Fisica I - Cinematica del p.to materiale

Vettori ed Operazioni

Grandezza fisica = è la caratteristica di un fenomeno che può essere misurata;

• Grandezza fisica scalare (espressa mediante un numero)
• Grandezza fisica vettoriale (espressa mediante un vettore)

Vettore = segmento orientato

• ha un modulo (lunghezza segmento)
• ha un verso (positivo o negativo)
• ha una direzione

Componente del vettore secondo una retta orientata:

• è la proiezione del vettore sulla retta orientata

Componente cartesiana del vettore:

• proiezione ortogonale del vettore sugli assi orientati x e y (puntini su uno dei due assi cartesiani)
• -_Y
• -_X

Ricavare le componenti cartesiane di un vettore:

Vy = |V| sinφ

Vx = |V| cosφ

|V| = Vy / sinφ = Vx / cosφ

cosφ = Vx / |V|

sinφ = Vy / |V|

sinφ / cosφ = Vy / Vx

Vy / Vx = Vy / Vx

Moduli del vettore:

|V| = √(Vx² + (Vy)²) (nel piano)

|V| = √(Vx)² + (Vy)² + (Vz)²) (nello spazio)

La componente è:

P[balsa]

Operazioni:

Prodotto di uno scalare per un vettore =

Scalare (numero) = ℓ

Vettore: V = (2, 3) = (x_x, x_y)

ℓ(2, 3) = (ℓx₂, ℓx₃) = (ℓV_x, ℓV_y)

ℓV = ℓV

• SOMMA TRA VETTORI = il vettore risultante di una somma di vettori è il vettore che unisce le estremità della spezzata creata prendendo in successione testa coda i vettori

REGOLA MANO DESTRA:

Disporre il pollice nella direzione del primo, l’indice nella direzione del secondo; il medio darà la direzione e verso del vettore prodotto

Da ciò deriva che: dati due vettori, la risultante della loro somma è la diagonale del parallelogramma costruito con i due vettori (REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA)

Algebricamente:

• (V_1x, V_1y)
• (V_2x, V_2y)
• V₁ + V₂ = (V_1x + V_2x; V_1y + V_2y) [somma delle componenti omonime]

• SCOMPOSIZIONE di un VETTORE nelle SUE COMPONENTI = dato un vettore V è sempre possibile scomporre in componenti, poiché sarà sempre la risultante della somma di due vettori (x la regola del parallelogramma)

• V_x = V cos θ
• V_y = V sin θ

se si scompone V

V = V_x + V_y

(λ, 0) + (0, δ) = (λ, δ)

• VERSORE di un VETTORE = vettore di modulo 1 che ha la stessa direzione e verso del vettore di cui è versore

V = |V| (versore di V)

V_x = V_x î

V_y = V_y ĵ

• PRODOTTO SCALARE tra VETTORI

Dati V e W

V • W = |V| |W| cos θ

il risultante è uno scalare

• PRODOTTO VETTORIALE = il risultato è un vettore che ha per modulo: |V| | W|

direzione: perpendicolare al piano formato da V e W

Accelerazione Media

Scalare

Vettoriale

Accelerazione Istantanea

Scalare

E la derivata della velocità scalare istantanea rispetto al tempo.

Vettoriale

Somma vettoriale

V = v . v̂

v̇ = dv̇/dt

dv̇/dt = (dv/dt) . v̂ + dv/dt . v

a_i = a_t + a_n = (dv/dt) . v̂ + dv/dt . v

Se v = cost → dv/dt = 0 → a_t = 0

a_t: acc. tangenziale = dv/dt

Vettore che ha la direzione del vettore velocità ã quando tangente alla traiettoria.Tangente all'orbita (direz. v̂)

a_n: acc. normale = dv/dt . v

Vettore che ha la direzione perpendicolare al vettore tangente ã causa cambio direz. del v

Dinamica del Pto Materiale

La dinamica studia le cause del moto, non si limita a descriverlo ma ne studia l'origine.

Principi della dinamica:

• Sistema di riferimento (inerziali, non inerziali)
• Uomo esperienza (massa)
• Forze (concetto di forza)

Principi della Dinamica

1° Principio (Principio d'inerzia)

• Se un pto materiale si muove di moto rett. uniforme (v. costante) (o è fermo) e soggetto a una risultante di forza nulla o non soggetto a nessuna forza, esso mantiene la sua velocità (o il suo stato di quiete)
• Un corpo cambia velocità non quando è accelerato, ma esso è dato dall'interazione tra i corpi

2° Principio

Una forza (o risultante di forze) agente su un pto materiale, produce su di esso un'accelerazione nella stessa direzione della forza (o della risultante). L'accelerazione è proporzionale alla forza, ma inversamente proporzionale alla massa.

F = m a

a = F/m

Maggiore è la massa, minore è l'accel. quindi maggiore resistenza al moto

3° Principio (Principio di azione e reazione)

Ad ogni azione (forza) è sempre correlativa una reazione uguale, ma contraria. Se un pto esercita una forza su un altro pto allora quest'ultimo esercita sul primo una forza con modulo e direzione uguale ma verso opposto.

F₁₂ = -F₂₁

(Forza uguale e contraria, ma azione)

Dinamica del punto materiale: quantità di moto ed impulso

Quantità di moto

q = m·v

Impulso di una forza

F = Δ(mv) / Δt

Il moto di una forza implica variazione

Δq / Δt = F

Impulso — è la variazione infinitesima della quantità di moto

∫_t0^t₁ F_i·dt = Δ_t1^t₀ (q₂ - q₁)

Momento angolare e momento di una forza

• Momento angolare

p =   r x q

P = P_c·ω

P = I_wpr = mr²·v_r / R

• Se U diminuisce o la massa diminuisce — I diminuisce, la velocità aumenta.
• Il momento angolare può essere costretto come la linea retta dei casi euliandi.

• Momento di una forza

τ = r x F = d^p / dt

Esempio del treno

• C₁ = treno
• S = terra
• Osservatore 1 = sul treno
• Osservatore 2 = sulla terra

P = punto materiale sul vagoncino del treno

Situazione iniziale: il treno viaggia in moto rettilineo uniforme (è un S.R.I.). La valigia che è ferma (dal punto di vista dell’os. 1) mantiene il suo stato di quiete perché è su un S.R.I.

Il treno frena (acquisisce una accelerazione a_t) fino a fermarsi, ma non si esercita nessuna forza su P. P, esso continua a muoversi a moto rettilineo uniforme (secondo O₂).

Secondo l’O₁ invece che è solidale con il treno, vede che P comincia a “muoversi”, mentre la valigia ferma poiché è vincolata alla stessa velocità del vagoncino (costretto).

Per esercitare un movimento, si deve imprimere una forza ma su P, non risente nessuna forza reale, si parla quindi di forze apparenti.

Nescono poiché non sono nell'interazione dei corpi, ma è una forza poiché crea gli stessi effetti.

F_R = F_A + F_t

ma_t = ma_v = ma_i

poiché “agisce” nel verso opposto, inoltre in R_F = m(a_r + a_t).

Fe è reazione per poter applicare il 2° principio della dinamica (valido solo per S.R.I.), quindi per poter scrivere

F_t = ma_t

Se il sistema di riferimento ruota:

• Se il sistema ruota è non inerziale.
• S = sistema inerziale
• S₁ = sistema non inerziale (ruotante) con velocità angolare ω intorno a un asse tipo giacente a S
• P = punto materiale
• v = velocità che unisce il punto con l'asse tra 0 qualunque

V_S1 = V_P + (ω x r₀)_v

F_R1 = F_A + F_C (f_app.vue)

Per questo riguarda l'accelerazione:

a_R = a_A - (ω²r₀)

Se P non si muove (v_r0)

a_R = a_A + a_C

Se P si muove (v

a_R = a_A + a_C + 2a(v x v)