Istituzione Matematiche

Esame orale: teorema di Rouché Capelli

Definizione

Un sistema di equazioni di primo grado (nei numeri) ammette soluzioni (è risolvibile) se e solo se il rango (matriciale) della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. NB: il rango di una matrice sono il numero di incognite e il numero di vincoli (relazioni).

Procedimento

• Costruire la matrice completa e incompleta.
• Colla- porre e trovare la soluzione. NB: se tutti sono diversi il sistema non ammette soluzioni.
• Altrimenti, una matrice e risolvere il sistema trasformandola in una matrice a zeri, e considerare solo il numero di righe.
• Ritornare alle equazioni componenti del sistema. Possiamo risolvere il sistema che abbiamo con il metodo di Gauss o sostituzioni.

Procedimento (esempio)

{ x + 3y - z = 4

{ x + ( ) 3z = 3

{ x + 2y - 3 = 3

Definire matrice (completa ed incompleta)

A = 1 3 -1 1 1 3 2 1 0

A|B = 1 3 -1 4 1 1 3 3 2 2 0 3

Calcolare rango di A

Det(2 5) = det(3 -1) ... 2 det(1 3) = 1 + 0 = 4... è uguale.. il rango di A non può essere.. (1 3) è un minore... in A con det(x) maggiore considerato, cioè (det A) diverso 0. Matrice di ordine 2 di A e minore di A|B quindi il rango di A|B determinante 3 2 non ....se minore...

Basi Orale

A) Teorema di Rouché Capelli

1) Definizione

Un sistema di equazioni di primo grado (nei reali) contenente m sub n incognite / variabili, è detto compatibile chiudibile in maniera completa / indeterminata o incompleta.

2) a) N = numero di righe, M = numero delle incognite

2 = numero infinite di soluzioni

2) Procedimento

• Tutte le righe composte di incognite e mediere si al loro tempo sola la
• Se libera posso usare Gauss per trovare le soluzioni
• Se tutte sono diverse il sistema non ammette soluzioni
• Determinando il numero della riga diverso da zero consideriamo solo il numero di righe
• Integrale (caro imparato integrale) approccio sempre richieste dopo
• Illuminante (ampiamente numeri) in forma determinante (con il metodo di Gauss o sostituzioni)

2.a) Operando (Esempio)

{ X + 3Y - Z = 4 XY + 14-32 = 3X + 2Y - 3

Definizione matrici (completa ed incompleta)

A = (1 3 -1 s11 2 3 2 1 0)

A|B = (1 3 11 2 4 5 32 0 8)

Calcolare rango di A

Det(2 13) =| -1 | det(3 -1) det(1 2) da s1 a dire

3) Calcolare i determinanti per trovare il rango

det_{(123)(311)(210)} = 0

det_{(335)(273)(203)} = 0

det_{(135)(323)(203)} = 0

det_{(357)(453)(203)} = 0

det_{(354)(233)(203)} = 0

Non esistono determinanti minori con detto ₍₀₎-(0). Passo Facile: il sistema verratti di opportuni commutatori. Visto che (A|B) = 2 colonna. Evento determinante e facile con detto parametri. Determinanti minori distinguibili con i (A|B) sono commutazioni lineari del d'A|B sono combinazioni.

5) Per affermare che il sistema lineare di matrice

4x + 3y = z+1

kx + 4y + 3z = 3

x + 6y = 3

Il equivalente di sistemi si equivaleranno commutanti il momento e interaccio. 4y + 3z = 3 - 2x 2y = 3 - x Rimanendo 2 sistemi lineari diminuiti {4x + 3z = 3t 2y = 3t

6) Risolvendo il sistema si ottiene

(t = -2)

(1 = 3t/2)

(z = -t/2)

La sostituzione e l'intersezione dell'arco di insiemi reali con i parametri ottenendo tutta la soluzione al polinomio con gli insiemi di tutti i parametri

Teorema di Rolle (funzioni)

Definizione

Sia f: [a, b] → R se f è continua in [a, b], derivabile in (a, b) e se verifica f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale che f'(c) = 0

Procedimento (Esempio)

Formulare due funzioni razionali. Considerata la funzione reale di variabile reale f(x) = ax² determinare tutti i parametri (a ≤ 0) in modo che la funzione verifichi le ipotesi del teorema di Rolle relativamente all'intervallo [−1;1].

Applichiamo il procedimento detto per i parametri apo continuin x derivabile in tutto 1 intervallo e per la tesi soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, perciò si deve ottenere che la funzione assume gli stessi all'estremi dell'intervallo la stessa ellisse. Dunque deve restituire sostituire (−1; 1)=f(−1)=f(1) ⇒ a (1)= a 1 + a\frac{1}{4}=\frac{4a}{4}+ = b = bà 2 Esiste dunque la classe di funzioni razionali.