Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Velocità Media:
Vm = Δx / Δt
Velocità Istantanea:
limΔt→0 Δx / Δt
d / dt [x(t)] = d x(t) / dt
la secante tende alla tangente
Moto Rettilineo Uniforme:
v0 = cost
v = dx(t) / dt
∫ dx(t) = ∫ v(t) dt
xf - xi = v0 ∫ dt = v0 (tf - ti)
x(t) = x0 + v0 (t - t0)
Moto Rett. Accelerato:
va = tg α ≠ v2 = tg β
Accelerazione Media:
am = Δv / Δt
Acc. Istantanea:
a = limΔt→0 Δv / Δt = dv(t) / dt
Se a > 0: dv = adt > 0 Accelerazione
a < 0: dv = adt < 0 Decelerazione
Moto Unif. Accelerato:
a(t) = a0 = cost
dx(t) / dt → v(t) = v0 + a0(t - t0)
x(t) = x0 + v0t + (1/2) a t2
Moto armonico
x(t) = A cos(ωt + ϕ)
v(t) = dx(t)/dt = -ωA sin(ωt + ϕ)
a(t) = d²x(t)/dt² = dv(t)/dt = -ω² A cos(ωt + ϕ)
E.O. canonica del moto armonico:
F = m•a = -kx
mdv²x(t)/dt² = -kx → d²x(t)/dt² = k/mx
d²x(t)/dt² + ω² x = 0
ω = √k/m
Moto smorzato esponenzialmente
v(t) = -k v (se q∞ = 0 anche ν∞ = 0)
v(t) = dv(t)/dt = -k v
-kdt → ∫ dv(t)/v = -kdt
ln v/v0 = -kt
v(t) = v0 e-kt
lim v(t) = 0
x(t) = x0 + v0/k (1 - e-kt)
MOTO CIRCOLARE (rotazione vettoriale)
PRODOTTO VETTORIALE:
- DIREZIONE: ⟂ piano →a e →b
- MODULO: |c| = |→a×→b|
- VERSO:
→ matrice
→c = |î ĵ k̂| |Cx Cy Cz|
- regola della mano destra
NEL MOTO CIRCOLARE:
⟶ →ω
- MODULO: |d→θ|
- DIREZIONE: ⟂ piano della traiettoria circolare
- VERSO: regola della mano dx
RICALCOLIAMO →ω(t):
d/dt ( →ω×→r ) = |d/dt →ω|
Risultante:
→a(t) = →at + →am
FORZA DI ATTRITO VISCO
EQUAZIONE DEL MOTO:
mg - bv = m.a = m dv/dt
A - v = A * dv/dt
∫(du/(A-u)) = ∫-∫/A dt
ln M/M0 = -∫/A (t-t0)
ln(A-v)/(A-v0) = -∫/A (t-t0)
(A-v)/(A-v0) = e-∫/A (t-t0)
v(t) = A - (A-v0) e-∫/A t
- FORZA CONSERVATIVA
E
F = -dep / ds
∫ Fds = -dep
WAB = F·ds = -ΔEp
Fd·ds = ∫ -dep = -Ep + cost
Dinamica Rotazionale
- MOMENTO DI UN VETTORE
Mo = r × c
|r| = rc sinθ = Mo
* se c è una forza: Mo = r × F momento di una forza applicata
* se c è una quantità di moto: L = r × p momento angolare
oss 1: R = ΣFi
Mtot = ΣMi
(z × ΣFi) = r × Fi
- TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE
L(z × p) ≠ L(z × p1)
L(z × m) non cambia né in modulo, né in direzione e verso, c'è solo aN
moto circolare uniforme
L ≠ L* perché c'è un'accelerazione tangenziale che fa cambiare la velocità modulo
- MOTO CIRCOLARE (non uniforme)
CASO GENERALE: Si im fotriferimento rispetto a S
\(\vec{V_e} = \left( \vec{V_x} + \vec{V_i} \right) \)
\(\vec{V_e} = \left( \frac{d\vec{x}}{dt} + \frac{dy}{dt} \hat{j} + \frac{dz}{dt} \hat{k} \right) \)
\(\vec{V_e} = \frac{d\vec{r_e}}{dt} = \left( \vec{r_e} = x_i \hat{i} + y_i \hat{j} + z_i \hat{k} \right) \)
COMPOSIZIONE DELLE ACCELERAZIONI
\(\vec{a_e} = \frac{d}{dt} \left( \vec{V_e} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{d\vec{r}_e}{dt} \right) + \frac{d}{dt} \left( \vec{\omega} \times \left( x_i \hat{i} + y_i \hat{j} + z_i \hat{k} \right) \right) + \frac{d}{dt} \left( \frac{d\vec{r}_e}{dt} + \frac{d^2 x}{dt^2} \hat{i} + \frac{d^2 y}{dt^2} \hat{j} + \frac{d^2 z}{dt^2} \hat{k} \right) \)
= \(\frac{d^2\vec{r}_e}{dt^2} + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \left( x_i \hat{i} + y_i \hat{j} + z_i \hat{k} \right) + \vec{\omega} \times \frac{d}{dt} \left( x_i \hat{i} + y_i \hat{j} + z_i \hat{k} \right) + \frac{d^2 x}{dt^2} \hat{i} + \frac{d^2 y}{dt^2} \hat{j} + \frac{d^2 z}{dt^2} \hat{k} \)
= \(\frac{d^2\vec{r}_e}{dt^2} + \frac{d\vec{x}}{dt} \times \vec{\omega} + \vec{x} \cdot \left( \frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} + \hat{i} \cdot \frac{dy}{dt} + \hat{j} \cdot \frac{dz}{dt} \cdot \hat{k} \right) \right) + \vec{\omega} \times \left( \frac{dx}{dt} \hat{i} + \frac{dy}{dt} \hat{j} + \frac{dz}{dt} \hat{k} \right) + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \left( x_i \hat{i} + y_i \hat{j} + z_i \hat{k} \right) = \)
= \(\frac{d^2\vec{r}_e}{dt^2} + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{x_i} + \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times {x_i} \right) + \left( \vec{\omega} \times y \right) + \left( \vec{\omega} \times \vec{\omega} \right) + \vec{z} + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}_e + \frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right) \)
= \( \frac{d^2\vec{r}_e}{dt^2} + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{x}_e \cdot \frac{d\vec{r}_e}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{x}_e + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}_e + \frac{d\vec{r}_e}{dt} \)
\( \vec{a} = \vec{a}_t + \vec{r}_a + \vec{a}_c \) con \( \vec{r}_t = \frac{d^2 \vec{r}_e}{dt^2} + \frac{d\vec{r}_e}{dt} \times \vec{\omega} + \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{x}_e \right) \)
→ ACC. DI TRASINAMENTO
\( \vec{r}_e = \frac{d^2 \vec{r}_e}{dt^2} \)
→ ACC. RELATIVA
\( \vec{a}_c = 2 \vec{\omega} \times \vec{v}_e \)
→ ACC. DI CORIOLIS
Teorema del momento angolare
Lc = Σ Lp = Σ (ri × mivi)
dLc/dt = d/dt [Σ (ri × mivi)] = Σ (dri/dt × mivi) + Σ (ri × midvi/dt) =
= Σ (vi × mivi) + Σ (ri × miai) = Σ (ri × Fi)
Fi = Fi(e) + Fi(c)
= Σ (ri × (Fi(e) + Fi(c))) = Σ [(ri × Fi(e)) + (ri × Fi(c))]
Ni(e), Mi(c)
Le somme dei momenti = 0dimostriamo che lc = 0
Σ ri × (NFi; j + FFi; j) - (ri × Fi; j) + (ri × Fi; j)
= (ri × Fi; j) - (ri × Fi; j)
= (ri - rj) × Fi; j = 0 poiché (ri - rj) ∥ Fi; j = 0
dLc/dt = Mt(e)Teorema del momento angolareper i sistemi di masse puntiformi(analoga alle II eq. cardinali della meccanica)
ΣFt(c) = 0; ΣMt(c) = 0 → rt(e) = rtc + atHt(e)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
