Meccanica, elettromagnetismo e termodinamica

Vettori velocità e accelerazione

Un punto che si muove sulla traiettoria è caratterizzato da un vettore posizione r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k che derivando nel tempo ci dà il vettore velocità sempre tangente alla traiettoria v(t) = ẋ(t)i + ẏ(t)j + ż(t)k e derivandolo ancora nel tempo, ci dà il vettore accelerazione a(t) = ẍ(t)i + ÿ(t)j + z̈(t)k.

Se quindi consideriamo una curva lungo cui si muove il punto Γ: [a, b] → ℝ³ possiamo individuare il vettore posizione r(a) = A, r(b) = B e la lunghezza della curva l(Γ) = ∫_a^b |v(σ)|dσ = ∫_a^b √(ẋ² + ẏ² + ż²) dω.

E se essa la suddividiamo in tanti piccoli segmenti possiamo ricavare la lunghezza di un segmento piccolo della curva come ascissa curvilinea s(t) = ∫_a^t |r(u)| dω. Secondo il teorema del calcolo integrale abbiamo che s(t) = v(t), quindi il vettore velocità può essere reso attraverso questa nuova funzione in un, può essere espresso il suo modulo V̅ = v(t)t(t) = ŝ(t)t(t).

Vettori velocità e accelerazione (ripetizione)

Un punto che si muove lungo una traiettoria è caratterizzato da un vettore posizione r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)k̂ che derivando nel tempo ^d/_dt ci dà il vettore velocità sempre tangente alla traiettoria v(t) = ẋ(t)î + ẏ(t)ĵ + ż(t)k̂ e derivando ancora nel tempo, ci dà il vettore accelerazione ^d/_dt a(t) = ẍ(t)î + ÿ(t)ĵ + z̈(t)k̂.

Se quindi consideriamo la curva lungo cui si muove il punto γ: [a, b] → ℝ³ possiamo individuare i vettori posizione r(a) = A, r(b) = B e la lunghezza della curva l(γ) = ^∫_ab‖v(σ)‖dσ = ^∫_ab√ẋ² + ẏ² + ż²dω.

E se essa la suddividiamo in tanti piccoli segmenti possiamo ridurre la lunghezza di un segmento piccolo della curva come ascissa curvilinea s(t) = ^∫_at‖v(u)‖dω. Secondo il Teorema del calcolo integrale otteniamo che ŝ(t) = v(t). Quindi il vettore velocità può essere espresso attraverso questa nuova varia ű(t), può essere espresso il suo modulo Ū = v(u)(t) = ŝ(t)(t).

⊃d⊂/⊂dt⊂a = / = (()') - + ²/ ∧ quindi il vettore accelerazione può essere espresso come a = a + a_{componente componenteparallela alla ortogonale avelocità velocità}.

Caso che a = v' + v²/ noi sappiamo che nei moti rettilinei non c'è variazione della direzione della velocità quindi a = 0 (perché il raggio di curvatura per →∞ ⇒ v²/=0), quindi il vettore accelerazione a//.

Moto rettilineo uniforme

Se il moto è uniforme allora la velocità v è costante in modulo v = a = 0 => a = v²/r . Nel moto rettilineo uniforme il modulo velocità è costante in modulo V = costante in modulo.

Il moto rettilineo viene semplificato essendo lo bidimensionale un asse che sovralmente di x alle x. Ecco perché può essere chiamato moto unidimensionale.

Nel moto rettilineo uniforme a = 0 v = v₀ (v. modulo) e quindi si scrive come V = dx/dt V = ∫ (dx/dt) = ∫ v dt { ∫V dt = ∫dx X - X = ∫V (t-s)X(u) = X₀ + V_u*x posizione varia linearmente con una velocità a partire da una posizione x.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato a = costante (esempio per g). Stesso ragionamento per cui nel moto rettilineo qualsiasi esso sia Q_m = 0 perché non c'è variazione al diminuire del vettore v.