Che materia stai cercando?

Matematica per le applicazioni II - funzioni in più variabili Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulle funzioni in più variabili. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: la determinazione del dominio, le linee di livello, i massimi e minimi, i massimi e i minimi vincolati, i moltiplicatori di Lagrange. Vedi di più

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

2. FUNZIONI REALI DI n VARIABILI REALI

2.1 Determinazione del dominio Y

× 2

Sia D un sottoinsieme dell’insieme R R, indicato anche con R .

Graficamente possiamo pensare a D come ad una zona del piano D

cartesiano secondo la seguente figura

In modo analogo possiamo considerare un sottoinsieme D dell’insieme

× × × n

R R .... R (n volte), indicato anche con R . X

O

DEFINIZIONE (funzione reale di n variabili reali) ⊆

(Funzione reale di n variabili reali) :⇔ (Funzione che associa ad ogni elemento (x ,x ,…,x ) di D

1 2 n

n

R uno ed un solo numero reale y = f(x ,x ,…,x ) di R).

1 2 n

OSSERVAZIONI Q(

x

,

y

, z

)

Dal punto di vista grafico una funzione reale di due y

variabili reali è rappresentata da una superficie dello

spazio. Il dominio è un sottoinsieme del piano xy; a x

ciascun punto (x,y) di D la funzione fa corrispondere un

punto Q dello spazio avente come quota z = f(x,y).

OSSERVAZIONE = + +

2

Data una parabola di equazione y ax bx c , per rappresentarla graficamente è sufficiente

q conoscere:  

2

b b 4 ac

 

= − −

Ø le coordinate del vertice ,

V ,

 

 

2 a 4 a

Ø le eventuali ascisse dei punti di intersezioni con l’asse delle ascisse: risolvendo l’equazione di

+ + =

2

2° grado associata ax bx c 0 ,

Ø l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle ordinate.

+ + + + =

2 2

Data una circonferenza di equazione x y ax by c 0 , per rappresentarla graficamente è

q sufficiente conoscere:  

a b

− −

 

Ø ,

le coordinate del centro C ,

 

2 2

2 2

   

a b

= + −

   

Ø la lunghezza del raggio r c

   

2 2

+

ax b

=

y , nell’ipotesi che ad-bc≠0, rappresenta un’iperbole traslata

Una curva di equazione

q +

cx d d a b

= − =

avente gli asintoti di equazione x e y e passante per il punto (0, )

c c d 1

ESEMPI

Determinate il dominio delle seguenti funzioni:

= − + 2

2 2

1. z 2 xy 3 x y . Il dominio è rappresentato da R . y x - y - 1 = 0

− + { }

( )

2 1

x y

= = ∈ − − ≠

2

2. z . D x

, y R | x y 1 0

− − 1

x y

Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano esclusi x

− − =

x y .

quelli appartenenti dalla retta di equazione 1 0 y

− + { }

( )

x y

2 1 = +

2

y x 3

= = ∈ − + ≠

2 2

z . D x, y R | x y 3 0

3. − +

2

x y 3

Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano esclusi

= +

2

y x .

quelli appartenenti alla parabola di equazione 3 x

= + − +

2 2

4. z x y 2 x y .

{ }

( )

= ∈ + − + ≥

2 2 2

D x

, y R | x y 2 x y 0

Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano che rendono

+ − +

2 2

positiva l’espressione x y 2 x y , ossia l’insieme dei punti

+ − + =

2 2

esterni alla circonferenza di equazione x y 2 x y 0 , uniti

ai punti della circonferenza stessa.

( ) { }

( )

= − + − = ∈ − + − >

2 2 2

5. z ln y x x 3 . D x

, y R | y x x 3 0

Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano che

− + −

2 11

rendono positiva l’espressione y x x 3 , ossia tali che 4

> − +

2

y x x 3 . 1

2

 

− −

( )

2 2

x y x y

= ∈ ≥ ∧ + − ≠

= 2 2

 

6. . R 0 3 0

z D x

, y | x y

+ −

+ −

2 2

 

x y 3 x y 3 −

 2 x y ≥

 0

+ −

 2

Per determinare il dominio è necessario, pertanto, risolvere il sistema .

x y 3

 + − ≠

2

x y 3 0

Risolviamo la disequazione fratta: 2

− ≥ ≤

 

2 x y 0 y 2 x

 

; .

+ − > > − +

2 2

 

x y 3 0 y x 3

Le seguenti figure mostrano la soluzione grafica delle due disequazioni. +

- +

y=2x +

- + +

+

- +

+

- +

+ +

- + +

+ + 3 +

- +

+

+

- 3 +

- +

- +

- + + +

-

-

+

- + + + +

- +

-

-

- - + - +

- + + + --

-

- -

- + +

-

+ + + + +

+

+

- -

+ -

- +

- +

- +

- 2 -

- - - +

+ - +

---

+ +

- + +

- - -

+ +

- +

+

+ -

+ - +

+

- - --

- +

+ -- - +

- -

+ 3

3

-

- - + - +

+ + +

- -

+

+

- - +

- - +

+

-

+ -

- + -

- +

-

+ -

- +

-- - + +

1 -

+ + - -

- + + -

- +

+ +

-

+

+ -

-

+ +

-

- -

--

- - + - +

+ -

+ +

- -

+ -

+ ++ -

+ -

+

- - - - - +

+

+

- -

- - - +

-

+ +

+ - - +

+

-

- -

+ -

+ +

- +

- -

-

+ - -

+ +

+ +

- +

+ + -

- -

- +

-

+ -

I punti appartenenti alla parte di piano evidenziata con i segni ‘+’ e ‘-’ rendono rispettivamente

+ −

2

positive e negative le espressioni 2x – y e x y 3 .

Il seguente diagramma è stato costruito utilizzando la regola dei segni e sono stati considerate le

due figure precedenti. La soluzione del sistema iniziale è data dall’insieme dei punti interni alle

zone di piano evidenziate con i segni ‘+’, dai punti della retta ed escludendo i punti della

parabola. -

-

- y = 2x

- +

-

- -

- -

- -

- - +

-

-

- - -

- +

- +

-

-

- - +

- +

- +

- +

++ +

- -

- 2 + +

+ +

- +

- - + +

- +

- +

+

+ + +

-

- - +

+

+ + +

- -

- +

+ -

+ 1 + +

- - -

- -

-

- - +

-

+ +

- -

+ -

- +

-

- -

- +

- + - +

-

- +

+ -

-

- -

- - -

- +

- - -

- +

-

- - - +

-

- - +

- - -

-

- - - +

+ -

- -

- +

-

-

+

+ − { }

2 x 1 y ( )

= = ∈ + − ≥ ∧ + − − + >

2 2 2

7. z . D x

, y R | 2 x 1 y 0 x y 2 x 6 y 9 0

+ − − +

2 2

x y 2 x 6 y 9 3

+ − ≥

 2 x 1 y 0

 ,

Per determinare il dominio è necessario risolvere il sistema + − − + >

2 2

 x y 2 x 6 y 9 0

≤ +

 y 2 x 1

 .

ossia + − − + >

2 2

 x y 2 x 6 y 9 0

Le seguenti figure mostrano la soluzione grafica delle due disequazioni. I punti appartenenti alla

parte di piano evidenziata soddisfano le due precedenti disequazioni.

+ − − + =

2 2

y 2 x 1 x y 2

x 6

y 9 0

3

1 1

1

2

Nel seguente diagramma è mostrato l’insieme delle 3

soluzioni. Esso è stato individuato prendendo i punti che

appartengono contemporaneamente ai due precedenti

insiemi, ossia ne abbiamo considerato l’intersezione. 1

APPLICHIAMO

Determinate graficamente i domini delle seguenti funzioni: ( )

  + ln xy

2 x y x 1 =

=   = 3. z

z ln

1. 2. z + −

+

  − x y 1

x 1 y 3

− − +

− +

2

3 x y 2 x y 3

x y 1 =

= =

4. 6.

z z

5. z

− + + −

− + 2 2

5 1 x y 1

y x 2 x y 1 − +

− + 2

− + 3 x 1 y

2 2 x y 1

2 x y 1 =

=

= 9. z

8. z

7. z + −

− −

2 x y 1

− + x y 1

2

x y 1 4

z

2.2 Linee di livello

Abbiamo visto che una l

funzione di due variabili h

( ) l

=

z f x

, y è rappresentata da k

una superficie. Prendiamo ora

un piano parallelo al piano xy

la cui equazione è z = k (dal y

momento che i punti che vi linee di

appartengono hanno le terza livello

coordinata uguale a k).

Supponiamo che esso x

intersechi la superficie lungo

una curva dello spazio. Ovviamente questa curva, chiamiamola l appartenendo al piano di equazione

k

z = k sarà costituita da punti aventi la terza coordinata uguale a k.

DEFINIZIONE (linea di livello)

(Linea di livello) :⇔ (Curva del piano xy che è proiezione ortogonale di l ).

k

Ovviamente variando il valore di k si possono avere diverse linee di livello. Osservandone la

( )

=

z f x

, y .

disposizione è possibile avere delle informazioni sulla superficie di equazione

ESEMPI = − + 2

1. Sia z 2 x y 1 che ha dominio R . Questa è l’equazione di un piano (funzione lineare, ossia di

primo grado).

Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo al piano xy abbiamo

=

 z k − + = − + − =

 x y k x y k .

. Applicando il metodo di sostituzione segue 2 1 , 2 1 0

= − +

 z 2 x y 1 a

L’ultima equazione rappresenta un fascio di rette aventi il coefficiente angolare uguale a

b

2

− = 2 , che è un numero indipendente dal parametro k. Quindi ci troviamo di fronte ad un

− 1

fascio di rette improprio (ossia un insieme di rette fra loro parallele).

OSSERVAZIONI

Ricordiamo a tal proposito che due rette non verticali risultano parallele quando hanno i

coefficienti angolari uguali. + + =

Se l’equazione della retta è scritta in forma implicita ax by c 0 il coefficiente angolare è

a

uguale a .

b = +

Se l’equazione è scritta in forma implicita y mx q allora il coefficiente angolare è m. 5

k = -4

Disegniamo ora alcune rette del fascio trovato y

− + − = k = 0

x y k . Per esempio dando a k valori –4,

2 1 0 k = 5

-2, 0, 3, e 5 otteniamo le rette di equazioni di seguito 5

riportate che sono quindi alcune linee di livello.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione 3

grafica sul piano xy.

= − → − + =

4 2 5 0

k x y 1

= − → − + =

2 2 3 0

k x y x

O

-1 1

-1

= → − + =

0 2 1 0

k x y -2

= → − − =

3 2 2 0

k x y k = -2 -4

= → − − = k = 3

5 2 4 0

k x y

= − + 2

2

2. Sia z x 3 x y che ha dominio R .

Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo al piano xy abbiamo

=

 z k

 .

= − +

2

 z x 3 x y − + = = − + +

2 2

Applicando il metodo di sostituzione segue x 3 x y k , y x 3 x k .

L’ultima equazione rappresenta un fascio di parabole con la concavità rivolta verso il basso (il

2

coefficiente di x è negativo).

Disegniamo ora alcune parabole del fascio aventi tutte l’ascissa del vertice uguale a

b 3 3

− = = .

2 a 2 2

Per esempio dando a k valori -2,-1, 0, 1 e 2 otteniamo le parabole di equazioni di seguito riportate

che sono pertanto alcune linee di livello.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione grafica sul piano xy.

y

= − → = − + −

2

k 2 y x 3 x 2

= − → = − + −

2

k 1 y x 3 x 1 2

1

= → = − +

2

0 3

k y x x x

k = 2

3

O 2

-1 k = 1

= → = − + +

2

k 1 y x 3 x 1 -2 k = 0

= → = − + + k = -1

2

k 2 y x 3 x 2 k = -2 6

= + − + +

2 2 y

3. Sia z x y 2 x 2 y 1 che ha dominio

{ }

( )

= ∈ + − + + ≥

2 2 2

D x , y R | x y 2 x 2 y 1 0 . 1 x

O

Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo -1

al piano xy abbiamo

=

 z k

 .

= + − + +

2 2

 z x y 2 x 2 y 1

Applicando il metodo di sostituzione abbiamo:

+ − + + = + − + + − =

2 2 2 2 2

x y 2 x 2 y 1 k , x y 2 x 2 y 1 k 0 .

L’ultima equazione rappresenta un fascio di circonferenze concentriche aventi il centro di

coordinate C(1,-1).

Dando a k valori 0, 1, 2 e 5 otteniamo le circonferenze di equazioni di seguito riportate.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione grafica sul piano xy. y

= → + − + + =

2 2

0 2 2 1 0

k x y x y 4

= → + − + =

2 2

1 2 2 0

k x y x y 1

O

= → + − + − =

2 2 x

2 2 2 3 0

k x y x y k = 0

k = 1

= → + − + − =

2 2 k = 2

5 2 2 24 0

k x y x y -3 k = 5

-6

APPLICHIAMO

Determinate graficamente i domini delle seguenti funzioni ed alcune linee di livello

= + = +

= − 3. 2

z x y 2. z y

1. 2

z x

= = − −

2

4. z xy = − +

5. z y x 1 2

6. z x 3 x y

2 x

= − + = + −

2 2 2 =

7. z 3 x x y 8. z x y 5 9. z −

x y

x

= − = − −

2 2 2

=

10. z 2 x y 12. z 1 x y

11. z −

2

x y

( )

= + +

= − 2 x y

14. z ln x y

13. z 2 x y 15. z = e

− −

=

  y x

x y 18. z e

x =

 

= 17. z

16. z ln   +

x y

 

y 7

2.3 Massimi e minimi

DEFINIZIONI (intorno di un punto, punto di accumulazione, di frontiera ed interno, insieme aperto

e chiuso, insieme limitato)

(Intorno di un punto P ) :⇔ (Insieme dei punti P per i quali d(P,P )<r,

0 0

con r numero reale positivo) r

P P

2 0

Nel piano R un intorno è costituito dai punti interni ad una

circonferenza di centro P e raggio r.

0

Dato un punto P ed un insieme D.

0

(P è punto di accumulazione dell’insieme D) :⇔ (Comunque consideriamo intorni I di P risulta

0 0

I∩D-{P }≠∅)

0

I (P è un punto di frontiera dell’insieme D) :⇔ (Comunque consideriamo

0

A intorni I di P risulta sia I∩D-{P }≠∅ che I∩ D -{P }≠∅, essendo D il

0 0 0

B complementare di D)

I'

(P è un punto interno all’insieme D) :⇔ (Se esiste un intorno I di P tale che I⊆D)

0 0

Nella figura a sinistra il punto A è sia di accumulazione per D sia punto di frontiera mentre B è punto

di accumulazione ma anche interno.

(Insieme aperto) :⇔ (Insieme formato da soli punti interni)

(Insieme chiuso) :⇔ (Insieme che contiene anche i suoi punti

di frontiera) Insieme aperto

Insieme chiuso

(Insieme limitato) :⇔ (Esiste un intorno I tale che D⊆I)

(limite di una funzione,

DEFINIZIONI .

funzione continua) l

Dati una funzione reale di n variabili reali .

f(P)=f(x , x ,…,x ) definita in un insieme D e

1 2 n

un punto P di accumulazione per D

0

( ) =

( lim f P l )

P P

0 y

:⇔ 0

∀ ∃

( J intorno di l , I intorno di P ,

0

{ } x

∀ ∈ ∩

tale che P I D - P risulta f(P)∈J(l)) 0

0 P

0

Tale definizione continua a valere anche nel

caso in cui P tende ad infinito o l è infinito 8

tenendo presente che, nel piano un intorno di infinito può essere considerata la zona esterna al

cerchio di raggio r e sulla retta un intervallo ]a,+∞[ è intorno di +∞ e ]-∞,a[ è intorno di -∞.

( ) ( )

=

(La funzione f è continua nel punto P ) :⇔ ( lim f P f P )

0 0

P P

0

(La funzione f è continua nell’insieme D) :⇔ (∀ P∈D, f è continua in P)

z

ESEMPIO

= − + −

2 2

Sia z x 3 xy y avente come dominio

2

R .

Se sostituiamo a y il numero 2 la funzione y

y =2

0

diventa

2

z = -x +6x – 4 che è una funzione reale nella

sola variabile x il cui grafico è la proiezione x

ortogonale sul piano zx della curva intersezione

tra la superficie ed il piano di equazione y = 2.

Analogo discorso nel caso di intersezione tra un piano di equazione x = x e la superficie.

0

DEFINZIONI(derivata parziale, funzione differenziabile)

Dati una funzione reale di n variabili reali f(P) = f(x,y)definita in un insieme D e un punto P (x ,y )

0 0 0

interno a D.

Se in f poniamo y = y abbiamo che f(x,y ) è una funzione nella sola variabile x.

0 0 ( ) ( )

+ −

f x h , y f x , y

0 0 0 0

lim , nel caso che

(Derivata parziale prima rispetto alla x della f(x,y)) :⇔ ( → h

h 0

questo esista e sia finito) ∂

 

( ) f

 

'

Tale derivata si indica con f x , y , o con .

0 0

x   =

x x x 0

=

y y 0 z

|h| y

y

0

x

0

x +

h

0

x

Se in f poniamo x = x abbiamo che f(x ,y) è una funzione nella sola variabile y.

0 0 9

( ) ( )

+ −

f x , y k f x , y

0 0 0 0

(Derivata parziale prima rispetto alla y della f(x,y)) :⇔ ( lim , nel caso che

→ k

k 0

questo esista e sia finito) 

 ∂

( ) f 

' , , o con

f x y

Tale derivata si indica con .

 ∂

y 0 0 

 y =

x x 0

=

y y 0

APPLICHIAMO

Si rappresenti graficamente la situazione nel caso della derivata parziale rispetto alla y

OSSERVAZIONI

• Quando si dovrà effettuare la derivata parziale rispetto ad una delle variabili si dovrà procedere

come nel caso delle derivate di una funzione ad una variabile, considerando le altre variabili

costanti.

• Mentre per le funzioni reali ad una sola variabile la derivabilità in un punto implica la continuità in

esso, si può vedere come possono esistere funzioni parzialmente derivabili in un punto, essendo

in tale punto non continue.

v La funzione che associa ad ogni punto P dell’insieme in cui f è derivabile parzialmente rispetto

alla x la derivata parziale in P di f, si dice funzione derivata parziale prima rispetto alla x.

v La funzione che associa ad ogni punto P dell’insieme in cui f è derivabile parzialmente rispetto

alla y la derivata parziale in P di f, si dice funzione derivata parziale prima rispetto alla y.

APPLICHIAMO

Dopo aver determinato il dominio, calcolate le derivate parziali prime, rispetto a ciascuna variabile.

( )

= − + + − − +

2 3 2 4 3 2

= +

1. z x y 2 x y 4 2 x 5 y x ( 2 x y ) xy

3 2

2. z 2 xy 3 x y =

= z

4.

3. z + 2 3

x y x y

+ 2 x y

= − = − +

2 2 2 x y =

5. z 2 x y 6. z 2 x 3 x y 8. z

=

7. z +

2

− 2 x 4 y

2 x y

( ) ( )

+ −

= − + 2 x y

2

+ − ln x y

10. z ln 2 x y x

2 2 =

x y 4 =

11. z

= xy

12. z e

9. z xy

+

2 x y  

 

− −

− + 2

2 xy 1

= 2 xy

x y

x y x  

13. z e =

 

= 15. z ln − +

  2

14. =

z ln   2 x y 1

16. z e

−  

  x y

x 3 y 10

(Funzione differenziabile in un aperto A) :⇔ (Esistono le derivate parziali prime in ogni punto di A

e sono in essi continue)

Si dimostra che se una funzione è differenziabile in un insieme aperto A allora essa è anche continua

in esso.

Le derivate parziali sono a loro volta delle funzioni a più variabili. Pertanto ha senso considerare le

cosiddette derivate parziali del secondo ordine.

Risulta: 

 ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂  

  2 2 2 2

f f f f f f f f

 =

=

=

=  

  , , , 

 ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂  

  2 2

x x x x y x y y x y x y y y

Le due derivate centrali sono chiamate derivate seconde miste.

' ' ' ' ' ' ' '

f , f , f , f

Esse sono indicate brevemente rispettivamente con .

xx xy yx yy

Si dimostra il seguente dell’ordine di derivazione o di Schwarz)

TEOREMA(sull’invertibilità

Ø La funzione f(x,y), definita in D, ammette le derivate parziali prime e seconde miste in un intorno

I di un punto P (x ,y ), con I⊆D

0 0 0

Ø le derivate parziali seconde miste sono continue in P

0

allora

( ) ( )

=

' ' '

'

f P f P

xy 0 yx 0

APPLICHIAMO

Calcolate le derivate parziali seconde delle seguenti funzioni, verificando il teorema di Schwarz.

( )

= + −

= − − +

3 3 2

y = − 4. z ln 2 x y x y

1. z x 3 xy x 2 y 2 2

= − + 3. z x 3xy

3

z xy 3 x

2. x

+  

+

− + +

x y = 2

= − + 3

x yx 1

2 xy 2 x

7. z e

5. z 2 xy x y y  

=

= x y 8. z ln 

6. z e −

2

 

x y 3 y

DEFINIZIONI (punto di massimo e di minimo relativo, punto di massimo e di minimo assoluto)

⊆ ∈

2

Siano f(x,y) una funzione definita in un insieme D R e P (x ,y ) D.

0 0 0 11

(Il punto P è un punto di massimo relativo per la funzione f) :⇔ (Esiste un intorno I di P tale che

0 0

( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≤

P x,y D : f x , y f x , y )

0 0

(Il punto P è un punto di minimo relativo per la funzione f) :⇔ (Esiste un intorno I di P tale che

0 0

( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≥

P x,y D : f x , y f x , y )

0 0

Sia A un sottoinsieme del dominio D della funzione.

(Il punto P è un punto di massimo assoluto per la funzione f) :⇔

0

( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≤

( P x,y A : f x

, y f x , y )

0 0 ( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≥

(Il punto P è un punto di minimo assoluto per la funzione f) :⇔ ( P x,y A : f x

, y f x , y )

0 0 0

TEOREMA (di Weierstrass) ⊆

Ø Una funzione f(x,y) è continua in un sottoinsieme A D,

Ø A è chiuso e limitato allora ( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≤ ≤

Esistono in A due punti P e P tale che P A : f P f P f P ,

1 2 1 2

ossia esistono il massimo ed il minimo assoluto.

(condizione necessaria per i punti di massimo e di minimo)

TEOREMA

Ø P è un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f(x,y),

0

Ø P è interno all’insieme di definizione D,

0

Ø In D la funzione è parzialmente derivabile rispetto la x e la y,

allora

( ) ( )

= =

' '

f x , y 0 e f x , y 0 .

x y

0 0 0 0

Dimostrazione

Facciamo osservare che l’equazione di un piano nello spazio è ax + by + cz + d = 0.

Si dimostra che nel caso in cui la funzione è f è

differenziabile nel punto P l’equazione del piano

0

tangente è

( ) ( )( ) ( )( )

= + − + −

' '

z f x , y f x , y x x f x , y y y e

ent

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 g

n

ta punto di minimo

no P

0

pia

Nel caso in cui nel punto P di massimo o di minimo il

0

piano tangente è orizzontale, ossia ha un’equazione del

tipo z = k. ( ) ( )( ) ( )( )

= + − + −

' '

Segue necessariamente che , , ,

z f x y f x y x x f x y y y , ossia la tesi.

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0

1

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

4

3

= 0 12


PAGINE

27

PESO

342.51 KB

AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulle funzioni in più variabili. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: la determinazione del dominio, le linee di livello, i massimi e minimi, i massimi e i minimi vincolati, i moltiplicatori di Lagrange.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Matematica per le applicazioni ii

Matematica per le applicazioni II - Topologia prima parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II - Topologia seconda parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II - Topologia terza parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II - Topologia quarta parte
Appunto