Matematica per le applicazioni II - funzioni in più variabili

OSSERVAZIONI

• Quando si dovrà effettuare la derivata parziale rispetto ad una delle variabili si dovrà procedere come nel caso delle derivate di una funzione ad una variabile, considerando le altre variabili costanti.

• Mentre per le funzioni reali ad una sola variabile la derivabilità in un punto implica la continuità in esso, si può vedere come possono esistere funzioni parzialmente derivabili in un punto, essendo in tale punto non continue.

La funzione che associa ad ogni punto P dell'insieme in cui f è derivabile parzialmente rispetto alla x la derivata parziale in P di f, si dice funzione derivata parziale prima rispetto alla x.

La funzione che associa ad ogni punto P dell'insieme in cui f è derivabile parzialmente rispetto alla y la derivata parziale in P di f, si dice funzione derivata parziale prima rispetto alla y.

APPLICHIAMO

Dopo aver determinato il dominio, calcolate le derivate parziali prime, rispetto a

ciascuna variabile.( )= − + + − − +2 3 2 4 3 2= +1. z x y 2 x y 4 2 x 5 y x ( 2 x y ) xy3 22. z 2 xy 3 x y == z4.3. z + 2 3x y x y−+ 2 x y= − = − +2 2 2 x y =5. z 2 x y 6. z 2 x 3 x y 8. z=7. z +2− 2 x 4 y2 x y( ) ( )+ −= − + 2 x y2+ − ln x y10. z ln 2 x y x2 2 =x y 4 =11. z= xy12. z e9. z xy+2 x y   − −− + 22 xy 1= 2 xyx yx y x  13. z e = = 15. z ln − +  214. =z ln   2 x y 116. z e−−    x yx 3 y 10(Funzione differenziabile in un aperto A) :⇔ (Esistono le derivate parziali prime in ogni punto di Ae sono in essi continue)Si dimostra che se una funzione è differenziabile in un insieme aperto A allora essa è anche continuain esso.Le derivate parziali sono a loro volta delle funzioni a più variabili. Pertanto ha senso considerare lecosiddette derivate parziali del secondo ordine.Risulta:  ∂∂ ∂

∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂    2 2 2 2f f f f f f f f ====    , , ,  ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂    2 2x x x x y x y y x y x y y y

Le due derivate centrali sono chiamate derivate seconde miste.' ' ' ' ' ' ' 'f , f , f , f

Esse sono indicate brevemente rispettivamente con .xx xy yx yy

Si dimostra il seguente dell’ordine di derivazione o di Schwarz)

TEOREMA(sull’invertibilitàØ La funzione f(x,y), definita in D, ammette le derivate parziali prime e seconde miste in un intornoI di un punto P (x ,y ), con I⊆D0 0 0Ø le derivate parziali seconde miste sono continue in P0allora( ) ( )=' ' ''f P f Pxy 0 yx 0

APPLICHIAMOCalcolate le derivate parziali seconde delle seguenti funzioni, verificando il teorema di Schwarz.( )= + −=

• − − +3 3 2y = − 4. z ln 2 x y x y1. z x 3 xy x 2 y 2 2= − + 3. z x 3xy3z xy 3 x2. x+  +− + +x y = 2= − + 3x yx 1−2 xy 2 x7. z e5. z 2 xy x y y  =−= x y 8. z ln 6. z e −2 x y 3 y
• DEFINIZIONI (punto di massimo e di minimo relativo, punto di massimo e di minimo assoluto)⊆ ∈2Siano f(x,y) una funzione definita in un insieme D R e P (x ,y ) D.0 0 0 11(Il punto P è un punto di massimo relativo per la funzione f) :⇔ (Esiste un intorno I di P tale che0 0( ) ( ) ( )∀ ∈ ≤P x,y D : f x , y f x , y )0 0(Il punto P è un punto di minimo relativo per la funzione f) :⇔ (Esiste un intorno I di P tale che0 0( ) ( ) ( )∀ ∈ ≥P x,y D : f x , y f x , y )0 0Sia A un sottoinsieme del dominio D della funzione.(Il punto P è un punto di massimo assoluto per la funzione f) :⇔0( ) ( ) ( )∀ ∈ ≤( P x,y A : f x, y f x , y )0 0 ( ) ( ) ( )∀

∈ ≥(Il punto P è un punto di minimo assoluto per la funzione f) :⇔ ( P x,y A : f(x, y) ≤ f(x , y))_{0 0 0}

TEOREMA (di Weierstrass) ⊆Ø Una funzione f(x, y) è continua in un sottoinsieme A ⊆ D,Ø A è chiuso e limitato allora (∀ (x, y) ∈ A) (≤ f(x, y) ≤ f(x , y))_{0 0 0}
Esistono in A due punti P e P' tale che P ≠ A : f(P) ≤ f(P')_{0 0 0 1 2 1 2}
ossia esistono il massimo ed il minimo assoluto. (condizione necessaria per i punti di massimo e di minimo)

TEOREMAØ P è un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f(x, y),
Ø P è interno all'insieme di definizione D,
Ø In D la funzione è parzialmente derivabile rispetto la x e la y,
allora (∂f/∂x)(P) = 0 e (∂f/∂y)(P) = 0._{0 0 0 0}

Dimostrazione
Facciamo osservare che l'equazione di un piano nello spazio è ax + by + cz + d = 0.
Si dimostra che nel caso in cui la funzione è f differenziabile nel punto P l'equazione del

piano0tangente è( ) ( )( ) ( )( )= + − + −' 'z f x , y f x , y x x f x , y y y eent0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 gnta punto di minimono P0piaNel caso in cui nel punto P di massimo o di minimo il0piano tangente è orizzontale, ossia ha un’equazione deltipo z = k. ( ) ( )( ) ( )( )= + − + −' 'Segue necessariamente che , , ,z f x y f x y x x f x y y y , ossia la tesi.0 0 x 0 0 0 y 0 0 014444444244444443= 0 12c.v.d.OSSERVAZIONIIn generale non vale l’inverso del teorema precedente. Ossia se in P entrambe le derivate prime si0annullano non è detto che esso sia punto di massimo o di minimo.DEFINIZIONE (punto critico) ( ) =' f x , y 0xI punti che sono soluzione del sistema si chiamano punti critici.( ) = 'f x , y 0yTEOREMAØ P è un punto interno a D,0Ø esiste un intorno I di P in cui la f(x,y) è continua, come pure le sue derivate parziali prime e0seconde,( ) ( )= =Ø

' 'f x y f x y ,, 0 e , 0x y0 0 0 0  '' ' 'f f  xx xydetto Hessiano il determinante della matrice , indicato con H, ' ' ''f f  yx yy( ) >Ø H x , y 0 allora P è un minimo relativo0 0 0( ) >Ø ''f x , y 0xx 0 0( ) >Ø H x , y 0 allora P è un massimo relativo0 0 0( ) <Ø ''f x , y 0xx 0 0( ) <Ø H x , y 00 0 allora P non è né massimo né minimo, è punto di sella o di flesso.0( ) =Ø H x , y 00 0 allora non è possibile affermare nulla, sono necessarie ulteriori indagini.ESEMPIO = − − − +3 21. Determiniamo i punti di massimo o di minimo della funzione z 3 x y 2 x y 1 .2La funzione è definita in tutto R ed è continua assieme le sue derivate parziali prime e seconde.13  2 2= ± = ± = x − =' 2f 0 9 x 2 0 9 3x 

₁ = 1 ₂ = 0 ₃ = 2y - y ₄ = 2 I punti critici sono P₁ (1, 0) e P₂ (2, 3). Vediamo ora quale segno assume l'hessiano: H = |2 1| |1 2| in questi punti. ( ) ( ) ( ) ( ) = -36x Poiché H(x,y) = -36x allora risulta H_P1 = -36(1) = -36, quindi P₁ non è né di massimo né di minimo. ( ) ( ) = > = - < Ø Ø ''H P₂ = -36(2) = -72 e siccome f(P₂) = 6(2) - 2(3) = 12 - 6 = 6 > 0 segue che P₂ è punto di massimo relativo. Determiniamo i punti di massimo o di minimo della funzione: f(x, y) = -x² - y² + 3xy La funzione è definita in tutto R ed è continua assieme le sue derivate parziali prime e seconde. Risolviamo il sistema: ∂f/∂x = 2x - 2y = 0 ∂f/∂y = 2y - 2x = 0x² - 22 |x| - / - = { - + =2} 2x⁶ - 4x⁴ + x⁸ - 6x⁶ + x - 10 = { - - ='} 2f⁰ - 6x + 4xy - y⁰ / 1 = { 22x + ={ - + =} +2} f⁰ - y² = { 2 - + =2} La prima equazione si annulla quando x = 0 oppure quando 8x - 6x + 10 = { x = 0} Nel primo caso abbiamo ; quindi una soluzione è P (0,0). 1 = { y = 0} Nel secondo caso { 1 = x} Quindi le altre tre soluzioni sono: 1 ± { 6/2 , e P ,Py = 32} x⁸ - 6x⁶ + x - 10 = { 2x² + = 32} 2x² + 4x - 16 = { 2 = y} x² - 3x + 4 = { y = 3/4} Vediamo ora quale segno assu