Dinamica dei Sistemi di punti materiale (+Esercizi Svolti)

Dinamica dei sistemi di punti materiali

In questo contesto dobbiamo studiare o descrivere il moto di un sistema di punti materiali, quindi costituito da due o più masse puntiformi.

Dinamica del punto

→ _E risultante = _F esterne

Dinamica dei sistemi

→ _E risultante = _F esterne

Esempio (cariche elettriche)

_q1, _q2, _q3

In questo esempio la somma di tutte le forze si può avere o meno (la somma delle forze su _q1 ≠ 0).

Forze interne

Possiamo individuare una classe di forze di vario tipo:

• Mutua interazione fra le masse puntiformi (a).
• Obbediscono al 3° principio della dinamica: ^E_{i F}^ij = 0.
• La somma di tutte le forze interne deve essere nulla: ^E _F ≠ 0.

Dinamica del sistema

In questo contesto dobbiamo studiare o descrivere il moto di un sistema di punti materiali, quindi costituito da due o più masse puntiformi.

Esempio (cariche elettriche)

_f esterne

ESEMPIO (calare astrale) aroleatorè negative Posio negativo

In questo scenario la somma di tutte le forze è par 0 uno (la somma toto orient x ₁ ≠ 0).

Forze interne

Possiamo individuare una classe di forze di vario tipo:

• Mutue interazioni fra un moto e le masse puntiformi.
• Obbediscono al 3⁰ principio della meccanica: ∑_{i j} (F) = 0.
• La somma di tutte le forze interne deve essere nulla: ∑_i F_e ≠ 0.

Esempio

F_d12 è la forza dovuta all'attrito e la massa 2 subisce tale forza come un freno. F₂₁ è una forza motrice per la massa 1.

a₂w_a2 = μ m₂ ga₂w_a2 = F - μ m₂ g.

Andiamo a calcolare il sistema delle due masse, sommando le due equazioni:

μ m_a + w_a2 = F + μ m₁ g - μ m₂.

Osservazioni

1. Se μ = 0: w₁ fermo e w₂ accelerato in a₂ = F w₂.
2. Se μ ≠ 0: (massa "riciclata" che rilascia w₂).

O₁ + O₂ = 0 ⇒ [m_a + m₂] * F = a₂ = F totale.

Ora generalizziamo il problema

Note di un sistema di masse puntiformi, N punti:

Ognuno di mi m, w_a in m Now ed ogni punto in un sistema di masse puntiformi aggiunto, troviamo equilibrio, equazioni. Quindi dobbiamo esemplificare il problema calcolando in generale.

Alternativa

1. \[\overline {P} = \sum \overline{p_i} = \sum{m_i \overline{v_i}}\] Quantità di moto complessiva del sistema.
2. \[\overline{L} = \sum \overline{L_i}\] Momento angolare totale del sistema.
3. \[E_n - \sum E_n\] Energia cinetica totale del sistema.

Azione delle equazioni di massa puntiforme

In ciascuno di questi sono le equazioni delle equazioni conduzione per \(\lambda(u,t)\) moltiplicata per quasi grandezze cumulative. Prima dobbiamo sostituire il centro di massa.

Definizione del vettore posizione \(\overline{r}_{CM}\)

\[\overline {r}_{CM} = \left(\frac{\sum_i {m_i \overline{r_i}}}{\sum_i {m_i}}\right) = \frac{m_1 \overline{r_1} + m_2 \overline{r_2} + \cdots + m_n \overline{r_n}}{M_{Tot}}\]

Osservazioni

1. \(\overline{r}_{CM}\) è unicamente determinato a partire da un \(\overline{r_i}\) ("una assore più di un centro di massa").
2. Il centro di massa (CM) è un punto geometrico nello spazio. Non è una massa puntiforme.
3. \(\overline{r}_{CM}\) dipende dal sistema di riferimento S.
4. \(\overline{r}_{CM}\) è ricavato (più utile) ai \(n_i "freni"\).

Esercizio 1

D, N di masse: 2

Trovare x_cm

x_cm = (m₁ x₁ + m₂ x₂) / (m₁ + m₂)

x₂ = x₁ + d x₂

x_cm = x₁ + (m₂ / (m₁ + m₂)) * d

Osserviamo che se O = m₂ / m₁m₂ Quindi: x_a = x_cm ∈ x₂ ∴ x_cm = x₁ + d / 2, quindi si troverebbe un punto medio.

Esempio 2

D N di masse: 3

Trovare il centro di massa

x_cm = (m₁ x₁ + m₂ x₂ + m₃ x₃) / (m₁ + m₂ + m₃)

y_cm = (m₁ y₁ + m₂ y₂ + m₃ y₃) / (m₁ + m₂)