Matematica - trasformazioni matematiche

P 1

P Notiamo che la figura trasformata

r (nel disegno il triangolo in blu) è un

H triangolo congruente a quello di

partenza. Simmetrie rispetto



all’asse y

LE TRASLAZIONI

Definizione Una traslazione è un tipo particolare di affinità. Le equazioni di una traslazione sono del

tipo con e ed f costanti reali. In questo caso si

dice anche che la traslazione trasforma i

punti del piano secondo il vettore di

→

componenti v ( e , f )

E’ quindi una corrispondenza biunivoca del

piano in se stesso che ad ogni punto P

associa il nuovo punto P’, ottenuto

‘aggiungendo’ al punto iniziale P il vettore

→

v .

Proprietà fondamentali: Si può dimostrare che una traslazione gode delle seguenti proprietà:

la trasformazione identità, ovvero la trasformazione che porta ogni punto del piano in se stesso,

 è una particolare tipo di traslazione. Tutti i suoi punti sono uniti. Le sue equazioni sono le

seguenti: ;

una traslazione diversa dall'identità non ha punti uniti;

 una traslazione trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data, ma

 traslata.

Esempio

Consideriamo la seguente traslazione T : .

Per capire come agisce T , vediamo come viene trasformato da T il triangolo isoscele ABC (nelle figura

rappresentato in rosso) di vertici A(0,1), B(-1,0), C(0,-1). Il punto A ha come immagine il punto A'(1,2).

Il punto B ha come immagine il punto B'(0,-2). Il punto C ha come immagine il punto C'(1,-3).

LE SIMMETRIE

Una figura geometrica si dice simmetrica rispetto a un punto, detto centro di simmetria (simmetria

centrale), se, preso qualunque punto P appartenente a essa, esiste un punto P', pure sulla figura, tale

che il centro di simmetria coincida con il punto medio del segmento PP'; ad esempio, il cerchio è una

figura simmetrica rispetto al suo stesso centro. Si dice invece che una figura è simmetrica rispetto a una

retta r, detta asse di simmetria (simmetria assiale), se a ogni punto P preso sulla figura corrisponde un

altro punto della figura P', tale che il segmento che congiunge P e P' abbia come asse la retta r; ad

esempio, un triangolo equilatero risulta simmetrico rispetto a ciascuna delle rette su cui giacciono le

altezze, e un rombo è simmetrico rispetto a entrambe le diagonali. In generale la simmetria può essere

definita come una trasformazione geometrica che associa a ogni punto del piano un secondo punto di

posizione fissata e, quindi, a una figura una sua immagine "speculare"; essa gode di alcune proprietà, in

particolare è isometrica e involutoria. LE SIMMETRIE CENTRALI

Fissato nel piano un punto M, la simmetria centrale di centro M è l’isometria che ad ogni punto P del

I I

piano fa corrispondere il punto P tale che M è il punto medio del segmento PP .

dove a e b sono le coordinate del punto M.

Esempio 1

Dato il punto P (2,1), scrivere il suo simmetrico P rispetto al centro si simmetria M (1,3). 1

Sostituendo alla formula precedente a=1 e b=3 e le coordinate del punto da traslare trovo P

LE SIMMETRIE ASSIALI

Fissata nel piano une retta r, la simmetria assiale rispetta alla retta r è quell’isometria che ad ogni punto

1

P fa corrispondere il punto P , nel semipiano opposto rispetto a r e tale retta che r sia asse del segmento

1

PP , ossia: 1

- r passa per il punto medio PP

1

- PP è perpendicolare a r

La retta r è l’asse di simmetria.

Una simmetria assiale può essere di due tipi, con:

- RETTE PARALLELE AGLI ASSI

1 

x x  a 

1

2 t t

1 

y y  b 

1

2 t t

- RETTE OBLIQUE



y x

bisettrice

Esempi di due simmetrie assiali

simmetria rispetto all’asse y (x=0) simmetria rispetto all’asse x (y=0)

x' = –x x' = x

y' = y y' = –y

Esempio di simmetria centrale rispetto ad una retta obliqua

simmetria rispetto alla retta y = x

x' = y

y' = x

Esempio

Applica la simmetria assiale rispetto all’ asse 2x-y-2=0 1 1

risolvi poi fino ad ottenere x e y

    

3 x 4 y 8 4 x 3 y 4

1 1

1 1 2

 

x y

  

2 y ( 2 x )

5 5

in questo caso e

TRASFORMAZIONE INVOLUTORIA

definizione: Se applico delle trasformazioni composte, definisco le trasformazione risultante involutoria

quando l’oggetto rimane invariato anche se applico la stessa serie di trasformazioni al contrario.

L’inversa è quindi uguale alla diretta.

Le simmetrie assiali e centrali sono trasformazioni involutorie. Non lo sono invece le traslazioni.

Stabilito che una trasformazione è involutoria per trovare la trasformata inversa non svolgere tutti i

calcoli ma cambiare gli apici

Esempio -1

T T LE OMOTETIE

Un'omotetia è un tipo particolare di affinità.

Consideriamo un punto O nel piano ed un numero reale K che non sia nullo. La trasformazione T che ad

ogni punto A del piano fa corrispondere il punto A' , allineato con O ed A e tale che sia: è detta

omotetia di centro O e rapporto K .

La costante K è detta rapporto di omotetia:

se K > 0 l'omotetia si dice diretta, rispetto al centro i punti rimangono sulla stessa retta

 se K < 0 l'omotetia si dice inversa, si rovescia il disegno



inoltre

se |k| < 1 ottengo un ingrandimento

 se |k| > 1 ottengo una riduzione

 se k = 1 ottengo una simmetria centrale



Possiamo applicare la stessa trasformazione a figure più complesse. Nell'immagine seguente

consideriamo un'omotetia di costante K=1/2 . Notiamo che otteniamo una duplicazione della

figura di partenza.

Nel caso in cui il centro di omotetia O corrisponda con l'origine degli assi è semplice dare le

equazioni analitiche dell'omotetia:

1

 

x kx

 1 

y ky



Proprietà fondamentali delle omotetie.

Si può dimostrare che un'omotetia gode delle seguenti proprietà:

trasforma una retta in una retta parallela alla retta data;

 l'unico punto unito è il centro di omotetia;

 trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data;

 2

se la figura S' è l'immagine corrispondente di una figura S, allora Area (S')= K Area

 (S). OMOTETIE CON CENTRO NON NELL’ORIGINE

dove

da cui si ricavano le coordinate del centro C (xc, yc)

Esempio di omotetia

Omotetia di rapporto (1/2)

x' = x(1/2)

y' = y(1/2)

Esempio

Consideriamo la seguente omotetia T con centro l'origine degli assi:

Per capire come agisce T, vediamo come viene trasformato da T il triangolo isoscele ABC (nelle

figura 1 in rosso) di vertici A(0,1), B(-1,0), C(0,-1). Il punto A ha come immagine il punto

A'(0,2). Il punto B ha come immagine il punto B'(-2,0). Il punto C ha come immagine il punto

C'(0,-2). (fig.1) (fig. 2)

Notiamo che la figura trasformata (nella figura 2 il triangolo in blu) è un triangolo simile a

quello di partenza.

Al posto dei triangoli potremmo considerare qualsiasi tipo di immagine, anche molto più

complessa.

Esempio

Consideriamo ora la seguente omotetia T di centro l'origine degli assi:

Osserviamo come trasforma la circonferenza di centro il punto di coordinate (1,0) e raggio 1. La

figura trasformata è una circonferenza di centro (-1/2, 0) e raggio 1/2. Si tratta di un'omotetia

inversa.