Matematica - trasformazioni matematiche

AFFINITA’ ISOMETRIE

OMETETIE

Traslazioni

Simmetrie

Rotazioni

Centrale

Assiale

NON MONOMETRICHE

RELAZIONE DEL PROGRAMMA DI QUARTA SULLE TRASFORMAZIONI

♣ ♣

DI STEFANIA ISCHIA E FRANCESCA CORRADI

SCHEMA GENERALE DELLE TRASFORMAZIONI AFFRONTATE

INTRODUZIONE: TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO

Per trasformazione geometrica piana si intende una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano,

ossia una funzione biettiva che associa ad ogni punto P del piano un punto P’ dello stesso piano. Questo

significa che tutti gli elementi dell’insieme A hanno un corrispondente in B e tutti gli elementi dell’insieme

B sono immagini di un elemento di A. Queste trasformazioni sono lineari perché le relazioni che legano le

coordinate di un punto e del suo corrispondente sono espresse da polinomi di primo grado. Le

trasformazioni operano sulle figure geometriche e possono cambiare o no le caratteristiche delle figure.

Le trasformazioni vengono classificate secondo le proprietà che non cambiano nella trasformazione,

dette proprietà invarianti. 1 1 1



P (x,y) P (x ,y ) punto associato

1

 

x f (x, y)

 1 

y g (x, y)

 LE AFFINITA’

Si dice affinità o trasformazione lineare una trasformazione che ha la prerogativa geometrica di

trasformare rette in rette e che conserva il parallelismo.

Caratteristiche:

- se dei punti sono allineati l’affinità li conserva tali, infatti vengono anche definite collineazioni

- un’affinità trasla rette parallele in rette parallele

Esempio 1



P (1,1) P (-4,2)

Tutte le scritture che hanno queste trasformazioni sono dette affinità e possono dare trasformazioni

dilatazioni, scorrimento, traslazioni, contrazioni…

Particolarità: quando un punto si trasforma in se stesso abbiamo una particolare affinità che si chiama

identità. In questo caso particolare tutti i punti sono uniti

Esempio 1



a=1 b=0 c=0 x =x

1 1 1 1



a =0 b =1 c =0 y =y

Analogamente ad un punto una curva che rimane se stesse è detta curva unita.

Esempio 1



a=-1 b=0 c=0 x =-x

1 1 1 1



a =0 b =1 c =0 y =y

y

x

o →

v

f 2

applicando queste trasformazioni alla parabola y=x

e essa rimane unita; ma attenzione i suoi punti non sono

uniti tranne il vertice che si trova sull’asse di simmetria.

TRASFORMAZIONI ISOMETRICHE (stessa

lunghezza)

Le più semplici trasformazioni geometriche sono le trasformazioni isometriche o isometrie.

L'isometria non è altro che una trasformazione biunivoca del piano che conserva le distanze;

cioè, dati due punti qualsiasi del piano, ad esempio A e B, una trasformazione isometrica

associa a essi due punti A' e B' tali che AB = A'B'. Dalla definizione segue che un'isometria

trasforma segmenti in segmenti, rette in rette, e così via. Esempi comuni di isometrie sono la le

traslazioni, simmetria, le rotazioni

Le isometrie si distinguono in dirette e inverse a seconda che mantengano o no l’orientamento fra i

punti.

Sono isometrie dirette:

Le TRASLAZIONI, che sono trasformazioni in cui i segmenti che uniscono ogni punto al proprio

 corrispondente sono congruenti, paralleli e concordi.

t: le ROTAZIONI di centro O, che sono trasformazioni in cui rimane fisso il punto O, detto centro

 di rotazione, e ogni punto P del piano ha per corrispondente un punto tale che le distanze

e siano uguali e l’angolo sia congruente a un angolo assegnato di ampiezza :

Se l’angolo è un angolo piatto la rotazione corrispondente è detta simmetria centrale, in quanto i

punti corrispondenti sono simmetrici rispetto al centro O:

Sono isometrie inverse le:

simmetrie assiali in cui i punti dell’asse r rimangono fissi e sono detti punti uniti della

trasformazione. Ogni punto P del piano ha per corrispondente il punto tale che r sia asse del

segme