(3/6) Scienza delle Costruzioni: Meccanica dei solidi elastici

MECCANICA dei SOLIDI ELASTICI

Analisi dello stato di deformazione (cinematica)

MEZZO CONTINUO TRIDIMENSIONALE

• Si definisce mezzo continuo o semplicemente continuo un solido tridimensionale oppure mobile i cui punti materiali siano in corrispondenza biunivoca con i punti geometrici di una regione regolare dello spazio euclideo.
• Definiamo deformazione un cambiamento di configurazione del corpo dalla configurazione iniziale o di riferimento alla configurazione deformata C’.

(NB il passaggio da C a C’ se il corpo non subisce variazioni di forma o volume, esso compie uno spostamento rigido)

VETTORE POSIZIONE DELLA CONFIG. DEFORMATAx’ = [x’ y’ z’]^TVETTORE POSIZIONE DELLA CONFIG. INIZIALEX = [x y z]^TSPOSTAMENTO U(x) = [u v w]^T

Affinché nel processo deformativo non si verifichino lacerazioni o compenetrazioni dei materiali, la trasformazione deve essere biunivoca, in modo che garantire la corrispondenza biunivoca tra punti X e x. La funzione u(x) deve essere continua assieme alle derivate parziali del primo ordine.

Si studia la trasformazione negli ipotesi di spostamenti infinitesimi, cioè trascurabili rispetto ad una dimensione significativa del solido in esame.

Tensore della deformazione

per analizzare il cambiamento di configurazione nel'intorno di un punto p(x,y,z) del solido.

si considera un punto q(x+dx, y+dy, z+dz) posto a distanza infinitesima. ds = |dx| con modulo √(dx² + dy² + dz²). Si considera quale trasformazione del punto P es a nell'nunto config. q.e p. nella nuova.

U_a = U_p + du(x)

du(x) = [du dv dw]^T

• du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz
• dv = ∂v/∂x dx + ∂v/∂y dy + ∂v/∂z dz
• dw = ∂w/∂x dx + ∂w/∂y dy + ∂w/∂z dz

In forma matriciale

[_Ua ] = [_Up ]+ [^{∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z} ][Va][Wa]

U_a = U_p + T(x)

Per riconoscere il significato meccanico di T(x) si scompone in una parte gradiente e una parte simmetrica e.

COS a =

considerando il punto iniziale con a2 = 3 / 2

2exy = 0 = 2exy

L'ampiezza degli angoli subisce una variazione pari al doppio degli elementi exy, eyz, exz della matrice E

Tali variazioni determiniamo spostamenti unitari e si intende sono

2exy = 3 / 2

ANGOLO FORMATO DALLE FIBRE CON DEFORMAZIONE AVVENUTA

Equazioni di congruenza.

Analizzando le proprietà puntuali della deformazione di un sistema continuo, si è visto che le componenti del tensore della deformazione Eij sono legate alle componenti del vettore spostamento ui da:

Eij = Eji = 1/2 (Ui,i + Uj,j) (4)*

Se nei domini occupati dai sistemi materiali, viene definito il campo degli spostamenti meccanici tramite 3 funzioni di punto Ui (i = 1,2,3) conibure le derivate, le relazioni (x) associano univocamente a tale campo le 6 funzioni di punto Eij = Eij che definiscono il campo delle deformazioni unitario; tali relazioni, vengono dette EQUAZIONI IMPLICITE DI CONGRUENZA

Se oltre ad associare univocamente il campo dei tensori come fatto in precedenza, le funzioni Ui rispettano anche eventuali condizioni di vincolo sulle frontiere di C, si di parla di STATO DI DEFORMAZIONE CONGRUENTE IN FORMA GENERALIZZATA

(x) ua considerate come un siat ai 6 eq. differenziali lineari nelle 3 funz. incognite ui nelle quali le 6 componenti di deformazione Eij sono termminosi

DU = E

Equazione di congruenza implicita

Determinante dei coefficienti delle incognite

det _{(Eij - λIij)} = 0

Sviluppando il det, si ottiene l'eq. cubica λ:

λ³ - I₂λ² + I₂λ - I₃ = 0

• ^{_{Em + E22 + E33}}
• E_mE₂₂ + E₂₂E₃₃ + E₃₃E_m - (E_m² + E₂₂² + E₃₃²)
• det (E_ij) =
  • E₄₁ E₄₂ E₄₃
  • E₂₁ E₂₂ E₂₃
  • E₃₁ E₃₂ E₃₃

Le 3 radici dell’equazione sono reali quando il tensore è, come nel caso in esame, simmetrico.

Tali radici E_m E₂₂ E₃₃ si dicono ESTENSIONI PRINCIPALI

• E
  • E₀
  • E₁
  • E₂

Risolvendo il sistema (*) in cui siano stati introdotti iposta per l'attte i valori delle 3 estensioni principali, tenendo conto delle condizioni di normalizzazione si individuano le cercate direzioni di che soddisfano la condizione ui = 1. Ani - DIREZIONI PRINCIPALI

Analisi dello stato di tensione (statica)

Corpo continuo nella sua configurazione indeformata

• S = Su + Sf
• SUPERFICIE del CORPO DI VOLUME
• SUPERFICIE INVESTITA E' SIA con VINCOLI, è LE UBI è BOL INTERRELLO divergono spostamenti NON UN (FORZ.UNIC.)
• SUPERFICIE LIBERA SU cui AGISCONO FORZE di SUR (detta anch. SUP.)
• Quantità agenti sul corpo

Equazioni indefinite di equilibrio

Dal continuo della configurazione iniziale si estrae una porzione infinitesima dxdydz.

Hp. spost. infinitesimi si può assumere la config. iniziale coincidente con quella deformata ad equilibrio.

La tensione t_x = t_x (per il lemma di Cauchy agente sulla faccia con normale x, mentre sulla faccia opposta del parallelo, in una distanza x+dx dalla prima, agisce una tensione incrementata t_x + ^∂t_x/_∂xdx

Le forze complessivamente agenti sulle due facce del parallelepipedo di area dydz

(-t_x + ^∂t_x/_∂x dx) dydz - t_x dydz

Analogo per le forze agenti sulle altre facce. Sull'elemento agisce inoltre la forza di volume b_xdV, i.e., vettoriale ad equilibrare delle forze agenti sull'elemento

(t_x + ^∂t_x/_∂x dx)dydz - t_xdydz + (t_y + ^∂t_y/_∂y dy)dxdz - t_ydxdz + (t_z + ^∂t_z/_∂z dz)-t_zdydx + b dxdy = 0

Le forze nette si riducono alla parte differenziale

^∂t_x/_∂x + ^∂t_y/_∂y + ^∂t_z/_∂z + b = 0

Equazioni indefinite di equilibrio

J_on = (σ₁n₁^² + σ₂n₂^² + σ₃n₃^²) - 3 (σ₁^² + σ₂^² + σ₃^²) = √J_OT

σ_m + 2θ₁θ₂ + 2θ₂θ₃ + 2θ₃θ₁

σ₁^² + σ₂^² + σ₃^² - 2 (σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁)

ma I₂ = σ₁σ₂ + σ₁σ₃ + σ₂σ₃

σ_m + 2θ₁θ₂ = √J_OT

J_OT e T_OT sono INVARIANTI (non dipendono dal sistema di riferimento)

r_TOT = √(2/3 √(I₁^² - 3I₂))

Circonferenze di Mohr

Si considera il sistema formato da:

{ σ_n = σ₁α^² + σ₂β^² + σ₃ᵧ^² — TENSIONE NORMALE

√(σ_n^² + τ_n^² + τ_n^² + τ₃^² + β^² + τ₃ᵧ^²) — MODULO DEL VETTORE TENSIONE

α^² + β^² + ᵧ^² = 1 — CONDIZIONE DI NORMALIZZAZIONE