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I NUMERI COMPLESSI

i = 1, i = i, i = -1, i = -i

1 2 3 {(a+bi) + (c+di) = a+c+ (b+d)i atg(b/a), a>0(a+bi)(c+di)= ac-bd+(ad+bc)i π+atg(b/a), a<0 e b⩾ 0

Coordinate polari: z=ρ(cosϑ+isenϑ) -π+atg(b/a), a<0 e b<0ϑ= ⩾0π/2, a=0 e b-π/2, a=0 e b<0ρ=MODULO(cosϑ+isenϑ)=ARGOMENTOz z = ρ ρ (cos(ϑ +ϑ ) + isen(ϑ +ϑ ))1 2 1 2 1 2 1 2z z = ρ ρ (cos(ϑ ϑ ) + isen(ϑ ϑ ))1/ 2 1/ 2 1- 2 1- 2=ρ (cos(nϑ) ρ=(a +b )n 2 2 1/2Formula di De Moivre: z + isen(nϑ)),nρe iϑForma esponenziale: z=I LIMITITEOREMI:Il limite è unico• Permanenza del segno: se il limite è + allora la funzione è +• Confronto: f(x)⩽g(x)⩽h(x), lim f(x)= lim h(x) = l lim g(x)=l• x→x0 x→x0 x→x0Locale limitatezza e zero: se f(x) è limitata (es.sin) e g(x)=0 lim f(x)g(x)=0•

x→x0Operazioni: lim f(x)+lim g(x)= lim f(x)+g(x)• x→x0 x→x0 x→x0lim f(x)*lim g(x)= lim f(x)*g(x)x→x0 x→x0 x→x0lim f(x)/lim g(x)= lim f(x)/g(x)x→x0 x→x0 x→x0INFINITESIMIlim f(x)=0x→x0Per lim f(x)/g(x)=0/0x→x00 se f(x) è di ordine superiore a g(x)• ∞ se g(x) è di ordine superiore a f(x)• L se hanno stesso ordine → intorno a 0 sinx∿x, ln(x+1)∿x, e -1∿xx•INFINITIlim f(x)= ∞x→x0Per lim f(x)/g(x)=∞/∞x→x00 se f(x) è di ordine inferiore a g(x)• ∞ se g(x) è di ordine inferiore a f(x)• L se hanno stesso ordine• per x→∞ (log x) <x <b• α β xaLIMITI NOTEVOLI x1si n x li m (1 + ) = eli m =1 ±x→ ∞• xx→0• x 1tgx li m (1 + x) = ex•li m =1 x→0x→0 l n(1 + x)• x li m =11 − cos x 1 x→0• xli m = xx→0 e − 1• x 22 li m

1a si n x x→0• xli m =1x→0• Px (1 + x) − 1a tgx li m = Px→0li m =1 • xx→0• xDISCONTINUITÀ1^ specie (salto): lim f(x )≠ lim f(x )• x→x0+ x→x0-0 02^ specie: lim f(x )• ∄⋁±∞x→x0 03^ specie (eliminabile): lim f(x ) ≠ f(x )• x→x0 0 0FUNZIONI CONTINUETEOREMI:PERMANENZA DEL SEGNO• Se f(x )>0 allora I(x )>00 0WEIERSTRASS• ⩽ ⩽,x f(x ) f(x) f(x )∃x ∈[a,b]/1 2 1 2DEGLI ZERI• f(a)f(b)<0 !x f(x )=0∈[a,b]/0 0DEI VALORI INTERMEDI• ⩽ ⩽inf{f(x)} f(x) sup{f(x)}∀x∈f,DERIVATE x xe → e•K → 0• 1log x → log enx → n• a a• xα α−1x → α x 1• ln x →sin x → cos •• x 1cosx → − sin x• a sin x →x xa → a ln a• • (1 − x )21 −1ta n x → = 1 + ta n2x a cosx →• cos 2x •−1 (1 −

x2a cot(x) → 1• 1 + x2 atan(x) → 1 + x2•La retta tangente a un punto ha equazione: y=f'(x)(x-x0)+f(x0)0 0 0INTEGRALIα+1x sin(x) → -cos(x) + c•αx → + c cos(x) → sin(x) + c• α +1 •xαe1 1xα| |→ ln(x) + ce → + c = 1 + tan(2x) → tan(x) + c• •αx cos(2x)xα → + c → atan(x) + c• •ln(a) 1 + x2Per parti:∫ ∫fg'′d x = fg - f'gd xPer sostituzione: α+1f(x)∫ f(x)f'(x)d x = + cα +1f'(x)∫ | |d x = ln(f(x)) + cf(x)∫ f(x) f(x)ef'(x)d x = e + cDUE DIMENSIONIx+y = (x +y ;x +y )1 1 2 2λx = (λx ;λy )1 1φcammino = funzioneImmagine = sostegnoCRITERI PER IL CALCOLO DEI LIMITIMETODO DEI CAMMINI• METODO DELLE COORDINATE POLARI•CALCOLO DIFFERENZIALE∂f ∂f∇f(x, y) = ( (x, y); (x, y))∂x ∂y2 2∂ f ∂ f∂x ∂x∂y2H f(x, y) =

matrice Hessiana

2∂ f ∂ f∂y∂x ∂y
2 ∂ f ∂ f ∂f

2⋅ )d et H f (x, y) = −(∂x ∂y ∂x∂y

OTTIMIZZAZIONE

∇f(x,y)=(0;0)

detHf(a)>0

  • ∂ f/∂x >0 a è punto di minimo.
  • ∂ f/∂x <0 a è punto di massimo.
  • detHf(a)<0 a è un punto di sella.

  

Dettagli
Publisher
__alessiaap00
A.A. 2019-2020
5 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/22 Scienza e tecnologia dei materiali
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher __alessiaap00 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Istituzioni di matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia o del prof Ferrari Simone.