Meccanica Razionale

Meccanica razionale

Concetti fondamentali sui vettori

Un vettore è caratterizzato da intensità o modulo, direzione e verso. Un vettore di modulo unitario si dice versore (u = 1). I vettori che non hanno una posizione precisa nello spazio si dicono vettori liberi.

Operazioni tra vettori

Dati due vettori:

B - A = \(\overrightarrow{C}\)

Allora:

C - A = \(\overrightarrow{B}\)

Definizione del prodotto

Il prodotto di un numero reale \(m\in\mathbb{R}\) con un vettore \(\overrightarrow{a}\) ha le seguenti proprietà:

• Intensità o modulo: \(|m\overrightarrow{a}| = |m| |\overrightarrow{a}|\)
• Direzione: la stessa di \(\overrightarrow{a}\)
• Verso: concorde con \(\overrightarrow{a}\) se \(m > 0\), discorde con \(\overrightarrow{a}\) se \(m < 0\)

Teoremi

Se \(\overrightarrow{o}\) e \(\overrightarrow{a}\) sono paralleli con \(\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{o}\Rightarrow \exists m\in\mathbb{R}\) tale che \(\overrightarrow{o} = m\overrightarrow{a}\).

Somma di vettori

La somma di vettori è data da:

\( \overrightarrow{a_1} + \overrightarrow{a_2} = (A_2 - A_1) + (A_4 - A_3) = A_4 - A_1 \)

Le proprietà di questa operazione sono:

• Commutativa: \(\overrightarrow{a_1} + \overrightarrow{a_2} = \overrightarrow{a_2} + \overrightarrow{a_1}\)
• Associativa: \((\overrightarrow{a_1} + \overrightarrow{a_2}) + \overrightarrow{a_3} = \overrightarrow{a_1} + (\overrightarrow{a_2} + \overrightarrow{a_3})\)
• Distributiva: \(m (\overrightarrow{a_1} + \overrightarrow{a_2}) = m\overrightarrow{a_1} + m\overrightarrow{a_2}\)

Differenza di vettori

La differenza di vettori è rappresentata da:

\( \overrightarrow{a_1} - \overrightarrow{a_2} = \overrightarrow{a_1} + (-\overrightarrow{a_2}) \)

Teorema di scomposizione

È sempre possibile scomporre un qualunque vettore \(\overrightarrow{a}\) nella somma di due vettori aventi direzioni assegnate \(\overrightarrow{t_2}\) ed \(\overrightarrow{e_3}\) distinte e complanari con \(\overrightarrow{a}\).

Inoltre, è possibile scomporre un vettore \(\overrightarrow{a}\) nella somma di tre vettori aventi direzioni \(\overrightarrow{t_1}\), \(\overrightarrow{t_2}\), \(\overrightarrow{t_3}\) distinte e non complanari:

\( \overrightarrow{t} = \text{piano}(\overrightarrow{t_1}, \overrightarrow{t_3}) \cap \text{piano}(\overrightarrow{t_2}, \overrightarrow{a}) \)

Prodotto scalare

Il prodotto scalare è definito come:

\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \alpha \)

Proprietà del prodotto scalare:

• Commutativa: \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)
• Associativa: \((\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\)
• Distributiva: \(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)

Teorema del prodotto scalare nullo

Dato un vettore \(\overrightarrow{a}\) e tre vettori non nulli e non complanari \(m_1, m_2, m_3\), se \(\overrightarrow{a}\cdot m_i = 0\) per \(i = 1, 2, 3\), allora \(\overrightarrow{a} = 0\).

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è definito come:

\( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \)

Caratteristiche del prodotto vettoriale:

• Intensità e modulo: \(|\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \sin \alpha\)
• Non commutativa: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}\)
• Anticommutativa: \(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})\)
• Distributiva: \(\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}\)
• Non associativa in generale: \((\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})\)

Prodotto misto

Il prodotto misto di tre vettori è dato da:

\( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = (|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \sin \angle \alpha) \cos \angle \beta \)

Rappresentazione cartesiana dei vettori

Nel sistema cartesiano, i vettori possono essere rappresentati come combinazioni lineari delle basi fondamentali \((\hat{i}, \hat{j}, \hat{k})\). Un vettore \(\overrightarrow{a}\) in questo sistema si scrive:

\(\overrightarrow{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}\)

Divisione tra vettori

Considerando un'equazione vettoriale del tipo \(7x \overrightarrow{x} = 5\) con \( \overrightarrow{a} \neq 0\), la soluzione è:

\(x_0 = \frac{5}{a} a^2\)

Derivata del vettore

La derivata di un vettore rispetto al tempo è data da:

\(\frac{d}{dt} = \lim_{h\to0} \frac{x(t + h) - x(t)}{h}\)

Dati due vettori:

\( \frac{dx}{dt} \cdot x = \text{costante} \)

Se il vettore \(\overrightarrow{u} = 1\), allora:

\(\frac{d}{dt} \overrightarrow{x}\)