Meccanica Analitica

Meccanica Razionale

2015

Indice

I Meccanica unidimensionale 2

1 Meccanica del punto materiale 3

1.1 Un po’ di nomenclatura... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Meccanica dei sistemi ad un grado di libertà. 4

2.1 Tempi di moto e punti di inversione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Moti periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Equilibrio e stabilità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 Stabilità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2 Teorema di Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II Meccanica Lagrangiana 12

3 Equazioni del moto 13

3.1 Coordinate generalizzate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Principio di minima azione. Equazione di Eulero-Lagrange. . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Teorema di Nöther. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Alcune applicazioni 16

4.1 Problema a due corpi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Leggi di Keplero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Vincoli. 21

6 Piccole oscillazioni. 22

III Meccanica Hamiltoniana 24

7 Equazioni del moto 25

7.1 Derivazione dalla meccanica lagrangiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2 Derivazione mediante il principio di minima azione. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.3 Parentesi di Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.4 Identità di Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.5 Trasformazioni canoniche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.5.1 Il flusso hamiltoniano costituisce un gruppo di trasformazioni canoniche

ad un parametro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.5.2 Invarianza delle parentesi di Poisson per trasformazioni canoniche. . . . . 31

7.6 Teorema di Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.7 Teorema di ricorrenza di Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

7.8 Metodo di Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.8.1 Separazione delle variabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.9 Principio di Maupertuis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.10 Variabili azione-angolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2

Parte I

Meccanica unidimensionale

3

Capitolo 1

Meccanica del punto materiale

1.1 Un po’ di nomenclatura...

3 2

→ ∈

Movimento: un moto è una funzione Φ : , Φ C . Il dominio è tipicamente il tempo:

R R

scriveremo allora x = Φ(t). Quindi abbiamo legato il raggio vettore x al tempo. Abusando di

notazioni si può scrivere x = x(t). 2

→ in C

Traiettoria: è un sinonimo di “moto”, appena definito (quindi una funzione t z(t) ).

3 ×

Linea di universo: è il grafico della traiettoria, nello spazio che è detto spazio degli

R R

eventi (formato dalle quaterne (t, x, y, z)). 3

Orbita: luogo dei punti occupati dal mobile; è quindi una curva in . Ovviamente se

R

conosciamo la traiettoria (ovvero la funzione che ci dice come varia la posizione del punto nel

tempo) sappiamo immediatamente anche l’orbita, ma conoscere l’orbita non ci dà informazioni

sul modo in cui il punto percorre la stessa. 4

Capitolo 2

Meccanica dei sistemi ad un grado di

libertà.

Si studierà il moto di una particella il cui spazio ambiente è la retta reale. Prendiamo un

punto P di massa m (invariabile) che si muove sulla retta. Sia x la sua ascissa e F (x, ẋ, t), F :

× × → la legge di forza (nota che è parallela alla retta). L’equazione del moto sarà

R R R R

mẍ = F (x, ẋ, t). Ci occupiamo di forze posizionali, quindi l’equazione diventa

mẍ = F (x)

. Questo è un caso sempre conservativo. ∞

∈

Supponiamo ora che la F (x) sia continua in (nella maggior parte dei casi F C (R)).

R

È cosı̀ assicurata l’esistenza di una funzione V (x) detta energia potenziale:

x

Z 0 0

−

V (x) = F (x )dx

x 0

Allora l’equazione del moto diventa dV (x)

− (2.1)

mẍ = dx

Teorema 2.0.1 (Conservazione dell’energia meccanica).

La quantità 1 2

H(x, ẋ) = mẋ + V (x)

2

detta energia totale meccanica si conserva lungo le traiettorie di (2.1). Detto altrimenti,

1

l’energia meccanica costituisce un integrale primo dell’equazione (2.1).

In altre parole, presa una qualsiasi traiettoria x(t) con dati iniziali x(t ) = a e ẋ(t ) = b,

0 0

H(t).

se calcoliamo l’energia meccanica su questa traiettoria otteniamo H(x(t), ẋ(t)) = Solita-

mente questa dipende dal dato iniziale scelto. Invece il teorema che vogliamo dimostrare afferma

∀x(t) H(t)

che non dipende da tali dati iniziali, e che quindi (traiettoria di (2.1))la funzione si

riduce ad una costante (infatti se la forza è conservativa l’energia totale non cambia).

Dimostrazione. H(t)

dato che si vuole vedere come cambia nel tempo, deriviamola rispetto a t:

d ∂H ∂H

H(t) = ẋ + ẍ

dt ∂x ∂ ẋ

1 Un integrale primo di un problema differenziale n-dimensionale del primo ordine è una funzione

differenziabile con continuità che rimane costante lungo le soluzioni del problema.

5

Calcoliamo le due derivate parziali:

∂ 1 d

∂H 2

= mẋ + V (x) = V (x)

∂x ∂x 2 dx

∂H ∂ 1 2

= mẋ + V (x) = mẋ

∂ ẋ ∂ ẋ 2

Quindi abbiamo

d dV (x) dV

H(t) = ẋ + mẋẍ = mẍ + ẋ = 0

dt dx dx

L’ultima uguaglianza vale perché il termine tra parentesi è proprio l’equazione (2.1) e x(t) la

soddisfa. H(t)

Supponiamo ora che sia nota la costante = E (può essere nota, ad esempio, conoscendo

i dati iniziali del problema). Quindi durante tutto il moto abbiamo

1 2

mẋ + V (x) = E

2

da cui possiamo esprimere la velocità in funzione della posizione

s

2 −

± E V (x) (2.2)

ẋ = m

che è un’equazione differenziale a variabili separabili (risolvibile quindi per quadrature):

r

dt m

±

= −

dx 2(E V (x))

si calcola quindi t(x) per integrazione e invertendo si ha x(t), ovvero la traiettoria.

2.1 Tempi di moto e punti di inversione.

Abbiamo quindi ottenuto una formula (integrale) per calcolare il tempo che impiega una

particella per passare da x a x:

0 x

Z dx

− ± (2.3)

∆t = t t =

0 q 2 −

(E V (x))

x 0 m

dimostriamo ora un teorema che ci dice qualcosa sulla convergenza di questo integrale.

Teorema 2.1.1.

∞

∈

Sia V C (R). Supponiamo (senza perdere generalità) che per t = 0, E > V (x ), ovvero che

0

2

all’istante iniziale l’energia sia maggiore del potenziale . Allora se esiste x̃ tale che E = V (x̃)

3 abbiamo due possibilità:

0 6

1. Se V (x̃) = 0 (ovvero se x̃ non è di equilibrio) esso viene raggiunto in un tempo finito.

12

2 2

−

Se fosse minore non ci sarebbero soluzioni, dato che E V (x ) = mẋ ; se invece E = V (x ), allora ẋ = 0,

0 0

6

ma siccome F (x ) = 0, allora in un istante immediatamente dopo avremo E > V (x(t)), perché la particella si

0

è messa in moto.

3 Ovvero un punto del potenziale di ascissa x̃ che è intersezione della la costante E con il potenziale

6

0 4

2. Se V (x̃) = 0 allora x̃ non viene raggiunto per alcun tempo finito .

Dimostrazione.

Supponiamo che ẋ(0) > 0 (il caso minore di zero è analogo). Il tempo impiegato è dato da

x̃

Z dx

t =

→x̃

x 0 q 2 −

(E V (x))

x 0 m

che è un integrale improprio siccome la funzione integranda non è regolare nell’intervallo [x , x̃],

0

ma diverge nel secondo estremo (siccome V (x̃) = E). Abbiamo tre diversi casi:

1. in x̃ la funzione V (x) è monotona crescente o decrescente;

2. in x̃ la funzione V (x) ha massimo relativo;

3. in x̃ la funzione V (x) ha tangente orizzontale.

Caso 1. 0 0

6

Dimostriamo la prima parte della tesi (quando V (x̃) = 0). Possiamo osservare che V (x̃) > 0.

Infatti non è zero per ipotesi e non è minore di zero perché avevamo (sempre per ipotesi) che

E > V (x ) insieme a ẋ > 0 (dal grafico si capisce immediatamente: se ẋ fosse stato negativo,

0

0

allora V (x̃) sarebbe stato negativo). 0

Scriviamo l’espansione in serie di Taylor V (x) = V (x̃)+(x−x̃)V (x̃)+o(x−x̃); ma V (x̃) = E:

0

− −

V (x) = E + (x x̃)V (x̃) + o(x x̃)

che se sostituito nell’integrale ci darà x̃

x̃ Z

Z dx

dx =

t =

→x̃

x

0 q q

2 2

0 0

− − − − − −

(E E (x x̃)V (x̃) + o(x x̃) (x̃ x)V (x̃) + o(x̃ x)

x

x 0

0 m m

Z 1

che è un integrale del tipo con p < 1, che converge. Quindi in questo caso la particella

p

x

raggiunge x̃ in un tempo finito.

Caso 2. 0

Siamo ora nella situazione con V (x̃) = 0. Studiando il grafico si vede immediatamente che

00

V (x̃) < 0 (nel caso in cui x̃ è un massimo è immediato). 0

Sviluppiamo nuovamente in serie di Taylor (ricordando che V (x̃) = 0):

00

V (x̃) 2

2

− −

V (x) = V (x̃) + (x x̃) + o(x x̃)

2

Vediamo chi è B. Prendiamo un δ sufficientemente piccolo e restringiamoci nell’intervallo

00 ∈

[x̃−δ, x̃]. Per la permanenza del segno, siccome sappiamo che V (x̃) < 0, esisterà un x̂ [x̃−δ, x̃]

00 00

tale che V (x̂) < 0. B sarà dunque il minimo valore che assume V (x) in [x̂, x̃]. Dunque

00

≤ ∀x ∈

B V (x) < 0 [x̂, x̃]

Dunque possiamo scrivere la seguente disuguaglianza:

00

V (x̃)

2 2 2

− − ≥ − ·

V (x) = V (x̃) + (x x̃) + o(x x̃) V (x̃) + (x x̃) B

2

4 Nota che se tale x̃ non esiste, il moto è indefinitivamente progressivo (va sempre avanti) o retrogrado (torna

sempre indietro). 7

quindi 2 2

− ≤ − − · − ·

E V (x) E V (x̃) + (x̃ x) B = (x̃ x) B

passando agli integrali x̃ x̃

x̃ r

Z Z

Z dx

dx m dx

≥ =

t =

x̂→x̃ q q −

2B (x̃ x)

2 2 2

− − ·

(E V (x) (x̃ x) B

x̂

x̂ x̂

m m

b

Z dy che diverge.

che è un integrale del tipo y

a

0

Quindi, se V (x̃) = 0, il punto non viene raggiunto per tempi finiti.

2.2 Moti periodici

Nel caso in cui l’intersezione tra E e V (x) crea un intervallo finito di estremi x (E) e x (E)

− +

tali che la derivata prima di V (x) calcolata in quei punti sia diversa da zero, allora il moto è

periodico. Per il periodo vale la seguente formula:

x (E)

Z dx

+

T (E) = 2 (2.4)

q 2 −

(E V (x))

x (E)

− m

Oscillatore armonico

Osserviamo il caso dell’oscillatore armonico; l’energia è del tipo

1 1

1 2 2 2

≡

kx + mẋ kA

E = 2 2 2 q 2E

± . Dunque utilizzando

I punti di intersezione tra Energia e Potenziale hanno ascissa x =

± k

(2.4) otteniamo: √ 2E

+

Z dx

k

T =2 √ q 2 12

2E 2

−

− (E kx )

k m

q 2E

Sostituendo a = otteniamo:

k a

+a +a

r r r

Z Z

dx m dx m x m

√

T =2 =2 =2 arcsin = 2π

q q k k a k

2 2

−

a x

k 2E 2

−

−a −a

x −a

m k

La cosa interessante è che, sebbene inizialmente sembra esserci una dipendenza del periodo dal-

l’energia, a conti fatti si scopre che la dipendenza sparisce. Questa è la caratteristica principale

del potenziale armonico: il periodo NON dipende dall’energia.

2.3 Piccole oscillazioni

Teorema 2.3.1. Sia:

2

• ∈

V (x) C (R);

0

• V (0) = 0 , V (0) = 0; 8

00

• V (0) = k > 0.

Allora se T (E) è il potenziale di un moto oscillatorio in un intervallo contenente l’origine,

abbiamo: r m

lim T (E) = 2π 00

V (0)

+

E→0

Dimostrazione. 0

Osserviamo intanto che la scelta di V (0) = 0 e V (0) = 0 non fanno perdere di generalità il

teorema (è stata semplicemente traslata la funzione). Ragioniamo nel semipiano delle x positive,

ma evidentemente lo stesso discorso si può fare per le x negative. L’idea è quella di trovare

due parabole, una superiore (P (x)) al potenziale e una inferiore (P (x)), che approssimano il

s i

potenziale stesso.

Prendiamo un valore di E sufficientemente piccolo, in modo che la derivata seconda sia

2

∈

ancora maggiore di zero: infatti poiché V (x) C (R) (per ipotesi) abbiamo che la derivata

seconda è ancora continua e quindi, per il teorema di permanenza del segno, in un intervallo

00 ∀x ∈

abbastanza piccolo del tipo [0, x̃] abbiamo V (x) > 0, [0, x̃].

Chiamiamo x l’ascissa del punto di inversione nel semipiano delle ascisse positive. Defi-

+

niamo allora due valori: 00

A = inf V (x) > 0

x∈[0,x ]

+ 00

B = sup V (x) > 0

x∈[0,x ]

+

che sono entrambi maggiori di zero per i motivi detti prima.

Siccome noi vogliamo che le funzioni quadratiche che cerchiamo passino per il punto di

inversione, abbiamo: 1 1

1 2 2+ 2 2+

− −

− A(x x ) =⇒ P (x) = Ax Ax + V (x )

P (x) V (x ) = s +

s + 2 2 2

1 1

2 2+

−

P (x) = Bx Bx + V (x )

i +

2 2

Impostiamo inoltre le seguenti condizioni, che ci assicurano che la distanza tra la funzione

quadratica e il potenziale tende a zero avvicinandosi al punto di inversione:

d − ≤

(P (x) V (x)) 0

s

dx

d − ≤

(V (x) P (x)) 0

i

dx

Verifichiamo la prima di queste due. Per il teorema di Lagrange, abbiamo:

0 0

−

V (x) V (0) 00 0 00 ∈

= V (ξ) =⇒ V (x) = V (ξ)x, ξ [0, x]

x

Quindi possiamo scrivere:(continuare pag 32)

d 00 00

− − − ≤

(P (x) V (x)) = Ax xV (ξ) = x(A V (ξ)) 0

s

dx

l’ultima disuguaglianza segue dalla definizione di A. Analogamente verifichiamo la seconda:

d 00 00

− − − ≤

(V (x) P (x)) = xV (ξ) Bx = x(V (ξ) B) 0

i

dx 9

Quindi in definitiva: ≤ ≤

P (x) V (x) P (x)

i s

Usiamo la (2.3) per calcolare i tempi: x x

x Z Z

Z dx dx

dx + +

+ ≤ ≤

q q q

2 2 2

− − −

(E P (x)) (E V (x)) (E P (x))

0 0

0 i s

m m m

Siccome P (x) e P (x) sono parabole, un potenziale di questo tipo è un potenziale armonico, il

s i

cui periodo è: 2π

T =

i ω

T

Nel nostro caso, andando da 0 a x abbiamo , quindi

+ 4

r r

π m m

π

≤ ≤

T

0,x +

2 B 2 A

Infine vogliamo mostrare che r r r

π π

π m m m

= lim =

lim 00

2 A 2 B 2 V (0)

E→0

E→0

→ → →

Siccome V continua, se E 0 anche x 0. Allora anche A e B 0, per come sono stati

+

00

definiti. Quindi A = B e V (0) = k = A = B.

2.4 Equilibrio e stabilità.

Il sistema differenziale che stiamo studiando è:

(

ẋ = v dV

−

v̇ = dx

avendo normalizzato la massa m = 1. Con altre notazioni:

(

ẋ = x

1 2 dV

−

ẋ =

2 dx

1

o anche, in notazione vettoriale: ẋ = f (x)

che è un caso particolare di un più generale sistema differenziale in n incognite:

 ẋ = f (x , . . . , x )

1 1 1 n

 .

 ..

ẋ = f (x) =⇒ 

 ẋ = f (x , . . . , x )

n n 1 n

detta autonoma (perché il secondo membro non dipende esplicitamente dal tempo).

Definizione 2.1 (Punto di equilibrio). n

Dato il sistema (equazione) differenziale in :

R ∞

n n n

∈ → ⊂ ∈

= f (x), x , f : W , W aperto, f C (W ) (2.5)

ẋ R R R

∈

un punto x̂ W si dice punto di equilibrio se f (x̂) = 0

10

Nel caso dei moti unidimensionali con forze posizionali, i punti di equilibrio sono rappre-

sentati nel piano di fase da un punto con velocità nulla e con posizione x , ovvero ad un punto

1

di stazionarietà del potenziale, ovvero: dV (x)

x = x̄ t.c. =0

1 dx x=x̄

Ovviamente se poniamo un punto materiale con velocità nulla in punt