Materiale prova orale fisica 2

Elettrostatica

Cariche elettriche: isolanti e conduttori

Una interazione fondamentale che ha un ruolo essenziale nella costituzione della materia è l’interazione elettromagnetica: un aspetto particolare di questa interazione è la forza elettrica. In natura, vi sono degli elementi che passano da un corpo ad un altro durante lo strofinio, questi elementi prendono il nome di cariche elettriche, da cui i corpi elettrizzati si dicono elettricamente carichi. Questi corpi che si caricano tramite lo strofinio sono detti isolanti, poiché trattengono la carica elettrica; invece, altri corpi, come ad esempio il corpo umano e i metalli, sono detti conduttori, poiché non trattengono la carica.

Sperimentalmente, è possibile osservare che esistono due specie di materiali isolanti: quelli che si comportano come il vetro e quelli che si comportano come la bachelite. Allora, è possibile affermare che esistono due tipi diversi di cariche elettriche, cioè positive e negative. Dunque, due corpi isolanti carichi entrambi positivamente o entrambi negativamente si respingono, mentre un corpo isolante carico positivamente e uno carico negativamente si attraggono; inoltre, nel processo di carica per strofinio, i due corpi (bacchetta e panno) acquistano sempre una carica di segno opposto.

Struttura elettrica della materia

La materia che ci circonda è formata da tre costituenti elementari: il protone, il neutrone e l’elettrone. Il protone e il neutrone hanno la stessa massa, cioè ≈ 1.67 ∙ 10^-27 kg; mentre la massa dell’elettrone è ≈ 9.11 ∙ 10^-31 kg. Inoltre, c’è da dire che l’elettrone è puntiforme, ovvero privo di struttura interna.

Questi tre elementi hanno pure un loro segno, in particolare l’elettrone, detto carica elementare, si indica con -e, dunque, la carica dell’elettrone è negativa; il protone ha una carica positiva e si indica con +e, mentre il neutrone ha una carica elettrica nulla, cioè è neutro.

Inoltre, è possibile affermare che un processo di carica per strofinio è un processo in cui vengono separate delle cariche (elettroni) e trasferite da un corpo ad un altro. La carica trasferita assume solo valori multipli interi della carica elementare, dunque, è possibile dire che la carica elettrica è quantizzata (determinato dall’esperienza di Millikan delle goccioline d’olio). Questa proprietà è nota come principio di conservazione della carica elettrica, il quale afferma che in un sistema elettricamente isolato, la somma algebrica di tutte le cariche elettriche rimane costante nel tempo, dunque, si conserva.

Allora, quando ad un atomo vengono aggiunti o tolti elettroni, si forma rispettivamente uno ione negativo o uno ione positivo: in particolare, il fenomeno di sottrazione degli elettroni si chiama ionizzazione.

Induzione elettrostatica

Supponiamo di avvicinare una bacchetta carica positivamente ad un elettroscopio a foglie (vedi pag 13 pdf) senza toccarlo: si osserva che le foglie divergono. Quindi, sotto l’azione della carica positiva, un certo numero di elettroni liberi del conduttore si porta sull’estremità superiore dell’asta e sulle foglie rimane carica positiva; se, invece, la bacchetta è carica negativamente, gli elettroni si muovono verso le foglie, sulle quali compare carica negativa. Quando si allontana la bacchetta si ripristinano le condizioni iniziali. Questo processo di separazione della carica è noto come induzione elettrostatica.

Legge di Coulomb

Coulomb utilizzò una bilancia di torsione costituita da una sottile asta isolante posizionata orizzontalmente ed appena al centro ad un filo di quarzo, il quale ha una costante elastica di torsione. Ad una estremità dell’asta è fissata una piccola sfera conduttrice di carica Q₁, sull’altra estremità vi è un contrappeso per far avere orizzontalità all’asta. Nel piano orizzontale contenente l’asta è posta una seconda sferetta di carica Q₂, ad una distanza r da Q₁.

Coulomb notò che per effetto della forza tra Q₁ e Q₂, l’asta compie una rotazione e raggiunge una posizione di equilibrio di un angolo. Quindi, il valore della forza F è dedotto dalla misura di questo angolo. Allora, variando alcuni parametri, Coulomb stabilì che due cariche puntiformi Q₁ e Q₂, poste ad una distanza r, interagiscono fra di loro con una forza F, diretta secondo la loro congiungente, cioè:

F = k |Q₁Q₂|/r²

Questa definisce la legge di Coulomb, la quale afferma che la forza è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche elettriche ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. La costante nel vuoto ha un valore pari a k = 8.9875 ∙ 10⁹ N·m²/C², che nella pratica si può approssimare a k = 9 ∙ 10⁹ N·m²/C². Però, è più conveniente esprimere questa costante come k = 1/(4πε₀), dove ε₀ è la costante dielettrica del vuoto e vale ε₀ = 8.8542 ∙ 10^-12 C²/(N·m²). Dunque, l’espressione della legge di Coulomb sarà:

F = |Q₁Q₂|/(4πε₀r²)

Il valore della carica elementare espresso in coulomb sarà e = 1.6022 ∙ 10^-19 C.

Campo elettrostatico

Le forze elettriche agenti su una carica Q₀ dovute alle cariche circostanti si sommano come vettori, dunque, è possibile usare il principio di sovrapposizione degli effetti, detto anche principio di indipendenza delle forze simultanee.

Consideriamo tre cariche puntiformi Q₁, Q₂ e Q₀, fisse in un sistema di riferimento inerziale. La carica Q₁ esercita una forza F₁ su Q₀, mentre la carica Q₂ esercita una forza F₂ su Q₀. La forza F₀ su Q₀ è data dalla somma vettoriale di F₁ e F₂. Dunque, la forza elettrostatica su una carica puntiforme Q₀, risultante delle forze esercitate da un sistema di cariche puntiformi Q_i, si ottiene:

F₀ = Σ F_i = Σ (k Q_iQ₀)/(r_i0²)

Allora è possibile affermare la grandezza vettoriale E = F₀/Q₀, detta campo elettrostatico. Quindi, il campo elettrostatico prodotto in un punto da un sistema di cariche ferme è definito come la forza elettrostatica risultante F₀ che agisce su una carica di prova Q₀ posta in quel punto divisa per la carica Q₀ stessa.

Dunque, il campo elettrostatico prodotto da una carica puntiforme Q₁ nel punto P è dato da:

E_P = (k Q₁)/(r²)

dalla quale si deduce che se la carica è positiva il campo è uscente da Q₁, mentre se la carica è negativa il campo è entrante in Q₁.

Nel caso in cui il campo elettrostatico è generato da un sistema discreto di cariche puntiformi, si ha:

E = Σ (k Q_i) / r²

Dunque, il campo elettrostatico in un punto prodotto da un sistema discreto di cariche è uguale alla somma dei campi elettrostatici prodotti singolarmente dalle cariche, quindi E(x, y, z) = Σ E_i(x, y, z).

Campo elettrostatico prodotto da una distribuzione continua di cariche

Nelle applicazioni solitamente si è interessati al campo elettrostatico medio nei punti distanti dalle cariche, punti dai quali la distribuzione di carica è vista come una distribuzione continua. Se la distribuzione di carica è continua, il campo elettrostatico che essa crea in un punto P si può ottenere dividendo la carica in elementi infinitesimi dq. Dunque, il campo elettrostatico prodotto da dq in un punto distante sarà dato da:

dE = (k dq) / r²

con r’ versore della direzione orientata che va da dq a P.

Il campo elettrostatico risultante in P si calcola ricorrendo al principio di sovrapposizione degli effetti; e visto che la somma è estesa ad un numero infinito di contributi infinitesimi, essa si riduce ad un integrale vettoriale esteso a tutta la distribuzione continua, quindi si ha:

E = ∫ (k dq) / r²

L’elemento di carica sarà dato da dq = ρ dV, dove dV rappresenta il volume infinitesimo che contiene la carica infinitesima; invece, ρ è la densità volumetrica di carica, che si misura in C/m³.

Linee di forza del campo elettrostatico

Le proprietà generali del campo elettrostatico sono descritte dalle linee di forza del campo elettrostatico, che sono linee in cui in ciascun punto il campo elettrostatico E è tangente e il verso di percorrenza indica il verso del campo elettrostatico stesso. Inoltre, le linee di forza hanno delle proprietà, cioè:

• Per ciascun punto passa una sola linea di forza;
• Le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano su quelle negative;
• Le linee di forza si addensano dove l’intensità del campo elettrostatico è maggiore.

Moto di una carica in un campo elettrostatico

Se si immette una carica puntiforme q e di massa m in un campo elettrostatico generato da cariche ferme, cioè che non vengono perturbate dalla carica, questa è sottoposta alla forza di Coulomb e alla seconda legge di Newton, dunque, si ha F = ma ⇒ a = F/m.

Lavoro elettrico: potenziale elettrostatico

Lavoro elettrico

Quando su una carica Q₀ agisce una forza F è possibile definire sempre un campo elettrico E, che si indica anche con il nome di campo elettromotore. Esso è definito come rapporto fra la forza F che agisce sulla carica ed il valore della carica stessa, quindi E = F/Q₀ ⇒ F = Q₀E; invece, la forza che agisce su una carica elettrica, che prende il nome di forza elettrica, si esprime sempre come prodotto della carica per un certo campo elettrico. Dunque, è possibile affermare che la forza F compirà un lavoro per uno spostamento infinitesimo della carica Q₀, quindi, avremo:

dW = F · ds = Q₀E · ds = Q₀E cosθ ds

dove θ è l’angolo compreso fra il campo elettrico E e lo spostamento ds, mentre E cosθ è la componente di E lungo ds.

In generale, il lavoro per un percorso chiuso è diverso da zero ed è dato da:

W = ∮ F · ds = ∮ Q₀E · ds = Q₀ℰ

Quindi, il lavoro per spostare una carica lungo C è dato dal prodotto della carica per la circuitazione del campo elettrico lungo il percorso. Inoltre, l’integrale ∮E · ds definisce la forza elettromotrice (f.e.m) del campo elettrico: questa, in generale, è diversa da zero e dipendente dalle caratteristiche del campo e dal percorso scelto; non dipende però dalla carica Q₀. N.B: la forza elettromotrice non è una forza.

È possibile affermare che il lavoro lungo un qualsiasi percorso chiuso è nullo, cioè la circuitazione di una forza conservativa è nulla. Allora, si può dire che nel caso delle forze elettrostatiche, il campo elettrostatico è conservativo.

Dato che l’integrale presente nell’espressione del lavoro può essere espresso come differenza dei valori di una funzione delle coordinate, possiamo scriverlo come:

V(B) - V(A) = -∫ E · ds

Questa prende il nome di differenza di potenziale (d.d.p) elettrostatico tra il punto B e il punto A.

Allora, è possibile affermare che il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per portare una carica Q₀ da A a B è dato dall’opposto del prodotto di Q₀ per la differenza di potenziale tra il punto di arrivo e il punto di partenza, ovvero:

W = -Q₀(V(B) - V(A)) = -Q₀ΔV.

È ovvio che ad ogni forza conservativa è associata un’energia potenziale e che il lavoro della forza conservativa è l’opposto della variazione della corrispondente energia potenziale, pertanto si ha:

W = -ΔU ⇒ ΔU = Q₀ΔV.

La U_e prende il nome di energia potenziale elettrostatica: essa è proporzionale al potenziale elettrostatico.

Segue che per un qualsiasi percorso chiuso nella regione in cui è definito il campo elettrostatico E, si ha ∮ E · ds = 0; ℰ = ∮ E · ds = 0, dunque, in un campo elettrostatico la forza elettromotrice è uguale a zero, ovvero è nullo il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica per qualsiasi percorso ciclico.

Calcolo del potenziale elettrostatico

Abbiamo visto che se il campo è elettrostatico, esso sarà conservativo e quindi, il lavoro sarà indipendente dal percorso. Ipotizziamo allora un campo elettrostatico generato da una carica puntiforme: il lavoro della forza F per uno spostamento elementare ds della carica Q₀ nel campo della carica puntiforme è dato da:

dW = Q₀E · ds = Q₀kQ/r² ds cosθ

dove il termine E = kQ/r² cosθ, cioè rappresenta la proiezione di E lungo la direzione u del campo.

Integrando questa funzione, ci accorgiamo che essa dipende solo dalla variabile r; quindi, per uno spostamento dal punto A al punto B, si ottiene:

∫ E · ds = -kQ(1/r_B - 1/r_A).

Il lavoro corrispondente sarà dato da:

W = Q₀∫ E · ds = -Q₀kQ(1/r_B - 1/r_A),

quindi, si verifica che il lavoro non dipende dal percorso seguito. Questo risultato era scontato perché la forza in questione è centrale ed il suo modulo dipende solo dalla distanza r.

Questo calcolo però fornisce le espressioni della differenza di potenziale e della variazione di energia potenziale nel campo di una carica puntiforme. Allora, si avrà:

V(B) - V(A) = kQ(1/r_A - 1/r_B); U_eB - U_eA = Q₀kQ(1/r_A - 1/r_B).

In conclusione, il potenziale elettrostatico generato da una carica puntiforme in un punto a distanza r è:

V(r) = -∫_∞^r kQ/r² dr = kQ/r.

Per l’energia potenziale di Q₀ nel campo di Q si avrà:

U_e = Q₀V(r) = -∫_∞^r Q₀kQ/r² dr = Q₀kQ/r.

Nel caso in cui si ha un sistema di cariche, tutte le espressioni si estendono al principio di sovrapposizione degli effetti (si aggiunge la sommatoria e si somma tutto).

Moto di una carica: conservazione dell'energia

Quando una particella con carica Q₀ e massa m passa dalla posizione A alla posizione B, la sua energia cinetica cambia in accordo con il teorema dell’energia cinetica, ovvero:

ΔK = K_B - K_A = ½m(v_B² - v_A²).

Ma il lavoro W è dato da:

W = -ΔU = -[U_eB - U_eA] = -Q₀(V(B) - V(A)).

Se eguagliamo le due relazioni, troviamo:

½m(v_A²) + Q₀V(A) = ½m(v_B²) + Q₀V(B).

Questa espressione esprime la conservazione dell’energia, la quale afferma che durante il moto della particella, l’energia totale, somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, rimane costante.