Appunti di Meccanica quantistica

Principio di incertezza di Heisenberg

Incertezza nel determinare la posizione e la quantità di moto.

Principio di corrispondenza

Quando si passa dal microscopico al macroscopico bisogna ritrovare le leggi della fisica classica: le previsioni della meccanica quantistica e classica devono coincidere per grandi numeri quantici.

Grandezze fisiche osservabili

Qualsiasi grandezza che è in qualche modo misurabile, direttamente tramite le operazioni e gli opportuni strumenti di misura, oppure indirettamente attraverso il calcolo analitico.

Le grandezze della meccanica classica si rappresentano in quantistica con un operatore lineare di Hermitiano ad ogni osservabile fisico corrisponde un operatore.

Operatore lineare

Un operatore è un simbolo che ordina di agire su ciò che appare dopo di esso. Esempio:  f(x) = g(x) dice che  agisce su f(x) e la porta a g(x).

Un operatore si dice lineare quando vale questa formula:

 [ C₁ f₁(x) + C₂ f₂(x) ] = C₁  f₁(x) + C₂  f₂(x)

Proprietà degli operatori lineari

• Se  è lineare, lo è anche CÂ.
• Se  e B̂ sono lineari, lo sono anche C + C B̂ e  B̂.

ma  B̂ può essere diverso da B̂  (l'ordine di applicazione è importante)

Come si costruiscono gli operatori?

I due operatori fondamentali, da cui si possono costruire tutti gli altri, sono la posizione e la quantità di moto (o impulso).

La posizione è un operatore semplicemente moltiplicativo: x̂ f(x) = x f(x)

La quantità di moto è invece un operatore differenziale: p̂ f(x) = -iħ d/dx f(x)

dove i è l'unità immaginaria e ħ = h/2π

Principio di indeterminazione di Heisenberg

Incertezza nel determinare la posizione e la quantità di moto.

Principio di corrispondenza

Quando si passa dal microscopico al macroscopico bisogna ritrovare le leggi della fisica classica: le previsioni della meccanica quantistica e classica devono coincidere per grandi numeri quantici.

Grandezze fisiche osservabili

Qualsiasi grandezza che è in qualche modo misurabile, direttamente tramite le operazioni e gli appropriati strumenti di misura, oppure indirettamente attraverso il calcolo analitico.

Le grandezze della meccanica classica si rappresentano in quantistica con un operatore lineare che trasforma ad ogni osservabile fisico corrisponde un operatore.

Operatore lineare

Un operatore è un simbolo che ordina di agire su ciò che appare dopo di esso.

Esempio: \(\hat{A}f(x) = g(x)\) cioè \(\hat{A}\) agisce su \(f(x)\) e la porta a \(g(x)\).

Un operatore si dice lineare quando vale questa formula:

\(\hat{A} [ C_1 f_1(x) + C_2 f_2(x) ] = C_1 \hat{A} f_1(x) + C_2 \hat{A} f_2(x)\)

Proprietà degli operatori lineari

• Se \(\hat{A}\) è lineare lo è anche \(C\hat{A}\)
• Se \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) sono lineari, lo sono anche \(C_1 \hat{A} + C_2 \hat{B}\) e \(\hat{A} \hat{B}\)

Ma \(\hat{A}\hat{B}\) può essere diverso da \(\hat{B}\hat{A}\) (l'ordine di applicazione è importante)

Come si costruiscono gli operatori?

I due operatori fondamentali, da cui si possono costruire tutti gli altri, sono la posizione e la quantità di moto (o impulso).

La posizione è un operatore semplicemente moltiplicativo: \(\hat{x} f(x) = x f(x)\)

La quantità di moto è invece un operatore differenziale: \(\hat{p} f(x) = -i \hbar \frac{d}{dx} f(x)\)

dove i è l'unità immaginaria e \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\)

- Se la funzione f dipende da più variabili si utilizzerà la derivata parziale

P_x (x,y,z) = iħ ∂/∂x f(x,y,z)

- Se la grandezza fisica implica il quadrato della quantità di moto, si otterrà come operatore “il quadrato” dell’operatore quantità di moto:

p̂_x² = ( iħ ∂/∂x ) ( -iħ ∂/∂x ) = - ħ² ∂²/∂x² … - ħ² ∂²/∂x²

I assioma della meccanica quantistica: indisting.ibilità delle particelle

«Se le particelle sono identiche, non si possono distinguere»

II assioma della meccanica quantistica: principio di indeterminazione

«Io non conosco contemporaneamente tutti gli osservabili fisici di un sistema»

III assioma della meccanica quantistica: dualismo onda-particella

«L’elettrone è un’entità che a seconda dell’esperimento che stiamo facendo può comportarsi da onda o da particella»

I POSTULATO

Dato un sistema, sicuramente esiste una funzione Ψ (q,t) che è in grado di descrivere il sistema in maniera completa (spazio-temporale).

Ψ (q,t) è una funzione di stato, se conosco il suo valore posso prevedere il sistema a qualunque tempo.

t : tempo

q : coordinate generali esatte (generalizzare il quanto possiamo osservare correttamente nodi, elettrneutr.)

proprietà della funzione Ψ

La funz