Meccanica Razionale

MECCANICA RAZIONALE

cecilia.venia@unimore.it

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Vettori

intensità o modulo direzione verso

ū = B-A

Un vettore di modulo unitario si dice versore |ū| = 1 I vettori che non hanno una posizione precisa nello spazio si dicono vettori liberi. Ma ci sono vettori applicati (A, ū)

Dato due vettori B-A = C allora C-A = B

Def. Prodotto m ∈ R con ā

intensità o modulo |mĀ| = |m| |Ā|

direzione la stessa di ā verso concorde con ā se m > 0 disaccorde con ā se m < 0

Teo. Se 5 e ā sono // con ā ≠ 0 ⇒ ∃ m ∈ R . 5 = mā

Esercizio 1

Teorema di Carnot

a² = (B-A)² + (A-C)² + 2(B-A)(A-C)

c cos_π-2

a² = b² + c² - 2bc cos(2)

a = √(b² + c² - 2bc cos(2))

|a| = 3

2 = 1/4

η → ⅔ arcto ( 0

Dato (P_i, m_i) sign. n → per la proprietadditiva, la massa totale del corpo è:

M= ∑_i=1ⁿ m_i

Sistema discreto di punti materiali:

Sistema continuo di punti materiali:

p(P) = densità di massa ∀ P ∈ C

se p(P) = ρ₀ = cost ∀ P e C → corpo è omogeneo

M = ρ₀V

Teorema

Il momento d'inerzia _l rispetto alla retta (O,_c) de coeurni diecor 2, _r rispetto ad oni infeunento Oxyd vale:

_{lo = A... + B... + C... - 2A... + 2B... - 2Cr}

P_s = (x_s, y_s, z_s)

A: momento d'inerzia del sistemo d pun rnsello all'osse delle x

B: rispettivamente rispetto all'asse y c- ripspettivamento ineptto all'asse z

A', B', C': momenti centi fughi o momenti deniorziono

A, B, c- essendo de un moment d'inerzia sono segniue positivi A', B', c' poissino essere oncho negativi

A = I_ox z_...

B = I_ocy z_...

C = I_oz z_...

Corpo Rigido Oxyd solidale al corpo rigo do

A, B, C A', B', C' sono costant

Def

Matrice d’Inerzia

Matrice d’inerzia sopra to do il corpo sign dioxide

matrice simmetricco

Def

Ellisse d'Inerzia

Per il calculo del momento d’inerzia rispetto ad uns della rotta qualcuno la matrice d'inoera Quanto permette ons una interpretazione geometrica sia della matrice x che dei momento d’inerzia

Se chiama Ellissiode d’Inerzia un corpo rigido è relativo al punto Q_... “Ellissioide d’egquozione:

Ay_{3 + By... + C2 - 2A xy... - 2B... - 2C a : n scz "}

Teorema

Il momento d’Inerzia dij un corpo rigido de n rr subito quaulsinquo retta Ze passante per O₂ vale:

I_... = _...

L = ondo deis die punte lide o l2

Dim

Axy_... + Byz_{; + C... = 2A... - 2B}

x = (sub _{2 B r}

X₂ = y_- z_-

m = ρ₀ πR²

∴ ρ₀ = ^m/_πR²

I_C02 = ∫ ρ r² dV = ∫ ρ r² 2π r dr = 2π ρ ∫ r³ dr

I_C02 = 2π ρ₀ [ ^r4/₄]^R₀ = ^{ρ₀ π R4}/₂ = ^{m R2}/₂

Altra modo di calcolo

I_C02 = ∫∫∫ ρ r² cos²θ r dr dθ

Determinare

I_G2 = ?

Il baricentro del disco forato lo riprendo dall’esercizio precedente:

^R/₆

m₃ = ρ₀ π R²

D_P m₃ = m₂ = ρ₀ π R²/₄

D_V m₃ = m₃ = ρ₀ π R² - ρ₀ π R²/₆ = ⁵/₆ ρ₀ π R²

m₃ = ^αm/_3πR²

m₁ = ^αm/_3πR² = ^7/3

(Huygens inverso)

∴ I_C02 = 1/2 (m R²/ 2 + m (^R/sub>3)² - m R²/8) = 33/36 m R²

Sviluppo alternativo

I_G2 = I_D1G2 + I_D2G2

Leggi Orarie

1. Moto Uniforme

   S(t) = v₀t + S₀

   _s = 0

   v₀, S₀ = costanti

2. Moto Uniformemente Vario

   S(t) = 1/2 at² + v₀t + S₀

   _s = a

   a, v₀, S₀ = costanti

3. Moto Oscillatorio Armonico

   _s + w² s = 0

   S(t) = A cos(wt + z)

   • A - ampiezza del moto
   • w - pulsazione del moto
   • z - fase iniziale

   _s(t) = -Aw sin(wt + z)

   _s(t) = (-Aw²) cos(wt + z)

   _s(t) = -S(t)w²

   Periodico, perché:

   • ∃T > 0 : S(t + T) = S(t) ^∀t
   • T - periodo = 2π / w

4. Moto Oscillatorio Smorzato

   S(t) = Ae^pt cos(wt + z)

   p < 0

5. Moto Aperiodico Smorzato

   S(t) = C₁e^β₁t + C₂e^β₂t

   β₂ > β₂ > 0

6. Moto Aperiodico con Smorzamento Critico

   S(t) = (C₃ + C₂t)e^pt

   p < 0

   Per i moti (4), (5) e (6):

   • lim_t→∞ S(t) = 0

Vettori Caratteristici:

Invariante

• dω / dt; ω̅
• I = dω / dt

Dim:

L'invariante non dipende da Os, qua sticchiamo di nome, infatti:

dω / dt = dω / dt + ω x (P - Os); ω̅ = ω + ω x (P - Os); dω / dt = dω / dt

perché Ci sono compneenti

Classificazione degli Stati Cinetici:

1. dω / dt = 0; ω̅ = 0; I = 0 ⇒ π̅(P) = 0 VPe e

   ⇒ Stato Cinetico Nullo.

2. dω / dt ≠ 0; ω̅ = 0; I = 0 ⇒ π̅(P) = dω / dt VPe e

   ⇒ Stato Cinetico Traslatorio

Teor: C.N.S (Condizione necessaria e sufficiente)

• dω / dt = 0, ω̅ = 0

Asse di istantaneo rotazone (Os, ω) ω ∈ (Ω, ω̅)

VPe ε ⇒ π̅(P) = ω̅ x (P - O_s)

-ω̅ x (P - O₂ + O₂ - O_s)

= ω̅ x (O₂ - O_s) + ω x (P - O₂)

= - ω̅ x (P - O₂) = 0

Teor: C.N.S

affinché lo stato cinetico rigido sia rotatorio con ω ≠ 0 è che:

• dω / dt = 0 oppure dω / dt ⊥ ω

Dim (C.N.)

• Hp: Stato cinetico rotatono ω ≠ 0
• Th: dω / dt = 0 oppure dω / dt ⊥ ω

VPe e

π̅(P) = ω x (P - O₂)

P = O₂

π̅(O₂) = dω / dt = ω x (O₃ - O₂)

= 0 se O₂ ε (Ω, ω̅)_ε

CS (Ip) Stato cinetico rigido ω ≠ 0

• dω / dt = 0 oppure dω / dt ⊥ ω
• Th: Stato cinetico rigido è rotatono.