Appunti Meccanica quantistica - Lezioni ed esercitazioni

CAPITOLO 1: INTRO

• 1.1 Crisi della meccanica classica
• 1.2 Esperimento di Stern-Gerlach (1922)
• 1.3 Ket, bra e operatori
• 1.4 Basi di ket e rappresentazioni matriciali
• 1.5 Misure e osservabili
• 1.6 Traccia di un operatore
• 1.7 Posizione, momento e traslazione
• 1.8 Funzione d'onda nello spazio delle coordinate e dei momenti
• 1.9 Complementi
  • 1.9.1 Analogia S-G con polarizzazione della luce
  • 1.9.2 Rappresentazione matriciale
  • 1.9.3 Calcolo delle medie
  • 1.9.4 Sulla relazione di indeterminazione
  • 1.9.5 Pacchetto gaussiano
  • 1.9.6 Sul commutatore
  • 1.9.7 Trasformazioni di Galilei

CAPITOLO 2: DINAMICA QUANTISTICA

• 2.1 Evoluzione temporale ed equazione di Schrodinger
• 2.2 Equazione del moto di Heisenberg
• 2.3 Oscillatore armonico semplice
• 2.4 Equazione di Schrodinger per le funzioni d'onda
• 2.5 Complementi
  • 2.5.1 Ammoniaca
  • 2.5.2 Ammoniaca in presenza di campo elettrico
  • 2.5.3 Evoluzione temporale di un pacchetto gaussiano
  • 2.5.4 Propagatore di Feynman
  • 2.5.5 Interferenza a la Young con elettroni
  • 2.5.6 Particella libera
  • 2.5.7 Moto in campo di forze costanti
  • 2.5.8 Oscillatore armonico
  • 2.5.9 Esercizio con *a*
  • 2.5.10 Stati coerenti
  • 2.5.11 Operatore di spostamento
  • 2.5.12 Oscillatore armonico con F costante
  • 2.5.13 Esercizi appelli
  • 2.5.14 Prova intermedia

CAPITOLO 3: SISTEMI QUANTISTICI UNIDIMENSIONALI

• 3.1 Particella libera
• 3.2 Equazione di Schrodinger indipendente dal tempo per sistemi unidimensionali
• 3.3 Potenziali costanti a tratti
• 3.4 Proprietà del moto unidimensionale
• 3.5 Barriera di potenziale
• 3.6 Buca di potenziale infinita
• 3.7 Buca di potenziale finita
• 3.8 Barriera di potenziale 2
• 3.9 Dente di potenziale
• 3.10 Sistemi in tre dimensioni con Hamiltoniane separabili
• 3.11 Complementi
  • 3.11.1 Oscillatore armonico isotropo d=2
  • 3.11.2 Oscillatore armonico isotropo d=3
  • 3.11.3 Buca di potenziale d=2
  • 3.11.4 Oscillatori armonici accoppiati
  • 3.11.5 Molecola biatomica
  • 3.11.6 Buca infinita
  • 3.11.7 Esercizio con buca infinita di potenziale
  • 3.11.8 Muro delta di Dirac
  • 3.11.9 Buca rettangolare finita
  • 3.11.10 Gradino di potenziale

CAPITOLO 4: TEORIA DEL MOMENTO ANGOLARE

• 4.1 Rotazioni e relazioni di commutazione del momento angolare
• 4.2 Autovalori e autostati del momento angolare
• 4.3 Sistemi con spin ½
• 4.4 Momento angolare orbitale
• 4.5 Somma di momenti angolari
• 4.6 Complementi
  • 4.6.1 Oscillatore armonico isotropo d=2
  • 4.6.2 Momento angolare
  • 4.6.3 Rotazioni
  • 4.6.4 Spin ½
  • 4.6.5 Esercizi spin ½
  • 4.6.6 Esercizi spin 1
  • 4.6.7 Esercizio con coefficienti di Clebsch-Gordan
  • 4.6.8 Esercizio valori medi
  • 4.6.9 Esercizi armoniche sferiche

CAPITOLO 5: IL POTENZIALE CENTRALE E L'ATOMO DI IDROGENO

• 5.1 Sistemi con potenziale centrale
• 5.2 Atomo di idrogeno

CAPITOLO 6: METODI DI APPROSSIMAZIONE

• 6.1 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: caso non degener
• 6.2 Effetto Stark-Lo Surdo quadratico
• 6.3 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: caso degener
• 6.4 Effetto Stark sul primo livello eccitato
• 6.5 Correzioni relativistiche sui livelli dell'atomo di idrogeno
• 6.6 Effetto Zeeman sull'atomo di idrogeno
• 6.7 Metodo variazione
• 6.8 Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo
• 6.9 Complementi
  • 6.9.1 Esercizi appelli
  • 6.9.2 Perturbazione gaussiana
  • 6.9.3 Oscillatore armonico bidimensionale isotropo perturbato
  • 6.9.4 Valore medio di 1/r
  • 6.9.5 Calcolo di <r>, <r²>, <x>, <x²> su stato fondamentale
  • 6.9.6 Calcolo di <1/r²>
  • 6.9.7 Autovalori e autovettori di un atomo idrogenoide
  • 6.9.8 Interazione di Van der Waals
  • 6.9.9 Struttura iperfine di H
  • 6.9.10 Perturbazioni dipendenti dal tempo
  • 6.9.11 Esercizi perturbazioni dipendenti dal tempo

CAPITOLO 7: PARTICELLE IDENTICHE E ATOMO DI ELIO

• 7.1 Particelle identiche
• 7.2 Atomo di Elio
• 7.3 Atomi con molti elettroni e regole di Hund
• 7.4 Complementi
  • 7.4.1 Calcolo di Π
  • 7.4.2 Esercizi particelle indistinguibili
  • 7.4.3 Entanglement

Ci aspettiamo che la distribuzione nello spazio dello spin del 45° è sia isotropa,

• max deflessione verso l'alto
• deflessione verso l'alto
• deflessione verso il basso
• max deflessione verso il basso

Stando a questa idea, se mettessimo uno schermo (5.1) nello S-G ci aspetteremmo una distribuzione degli impatti come quella a sinistra. Infatti, gli atomi che subisco-

no la massimo deflessione sono quelli con spin orientato lungo l'asse z, mentre la deflessione è nulla per gli spin che stanno sul piano equatoriale, quindi la situazione

più probabile è quella di direzioni di spin intermedia.

• non deflessi
• situazione più probabile (raggio maggiore)

Sperimentalmente si ottiene, però, la distribuzione di dx.

La misura mostra che S_z può assumere solo un certo valore positivo e il suo opposto (quantizzazione nello spazio).

Misurando gli angoli di deflessione e il tempo di attraversamento si possono trovare i valori di spin consentiti: S_z = ±1/2.

Stern-Gerlach in sequenza

Consideriamo ora il fascio deflesso verso l'alto, lo raddrizziamo attraverso un campo magnetico e lo facciamo passare attraverso un altro apparato al

S-G_z: esso verrà tutto deflesso verso l'alto (tutti gli e hanno S_z = 1/2).

Prodotto "interno" (in realtà coinvolge due spazi diversi)

<│ a > e C, bracket

• a│b>* = <b│a> = <a│b>* = <a│a> e iβ antisimmmetrico
• (│a† = <a│)│a> = │a> ket nuovo
• e^{ j } [{ c x }, { d y }] = cgrp + dvarsup (lineare)

Def.

1°,8° ortogonali se <│b> = <a│b>=0

Def.

1 8° "norma di a" = <a│a>

Normalizzazione di un ket: \frac{1 }{ <a│a> }

│a> = <a│a>; a9, a3 - 1 = a NOR

<a│a> = 1;rappresenta lo stesso stato fisico

di aer. la

<a│a> | a> = \frac{1 }{ <a│a> }

| a> = \frac{1 }{ <a│a> }

a│a> = 1 =;<a│a> = 1 =>

| a│a>=1

=> 1a subscriber normaa unitaria

Gli operatori si possono definire anche suuo spazio dei bra: a3 i2 = epi_.

Operatori

Parliamo di operatori generici, anche non associati aa osservabili

1. x = ÿ se 2 │a3 = \frac{Ÿ3 }{ x│a3 }.

   │a3

   | æ
2. | a>†oper = ket nuovo; |
3. x3 8, y4 = 1, z. | j a3 = 1;<a│a>

La somma tra operatori è associativa: (>^jx, y) z= x and y < f, y& time (z).

L'applicazione di un operatore a un ket restituisce un ket, e questo avrà un corrispondente neùo spazio del bra:

│a> C8

=<a│c> x i_y;

x = operatore hermitiano coniugato di x i^y se x = x˄, x è hermitiano.

1. x z = a; x 2 ū x n m
2. ⭗2, 2 =⭗ (ŋ│a3); x│2
3. = (çw i^xâ )â