Appunti di Fondamenti di meccanica strutturale

Analisi delle forze e dei momenti in una trave

Nello spazio si ha un'azione di forze e momenti che agiscono su una trave. Queste forze e momenti possono essere suddivisi in diverse componenti:

• Forza di taglio (T): si calcola sommando le componenti secondo l'asse y e z di tutte le forze che precedono la sezione S.
• Momento torcente (M): si determina sommando le componenti secondo y e z rispettivamente di tutte le forze che precedono la sezione S.
• Momento flettente (M): si valuta sommando i momenti flettenti rispettivamente secondo y e z, che tendono ad incurvare il corpo allungando e accorciando le fibre a seconda della loro posizione rispetto alla configurazione indeformata.

È importante considerare anche lo spazio in cui si ha l'azione di queste forze e momenti, con l'asse x come asse longitudinale della trave. Inoltre, è possibile avere un momento torcente (M) lungo l'asse x, che tende a far ruotare un tronco rispetto a quello adiacente, forzando le fibre a disporsi lungo eliche.

intorno agli assi y e z di tutte le forze generalizzate che precedono la sezione S; Questi valori possono comunque essere valutati considerando che i due tronchi sono in equilibrio rispetto alle forze che agiscono su di esso e sulle forze trasmesse dall'altro tronco. Viene definita faccia positiva la sezione S che ha normale + concorde con il versore dell'asse x, indicata con il simbolo +, mentre è chiamata faccia negativa quella che ha verso discorde, e viene indicata con -. Tutte le forze generalizzate sono unite da un legame differenziale. Sono dimostrabili infatti le seguenti uguaglianze: $dT\; =\; 2dM$ $dM\; =\; qf$ $f\; =\; T\; =\; qdx$ $2dx\; =\; dxdx$ Geometria delle aree Una trave è caratterizzata dalla sezione retta (trasversale), di forma variabile ma solitamente si mantiene costante, e dall'asse geometrico, luogo dei baricentri delle sue sezioni rette. Inoltre, anche la forma della sezione retta condiziona il comportamento della trave alle sollecitazioni, in

Quanto due sezioni, a parità di area, possono avere comportamento diverso. La resistenza strutturale, infatti, non è soltanto legata al valore delle caratteristiche di sollecitazione, ma anche alla relazione che queste hanno con le proprietà geometriche della sezione retta.

Si può definire il momento statico il momento che si viene a creare rispetto ad un certo asse in funzione della distribuzione della massa, data da una forza peso ∫=dA S z ∙ dA generata da un'area infinitesimale. Si calcola come e la distanza m Agρ S m tra la risultante e l'asse di riferimento è a= P.

Il momento statico è utile per calcolare il baricentro. Infatti, il baricentro della sezione è individuato dall'intersezione delle rette di azione delle risultanti delle forze peso xyz x elementari e le coordinate rispetto al sistema di riferimento cartesiano, con S Sy z = = asse della trave, sono e. Si può dunque dimostrare che se gli assi z y G GA.

Ay z ae sono assi assi baricentrici (ovvero se la distanza risulta nulla), allora i momenti statici baricentrici sono nulli. Se la sezione ha un asse di simmetria, essendo per definizione pari a zero il momento statico rispetto a questo asse (S=0), l'asse di simmetria della sezione è un asse baricentrico. Il momento statico rispetto ad una direzione arbitraria risulta S=AS ∙ d. I momenti statici delle aree più comuni sono quindi: - Triangolo: S=1/2bh - Rettangolo: S=bh - Cerchio di raggio r e distanza d da una retta assegnata: S=πr^2d Noto il valore del momento statico rispetto all'asse e1 (S1), volendo calcolare il momento statico rispetto all'asse e2, è dimostrabile che, prese le distanze b e d tra la retta baricentrica e le relative rette, si può dimostrare che S2=S1+b*d. Infatti, S2=S1+b*d, e il momento di trasporto sarà Ad=b*d. Infatti, Ad=b*d. I momenti statici rispetto a due assi coordinati di

Una sezione si ottiene come somma di momenti statici di figure semplici. Dal teorema di trasposizione dei momenti statici, si può stabilire che ∑S SA ∙ y z = ∑G Gi yi zi in un sistema di sezioni composte su piano come in figura. Il baricentro della sezione composta di area S Sy zz yA risulta dunque essere di coordinate G GA A = e = .

Il momento di inerzia di area I è dato da I = ∫ ∫ y^2 z^2 ∙ dA e il momento di inerzia di area di una sezione rispetto ad un asse è dato da I = ∫ ∫ y^2 z^2 ∙ dA, dove y e z sono le distanze dell'area infinitesimale dA dal rispettivo asse. Data la caratteristica del quadrato, i momenti di inerzia sono quindi sempre positivi indipendentemente dalla posizione della retta.

Esiste anche il momento di inerzia centrifugo o misto I = ∫ r^2 ∙ dA. Si definisce momento di inerzia polare J = ∫ r^2 ∙ dA il momento di inerzia di una sezione di area A rispetto ad un polo o punto.

I momenti di inerzia delle aree più comuni sono:

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bb h bh =zRettangolo, e . Il baricentro è definito su e = =I I Gy z 23 3h=y ;G 2 4 4π D π DCerchio pieno, , ; = =I + =I =I I IP z y z y32 64Gli assi principali di inerzia sono gli assi, che per loro definizione, rispetto cui ilmomento di inerzia è minimo o massimo e sono tra loro ortogonali. Infatti, i valori diIα per cui il momento di inerzia è massimo o minimo si ricavano imponendoαα tan 2 αche la derivata rispetto ad sia nulla, da cui risolvendo si può dire che =( )II π1 zyzy +α α αarctan 22 , o direttamente = e = .1 2 1−I 2−I 2 II z y z yI valori dei momenti di inerzia relativi agli assi principali sono2 2=I + +2 .I cos α I sin α I sin α cos αα z y zySollecitazioni semplici – parte 1Se la trave è omogenea, nel caso di trazione e compressione tutte le fibre subirannoun identico allungamento, risultando che le tensioni interne saranno

quindi uniformemente distribuite su tutta la generica sezione retta. Si definisce, considerando A l'area della sezione retta, tensione N=σ unitaria, che sarà uguale in tutti i punti della sezione. Il primo pedice indica la direzione della normale alla sezione rispetto alla quale la tensione è calcolata, il secondo la direzione della tensione. Bisogna prestare attenzione che l'ipotesi di distribuzione uniforme delle tensioni interne cessa in corrispondenza dei punti di applicazione del carico e di brusche variazioni della geometria della trave. Data la distribuzione uniforme delle tensioni interne, le dimensioni di una trave, lunga l Δ la riposo, varieranno di una quantità Δl=ε trave, ed è detto allungamento relativo o deformazione unitaria. I valori ingegneristici, largamente usati nelle normative, identificano la tensione -LF 0=σ =ε e la deformazione, ovvero apartire dalle condizioni iniziali di area S₀ = 0, S_e = lunghezza, σ = 0, ε = 0. I valori di ε e di σ vengono utilizzati nelle prove di stress effettuate su di un provino. Il diagramma creato, chiamato diagramma σ-ε, viene diviso convenzionalmente in quattro zone:
Zona O-A, detta zona di elasticità;
Zona A-B, detta zona di snervamento;
Zona B-C, detta zona di incrudimento;
Punto C, punto di strizione del provino;
Zona C-D, detta zona di snervamento locale;
Punto D, punto del cedimento finale del provino;
Con la prova di trazione si ottengono i principali dati relativi alle proprietà meccaniche dei materiali, che possono essere utilizzate nel calcolo dei valori della resistenza dei sistemi meccanici. Tra questi, si ha la tensione ammissibile σ_amm, rapporto tra una certa tensione limite del materiale per un numero > 1 detto coefficiente di sicurezza. Per i materiali duttili si assume che la tensione limite σ_L siauguale al limite di snervamento, mentre invece per i materiali fragili ed in certi casi per i materiali moderatamente plastici, si pone pari al limite di rottura. Per la maggior parte dei materiali, per piccoli allungamenti, c'è proporzionalità diretta tra tensione unitaria e deformazione unitaria, ed è definita dalla legge di Hooke: σ = E ∙ ε. Il coefficiente di proporzionalità è chiamato modulo di elasticità normale o modulo di Young, ed è una costante fisica del materiale che viene determinata sperimentalmente. A partire dalle espressioni della deformazione e della tensione e della legge di Hooke, si definisce rigidezza assiale della trave il termine PL EAΔl. L'evidenza sperimentale mostra che, contemporaneamente all'allungamento longitudinale, si verifica anche una contrazione trasversale proporzionale: Δa = -vε.corrispondente deformazione trasversale è γ_yy, dove γ è il coefficiente di proporzionalità adimensionale chiamato coefficiente di Poisson, determinato sperimentalmente e compreso tra 0,25 e 0,35 per i materiali metallici. Δa è la larghezza della trave a riposo, Δa è la variazione di larghezza dovuta alla contrazione. Se la trave non si trova a temperatura ambiente, come è stata considerata finora, la Δl barra si allungherà di una quantità proporzionale alla differenza di temperatura ΔT rispetto alla temperatura ambiente e alla sua lunghezza l, ovvero Δl=αl ΔT, dove α è il coefficiente di dilatazione termica ed è una caratteristica del materiale. Si definisce deformazione termica, deformazione che va a sovrapporsi alla ε ΔT.