Matematica - trasformazioni matematiche

LE AFFINITÀ

Si dice affinità o trasformazione lineare una trasformazione che ha la prerogativa geometrica di trasformare rette in rette e che conserva il parallelismo. Caratteristiche: - Se dei punti sono allineati, l'affinità li conserva tali, infatti vengono anche definite collineazioni. - Un'affinità trasla rette parallele in rette parallele. Esempio 1: P(1,1) P(-4,2) Tutte le scritture che hanno queste trasformazioni sono dette affinità e possono dare trasformazioni di dilatazioni, scorrimento, traslazioni, contrazioni... Particolarità: quando un punto si trasforma in se stesso abbiamo una particolare affinità che si chiama identità. In questo caso particolare tutti i punti sono uniti. Esempio 1: a=1, b=0, c=0, x=x, y=y Analogamente ad un punto, una curva che rimane se stessa è detta curva unita. Esempio 1: a=-1, b=0, c=0, x=-x, y=y xo → vf 2 applicando queste trasformazioni.

trasformazioni alla parabola y=xe essa rimane unita; ma attenzione i suoi punti non sono uniti tranne il vertice che si trova sull'asse di simmetria.

TRASFORMAZIONI ISOMETRICHE (stessa lunghezza)

Le più semplici trasformazioni geometriche sono le trasformazioni isometriche o isometrie.

L'isometria non è altro che una trasformazione biunivoca del piano che conserva le distanze; cioè, dati due punti qualsiasi del piano, ad esempio A e B, una trasformazione isometrica associa a essi due punti A' e B' tali che AB = A'B'. Dalla definizione segue che un'isometria trasforma segmenti in segmenti, rette in rette, e così via. Esempi comuni di isometrie sono la traslazione, simmetria, le rotazioni.

Le isometrie si distinguono in dirette e inverse a seconda che mantengano o no l'orientamento fra i punti.

Sono isometrie dirette:

Le TRASLAZIONI, che sono trasformazioni in cui i segmenti che uniscono ogni punto al proprio

corrispondente sono congruenti, paralleli e concordi.

t: le ROTAZIONI di centro O, che sono trasformazioni in cui rimane fisso il punto O, detto centro di rotazione, e ogni punto P del piano ha per corrispondente un punto tale che le distanze siano uguali e l'angolo sia congruente a un angolo assegnato di ampiezza :

Se l'angolo è un angolo piatto la rotazione corrispondente è detta simmetria centrale, in quanto i punti corrispondenti sono simmetrici rispetto al centro O:

Sono isometrie inverse le simmetrie assiali in cui i punti dell'asse r rimangono fissi e sono detti punti uniti della trasformazione. Ogni punto P del piano ha per corrispondente il punto tale che r sia asse del segmento P. Fra queste consideriamo le simmetrie rispetto all'asse x:

P1P Notiamo che la figura trasformata (nel disegno il triangolo in blu) è un H triangolo congruente a quello di partenza. Simmetrie rispetto all'asse y:

LE TRASLAZIONI

Definizione

Una traslazione è un tipo particolare di affinità. Le equazioni di una traslazione sono del tipo con e ed f costanti reali. In questo caso si dice anche che la traslazione trasforma i punti del piano secondo il vettore di componenti v (e, f). È quindi una corrispondenza biunivoca del piano in se stesso che ad ogni punto P associa il nuovo punto P', ottenuto 'aggiungendo' al punto iniziale P il vettore v.

Proprietà fondamentali: Si può dimostrare che una traslazione gode delle seguenti proprietà: la trasformazione identità, ovvero la trasformazione che porta ogni punto del piano in se stesso, è una particolare tipo di traslazione. Tutti i suoi punti sono uniti. Le sue equazioni sono le seguenti: ; una traslazione diversa dall'identità non ha punti uniti; una traslazione trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data, ma traslata.

Esempio: Consideriamo la

Il seguente testo descrive la traslazione T. Per capire come agisce T, vediamo come viene trasformato da T il triangolo isoscele ABC (nelle figura rappresentato in rosso) di vertici A(0,1), B(-1,0), C(0,-1). Il punto A ha come immagine il punto A'(1,2). Il punto B ha come immagine il punto B'(0,-2). Il punto C ha come immagine il punto C'(1,-3).

LE SIMMETRIE

Una figura geometrica si dice simmetrica rispetto a un punto, detto centro di simmetria (simmetria centrale), se, preso qualunque punto P appartenente a essa, esiste un punto P', pure sulla figura, tale che il centro di simmetria coincida con il punto medio del segmento PP'; ad esempio, il cerchio è una figura simmetrica rispetto al suo stesso centro. Si dice invece che una figura è simmetrica rispetto a una retta r, detta asse di simmetria (simmetria assiale), se a ogni punto P preso sulla figura corrisponde un altro punto della figura P', tale che il segmento che congiunge P e P' abbia come asse la retta r; ad esempio,

Un triangolo equilatero risulta simmetrico rispetto a ciascuna delle rette su cui giacciono le altezze, e un rombo è simmetrico rispetto a entrambe le diagonali. In generale la simmetria può essere definita come una trasformazione geometrica che associa a ogni punto del piano un secondo punto di posizione fissata e, quindi, a una figura una sua immagine "speculare"; essa gode di alcune proprietà, in particolare è isometrica e involutoria.

LE SIMMETRIE CENTRALI

Fissato nel piano un punto M, la simmetria centrale di centro M è l'isometria che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' tale che M è il punto medio del segmento PP', dove a e b sono le coordinate del punto M.

Esempio 1

Dato il punto P (2,1), scrivere il suo simmetrico P' rispetto al centro di simmetria M (1,3).

Sostituendo alla formula precedente a=1 e b=3 e le coordinate del punto da traslare trovo P'.

LE SIMMETRIE ASSIALI

Fissata nel piano una retta r, la

La simmetria assiale rispetto alla retta r è quell'isometria che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P', nel semipiano opposto rispetto a r e tale che r sia asse del segmento PP', ossia:

1. r passa per il punto medio di PP'
2. PP' è perpendicolare a r

La retta r è l'asse di simmetria.

Una simmetria assiale può essere di due tipi, con:

• RETTE PARALLELE AGLI ASSI
• x' = -x
• y' = -y
• RETTE OBLIQUE
• y' = x

Esempi di due simmetrie assiali:

• Simmetria rispetto all'asse y (x = 0)
• x' = -x
• y' = y
• Simmetria rispetto all'asse x (y = 0)
• x' = x
• y' = -y

Esempio di simmetria centrale rispetto ad una retta obliqua:

• Simmetria rispetto alla retta y = x
• x' = y
• y' = x

Esempio:

Applica la simmetria assiale rispetto all'asse 2x-y-2=0

Risolvi poi fino ad ottenere x e y

-x + 3x - 4y + 8 = 0

4x - 3y - 1 = 0

x = 1

y = -2

In questo caso, eTRASFORMAZIONE

linea, se K < 0 l'omotetia si dice inversa, rispetto al centro i punti vengono invertiti rispetto alla linea che congiunge il centro con il punto. Esempio - 2 ROTAZIONE La rotazione è una trasformazione geometrica che fa ruotare un oggetto intorno a un punto fisso chiamato centro di rotazione. La rotazione può essere oraria o antioraria, a seconda del verso di rotazione. Esempio - 3 RIFLESSIONE La riflessione è una trasformazione geometrica che inverte la posizione di un oggetto rispetto a una linea chiamata asse di riflessione. Gli oggetti riflessi mantengono la stessa forma e dimensione dell'oggetto originale, ma sono specularmente invertiti rispetto all'asse di riflessione. Esempio - 4 TRASLAZIONE La traslazione è una trasformazione geometrica che sposta un oggetto da una posizione all'altra senza modificarne forma e dimensione. La traslazione avviene lungo una direzione e di una certa distanza. Esempio - 5 DILATAZIONE La dilatazione è una trasformazione geometrica che allarga o restringe un oggetto rispetto a un punto fisso chiamato centro di dilatazione. La dilatazione può essere uniforme, quando l'oggetto viene allargato o ristretto in modo uniforme in tutte le direzioni, o non uniforme, quando l'oggetto viene allargato o ristretto in modo diverso in diverse direzioni.

retta

se K < 0 l'omotetia si dice inversa, si rovescia il disegno

inoltrese |k| < 1 ottengo un ingrandimento

se |k| > 1 ottengo una riduzione

se k = 1 ottengo una simmetria centrale

Possiamo applicare la stessa trasformazione a figure più complesse. Nell'immagine seguente consideriamo un'omotetia di costante K=1/2. Notiamo che otteniamo una duplicazione della figura di partenza.

Nel caso in cui il centro di omotetia O corrisponda con l'origine degli assi è semplice dare le equazioni analitiche dell'omotetia:

1 x kx 1 y ky

Proprietà fondamentali delle omotetie.

Si può dimostrare che un'omotetia gode delle seguenti proprietà:

trasforma una retta in una retta parallela alla retta data;

l'unico punto unito è il centro di omotetia;

trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data;

2se la figura S' è l'immagine

corrispondente di una figura S, allora Area (S')= K Area· (S). OMOTETIE CON CENTRO NON NELL'ORIGINE da cui si ricavano le coordinate del centro C (xc, yc) Esempio di omotetia Omotetia di rapporto (1/2) x' = x(1/2) y' = y(1/2) Esempio Consideriamo la seguente omotetia T con centro l'origine degli assi: Per capire come agisce T, vediamo come viene trasformato da T il triangolo isoscele ABC (nelle figura 1 in rosso) di vertici A(0,1), B(-1,0), C(0,-1). Il punto A ha come immagine il punto A'(0,2). Il punto B ha come immagine il punto B'(-2,0). Il punto C ha come immagine il punto C'(0,-2). (fig.1) (fig. 2) Notiamo che la figura trasformata (nella figura 2 il triangolo in blu) è un triangolo simile a quello di partenza. Al posto dei triangoli potremmo considerare qualsiasi tipo di immagine, anche molto più complessa. Esempio Consideriamo ora la seguente omotetia T di centro l'origine degli assi: Osserviamo come trasforma la circonferenza

di centro il punto di coordinate (1,0) e raggio 1. La figura trasformata è una circonferenza di centro (-1/2, 0) e raggio 1/2. Si tratta di un'omotetia inversa.

Esempi:

1. Dati i punti A (6;-3) , A(-2;1), trova il rapporto dell'omotetia con centro nell'origine.

1y1x 6  3yx 2 1K= = = -3 oppure = = -3

2. Scrivi l'omotetia di rapporto -2 con centro nell'origine.
3. Determina il centro dell'omotetia di e