato un valore della x posso dare un solo valore di Ψ.

La φ non ha significato fisico in quanto può essere reale o immaginaria. Ha significato fisico invece. Ψ * Ψ = |Ψ|²

se z = x + iy allora z* = x -iy

|z|² = z·z* = x² +y² numero reale

Il postulato della singola misura

Se effettuo una misura di un osservabile fisico, non posso che ottenere uno di questi autovalori associati all’operatore:

• Aψ = a₁ψ + a₁’
• 2ψ₁= a₂ψ₂+ a₂’ψ₂

Esempio

• αψ = n²ψ n = 1,2...
• Se faccio la misura non può che uscire 1,4,9...

Per ottenere una misura, si ha bisogno di interagire con il sistema e questa interazione necessariamente influenza il sistema.

Esempio

• Un sistema descritto dalla funzione φ, si misura A e si ottiene a₃. Già lo stato del sistema dopo la misura è ψ₃ e è un autostato
• Si hanno tanti sistemi identici e si ripete la misura di A e si ottiene a₃ con lo stato del sistema ψ₃. Sul terzo si ripete la misura e si trova a₁ e lo stato è ψ₁. Ripetendo le operazioni sul terzo il nostro stato non cambia, questo viene detto che una misura ha influenzato il sistema e l’ha messo in uno stato (non si modifica più lo stato)

Quindi, se ripetendo l’operazione infinite volte su infiniti sistemi identici, viene sempre a₄, significa che φ = ψ_₄ se viene anche a₂, φ contiene ψ_₃ e ψ_₄ (è una combinazione lineare tra i due).

È la misura che trasforma lo stato iniziale in uno finale che è un autostato (non si ha più combinazione lineare tra i due, ma solo uno delle due possibili).

Si può associare a φ soltanto effettuando infinite misure.

Non sappiamo come si comporta la funzione ma a 0 deve tendere a 0.

Perciò Ψ(0) = Ae^ik₀+Be^-ik₀ = A + B = 0 - A = B

Ψ = A (cos kx + i sin kx) - A (cos kx - i sen ux)

= 2Ai sin kx

Un'altra condizione da imporre è che:

Ψ(a) = 2Ai sin ka = 0

dato che A ≠ 0, sin Ka = 0 => Ka = mπ dove m è un numero intero

m=1,2,3,...

k²a² = m²π² quindi

_2mEₘ^ћ2_a² = m²π² =>

Em = ^ћ2m2π2/_2ma² = ^ћ2n2π2/_8π²m² = ^n2π2/_ma²2

Eₙ = ^ћ2n2/_8ma²3

Significa che l'energia cinetica della particella non è qualsiasi, è

¹/₁data (dipende dai valori di n) Ψ = DA; sen ^mπx_a

Non sono accettabili tutti gli m, devo scartare n = 0 altrimenti Ψ ≠ 0

sempre, significherebbe che la particella non esiste.

Significherebbe anche che l'energia cinetica è uguale a zero => V = 0,

la particella sarebbe ferma, in quel caso potrei conoscere posizione

ed energia (IMPOSSIBILE!!)

Esiste una energia minima, n = 1 e vale E₁ = ^ћ/_8ma²

stato fondamentale

M > 1 sono gli stati eccitati, il primo è 4E₁, in quanto

nella formula abbiamo n²

Questi stati non sono equipartizzati ma la spettatore ha andamento parabolico (sempre per n²).

La funzione deve essere normalizzata:

^a∫_a|Ψ|² dx =

= ∫⁰_a(|2Ai sen ^mπx/_a|) dx = + |A|² ∫⁰_a sen^{2 nπx}/_a dx

con un cambio di variabile ^nπx/_a = y dx = ^x/_mπ dy

13/10/16

CONVENZIONE DI DIRAC E SCHRODINGER

Dunque, dato un vettore |v>, si considera un vettore di stato |ψ> chiamato vettore ket e il crismio vettore BRA. Se abbiamo il ket, per ottenere il BRA basta fare il dagher del vettore, ovvero: (ψ⁺)^T = <ψ| trasposto e complesso coniugato.

Operando un operatore, agisco sul vettore, lo trasformerò in un altro vettore; l'operazione, mi permette di trasformare un vettore in un altro vettore e/o la matrice.

(Hψ) (H|x⟩) MATRICE H X I MATRICE H X I

a⁺ è quindi una matrice.

L'operatore è hermitiano quando la matrice a⁺ coincide esattamente con la matrice a⁺.

DEFINIZIONE DI OPERATORE HERMITIANO

ESEMPIO: questa matrice la posso associare ad un osservabile fisico?

No in quanto se faccio il dagher questa matrice diventa:

a ≠ a⁺

In generale, affinché possa associare questa matrice ad un osservabile fisico, non devono essere presenti numeri immaginari sulla diagonale.