Meccanica - Appunti completi ed esercitazioni

CALCOLO VETTORIALE

Vettore modulo direzione verso

Nullo: |v| = 0

Opposto: u + v = o

Somma: u+v

Differenza: w-u-v

Prodotto per uno scalare m w = ma

• Prop. Distributiva m(a+s)=ma+ms

Prodotto Scalare:

a  b = c ∈ ℝ

c = a  b  cos(θ)

a  b = 0 se a  b

• Prop. Distributiva
• Prop. Associativa

Prodotto Vettoriale:

c = a  b

c = a  b  |a|  |b|  |sin(θ)|

a  |a  b| = 0 se

• a = 0
• a = 0
• a = θ

• Prop. Distributiva: a ∧ (b + c) = ab + ac
• NO Prop. Commut: a ∧ b = (b ∧ a)

INDIRETTA:

• a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ c)b = (a ∧ b)c
• a ∧ (b ∧ c) = c ∧ (a ∧ b) = b ∧ (c ∧ a)

Proiezione di un vettore su un asse orient.

Dati corpi rigidi:

• AB cost
• θ cost

(V_B(B-A)-V_A(B-A)

(V_B-V_A)-(R-A)

V_B-V_A=ω ∧ (B-A)

Teorema di Rivals:

1. velocità angolare

(R-Θ)=(B-A)+(A-Θ)

*(B-A)=(ABcosθ-ABsenθ)

d(B-A)/dt=(-ABsenθθ̇ + ABcosθθ̇)

V_B=ω ∧ (B-A) + V_A

Q

P

P₀

f_RC

Q

B

V_B

A

V_A

C

V_A = Rθ̇ = ω∧(A-C)

V_B = ω∧(B-C)

|V_B| = 2V_A

V_C = 0

V_A = Rθ̇

V_B = 2Rθ̇

X_A + Rθ̇ α_eq

n gdl

ROTOLAMENTO CON SLISCIAMENTO

V_A = V_K

V_K = V_A + ω∧(A-K)

X_A = -l_cone + Rθ̇

x_cone + Rθ̇

3 gdl

GIOCATTOLI BICOMPONENTI

H = K

1. x_k = x_h
2. y_h = y_k

Legame tra Θ e ρ?

1 gdl

VEA = Vb

↷ yc = Vb = 0 ⇒ C: CIR dei fissori

y = RE Θ̇

Vb = ẏ

ẏ = ρk

Vc = Vb + ωn (CB)

ẏc = Vb + ρ2τ ⇒ RΘ̇ = -ρ2τ

ρ = _REΘ̇/^2τ

LEGGI DI NEWTON

1. LEGGE DI INERZIA

Accaduto impulso fermo ma soggetto a forze rimane nello stato di quiete

O

Inerszial schema di riferimento che si muove di moto cost.

f_t'

V

Y

2. LEGGE FONDAMENTALE

F = ma

vale solo in un sistema inerziale

non dipende dalla massa della forza, ne dalla posizione

ne dalla accelerazione è una proprietà indipendente dal sito i masssi

COROLLARIO:

se due forze agiscono su uno stesso punto, si intrecciano, la somma vettoriale delle forze

(Principio di sovrapposizione)

ACCELERAZIONE DI P

a_P = d/dt v̅_P = -sθ̇̅e̅θ̇̅ - sθ̈̅̅e̅θ̇̅ - sθ²̇̅m̅ⁿ

+ (-s̈_m + lë̅)e̅_m

- (θ̇ L̅s̅^l̇̅θ̈) e̅_lⁿ

a_P = (- s̈ - sθ̇̅ - sθ̊̅ - (θ̇²)̇̅e̅_θ + (-sθ²̇sinθ)i̅̅θ̅̇^θ̇̅̅̂̅̅m̅̅

3

calcolo com v di sicurezza

• 6g̅dl̅₀ (∧ⒺA
• 2
• -1
• -2

g̅d̅l̅₀

(A̅-O̅) = -S̅I̅ + R̅J

3

d/dt l

Trova la velocità di B:

Vl = ẋi

Va = - (u̇ · cosβ)i + (u̇ · senβ)j

Va = - u̇ cosβ i + u̇senβ j

l = U · cosβ + x + v · cosα

U · senβ = v · senα

{

U · cosβ + v · cosα

u = l · senα/senβ

{

l = l · cosα = x

- u · cosβ

- usinβ · cosα

Vl = -U (cosβ + sinβ · cosα)

sinα

= - u̇ (cosβ · sinβ + sinβ · cosα)

sinα

= - = u̇ sin (α+β)

sinα

Momento di una forza

M_o = (P-O) ∧ F

(Sempre T al piano)

M_o = OP ∧ F [piano]

- F: ∧ braccio delle forze, coppia di forze uguali e collineari

M_o: (A-O) ∧ F + (B-O) ∧ F

= (A-O) ∧ F = (B-O) ∧ F

( (A-O) - (B-O) ) ∧ F

= A-B ∣ ∧ F ∣ = (A-B) ∧ F

2 eq cardinali:

^d/_dt [M^(e)_o (M^(c)_o)] = V_b ∧ Q

solo x forze esterne

1. T_o - momento della qta di moto del sistema
2. M_o - momento delle forze
3. Q - qta di moto

P = (m)

+

P_o = (P-O) ∧ mV = m r ∧ ṙ

(se O WTR P-O)

Esercitazione

05/11/13

• Dischi con raggio uguale r
• AB asta verticale
• B appoggio
• FHDE pro catenna
• la lamina scorre su ciscod

V_lam V_asta in line della velocità angol.

V_lam = xi^{^}

V_asta = yj^{^}

Velocità asta

V_B(asta)

(p:r. parola)

V_B(asta) - V_asta = -2rθ̇

Velocità lamina

spetto il vincolo di appoggio

m̂ = sinαi^{^} + cosαj^{^}

V_B(lamina) m̂

(rest)

(V_B(asta) - m̂) - 2rθ̇ (sinαi^{^} + cosαj^{^}) = -2rθ̇ cosα

V_B(lamina) m̂ = xi^{^} (sinαi^{^} + cosαj^{^}) - x sinα

-2rθ̇cosα = ẋ sinα

ẋ = ^{2rθ̇ cosα}/_sinα

V_lam = ^-2rθ̇/_tanα

Cerniera fissa in O

Il peso rotolam

Solo con di libera

?

_B =

=

=

2l

-2

( )

⁼ =

^{T = T_asta + T_Disco}

T_Disco = + ^l2

^{1/3 ml₂}

T_asta A_B =

_B²²²

^{- ml₂}