(3/6) Scienza delle Costruzioni: Meccanica dei solidi elastici

MECCANICA dei SOLIDI ELASTICI

Analisi dello stato di deformazione (cinematica)

• Si definisce MEZZO CONTINUO o semplicemente CONTINUO un solido tridimensionale deformabile i cui punti materiali siano la corrispondenza biunivoca con i punti geometrici di una regione regolare dello spazio Euclideo. (Corrispondenza biunivoca fra i punti del continuo e i punti di un dominio D dello spazio occupato dal sistema in un dato istante)
• Si definisce DEFORMAZIONE un cambiamento di configurazione del corpo dalla configurazione iniziale o di riferimento C_r alla configurazione deformata C₁. (Nel passaggio C_r a C_t se non subisce variazioni di forma o volume, esso compie uno spostamento rigido)

Cambiamento di configurazione del corpo deformabile

• Affinchè nel processo deformativo non si verifichi una lacerazione o compenetrazione di materia, la trasformazione deve essere biettiva, in modo da garantire la corrispondenza biunivoca tra i punti P ∈ C_r e P = P ∈ C_t. La funzione U(X) dovrà essere continua, assieme alle derivate parziali, di almeno primo ordine.
• Si studia la trasformazione negli ipotesi di spostamenti infinitesimi, detti trascurabili rispetto ad una dimensione significativa del solido in esame.

MECCANICA dei SOLIDI ELASTICI

• Analisi dello stato di deformazione (cinematica)

MEZZO CONTINUO TRIDIMENSIONALE

• Si definisce MEZZO CONTINUO o semplicemente continuo un solido tridimensionale deformabile i cui punti materiali siano in corrispondenza biunivoca con i punti geometrici di una regione regolare dello spazio euclideo. (corrispondenza biunivoca tra i punti del continuo e i punti di un dominio C dello spazio occupato dal sistema in un dato istante).
• Si definisce DEFORMAZIONE un cambiamento di configurazione del corpo dalla configurazione iniziale o di riferimento C alla configurazione deformata C'. (Nel passaggio C - C' se non subisce variazioni di forma o volume, esso compie uno spostamento rigido)

i = x + u(x)

• VETTORE POSIZIONE DELLA CONFIG. DEFORMATAi = [x', y', z']^T
• VETTORE POSIZIONE DELLA CONFIG. INIZIALEx = [x, y, z]^T
• SPOSTAMENTOu(x) = [u, v, w]^T

• Affinchè nel processo deformativo non si verifichino LACERAZIONI o COMPENETRAZIONI di MATERIA la trasformazione deve essere BIETTIVA in modo da garantire la corrispondenza biunivoca tra i punti P ∊ c e P' ∊ c'.
• La funzione u(x) dovrà essere CONTINUA assieme alle derivate parziali del primo ordine.
• Si studia la trasformazione nell'ipotesi di SPOSTAMENTI INFINITESIMI, cioè trascurabili rispetto ad una dimensione significativa del solido in esame.

Tensore della deformazione

per analizzare il cambiamento di config.

nell’intorno di un punto P (x, y, z) del solido,

si consideri un punto infinitesimo P’ = dx con

modulo ||dx||² = dx² + dy² + dz² e si considera la

la trasformazione dei punti P e P’ nella nuova

config. P e P’ = Q’

U_α = Up + du(x)

du(x) = [du dv dw]^T

du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz

dv = ∂v/∂x dx + ∂v/∂y dy + ∂v/∂z dz

dw = ∂w/∂x dx + ∂w/∂y dy + ∂w/∂z dz

In forma matriciale

• U_α = U_p + T(x)

Per riconoscere il significato meccanico di T si scompone la

matrice gradiente T nelle sue componenti simmetrica e antis.

MATRICE DELLA DEFORMAZIONE PURA O TENSORE DEFORMAZIONE

nella sua componente ANTIMETRICA Ω della MATRICED

ROTAZIONE RIGIDA

Matrice GradientE Spostamento

Matrice Rotazione Rigida

Matrice Deformazione Pura (Tensore Deform.)

Componente Simmetrica

E = 1/2 [T + T^t]

• ε_x 1/2(∂u/∂x)
• 1/2(∂u/∂y + ∂v/∂x) ε_xy
• 1/2(∂u/∂z + ∂w/∂x)
• 1/2(∂v/∂x + ∂u/∂y)
• ε_y
• 1/2(∂v/∂z + ∂w/∂y)
• 1/2(∂w/∂x + ∂u/∂z)
• 1/2(∂w/∂y + ∂v/∂z)
• ε_z

Componente Antisimmetrica

Ω = 1/2 [T - T^t]

• 0 1/2(∂v/∂x - ∂u/∂y) 1/2(∂w/∂x - ∂u/∂z)
• -1/2(∂v/∂x - ∂u/∂y) 0 1/2(∂w/∂y - ∂v/∂z)
• -1/2(∂w/∂x - ∂u/∂z) -1/2(∂w/∂y - ∂v/∂z) 0

La deformazione della matrice gra