Meccanica e Dinamica (Appunti Riassuntivi)

MOTO RETTILINEO

VELOCITA' MEDIA → V_m = Δx/Δt

VELOCITA' ISTANTANEA → v = dx/dt

SPAZIO PERCORSO → x(t) = x_o + ∫_to^t v(t) dt

RETTILINEO UNIFORME

• v = cost
• x(t) = x_o + ∫_to^t v dt = x_o + v (t - t_o)
• t_o = 0, v = cost
• x(t) = x_o + v t

ACCELLERAZIONE MEDIA → a_m = ΔV/Δt

ACCELLERAZIONE ISTANTANEA → a = dv/dt = d²x/dt²

DIPENDENZA VELOCITA'/TEMPO → v(t) = v_o + ∫_to^t a(t) dt

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

• a = cost
• v(t) = v_o + a (t - t_o)
• t_o = 0, a = cost
• v(t) = v_o + at

SPAZIO PERCORSO → x(t) = x_o + v_o(t - t_o) + 1/2 a (t - t_o)²

• a = cost
• x(t) = x_o + v_o t + 1/2 at²

DIPENDENZA ACCELLER./POSIZIONE

Posto: a = dv/dt = v dv/dx ⇒ adx = vdv

∫_xo^x a(x) dx = 1/2 v² - 1/2 v_o²

• v² = v_o² + 2a (x - x_o)
• a = cost

MOTO VERTICALE

Le formule si ricavano dal moto rettilineo.

DI DIPENDENZA POSIZ./TEMPO -

x = h - ¹/₂gt²

x(t) = x₀ + v₀t - ¹/₂gt²

V(t) = -gt

V(t) = v₀ - gt

TEMPO DI CADUTA → t_c = √^2h/_g

VELOCITÀ CADUTA → V_c = √2gh

TEMPO SALITA → t_M = V₀/_g

POSIZIONE SALITA → x_M = x(t_M) = V₀²/_2g

Integrando a = -g abbiamo ottenuto x(t) e V(t).

Componenti cartesiane

z = zx Ux + zy Uy

zx = dV/dt cosφ - V² senφ/R

zy = dV/dt senφ + V² cosφ/R

φ = angolo che Ur forma con Ux

Componenti polari

(dr/dt - r(dθ/dt)) Ur + [1/r(d/dt(r² dθ/dt))] Uθ

Accelleraz. Radiale Accelleraz. Trasversa

Piano Inclinato

• tg α ≤ μ_s Condizione per eq. statico
• μ_d = tg α moto uniforme
• tg α < μ_d corpo si ferma
• tg α > μ_d moto unif. accelerato

Pendolo Semplice

• R_T = -mg sen θ = m _T → Forza di richiamo
• R_N = T_F - mg cos θ = m _N

Moto del pendolo è oscillatorio armonico per piccole oscillazioni, tali che sen θ ≈ θ.

Legge oraria

• θ = θ₀ sen (ωt + Φ)

T = ^2πl/_g

Legge oraria spostamento

s = Lθ = Lθ₀ sen (ωt + Φ)

• dθ/dt = ω θ₀ cos (ωt + Φ) → velocità angolare
• ds/dt = L ω θ₀ cos (ωt + Φ) → velocità lineare

V_max: per la verticale

v = 0: agli estremi delle oscillazioni

Tensione Filo

• T_F = m_P [g cos θ(t) + ^v2(t)/_L]
• T_{F max}: posizione verticale
• T_{F min}: punti inversione

NOTI RELATIVI

O → sistema fissoO' → sistema mobile

r = OO' + r'

Relazione tra le posizioni del punto P misurate rispetto ai due sistemi di riferimento.

r = x Ux + y Uy + z UzOO' = Xo' Ux + Yo' Uy + Zo' Uzr' = x' Ux' + y' Uy' + z' Uz'

VELOCITÀ ASSOLUTA

v = ^{d r}/_{d t} = ^{d x}/_{d t} Ux + ^{d y}/_{d t} Uy + ^{d z}/_{d t} Uz

Velocità di P rispetto sistema fisso O.

VELOCITÀ RELATIVA

v_r = ^{d x'}/_{d t} Ux' + ^{d y'}/_{d t} Uy' + ^{d z'}/_{d t} Uz'

Velocità di P rispetto sistema mobile O'.

VELOCITÀ O'

v_o' = ^{d OO'}/_{d t} = ^{d x_o'}/_{d t} Ux + ^{d y_o'}/_{d t} Uy + ^{d z_o'}/_{d t} Uz

Velocità di O' rispetto O.

TEOREMA VELOCITÀ RELATIVE

v = v_o' + v_r + ω × r'

^{d r'}/_{d t} = v_r + ω × r'

Velocità nei due sistemi sono collegate.

VELOCITÀ DI TRASCINAMENTO

v_t = v - v_r = v_o' + ω × r'    TRASLATORIO           ROTATORIO

P fermo rispetto O'(v_r = 0) → velocità dal sistema O (assoluta) coincide con V_tP si muove rispetto O' → velocità assoluta somma di v_r e v_t

Teorema del momento angolare

Se il polo O è fisso o coincide con il centro di massa, l'evoluzione nel tempo del momento angolare è determinata dal momento delle forze esterne, mentre le forze interne non portano contributo.

dL/dt = M^(E)

Conservazione momento angolare

Se M^(E) = 0 il momento angolare resta costante.

Si verifica in due casi:

• non agiscono forze esterne
• il momento delle forze esterne è nullo rispetto a un determinato polo.

Sistema del centro di massa

• Sistema non inerziale
• ω = 0
• Velocità e posizione del CM rispetto se stesso sono nulle, c_H0 v_CM0 = 0.
• Quantità di moto totale rispetto CM risulta nulla: P_i = Σm_iv_i = 0
• Momento risultante rispetto al CM è uguale al solo momento delle forze esterne vere.
• Momento angolare rispetto al CM ha lo stesso valore che nel sistema di riferimento inerziale.
• Teorema momento angolare resta valido se come polo si sceglie CM.
• Contiamo solo forze vere (esterne).

Corpo Rigido

Sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non possono variare.

Occorrono 6 parametri per descrivere la posizione.

Gradi di Libertà

Numero di parametri necessari per descrivere il moto di un sistema.

Il lavoro delle forze interne di un sistema rigido è nullo, quindi:

_{ΔEk = W^(E)}

Traslazione

• V cambia con V_CM V = V_CM
• Se è noto il moto di CM è noto quello di ciascun punto.
• L = 0 En.k = 0
• P = M V_CM
• L = L_CM = r_CM x M V_CM momento angolare
• E_k = E_k.cm = 1/2 M V_CM² energia cinetica.
• Equazione moto CM: R = M a_CM.

Rotazione

• Tutti i punti descrivono un moto circolare con velocità angolare ω.
• Equazione moto di rotazione: H = dL/dt

TEOREMA DI HUYGENS-STEINER

Esprime il momento di inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse a distanza d dal centro di massa del corpo.

I = I_C + md²

momento d'inerzia rispetto asse // al primo passante per il CM

E' sufficiente determinare il momento di inerzia rispetto ad asse passante per CM e lo si può ottenere per qualunque altro asse //.

L'energia cinetica quando il centro di massa ruome' sull'asse di rotazione è:

E_k = ¹/₂ I_zω² + ¹/₂ m V_CH²

tipico della rotazione che costituisce moto rispetto CH

energia cinetica del CM

PENDOLO COMPOSTO

Corpo rigido che può oscillare per azione del suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il CM.

d²Θ/dt² + mgh senΘ = 0

equazione di ampiezza moto oscillazione e armonico piccolo senΘ≈Θ

d²Θ/dt² + mgh/I_z Θ = 0 => Θ = Θ_o sen(ωt + φ)

Ω = √(mgh/I_z)

T = 2π/Ω

l = I_z/mh = lunghezza ridotta del pendolo composto

Lunghezza del filo di un pendolo semplice che oscilla con stesso T.

Se ampiezza oscilla, e grande il pendolo ha sempre un moto periodico, ma non armonico.

Pendoli di studio, attorno a due assi reciproci è lo stesso.