Meccanica Lagrangiana

MECCANICA LAGRANGIANA

Cambiando coordinate, generalmente le eq. di Newton cambiano forma, mentre le lagrangiane rimane "simile" alla base della succ. lagrangiana è ... di carattere ... chiamato principio minimo o stat.; ritrate le eq. dell'ec del moto,

per cui un opportuna funzione A[x(t)] (azione) è minima o provà tra tutte le leggi orarie x(t) def. su [t₁,t₂] e t.c.

Stato assegnate le posizioni istante iniziale e finale, mentre nel problema di Cauchy avevo pos.ⁱⁿ...e velocita.

• funzionale definito in termini di densità lagrangiana

• densita lagrangiana ... (t ^dot i

A ... mia funzione che va dallo "spazio di tutti ... ... . Muof ... x₁ e x₂ ai reali tutti ... possibili tra (t₁→t₂)

Quindi A_f   H_s1,s2,t1,t2 = R

una funzione  y → R

RICORDA: Data F:  R^N → R, (x ∈ C^∞ (R^E))

una volta che F  R^N è    stazionaria in x₀

↔  d²F(x₀) > 0, c’è (tutte le derivate di n_o

nulli di F nel x₀)

A è stazionaria su un moto x(t) ∈  H_s1,s2,t1,t2

↔   ∃ alla sua variabile      

d/dε, A[y_ε(t)] |_ε=0 = 0

ε parametro di deformazione

Def Dico che y_ε(t₁) ∈ y_ε(t₂) e una variazione

di (x(t) di intervalli t₁ e t₂:

• y_ε(t₁) è fissa nei suoi argomenti
• (ovvero     ∈ (-ε₀, ε₀) Χ [t₁,t₂]
• ∀ε (x ∈  H_s1,s2,t1,t2
• (dove y_ε(t_i) è passata dalle funzioni di
• t a ε fisso), ovvero y_ε (t_i) = s_i

• Se ε=0   →  y_ε (t) = x(t)
• y_ε (t₂) = s₂

Quindi le varianti sono famaglio di

deformazioni di x(t)

lo spazio delle variazioni

x: = [  y_ε (t₁) = y_ε (t₂) e (x ∈ (-ε₀,ε₀) → [t₁,t₂]

• x Χ y_ε (t) ∈  H_s1,s2,t1,t2   ∩ y_ε (t) = x(t)]

Applico la conservazione di E per ricavare v:

E = ¹/₂ mu² + U(x) = ¹/₂ m(v²(x)) + U(x) = ¹/₂ mu g f(x)

• |v(x)| = √ (2gf(x)) v₀ = 0 perché E(A) = 0 e z₀ = costante

γ^{(A, B)} = ∫_A^B γ(f, f^') dx

Eq. di Euler Lagrange: ^d/_dx γ/∂f'^(') - γ/f = 0

γ = ¹/₂ √(2gf(x)) γ_f' = ¹/₂ √(2gf(x)) γ_f = ^{(1+f1/₂ g fc(1+f'2) gna* 2gf =1/₂ 2 2f'gf = f'2/g f + gf f'}

&sup>_{2gfc(1+f/2 ∫ 2 f '2 (1/g /f') = ^&sup>f'}

Mostrare che (x) = involo di una cilindro (au cumplir nell'ouglie: {) R = (t; tutt) -> h(x/_{x_)}

γ: = 1^×/(-cost)^{h'/r (r}sub)L {sub}b -}- h' _{/_h(x^') = φ ^(χf(y)} = &sup>ζ

`: x={-h...

f^'(x) ‹x h(y); h^'(^x r);

→∂ (X&)|=_{...}

f^{`cot'1 0)}

x ∈ Rⁿ, ẍ = F(x,ẋ) − F in generale dipende da V e quindi VAE (non conservativa)

Tale P.L. è sottoposto a vincoli reg. ind (G₁,...,G_m) se ∀ x₀ ∈ Σ la sol x(t) del sistema (M*ẍ = F(x,ẋ)) radiazioni x(t) ∈ Σ ∀ t ≥ t₀ { x(0) = x₀ ẋ(0) = v₀ }

Per definizione, v₀ ∈ T_xΣ ⊆ {z}_{{∇G1}/∇x(x0) = 0 ∀ ∇Gm(x0) = 0 }}