Meccanica Lagrangiana

Meccanica lagrangiana

Cambiando coordinate, generalmente le equazioni di Newton cambiano forma, mentre le lagrangiane no. Un'idea alla base della meccanica lagrangiana è quella di cercare di caratterizzare con un principio di minimo o stazionarietà la soluzione dell'equazione del moto.

M_i = &del;/&del;x_i (x), x(t) ∈ ℝⁿ per cui un'opportuna funzione A[x(t)] assume minima o stazionaria tra tutte le leggi orarie x(t) definite su [t₁, t₂] e tali che x(t₁) = s₁, x(t₂) = s₂. Sono assegnate la posizione iniziale e finale, mentre nel problema di Cauchy avevo posizione iniziale e velocità.

A[x] = Ψ^*_At,1,t2[x] = ∫_t1^t₂ℒ(x(t), x(t)) dt, funzionale definito in termini di densità lagrangiana (* densità lagrangiana (ℒ definita in ℝ⁶)).

Nel caso delle equazioni di Newton, la giusta ℒ è: ℒ(x,v) = 1/2 v·Mv - V(x), lagrangiana meccanica.

A è una funzione che va dallo "spazio dei movimenti possibili" tra s₁ e s₂ ai reali:

A: C&supinfin;, [(t₁ → s₁), (t₁ → t₂) x(t₁) = ŝ₃, e x(t₂) = ŝ₃

Spazio dei movimenti

Cambiando coordinate in maniera conveniente, le equazioni di Newton cambiano forma, mentre le lagrangiane no. L'idea alla base della meccanica lagrangiana è quella di cercare di caratterizzare con un principio di variazione o stazionarietà le soluzioni delle equazioni del moto.

M_x = per cui un'opportuna funzione A[x(t)] assume minima o stazionaria fra tutte le leggi orarie x(t) definite su [t₁, t₂] e tali che x(t₁) = s₁, x(t₂) = s₂. Sono assegnate la posizione iniziale e finale, mentre sul problema di Cauchy avevo posizione iniziale e velocità.

A[x] = A_t1,t2[x] = L(x(t), ẋ(t))d^*t (* densità lagrangiana definita in R²).

Nel caso delle equazioni di Newton, la giusta L è: L(x, v) = 1/2 v · M v - V(x), lagrangiana meccanica.

A è una funzione che va dallo "spazio di tutti i movimenti possibili" ai reali; spazio dei movimenti.

Lo chiamano M_s1,s2 spazio dei moti x(t₁) = j₁ ÷ x(t₂) = s₂

Quindi A ∈ H_s1,s2^t1,t2 ⇔ A è una funzione γ_ε in C °^∞ (R^m).

Proprietà stazionarie

RICORDA: Data F: R^m → R derivabile almeno una volta in R^m, F è stazionaria in x_o ⇔ 2 x F(x_o) = 0 (i.e. tutte le derivate direzionali nulle di F in x_o).

A è stazionaria su un moto x(t) ∈ H_s1,s2^t1,t2⇔ ∃ Aⁱv variabile del γ(_ε(t)) dei γ_ε(t) di x(t), d/dε A[γ_ε(t)]_{ε = 0} analogo alla derivata direzionale:

d/dε F(x_o + εz)_ε=0=0 ε = parametro di deformazione.

Definizione delle variazioni

Dico che y_ε(t, ε) = (x(t), ε) è sua variazione di x(t) di infinitesimi se:γ_ε(t) è derivabile nei suoi argomenti (ovvero ε ∈ (-ε_o, ε_o), t ∈ [t₁, t₂]) ∀ ε ∈ (-ε_o, ε_o), |ε|→0+ - γ_ε(t) ∈ M_s1,s2^t1,t2 (dove γ_ε(t) percorre curve ben formate di t a ε fissato), ovvero |γ_ε(t)_de = s₁| |γ_ε(t₂)_de = s₂| Se ε=0 ⇒ γ_ε(t) = x(t).

Quindi le varianti sono famiglie di deformazioni di x(t). Lo spazio delle variazioni è V_x = {γ_ε(t)} = γ_ε(t, ε) ∈ C ° ^∞ su (-ε_o, ε_o) x [t₁,t₂] tale che γ_ε(t) ∈ M_s1,s2^t1,t2, ε=0 &gamma(t)=x(t).