Cinematica del punto materiale

Cinematica del punto materiale

Meccanica

• La meccanica studia il moto di un corpo, spiega la relazione tra le cause che generano il moto e le caratteristiche.
• 1^a Approssimazione base → un corpo lo studio come un PUNTO MATERIALE (senza dimensioni)
• 2^a Approssimazione: approssimo il corpo lo studio come un SISTEMA DI PUNTI MATERIALI
• 3^a Migliore approssimazione → un corpo lo studio come un CORPO RIGIDO

Studio di un punto materiale

Cinematica del punto materiale

Studia il moto dei punti indipendentemente dalle cause del moto

TRAETTORIA: l'insieme complessivo delle posizioni occupate dal punto materiale nel corso del suo moto.

Questo punto è determinato se si nota la sua posizione in funzione del tempo in un sistema di riferimento →

• T = secondi [s]
• x = metri [m]

Te le x sono fissate arbitrariamente e vengono delle GRANDEZZE FISICHE FONDAMENTALI

• 10² m = 1 Tm
• 10⁹ m = 1 nm
• 10³ m = 1 Km
• 10^-3 m = 1 mm
• 10^-6 m = 1 μm
• 10^-12 m = 1 pm
• 10^-15 m = 1 fm

Moto nel rettilineo

In questo caso il punto ha un moto rettilineo, ovvero il moto ha una sola direzione e in questo caso è descritto attraverso una sola coordinata x(T)

• il moto segue una retta con una direzione, un verso ed un origine fissata

Facendo un esperimento prendendo ogni Tot Tempo la posizione del punto

Troviamo una relazione tra x e T → x(t)

Prenendo i punti nella tabella e riportandoli su un sistema con due assi possiamo ottenere il DIAGRAMMA ORARIO

Per capire se la Traiettoria è come quella lo vera, devo misurare più frequentemente per avere un'approssimazione migliore.

VELOCITÀ DEL MOTO RETTILINEO

Quanto velocemente si muove il punto?

VELOCITÀ MEDIA

v_m = (x₂ - x₁) /(T₂ - T₁) = Δx/ΔT

v_m → m/s

Essa però non fornisce un’informazione complessiva, non sappiamo cosa succede all’interno dell’intervallo.

VELOCITÀ ISTANTANEA

v_i = lim(Δt→0) Δx/ΔT = dx(t)/dt

• La velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo.
• Il segno di v indica il verso del moto dell’asse → x cresce v < 0 verso opposto

1. Se conosco v(t) posso calcolare x(t)?

x = x₀ + ∫v(t')dt'

Δx = x - x₀ = ∫v(t')dt'

MOTO RETTILINEO UNIFORME

In questo caso v = costante

x(t) = x₀ + vt

Moti nel piano

Moto in 3D

In questo caso la Traiettoria si Trova su un sistema di riferimento a Tre dimensioni:

• x = x(T)
• y = y(T)
• z = z(T)

conoscendo la legge oraria, conoscerò la posizione del punto

Posizione vettoriale

∑z̅ = z̅(T)

Posso usare però anche un altro modo per individuare la posizione del punto

s = s(T) (Traiettoria) -> ASCISSA CURVILINEA

∑ = x û_x + y û_y + z û_z

se conosco queste => x(T) y(T) z(T)

Moto nel piano

• Esistono vari modi per rappresentare un punto materiale
  1. ∑z̅(T)
  2. x(T) y(T) (Traiettoria)
  3. r
  4. Θ
  5. s(T)

Sono Tutti modi equivalenti

Per passare da un sistema all’altro

∑z̅ = x û_x + y û_y z = √x² + y² Tg Θ = y / x x = z cos Θ y = z sen Θ

∑z̅ = r̅ (t) -> RAGGIO VETTORE

-> legge oraria

La Traiettoria è contenuta nel piano

Moto parabolico dei corpi (o moto del proiettile)

T=0

vi è anche l'asse z, ma il moto del punto materiale rimane sul piano xy

• d²x=0
• d²y=-g
• d²z=0

Moto uniformemente accelerato

v_b-v_a=aT

x_b-x_a=v_aT+1/2 aT²

v²=v₀²+2aT

T=0

• V_x=V_0x+a_xT
• V_y=V_0y+a_yT

V_z(0)=-9 acco perché

x(T)=0+V_0xT+0

y(T)=0+V_0yT+1/2gT²

z(T)=0+0+0

x(T)=V_0xT

y(T)=V_0yT-1/2gT²

z(T)=0

M.U.

M.U.A.

V_0x=V₀cosθ₀

V_0y=V₀senθ₀

Equazione della traiettoria

y(T)=V_0yT-1/2gT² => y=V_0yT-1/2gT²

z=T(Yo

parabola con concavità verso il basso e

passa per l'origine perché manca il termine noto

V_f=V_i-gT => T=g

y=Tg>0-g

tg一丫——————————；g—t;>Tg

x=(x(T)/V_0x)

V(x(T))/V_0x T

→(x(T))/V_0x

—(y(T))-1/2g(x(T)/_0x

per y(T) = V₀y x/V_0x-

x

2V_0x V.sub>0y

-2g 凹える

Gittata

μ condizioni di guida y=0

x=0

2V_0xV_0x=2V_0ysinθ₀

x