formulario matematica

Formulario insiemi e funzioni

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali positivi: ℕ = {1, 2, 3, ...}
Insieme dei numeri interi: ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Insieme dei numeri razionali: ℚ = {p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℕ^*}
Insieme dei numeri reali: ℝ

Moduli

|x|: valore assoluto di x
- Se x ≥ 0, allora |x| = x
- Se x < 0, allora |x| = -x
- Proprietà: ∀x ∈ ℝ, |x| = |-x|
- Disuguaglianza triangolare: |x+y| ≤ |x| + |y|
- Continuità del modulo: ||x| - |y|| ≤ |x-y|, ∀x, y ∈ ℝ

Maggioranti e minoranti

• Punto di massimo M: x ≤ M, M ∈ X, il più grande valore dell’insieme. ∀x ∈ X
• Punto di minimo m: x ≥ m, m ∈ X, il più piccolo valore dell’insieme. ∀x ∈ X
• Estremo superiore M: M - ε < x, il più grande valore che teoricamente assume. ∀ε > 0, ∃x ∈ X
• Estremo inferiore m: x < m + ε, il più piccolo valore che teoricamente assume. ∀ε > 0, ∃x ∈ X

Funzioni

Una funzione f è suriettiva se per ogni b ∈ Y esiste almeno un a ∈ X tale che f(a) = b.
Una funzione f è iniettiva se per ogni x₁, x₂ ∈ X, con x₁ ≠ x₂, risulta f(x₁) ≠ f(x₂).
Una funzione f è biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva.

Logaritmi

Logaritmo: log_ab = c ⇔ a^c = b
Cambiamento di base: log_ab = log_cb / log_ca
Ineguaglianza logaritmica:
- Se a > 1, allora log_af(x) > log_ag(x) implica f(x) > g(x)
- Se 0 < a < 1, allora log_af(x) > log_ag(x) implica f(x) < g(x)

Funzioni goniometriche

• sin²θ + cos²θ = 1
• cos²α = 1 - 2sin²α
• sin(2α) = 2sinαcosα
• cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
• sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
• tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)
• cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
• sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
• tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)