Meccanica analitica - Appunti

CAPITOLO 1: LE EQUAZIONI DI LAGRANGE

RICHIMI SULLE EQUAZIONI DI NEWTON

• SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE: rispetto ad esso un punto non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme.

Se su un corpo agisce una forza F allora vale l'eq. di Newton: ma = F

L.D. p.m. _i: m_ia_i = F_i (i = 1...N)

• EQUAZIONE DI NEWTON: non è un'identità, ma un'equazione FUNZIONALE DIFFERENZIALE del 2^o ORDINE → definita per il MOVIMENTO DEL PUNTO X = X(t)

X(t) = 1/mF(X(t), V(t), t) → ogni soluzione è univocamente determinata dalle

Condizioni iniziali X(t₀), V₀ = X'(t₀)

• SPAZIO DEGLI STATI: Coppie ordinate di posizione + velocità (X(t), V(t)) ∈ ℝ^3N

1. X' = V
2. (mV)' = F(X, V, t)

L.D. p.m. N punti materiali X = (X₁, ..., X_N)∈ℝ^3N

TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA

T = 1/2 mv² = 1/2 mV ⋅ V lungo ogni soluzione dell'eq. di Newton, si ha:

F ⋅ V = d/dt (T) → V potenza

equivalentemente T(t_n) - T(t₀) = ∫_t0^tnF ⋅ dX

LAVORO

DIM

• 1^o colloca eq. di Newton accadente per v:

V(mv = d/dt (1/2 mvV))

d/dt (1/2mv ⋅ v) = F ⋅ V T → T = F ⋅ V

FORZA POSIZIONALE:

F = F(X).

Eq integrale della potenza lavoro del moto avviene su X(t) (notati t₁, t₄) al davanti la componente traslatorio: γ: t ∈ (t₀, t₁) → γ(t) dx

FORZA CHE AMMETTE POTENZIALE

= V(X) t.c. E = T + V

d/dt E = 0

CASO CONSERVATIVO

→ conservazione di ENERGIA

DIM:

d = -V

→ dE/dt + U[E

dei LAGRANGIANA cliccare colbine smettono ^V → 0 &larr do = forma d

Quindi: d/dt (T + V) = 0 → D/dt E = 0

C(X,V) forma E torna vivere a tutti i punti di una medesima orbita, nella space degr d 666, L.C., il componenti Nj

In ogni orbita è statuto all'equazione di Newton → COSTANTE DEL MOTO

[ bustros az o deli, xonit determinie constame] di uno. Det occupi un vi

Quantità di moto: P = mV ➔ I° legge di Newton in d.s.a:

Ṗ = F

Momento angolare: L = X × P

Teorema: per un punto soggetto a forze generali F = F(X, V, t), lungo ogni asse possiamo scrivere

della I di Newton, uno L̇ = M con M = X × F momento delle forze

Dim: si moltiplica scalarm. la I° di Newton per -> X :

x F = m (x a)

x = m (x dV/dt) = m

dv/dt - m d/dt (i x V) = (_c2 - V x ̇) =

c2

→

Conclusione: per compiti forze centrali il m.d.f. è una costante del moto

Conclusione: per compiti forze centrali limitato a un piano passante per il centro delle forze,

e ortogonali al vettore momento angolare:

Dim: L = x × P è ortogonale a F: L̇ = 0 quindi X(t) espr. giac. nel

piano ortogonale a L, e in un piano costante, l'inclinazione data dal termine iniziale

L₀ = x₀ .

Proprietà di simmetria e leggi di conservazione:

P = F: complesive os. proezione dell'asse Ẋ · P = E ≠ x = 0 allora P è costante

x = 0 ➔ ➾ =

x x ⬆️ P m

Se V

ni

-a

Il moto ➜ la lunghezza dell'asse è una costante del moto

L̇ = M: se M₀ = 0 allora L è costante

M₀ = 0

…

Se Vⱼ^{\Phi\theta,\xi}

di movimento

PROBLEMA A N CORPI -

m\ddot{X̄} = -P\ddot{oп-},...

Quantità di moto del sistema: …

Momento angolare del sistema: …

Riprese. …

Er. Cardinali della dinamica

M ≤ px^m N~/ + mO\ur ~X

< →

=

Condizioni necessarie all'equilibrio

CGIND. LAGRANGIANA GENERALE X FORZE DIPENDENTI ANCHE DA v_i E t:

F(F(v, L, t)) → FORZA GENERALIZZATA: Q_i = F ⋅ ∂x / ∂q_i

d/dt (∂L/∂ṙ) - ∂L/∂q_i = Q_i

b) PUNTO SI VINCOLO MOBILE o TRASFORMAZIONE DI COORDINATE DIPENDENTE DAL TEMPO:

La formula immaginata dipende parametricamente dal tempo: X = X(q, t)

m=1: LINEA; m=2: SUPERFICIE; m=3: CAMBIAMENTO DI VARIABILI DIPENDENTI DAL TEMPO

Nel caso di punto vincolato si ammette ancora che il vincolo sia liscio, ove per la velocità è

V = ∂X / ∂q_i q̇ + ∂X / ∂t_i

→ V= vettori di trascinamento

Valgono ancora le equazioni di Lagrange, cambia l'espressione analitica dell'energia cinetica che risulta essere una forma quadratica non omogenea:

T = 1/2 ∑ a_ij q̇ⁱ q̇^j + ∑ b_i q̇ + C

c) N PUNTI:

▶ TEOREMA 2: per un sistema di N punti con vincoli perfetti, in una carta liscia con coordinate q = (q₁, ..., q_n), il movimento (q = q(t)) obbedisce alle soluzioni dei sistemi di equazioni di Newton se obbedisce delle equazioni di Lagrange: l'energia cinetica e quella totale (T = 1/2 ∑ m_i v̇_i).

↳ CONDIZIONE DI PERFEZIONE DEI VINCOLI: il vettore F₁ (F₁(v),...,F_n(v)) ∈ ℝ^3N deve essere ortogonale alla superficie della configurazione: F^(c) v ⋅ ∂X / ∂q_i ⋅ X = 0 con X ∈ (X₁,...,X_n) ∈ ℝ³

q_i = equivalente alla condizione che sia nullo il lavoro totale della reazione vincolare per ogni spostamento compatibile con il vincolo:

dX = ∂X/∂q dq → δW^(e) = ( ∑ F^(e) dX ... + ∑ F^(e) dX = F^(ε) ∂X/∂q dq = 0

IL TEOREMA DELL'ENERGIA GENERALIZZATA (di JACOBI):

d / dt ( ∂L / ∂q̇ ) ⋅ q̇ - ∂L/∂q_i q̇ = 0 con i = 1, 2, 3

d / dt ( ∂L/∂q̇_i ) q̇ - ∂L/∂q_i q̇ = - ∂L/∂ṗ

→ moltiplica per q_i q̇ ... ed

∂L / ∂q̇_i = E - 0 = ∂L/∂q_i - L

E = energia generalizzata