Meccanica, elettromagnetismo e termodinamica

Vettori Velocità e Accelerazione

Un punto che si muove sulla traiettoria è caratterizzato da un vettore

posizione r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k che derivando

nel tempo

ci dà il vettore velocità sempre tangente alla traiettoria

v(t) = ẋ(t)i + ẏ(t)j + ż(t)k e derivandolo ancora nel tempo, ci dà il vettore

accelerazione

a(t) = ẍ(t)i + ÿ(t)j + z̈(t)k

Se quindi consideriamo un curva lungo cui si muove il punto

Γ: [a,b] → ℝ³ possiamo individuare il vettore

posizione r(a) = A

r(b) = B

e la lunghezza della curva

l(Γ) = ∫_a^b |v(σ)|dσ = ∫_a^b √(ẋ² + ẏ² + ż²) dω

e se essa la suddividiamo in tanti piccoli segmenti possiamo ricavare la lunghezza di un segmento piccolo della curva come

Ascissa curvilinea

s(t) = ∫_a^t |r(u)| dω

secondo il teorema del calcolo integrale abbiamo che s(t) = v(t)

quindi il vettore velocità può essere reso attraverso questa nuova

funzione in un, può essere espresso il suo modulo

V̅ = v(t)t(t) = ŝ(t)t(t)

Vettori Velocità e Accelerazione

Un punto che si muove lungo una traiettoria è caratterizzato da un vettore

posizione r(t)=x(t)î+y(t)ĵ+z(t)k̂ che derivando

nel tempo

^d/_dt

ci dà il vettore velocità sempre tangente alla traiettoria

v(t)=ẋ(t)î+ẏ(t)ĵ+ż(t)k̂ e derivando ancora nel tempo, ci dà il vettore

accelerazione

^d/_dt

a(t)=ẍ(t)î+ÿ(t)ĵ+z̈(t)k̂

Se quindi consideriamo la curva lungo cui si muove il punto

γ:[a,b]→ℝ³ possiamo individuare i vettori

posizione r(a)=A

r(b)=B

e la lunghezza della curva

l(γ)=^∫_ab‖v(σ)‖dσ=^∫_ab√ẋ²+ẏ²+ż²dω

E se essa la suddividiamo in tanti piccoli segmenti possiamo ridurre la lunghezza di un segmento piccolo della curva come ascissa curvilinea

s(t)=^∫_at‖v(u)‖dω

Secondo il Teorema del calcolo integrale otteniamo che ŝ(t)=v(t)

Quindi il vettore velocità può essere espresso attraverso questa nuova varia ű(t), può essere espresso il suo modulo

Ū=v(u)(t)=ŝ(t)(t)

^d/_dt

a = / = (()') - + ²/ ∧ quindi il vettore accelerazione

può essere espresso come

a = a + a

_{componente componente}

_{parallela alla ortogonale a}

_{velocità velocità}

caso che a = v' + v²/ noi sappiamo che nei moti rettilinei non c'è

variazione della direzione della velocità quindi a=0 (perchè il raggio di

curvatura per →∞ ⇒ v²/=0)

quindi il vettore accelerazione a//

se il moto è uniforme allora la velocità v è costante in modulo

v = a= 0 => a = v²/r

nel modo rettilineo uniforme il modulo velocità è costante in modulo

V = costante in modulo

il moto rettilineo viene semplificato essendo lo bidimensionale

un asse che sovralmente di x alle x. Ecco perchè può essere

chiamato moto unidimensionale.

nel moto rettilineo uniforme a=0 v = v₀ (v. modulo) e quindi si scrive come

V = dx/dt V = ∫ (dx/dt) = ∫ v dt

{ ∫V dt = ∫dx X - X = ∫V (t-s)

X(u) = X₀ + V_u*

x posizione varia linearmente con una velocità a partire da una posizione x

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato a=costante (esempio per g).

Stesso ragionamento per cui nel moto rettilineo qualsiasi esso sia Q_m=0 perché non c'è variazione al diminuire del vettore v