Meccanica, elettromagnetismo e termodinamica

Vettori Velocità e Accelerazione

Un punto che si muove lungo una traiettoria è caratterizzato da un vettore posizione r(u) = x(u)ⁱ + y(u)^j + z(u)^k che derivando nel tempo

dà il vettore velocità sempre tangente alla traiettoria v(t) = x'(t)ⁱ + y'(t)^j + z'(t)^k e derivando ancora nel tempo, ci dà il vettore accelerazione

a(t) = x"(t)ⁱ + y"(t)^j + z"(t)^k

Se quindi consideriamo un curva lungo cui si muove il punto

γ : [a, b] → R³ possiamo individuare i vettori posizione γ(a) = A γ(b) = B e la lunghezza della curva L(γ) = ∫_a^b√(x'² + y'² + z'²) dω

E se essa la suddividiamo in tanti piccoli segmenti possiamo indicare la lunghezza di un segmento piccolo della curva come ascissa curvilinea

s(t) = ∫_a^Cv(u) dω

secondo il I teorema del calcolo integrale otteniamo che S(t) = υ(t)

quindi il vettore velocità può essere scritto attraverso questa nuova variabile e in più esiste il suo modulo

V̅ = υ(t)t(t) = S̅(t)t(t)

dr/dt = |

v̂ = ṽ(v̂·v̂) = ṽ(v̂)ṽ(v̂) + ₁/^c ṽ̂ ^m(t)

quindi il vettore accelerazione

può essere espresso come

ā = ā_t + ā_n

componente

parallela alla derivata del v

componente

perpendicolare alla derivata del v

ā_t = ṽ(t)_t = ṡ(t)

ā_n = ṽ²/_ŷ (raggio di curva)

dato che ā = ṽ̂_t + ŷ _t noi sappiamo che nei moto rettilineo non c'è

variazione nella direzione della velocità quindi ā_n = 0 (perché il raggio di

curvatura per t→∞ ṽ² = 0)

quindi il vettore accelerazione ā = a_t/ṽ

se il moto è uniforme la velocità ṽ è constante in modulo

ṽ: ā_t=^ā/_c=0 → ā = ṽ̂ ²/_ŷ

nel moto rettilineo uniforme il vettore velocità θ e constant in modulo

ṽ = 0 →

ā = 0 →

V = constante in modulo

il moto rettilineo viene semplificato scegliendo la traiettoria una retta lungo

un asse che convenzionalmente si alloz v. Ecco perché può essere

chiamato moto unidimensionale.

nel moto rettilineo uniforme ā = 0 V = V_o (V costante) e quindi V diventa

V =

d^x/_t=ṽ(t)=∫^t₀ V d₀ dx dt dx

∫^t_o ṯ ^x = ṽ^t(x)−₀ − V

dt = dx dt

x(t) = x_o + V _t

la posizione varia

linearmente con una velocità

a partire da una posizione

V

Il Moto Armonico

Def: Un moto armonico è un moto in cui il vettore accelerazione si proporziona ed opposto del vettore posizione e quindi è parallelo al vettore posizione stesso. Questo si propaga ciò che è riconducibile a un moto rettilineo.

Infatti possiamo definire il moto armonico come un moto rettilineo dove:

a = -ω²x ⇔ a + ω²x = 0 ma a = x

Forse (l'accelerazione può esprimere collegata delle xa derivata seconda del vettore posizione.)

Allora sostituendo otteniamo: x + ω²x = 0

(equazione del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti che ha come soluzione) x(t) = c₁e¹ + c₂e² - c₃e³

nell'equazione ausiliaria coincidente associata

r² + ω² = 0 ➔ r = ±iω

quindi x(t) = c₁e^iωt + c₂e^-iωt

e^iωt = cosωt + isinωt

e^-iωt = cosωt - isinωt

Secondo e formule di Eulero

Per questo otteniamo che x(t) = a cos ωt + b sen ωt

Perché noi sappiamo che sono e coseno sono due funzioni trigonometriche menti venali, potersi sono da temer funzione scalfold di un modo

Allora:

x(t) = A cos (ωt + φ)

Posso scrivere che:

• x(0) = A cos φ = x₀
• x(0) = -Au senφ = V₀

però detto che x(t) = Aω sen (ωt + φ) però calcolano = 0

Allora:

• x(0) = x₀
• x(0) = v₀

Problema di Cauchy

a questo punto ho s_o + v_o² ≤ 0 <= 1 s(t) = S_n cos (ωt + φ) dove

S_n, φ sono costanti da determinare con le condizioni di punto iniziali

s(0) = S_o s(t) = -ωS_n sen (ωt + φ) => ṡ(0) = v_o

{ s(0) = S_ncosφ = S_o ṡ(0) = -ωS_nsenφ = v_o

prima { S_ncosφ = S_o S_nsenφ = -^v_o⁄_ω

⎨ ⎬ ^{( )2}

{ S_n²cos²φ = S_o² S_n²sen²φ = ^v_o2⁄_ω²

{ S_n² = S_o² + ^v_o2⁄_ω²

{ S_n = √ S_o² + ^v_o2⁄_ω²

⎩ φ = ^-v_o⁄_ωSo dal I sistema

Il pendolo è un sistema isolato baso lo è anche la macchina di atwood; è formata da una carrucola ferma che ha una fune inincomprimibile pass una fune tese a cui solo collegate due masse M₁ e M₂

stiamo considerando lungo l'asse verticale e trascurando le forte troviamo

{ m₂ ™ g - T

m₂ g

m₁ ¬ T ™ m₁ â

{ (m₁ + m₂) ¬ (m₁ + m₂) g - T ¬ M₂ ¬

T = m₂ ™ g

= M₁M₂

T = m₁g ™ m₂ ™ g

m₁ + m_g g

asino ™ m₁ ’ m₂² ™ m₁ ™ m₂ ¦

m₁ + m₁ M₁

= m₁ m₂ \ m₁

+ m₁ kilogram

+ m₁ + M₂

+ M₁ + M₁

abottonato questo sistema abbiamo trovato la tensione tufolo e l'accelerazione

Moto del Proiettile: Parabolico

Nel moto del proiettile si pensa che un proiettile venga sparato dalla bocca di un cannone (fermo rispetto al sistema di riferimento). Lo sparo del cannone è un fenomeno impulsivo, ossia avviene in un moto breve.

Il proiettile risulta quindi assoggettato tangente in ogni punto alla traiettoria e la sua direzione è individuata dall’angolo di tiro indicato con θ ad un’altezza di lancio.

... sono seguenti. Infatti possono schematizzarsi nel seguente modo:

• Lungo X

  • Moto Uniforme
  • a = 0
  • V₀ = V₀cosθ
  • x = V₀cosθ t

• Lungo Y

  • Moto Uniforme Accelerato
  • a = -g
  • V₀ = V₀senθ
  • y = V₀senθ t - ½ gt²

Queste sono le 2 eq. orarie in forma parametrica: [x = x(t)] [y = y(t)]

Posso trasformarle in forma canonica eliminando t e una delle 2 e intersecando con x(t).

y = y(x) = _{V0senθ / V0cosθ} x - ½ _{g x²} / _V0²cos²θ allora