Logica matematica

Ciao!

Sono Federico Tabellini, l'autore di questi appunti.

Siccome mi rendo conto che a volte la mia scrittura può non essere chiara e immediata ti lascio la mia mail dove puoi contattarmi

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Indica nell’oggetto il nome della materia oppure mandami uno screen specificando la parola.

Non appena potrò risponderò alla tua mail.

fede.tabellini@gmail.com

NB:

• Non spiego concetti, traduco e basta.
• Un buon quaderno di appunti deve comunque essere accompagnato da studio e pazienza.
• Accetto consigli/critiche (solo se costruttive)

Spero che questi appunti ti aiutino

Buono studio

INTRODUZIONE

La logica studia le reg. dell'indagine Razionale (Rational Inquiry).

Come? Attraverso un linguaggio astratto che definisce formalmente il ragionamento specifico.

...e sulla base di tale linguaggio si definisce la Coerenza Locale-Storica.

Studiare logica = studiare i modelli dell'indagine razionale per stabilire le (coerenze?)

Esistono: ...perché?

Regiusimo sulle frasi:

Se Piove ... allora vado col ombrello.

Quando è vera l'affermazione ?

Quindi è vero che Piove o vero che ho in mano l'ombrello.

Possiamo dire che:

• P = Falso, Q = Falso
• Q = Falso, Q = Vero

In Base a quello però detto se P > Q allora l'affermazione è vera.

Se FQ, P vero allo stesso modo implica che Q DEVE esser vera.

Quando però in alcuni casi hanno lo stesso significato di un altro?

Ma non puoi sappare che ... P > V, Q DEVE ... O Falso quindi vera ovvero

PASSAGGIO: Introduce una nuova conseguenza delle premesse. Utilizzabile in passaggi successivi.

• Implicito: L'ultimo passaggio introduce la consequenza desiderata.

FORMULA: Immagine locale con passaggi generici non giustificati: ipoteticamente.

• Es: Un'immagine formale con formali o... perché mirco formal.
• Una parte normale vede passaggi giustificati e la definizione.
• Una parte formale vede, spits Pisa, le più fortiamente.
• Esempio: Consideriamo 1, 2, 3 e formano 3-consequenze.

IDENTITÀ E REGOLE DI INFERENZA

In logica di predicati:

• Predicato = = è l'unico con una sintassi interpretazione fondata.

Se e solo se i simboli circondano.

s e t sono nomi dello stesso oggetto.

Logica dei Connettivi

• Connettivo: Simbolo sintattico che permette di costruire enunciati complessi usando enunciati semplici.
• Vero Funzionalità: Uso di tavoli di verità per analizzare un enunciato.
• Connettivo Vero Funzionale: Enunciato composto con tavola di verità, dipende solo da dati verità veri di enunciati semplici che compongono ed e il nodo di verità viene calcolato.

Regole formali su And e Or

∧ Intro P₁ P₂ ... P_n E₁ F₁ P_n

• Se vuoi concludere
• IPOTESI (evidenza di tutti i singoli passaggi)

Conclusione

↓ P₁ ∧ ... ∧ P_n

∨ Intro P₁ P₂ ∨ ... ∨P_n E₁ F₁ P_n

• Se vuoi concludere
• BUONA IMPRESSIONE

Posiziona P₁ ∨ P₂ ∨ P_n

Esempio (Fitch)

Dimostriamo PA ◀_E QA (P∨R)

PA◀Q

QA (P∨R)

Eliminazione di Or

Più complicato degli altri tre perché ci vuole incastrare E.

Ad esempio chi va a casa sua mentre cammini, se hai due or: P Q

Posso ottenere: A (intro uso di or)

1. Primo caso (Inferiore)
2. Ad esempio se incastrare il tuo posto P G₁

Conclusiones: A prescindere da dove andarti C

VE (Intro)

P₁∨P₂∨P₃ ... Le regole di eliminazione di Or sono divisibili (SE evidenza S contenuta nella premessa). Quando si vuole concludere.

Se S viene presente nel posto vuoto

Esempi di IMPLICAZIONE NON VEROFUNZIALE (Implicazione Causale)

• Porta Arcade piace al prof. Gigio … ossia: Gigio e la causa del fatto che la Porta porta

La Relazione di un'implicazione verofunzionale implica […]

Supponiamo ora che: P → VERA e Q → VERA

1. Se P è vera […] necessaria la Q è vera
2. Posto P:_cond. SOLO SE Q:_cond. funzione

CONDIZIONE NECESSARIA P _→ SE P è falso P _{probabilmente}

CONDIZIONE SUFFICIENTE

Se P allora Q

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE

TAVOLA VERITÀ

TEORIE DI DEDUZIONE

• Usare: Si usa per ottenere conoscenze e eliminare gli argomenti

Transitivitá delle Implicazioni

P→Q, Q→R ⊢ P→R

Cicli di Implicazioni (Bicondizionale)

In Matematica si trovano che alcune condizioni P₁, P₂, P₃, P₄ sono equivalenti

In Logica si esprime con P₁ ↔ P₂ ↔ P₃ ↔ P₄ ↔ ...

Per poter dire che sono vere faccio un ciclo di implicazioni

P₁ → P₂, P₂ → P₃, P₃ → P₄

Faccio mancare sequenza per transitività di →

Esempio

A precedere da n

• n² pari
• n pari

n dispari, n non divisibile per 2

Dim 1 → 3

n pari → n divisibile per 2

Dim 3 → n

Dim 2 → 1

m progetto per 2

n² progetto → n² divisibile per n² diviso 12 → divisibile da n² divisibile da 2.(2m ^per 2.)

Rimpiazzamento (Bicondizionale)

Vale lo stesso principio se e q è espressa con q

Vale lo stesso principio se e q è espressa con p con q

Attenzione!

Una Variabile Può essere sia Occorrenze Libere che Vincolate nello stesso fbf

Le occorrenze libere sono dette occorrenze vincolate.

Se una variabile ha ALMENO un occorrenza libera allora viene detta libera.

• libere (f) ∃ vincolate (f) ∀

Tipi di FBF

Chiusa ➔ Formula Ben Formata che NON CONTIENE occorrenze di variabili libera

Aperta ➔ fbf che ha Almeno una variabile pari libera

Enunciato ➔ Si definisce così una fbf se e s. Chiusa. (Pochi possano attivazione tutte, aperte)

Atomicile Proposizione ➔ Caso speciali di Fbf Chiuse [Cube(a), Between (x,y,z)], Comprensibile. Separato. Sintassi

Semantica

Dobbiamo spiegare il maniera Rigolossa & interpretazione dei costrutti linguistici che in ogni modo personifica osseguie se traduzione mirano al giusto laed al verità

Per il premiato periodo intenderemo forme mai utilativa il varianza del: nonscema

Pari del %c del Americale/di livelli di FOL

Criticità

Variabili Liberi

Consideriamo una fbf con occorrenza di variabili libera come Cube(x)

Cube(x) non è un enunciato (non possiamo stabile il vero->falto) perchè il valore del valore può vari muendo nel enumerasi, il valore di XM dell'insercel di divisione

Possiamo dedurre Cube(x) come un insieme, allora il valore di XAM del universo di Divisione

Se Cube(x) non ha un valore il verbo: Postulate come possima bastare sul esso è le eventuali chiami dipene nel (r o.?).?

Se esce il verbale si CubX)

Non possima presi utile per predi ➔ se verta di serial la una fbf non disparile X quindi Dispocipo, L'esploso, Dichicchi sotto del %c in notazione o basicità

S per l'esclusore con una appariscere

Se A(x, x, x) uno fbf con occorrenza firme tutte le variabili X

Allora con ogni modo se quindi in (a, b, c) del universo di studio [1,2, 9......]

A quindi se A(a, b, c) e quindi con universita

Vero se Substituisci X con a o 2.

Pare qui occorrenza Cubo di x verso interessa zona sia in A(X₁, X_m) viene rimpiastro asse di in A(X₁, X_m)

Esempio Considera un mondo TW dove ha Televisore in Cubo

• ∀x Tele(x) è vera? Chiima Televisore ---> Cubo

Fett(z) verso s

Tele(a) vero lo - Tele(x) = False poli non è soddisfa ha se Terzo ple esprim uno