Meccanica e Dinamica (Appunti Riassuntivi)

Moto rettilineo

Velocità media e istantanea

Velocità media → V_m = Δx/Δt
Velocità istantanea → v = dx/dt

Spazio percorso

x(t) = x_o + ∫_t₀^t v(t) dt
v = cost
x(t) = x_o + v ∫_t₀^t dt = x_o + v (t - t₀)
x(t) = x_o + v t

Accelerazione media e istantanea

Accelerazione media → a_m = Δv/Δt
Accelerazione istantanea → a = dv/dt = d²x/dt²

Dipendenza velocità/tempo

v(t) = v_o + ∫_t₀^t a(t) dt
a = cost
v(t) = v_o + a (t - t₀)
v(t) = v_o + 2t

Spazio percorso

x(t) = x_o + v_o (t - t₀) + 1/2 a (t - t₀)²
x(t) = x_o + v_o t + 1/2 a t²    t₀=0
derivando ottengo v(t) e a(t)

Dipendenza accelerazione/posizione

∫_x₀^x a(x) dx = 1/2 v² - 1/2 v_o²
v² = v_o² + 2 a (x - x_o)    a = cost

Moto rettilineo uniforme

Velocità media e istantanea

Velocità media → V_m = Δx / Δt
Velocità istantanea → v = dx / dt

Spazio percorso

x(t) = x_o + ∫_t₀^t v(t) dt
RETILINEO UNIFORME
v = cost
x(t) = x_o + v ∫_t₀^t dt = x_o + v (t - t₀)
t₀ = 0, v = cost
x(t) = x_o + vt

Accelerazione media e istantanea

Accelerazione media → a_m = ΔV / Δt
Accelerazione istantanea → a = dV / dt = d²x / dt²

Dipendenza velocità/tempo

v(t) = V_o + ∫_t₀^t a(t) dt
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
a = cost
v(t) = V_o + a(t - t₀)
t₀ = 0, a = cost
v(t) = V_o + at

Spazio percorso

a = cost.
x(t) = x_o + V_o (t - t₀) + 1/2 a (t - t₀)²
x(t) = x_o + V_o t + 1/2 a t² t₀ = 0
derivando ottengo v(t) e a(t)

Dipendenza accelerazione/posizione

∫_x₀^x a(x) dx = 1/2 v² - 1/2 v_o²
Poiché: a = dV/dt = VdV/dx ⇒ adx = VdV
v² = V_o² + 2a (x - x_o) a = cost

Moto verticale

Le formule si ricavano dal moto rettilineo.
x = h - ¹/₂ g t²
V(t) = - g t
x(t) = x_o + V_o t - ¹/₂ g t²
V(t) = V_o - g t

Tempo di caduta

t_c = ^√(2h)/_g

Velocità caduta

V_c = √(2gh)

Tempo salita

t_M = ^V_o/_g

Posizione salita

x_M = x (t_M) = ^V_o2/_2g
Integrando a = -g abbiamo ottenuto x(t) e V(t).

Moto armonico semplice

Legge oraria

x(t) = A sen (ωt + φ)
Ampiezza
Fase φ
Fase Iniziale
ω Pulsazione

Periodo

T = ^2π/_ω

Pulsazione

ω = ^2π/_T
Il moto è veloce quando la pulsazione è grande, il moto è lento per bassi valori della pulsazione.

Frequenza

ν = ¹/_T = ^ω/_2π
Numero di oscillazioni in un secondo.

Velocità e accelerazione

v(t) = ωA cos (ωt + φ)
a(t) = - ω² A sen (ωt + φ) = - ω²xx(t)

Condizioni iniziali

x(0) = x₀ = A sen φ
v(0) = v₀ = ωA cos φ
Servono per trovare: tg φ = ^ωx₀/_v0
A² = x₀² + ^v₀2/_ω²

Dipendenza velocità/posizione

v² = v₀² + ω² (x₀² - x²)
v²(x) = ω²(A² - x²)
Nel centro x₀ = 0 v₀ = ωA

Condizione necessaria e sufficiente per moto armonico

^d2x/_dt² + ω²x = 0
Eq. Differenziale Moto Armonico.

Moto rettilineo smorzato esponenziale

Legge oraria

x(t) = _Vo/_k (1-e^-kt)

Accelerazione

a = dv/dt = -kv

Velocità

v(t) = V_o e^-kt
La velocità decresce esponenzialmente nel tempo ed il punto alla fine si ferma.

Paradosso di Zenone

Dove e quando P₁ raggiungerà P₂?
x* = ^V