Meccanica - Appunti completi ed esercitazioni

Appunti Meccanica - A.A 2013/2014

Calcolo Vettoriale

VettoreModuloDirezioneVerso

Nullo: |v| = 0

Opposto: ū = -v

Somma: w = ū + v

Differenza: w = ū - v

Prodotto per uno scalare: w = m·a

• Prop. Distributiva: m(ū + s) = mū + ms

Prodotto scalare: a·b = c ∈ ℝ

C = a·b·cosθ

a·b ⊥ = 0

• Prop. Distributiva: a(b + c) = ab + ac
• Prop. Associativa: a(b·c) = (a·b)·c

Prodotto vettoriale: c = a∧b

c = a·b·senθ

a∧b = 0 se

• a = 0
• b = 0
• a‖b

Verso: Regola della mano dx

APPUNTI MECCANICA - A.A 2013/2014

Calcolo vettoriale

Vettore Modulo Direzione Verso

Nullo |u| = 0

Opposto v = -u

Somma u + v

Differenza w = u - v

u + (v) u

Prodotto per uno scalare m ∈ ^a*

b = m ⋅ a

Direzione di a b = ma

Verso

• m > 0 stesso verso di a
• m < 0 verso opposto di a

• Prop Distributiva m(a + s) = ma + ms

• Prodotto scalare a · b = c ∈ ℜ
• c = a · b ⋅ cos θ
• a · b = 0 se a || b

• Prop Distributiva a ⋅ (b + c) = ab + ac
• Prop Associativa a ⋅ (ub) = (au) ⋅ b

• Prodotto vettoriale c = a ∧ b
• c = a ⋅ b ⋅ sen θ
• a ∧ b = 0 se {
• a || b
• a = 0
• b = 0

* Verso: regola della mano dx

• Prop. Distributiva: a∧(b+c) = a∧b + a∧c
• a∧(u∧b) = (ua)∧b = (a∧b)^sm = (a∧b)^sm

• NO Prop. Commut.: a∧b ≠ (b∧a)
• (a∧b)∧c ≠ a∧(b∧c)
• a∧b∧c − NO!

IDENTITA

• a∧(b∧c) = (a-b)∧b = (a-b)∧c
• a∧(b∧c) = c-(a∧b)= −(c∧a)_{rossa ciclica}

PROIEZIONE DI UN VETTORE SU UN ASSE ORIENT.

a∧b = (n∧t) ∧ cosa = b∧cosa

Piano cartesiano

V̅ = Vₓi̅ + Vᵧj̅ + Vz̅k → (Vₓ, Vᵧ, Vz)

• U̅ + V̅ = (Uₓ + Vₓ)i̅ + (Uᵧ + Vᵧ)j̅ + (Uz + Vz)k̅
• U̅ ∙ V̅ = UₓVₓ + UᵧVᵧ + UzVz
• U̅ ∧ V̅ = det

• i j k
• Uₓ Uᵧ Uz
• Vₓ Vᵧ Vz

Posizione, velocità e accelerazione

P (x, y, z)

(P - O) = (xi + yj + zk) = (x₁, y₁, z₁)

(P - O) = (x(t), y(t), z(t))

e si luogo dei punti tracciati dal moto in funzione del tempo

Velocità

v̅ = dP/dt = dx/dt i̅ + dy/dt j̅ + dz/dt k̅ = (ẋ, ẏ, ż)

Accelerazione

a̅ = d²P/dt² = d²x/dt² i̅ + d²y/dt² j̅ + d²z/dt² k̅ = (ẍ, ÿ, z̈)

Esempi

1) Moto rettilineo uniforme

_a = 0

• x = cost = x₀
• y = … = y₀
• z = … = z₀

2) Moto circolare uniforme

v = costante in modulo ma non direzione

• uso le coordinate polari

• x(t) = R·cos(t)
• y(t) = R·sin(t)

essendo uniforme = costante = ₀

(P-O) = R·_r

• l’asse radiale

Velocità

• ẋ(t) = R·(sin(t)·̇)
• ẏ(t) = R·(cos(t)·̇)

=>

• ẋ(t) = -R·sen·̇
• ẏ(t) = R·cos·̇

_t = (-sen, cos)

v = R·̇·_t

Accelerazione

ẍ = -R[cosθ * θ̇̈ + sinθ * θ̇²]

ÿ = R[(-sinθ * θ̈) + (cosθ * θ̇²)]

a = -R θ̇²(cosθ, sinθ)

a = -Rθ̈ â

a_{rel centripeta}

Cinematica del corpo rigido

Per qualsiasi coppia di punti A e B

AB = costante nel tempo vincolo di rigidezza

θ - cost nel tempo

Discorso con teo di Carnot:

• AB² = AC² + CB² - 2ABCBCosθ = C²
• d/dtθ + 0 - 2ABAC d Cosθ/dt = 0
• sinθ * θ̇ = 0
• dCosθ/dt

Proprietà del corpo rigido

• V_A(B-A), V_B(B-A)
• AB² = (B-A) * (B-A) = ^/-
• d/dt0 = d/dt(B-A)(B-R-A)
• d/dt(B-A)
• 1/B-A * (B-A) + (B-A) * √(B-A) = 0
• (V_g-V_A)(B-A) = V_B(B-A) = V_A(B-A)

DEI CORPI RIGIDI