Meccanica analitica

16-09-2021

Quando le leggi della meccanica vanno in crisi?

• Problemi elevati in meccanica statistica: N = 6 x 10²³ particelle si cercano info su proprietà medie, macro-scopiche
• Problema di 3 corpi: non si sa risolvere analitica

Testi Consigliati:

• Meccanica Analitica:
• Goldstein, "Meccanica Classica", Zanichelli
• Landau & Lifshitz, "Meccanica" Editori Riuniti
• Feynman, Leighton, Sands, "La Fisica di Feynman", Addison-Wesley

F = m a

Caso unidimensionale: F = m a

a = dv/dt = d²x/dt²

v = dx/dt

a = dv/dt = ẍ

F(x) = mẍ è una equazione differenziale (il libro della natura è scritto in linguaggio matematico)

x = x(t) è la nostra incognita

Ad es. F = -kx → ẍ = -kx/m proviamo con x(t)² - kt² ≠ 2m? No

x(t) = z(t)

z(t) = y(t)

y(t) = c

Esempio: forza peso

F = -p ∙ cost

-p = mẍ ➔ ẍ = -p/m ➔ x(t) = -p/ (m 2^-t)

ẍ = -g ẋ -a_mg

x(t) = ¹/₂ kt² (è soluzione) ma non è l'unica

x = x_o - g + a

x(t) = ¹/₂ g t² + a_{b 1} + b₂ soluzione completa (soluzione generale) è una famiglia di funzioni (perciò comprende le costanti di integrazione) ed è una funzione di n parametri (n come l'ordine dell'equaz. difb + ax)

Per sapere se il sistema a un dato istante si impongono le condizioni iniziali t: 0 ➔ x(t = 0) = x₀ x_{0 0} = _{xx = 0, v (t = 0) = xl rotto}

x(t = 0) = x₀

x(t = 0) = x₀ = At_e rotto base a q base i di q bagois

x(t) = _{1b 0t} + v_{t y} x equazione particolare

Forza elastica: F = -kx

F = kx = mi ẍ

x = λ =1; -sin

x(t) = sin(t - y)

x = cos t

non puo’ andare bene perche’ sin, cos, sono funzioni trascendentali - argomento adimensionale - lo sviluppo

in serie di Taylor dimostra che non va bene : sin t = t - t³/3! + t⁵/5!

Proviamo:

x(t) = sin(wt)

[wt] = t

x(t) = wt cos(wt)

x(t) = -w² sin(wt)

w² sin(wt) = k/m sin (wt) x = k/m - equazione soddisfatta se w = √k/m

x(t) = C₁ sin(wt) + C₂ cos(wt) - soluzione generale (famiglia di funzioni, con 2 parametri non fissati, e un

parametro w fissato

Vincoli

Attraverso le forze vincolari

Strutture materiali che limitano il moto delle particelle, influenzano il moto del sistema, ma non ne sono la causa

PendoloPiano inclinatoPulsazioneGas in un recipiente

Le forze vincolari non sono note a priori (dipendono dal tipo di moto e reazione del piano inclinato)

Tipi di vincoli

1. Vincoli che selezionano le posizioni possibili.

Esempi:

1) Il vincolo elimina una regione dello spazio come possibile per il moto

Es. 0 ≤ x ≤ b (particella un piano nella scatola)

2) Il vincolo dà condizioni per come si svolge il moto

Es. automobile che si muove lungo una strada

1. Relazione tra x, y come è girata

Vincoli:

• Vincoli bilaterali: espresi per mezzo di uguaglianze
• Vincoli unilaterali: espresi tramite disequazione, o in altri modi

Gradi di libertà: numero di coordinate (o parametri indipendenti) necessari a determinare la posizione del sistema.

Se abbiamo k vincoli allora il numero di gradi di libertà sarà 3n-k.

03-10-2022

Lagrangiana L=T-U

limite: non possiamo calcolare le componenti vincolari perché non compaiono

L = T - U

Partiamo da S_i (F_i - λ_αd_iα) δr_i = 0 (principio di d’alembert)

Σ_i [(∂L / ∂q_j) - ∂t (∂L/ ∂q_p) δq_j = 0 somma sulle coordinate generalizzate

Particella in coordinate cartesiane (x₁,y₁,z₁)

T=1/2 m (ẋ² +ẏ² +z²)

U (x₁,y₁,z₁)

L =T-U: 1/2 m (ẋ² +ẏ² +z²) - U (x₁, y₁, z₁)

d/dt(∂L/ ∂ẋ) - ∂L/ ∂x = 0 ⇒ mẋ̈ = - ∂L/ ∂x = f_x

mẋ̈ = f_x   analogamente mẋ̈ = f_y mẋ̈ = f_z

Particella in coordinate polari piane (r, θ)

Bisogna usare le equazioni di trasformazione

x = r cosθẋ = ṙ cosθ - r sinθ θ̇ẏ = ṙ sinθ + r cosθ θ̇ẍ = ( ∂x/ ∂t ) ^cosθ − ( ∂y/ ∂t ) ^sinθ

L = T - U = 1/2 m ( ṙ² + r²— ˙θ² ) - U (r, θ)

• d/dt (r) ( ∂L/ ∂) r = m (r— ˙θ²—U)
• d/dt (theta) ( ∂L/ ∂) θ = 0
• d/dt ()=0 (termini non lineari)

L in forma Newtoniana:

• m*r*θ̈ = f_Θ
• f_T: forza radiale
• forza centrifuga

s = f (∂ψ

Oscillatore armonico

U(x,t) &Equals; 1/2 kx²

d/dt (theta) (∂ x. m (x ċ&rzero; ⇒ m ẍ (˙⇒mi ċ&extradot;

equazione oscillatore armonico

osc + l_ctcosw, c_{2 sinwt} =

[1-

φ₁(t) = D₁ e^iω₁t + D₂ e^-iω₁t

φ₂(t) = D₁ e^iω₂t + D₂ e^-iω₂t

solu generale: sovrapposizione di due oscillazioni con pulsazioni diverse 

phi : 

sinist un modo dei fari oscillare con uno solo frequenza → modo normale

Pendolo piano in cui il punto di sospensione puo’ scivolare orizzontalmente

T₁=₁m₁x^. 

U₂ =1∕₁(m₁gh-m₁gh₁ =m₁q₁e cosθ

U_o , 

T=2, U=2, , m₂ cosθm  q₁e cosθ = ₁

 L= T=U =  ₂m₁₂₃₄

5π+ π m  1x

+ m₁q e ^.x 

− ₁ e   ʘ +₁m₁g q e sin ʘ

equazioni di Lagrange:

cosθ=0 , me, ma non serve cio’ : basta integrare

 val )(

 d cosθ=0

non ci sono forze lungo l’asse x (si conserva ρ)

x_.,= _{1m 2 θ cos ʘ=0}

termini presenti nel pendolo semplice

• uniformità dello spazio:
• le proprietà meccaniche di un sistema isolato non cambiano per traslazioni dello spazio (di tutto il sistema in blocco) → dL/ dξ=0 (le proprietà meccaniche sono in L)

r'_i → r_i + ξ ξ: vettore spostamento infinitesimo uguale per tutte le particelle

• la variazione della lagrangiana sarà data da

dL= ∑_i ∂L/∂r'_i δr'_i = ∑_i ∂L/∂r_i δr_i = ∑_i ∂L/∂r_i ξ = ∑_i ∂L/∂r_i δr_i+ ∑_i ∂L/∂r_i (∂r_i/ ∂x_j) 0

• poichè ξ è un vettore spostamento arbitrario → ∑_i ∂L/ ∂r_i = 0

d/dt (∑_i ∂L/ ∂ṙ_i ) = ∑_i ∂L/ ∂r_i → ∂L/∂t δr_i = d/dt (∑_i d/dt (∂L/ ∂ṙ_i ) = 0

→ d/dt ∑_i ∂L/∂ṙ_i = 0 → ∑_i ∂L/∂ṙ_i = cost

L=T-U

∂L/ ∂ṙ_i = ∂T/ ∂ṙ_i = ∂/ ∂ṙ_i (∑_u ⅓ m_uv^2_u) = ∂/ ∂ṙ_i (∑_u ½ m_u ṙ^2_u) = m_i ṙ^2_i = p_i = β_i; ⇒ ∑_i p_i = p_tot = cost

∑_i ∂L/∂r'_i = ∑_i ∂/∂r_i (T-U) = ∑_i (-∂U/ ∂r_i) = ∑_i F_i = 0 stiamo considerando un sistema isolato