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Matematica per le applicazioni II - funzioni in più variabili Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulle funzioni in più variabili. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: la determinazione del dominio, le linee di livello, i massimi e minimi, i massimi e i minimi vincolati, i moltiplicatori di Lagrange. Vedi di più

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

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ESTRATTO DOCUMENTO

k = -4

Disegniamo ora alcune rette del fascio trovato y

− + − = k = 0

x y k . Per esempio dando a k valori –4,

2 1 0 k = 5

-2, 0, 3, e 5 otteniamo le rette di equazioni di seguito 5

riportate che sono quindi alcune linee di livello.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione 3

grafica sul piano xy.

= − → − + =

4 2 5 0

k x y 1

= − → − + =

2 2 3 0

k x y x

O

-1 1

-1

= → − + =

0 2 1 0

k x y -2

= → − − =

3 2 2 0

k x y k = -2 -4

= → − − = k = 3

5 2 4 0

k x y

= − + 2

2

2. Sia z x 3 x y che ha dominio R .

Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo al piano xy abbiamo

=

 z k

 .

= − +

2

 z x 3 x y − + = = − + +

2 2

Applicando il metodo di sostituzione segue x 3 x y k , y x 3 x k .

L’ultima equazione rappresenta un fascio di parabole con la concavità rivolta verso il basso (il

2

coefficiente di x è negativo).

Disegniamo ora alcune parabole del fascio aventi tutte l’ascissa del vertice uguale a

b 3 3

− = = .

2 a 2 2

Per esempio dando a k valori -2,-1, 0, 1 e 2 otteniamo le parabole di equazioni di seguito riportate

che sono pertanto alcune linee di livello.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione grafica sul piano xy.

y

= − → = − + −

2

k 2 y x 3 x 2

= − → = − + −

2

k 1 y x 3 x 1 2

1

= → = − +

2

0 3

k y x x x

k = 2

3

O 2

-1 k = 1

= → = − + +

2

k 1 y x 3 x 1 -2 k = 0

= → = − + + k = -1

2

k 2 y x 3 x 2 k = -2 6

= + − + +

2 2 y

3. Sia z x y 2 x 2 y 1 che ha dominio

{ }

( )

= ∈ + − + + ≥

2 2 2

D x , y R | x y 2 x 2 y 1 0 . 1 x

O

Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo -1

al piano xy abbiamo

=

 z k

 .

= + − + +

2 2

 z x y 2 x 2 y 1

Applicando il metodo di sostituzione abbiamo:

+ − + + = + − + + − =

2 2 2 2 2

x y 2 x 2 y 1 k , x y 2 x 2 y 1 k 0 .

L’ultima equazione rappresenta un fascio di circonferenze concentriche aventi il centro di

coordinate C(1,-1).

Dando a k valori 0, 1, 2 e 5 otteniamo le circonferenze di equazioni di seguito riportate.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione grafica sul piano xy. y

= → + − + + =

2 2

0 2 2 1 0

k x y x y 4

= → + − + =

2 2

1 2 2 0

k x y x y 1

O

= → + − + − =

2 2 x

2 2 2 3 0

k x y x y k = 0

k = 1

= → + − + − =

2 2 k = 2

5 2 2 24 0

k x y x y -3 k = 5

-6

APPLICHIAMO

Determinate graficamente i domini delle seguenti funzioni ed alcune linee di livello

= + = +

= − 3. 2

z x y 2. z y

1. 2

z x

= = − −

2

4. z xy = − +

5. z y x 1 2

6. z x 3 x y

2 x

= − + = + −

2 2 2 =

7. z 3 x x y 8. z x y 5 9. z −

x y

x

= − = − −

2 2 2

=

10. z 2 x y 12. z 1 x y

11. z −

2

x y

( )

= + +

= − 2 x y

14. z ln x y

13. z 2 x y 15. z = e

− −

=

  y x

x y 18. z e

x =

 

= 17. z

16. z ln   +

x y

 

y 7

2.3 Massimi e minimi

DEFINIZIONI (intorno di un punto, punto di accumulazione, di frontiera ed interno, insieme aperto

e chiuso, insieme limitato)

(Intorno di un punto P ) :⇔ (Insieme dei punti P per i quali d(P,P )<r,

0 0

con r numero reale positivo) r

P P

2 0

Nel piano R un intorno è costituito dai punti interni ad una

circonferenza di centro P e raggio r.

0

Dato un punto P ed un insieme D.

0

(P è punto di accumulazione dell’insieme D) :⇔ (Comunque consideriamo intorni I di P risulta

0 0

I∩D-{P }≠∅)

0

I (P è un punto di frontiera dell’insieme D) :⇔ (Comunque consideriamo

0

A intorni I di P risulta sia I∩D-{P }≠∅ che I∩ D -{P }≠∅, essendo D il

0 0 0

B complementare di D)

I'

(P è un punto interno all’insieme D) :⇔ (Se esiste un intorno I di P tale che I⊆D)

0 0

Nella figura a sinistra il punto A è sia di accumulazione per D sia punto di frontiera mentre B è punto

di accumulazione ma anche interno.

(Insieme aperto) :⇔ (Insieme formato da soli punti interni)

(Insieme chiuso) :⇔ (Insieme che contiene anche i suoi punti

di frontiera) Insieme aperto

Insieme chiuso

(Insieme limitato) :⇔ (Esiste un intorno I tale che D⊆I)

(limite di una funzione,

DEFINIZIONI .

funzione continua) l

Dati una funzione reale di n variabili reali .

f(P)=f(x , x ,…,x ) definita in un insieme D e

1 2 n

un punto P di accumulazione per D

0

( ) =

( lim f P l )

P P

0 y

:⇔ 0

∀ ∃

( J intorno di l , I intorno di P ,

0

{ } x

∀ ∈ ∩

tale che P I D - P risulta f(P)∈J(l)) 0

0 P

0

Tale definizione continua a valere anche nel

caso in cui P tende ad infinito o l è infinito 8

tenendo presente che, nel piano un intorno di infinito può essere considerata la zona esterna al

cerchio di raggio r e sulla retta un intervallo ]a,+∞[ è intorno di +∞ e ]-∞,a[ è intorno di -∞.

( ) ( )

=

(La funzione f è continua nel punto P ) :⇔ ( lim f P f P )

0 0

P P

0

(La funzione f è continua nell’insieme D) :⇔ (∀ P∈D, f è continua in P)

z

ESEMPIO

= − + −

2 2

Sia z x 3 xy y avente come dominio

2

R .

Se sostituiamo a y il numero 2 la funzione y

y =2

0

diventa

2

z = -x +6x – 4 che è una funzione reale nella

sola variabile x il cui grafico è la proiezione x

ortogonale sul piano zx della curva intersezione

tra la superficie ed il piano di equazione y = 2.

Analogo discorso nel caso di intersezione tra un piano di equazione x = x e la superficie.

0

DEFINZIONI(derivata parziale, funzione differenziabile)

Dati una funzione reale di n variabili reali f(P) = f(x,y)definita in un insieme D e un punto P (x ,y )

0 0 0

interno a D.

Se in f poniamo y = y abbiamo che f(x,y ) è una funzione nella sola variabile x.

0 0 ( ) ( )

+ −

f x h , y f x , y

0 0 0 0

lim , nel caso che

(Derivata parziale prima rispetto alla x della f(x,y)) :⇔ ( → h

h 0

questo esista e sia finito) ∂

 

( ) f

 

'

Tale derivata si indica con f x , y , o con .

0 0

x   =

x x x 0

=

y y 0 z

|h| y

y

0

x

0

x +

h

0

x

Se in f poniamo x = x abbiamo che f(x ,y) è una funzione nella sola variabile y.

0 0 9

( ) ( )

+ −

f x , y k f x , y

0 0 0 0

(Derivata parziale prima rispetto alla y della f(x,y)) :⇔ ( lim , nel caso che

→ k

k 0

questo esista e sia finito) 

 ∂

( ) f 

' , , o con

f x y

Tale derivata si indica con .

 ∂

y 0 0 

 y =

x x 0

=

y y 0

APPLICHIAMO

Si rappresenti graficamente la situazione nel caso della derivata parziale rispetto alla y

OSSERVAZIONI

• Quando si dovrà effettuare la derivata parziale rispetto ad una delle variabili si dovrà procedere

come nel caso delle derivate di una funzione ad una variabile, considerando le altre variabili

costanti.

• Mentre per le funzioni reali ad una sola variabile la derivabilità in un punto implica la continuità in

esso, si può vedere come possono esistere funzioni parzialmente derivabili in un punto, essendo

in tale punto non continue.

v La funzione che associa ad ogni punto P dell’insieme in cui f è derivabile parzialmente rispetto

alla x la derivata parziale in P di f, si dice funzione derivata parziale prima rispetto alla x.

v La funzione che associa ad ogni punto P dell’insieme in cui f è derivabile parzialmente rispetto

alla y la derivata parziale in P di f, si dice funzione derivata parziale prima rispetto alla y.

APPLICHIAMO

Dopo aver determinato il dominio, calcolate le derivate parziali prime, rispetto a ciascuna variabile.

( )

= − + + − − +

2 3 2 4 3 2

= +

1. z x y 2 x y 4 2 x 5 y x ( 2 x y ) xy

3 2

2. z 2 xy 3 x y =

= z

4.

3. z + 2 3

x y x y

+ 2 x y

= − = − +

2 2 2 x y =

5. z 2 x y 6. z 2 x 3 x y 8. z

=

7. z +

2

− 2 x 4 y

2 x y

( ) ( )

+ −

= − + 2 x y

2

+ − ln x y

10. z ln 2 x y x

2 2 =

x y 4 =

11. z

= xy

12. z e

9. z xy

+

2 x y  

 

− −

− + 2

2 xy 1

= 2 xy

x y

x y x  

13. z e =

 

= 15. z ln − +

  2

14. =

z ln   2 x y 1

16. z e

−  

  x y

x 3 y 10

(Funzione differenziabile in un aperto A) :⇔ (Esistono le derivate parziali prime in ogni punto di A

e sono in essi continue)

Si dimostra che se una funzione è differenziabile in un insieme aperto A allora essa è anche continua

in esso.

Le derivate parziali sono a loro volta delle funzioni a più variabili. Pertanto ha senso considerare le

cosiddette derivate parziali del secondo ordine.

Risulta: 

 ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂  

  2 2 2 2

f f f f f f f f

 =

=

=

=  

  , , , 

 ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂  

  2 2

x x x x y x y y x y x y y y

Le due derivate centrali sono chiamate derivate seconde miste.

' ' ' ' ' ' ' '

f , f , f , f

Esse sono indicate brevemente rispettivamente con .

xx xy yx yy

Si dimostra il seguente dell’ordine di derivazione o di Schwarz)

TEOREMA(sull’invertibilità

Ø La funzione f(x,y), definita in D, ammette le derivate parziali prime e seconde miste in un intorno

I di un punto P (x ,y ), con I⊆D

0 0 0

Ø le derivate parziali seconde miste sono continue in P

0

allora

( ) ( )

=

' ' '

'

f P f P

xy 0 yx 0

APPLICHIAMO

Calcolate le derivate parziali seconde delle seguenti funzioni, verificando il teorema di Schwarz.

( )

= + −

= − − +

3 3 2

y = − 4. z ln 2 x y x y

1. z x 3 xy x 2 y 2 2

= − + 3. z x 3xy

3

z xy 3 x

2. x

+  

+

− + +

x y = 2

= − + 3

x yx 1

2 xy 2 x

7. z e

5. z 2 xy x y y  

=

= x y 8. z ln 

6. z e −

2

 

x y 3 y

DEFINIZIONI (punto di massimo e di minimo relativo, punto di massimo e di minimo assoluto)

⊆ ∈

2

Siano f(x,y) una funzione definita in un insieme D R e P (x ,y ) D.

0 0 0 11

(Il punto P è un punto di massimo relativo per la funzione f) :⇔ (Esiste un intorno I di P tale che

0 0

( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≤

P x,y D : f x , y f x , y )

0 0

(Il punto P è un punto di minimo relativo per la funzione f) :⇔ (Esiste un intorno I di P tale che

0 0

( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≥

P x,y D : f x , y f x , y )

0 0

Sia A un sottoinsieme del dominio D della funzione.

(Il punto P è un punto di massimo assoluto per la funzione f) :⇔

0

( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≤

( P x,y A : f x

, y f x , y )

0 0 ( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≥

(Il punto P è un punto di minimo assoluto per la funzione f) :⇔ ( P x,y A : f x

, y f x , y )

0 0 0

TEOREMA (di Weierstrass) ⊆

Ø Una funzione f(x,y) è continua in un sottoinsieme A D,

Ø A è chiuso e limitato allora ( ) ( ) ( )

∀ ∈ ≤ ≤

Esistono in A due punti P e P tale che P A : f P f P f P ,

1 2 1 2

ossia esistono il massimo ed il minimo assoluto.

(condizione necessaria per i punti di massimo e di minimo)

TEOREMA

Ø P è un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f(x,y),

0

Ø P è interno all’insieme di definizione D,

0

Ø In D la funzione è parzialmente derivabile rispetto la x e la y,

allora

( ) ( )

= =

' '

f x , y 0 e f x , y 0 .

x y

0 0 0 0

Dimostrazione

Facciamo osservare che l’equazione di un piano nello spazio è ax + by + cz + d = 0.

Si dimostra che nel caso in cui la funzione è f è

differenziabile nel punto P l’equazione del piano

0

tangente è

( ) ( )( ) ( )( )

= + − + −

' '

z f x , y f x , y x x f x , y y y e

ent

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 g

n

ta punto di minimo

no P

0

pia

Nel caso in cui nel punto P di massimo o di minimo il

0

piano tangente è orizzontale, ossia ha un’equazione del

tipo z = k. ( ) ( )( ) ( )( )

= + − + −

' '

Segue necessariamente che , , ,

z f x y f x y x x f x y y y , ossia la tesi.

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0

1

4

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

4

3

= 0 12

c.v.d.

OSSERVAZIONI

In generale non vale l’inverso del teorema precedente. Ossia se in P entrambe le derivate prime si

0

annullano non è detto che esso sia punto di massimo o di minimo.

DEFINIZIONE (punto critico) ( )

 =

'

 f x , y 0

x

I punti che sono soluzione del sistema si chiamano punti critici.

( ) =

 '

f x , y 0

y

TEOREMA

Ø P è un punto interno a D,

0

Ø esiste un intorno I di P in cui la f(x,y) è continua, come pure le sue derivate parziali prime e

0

seconde,

( ) ( )

= =

Ø ' '

f x y f x y ,

, 0 e , 0

x y

0 0 0 0 

 '

' ' '

f f 

 xx xy

detto Hessiano il determinante della matrice , indicato con H,

 ' ' '

'

f f 

 yx yy

( ) >

Ø H x , y 0 allora P è un minimo relativo

0 0 0

( ) >

Ø '

'

f x , y 0

xx 0 0

( ) >

Ø H x , y 0 allora P è un massimo relativo

0 0 0

( ) <

Ø '

'

f x , y 0

xx 0 0

( ) <

Ø H x , y 0

0 0 allora P non è né massimo né minimo, è punto di sella o di flesso.

0

( ) =

Ø H x , y 0

0 0 allora non è possibile affermare nulla, sono necessarie ulteriori indagini.

ESEMPIO = − − − +

3 2

1. Determiniamo i punti di massimo o di minimo della funzione z 3 x y 2 x y 1 .

2

La funzione è definita in tutto R ed è continua assieme le sue derivate parziali prime e seconde.

13

  2 2

= ± = ±

 

= x

 − =

'

 2

f 0 9 x 2 0 9 3

x

  

Risolviamo il sistema ; ; .

= − − =

' 1

f 0

 

2 y 1 0 = −

y y

 

 2

   

2 1 2 1

   

− − −

I punti critici sono P , e P , . Vediamo ora quale segno assume l’hessiano

   

1 2

3 2 3 2

   

in questi punti. ( ) ( ) ( ) ( )

= = = = −

'

' ' ' '

' '

'

f x , y 18 x

; f x

, y 0

; f x

, y 0

; f x , y 2 .

Intanto abbiamo xx xy yx yy

Poiché H(x,y) = -36x allora risulta

( ) = − <

Ø H P 12 2 0 , quindi P non è né di massimo né di minimo.

1

1

( ) ( )

= > = − <

Ø '

'

H P 12 2 0 e siccome f P 6 2 0 segue che P è punto di massimo relativo.

2

2 xx 2

2. Determiniamo i punti di massimo o di minimo della funzione

= − − +

3 2 2

z 2 x 2 x y xy y .

2

La funzione è definita in tutto R ed è continua assieme le sue derivate parziali prime e seconde.

Risolviamo il sistema   

+ + ( )

2 2

x x x x

2 2

2  

− / − =  − + =

2

 2

x x

6 4 0

  x x x

8 6 1 0

 =  − − =

'

  

2

f 0 6 x 4 xy y 0 / 1

  2

2

x +

   2

; ; ; .

x x

2

= =

− − + =

 ' +

2

f 0 y

2

 

2 x x 2 y 0 x x

2 

=

y 2

y

 2 − + =

2

La prima equazione si annulla quando x = 0 oppure quando 8 x 6 x 1 0 .

=

 x 0

1

Nel primo caso abbiamo ; quindi una soluzione è P (0,0).

1

=

 y 0

1

Nel secondo caso  1

=

x

 Quindi le altre tre soluzioni sono:

2 2

    

1 1 1 3

1

±

  =    

6 2 , e P ,

P

y

=

 − + = 3

2

2 x 2

    

x x

8 6 1 0 2

 2 2 4 16

16

+

 

2 ; ;

2 x x

= +

2 

y 2 x x 1

  = =

y x

2  3 4

2  3

 =

y

 3 16

Vediamo ora quale segno assume l’hessiano nei punti critici.

( ) ( ) ( ) ( )

= − = − − = − − =

'

' '

' '

' '

'

Intanto abbiamo f x , y 12 x 4 y

; f x

, y 4 x 1

; f x , y 4 x 1

; f x , y 2 .

xx xy yx yy

− + − −

2

Poiché H(x,y) = 16 x 16 x 8 y 1 allora risulta

( ) = − <

Ø H P 1 0 , P , ossia l’origine degli assi, è un punto di sella.

1

1

Possiamo trovare conferma di questo studiando il segno della funzione data.

− − + >

3 2 2

2 x 2 x y xy y 0 . 14

( )

( ) ( ) ( )

− − − > − − >

2 2

Scomponendo abbiamo 2 x x y y x y 0 , ossia x y 2 x y 0 .

Studiamo il segno di ciascun fattore della precedente disequazione. - -

+

- -

- +

-

- - -

- + -

- -

- -

2

- +

-

- -

- +

+ -

- + +

+ -

- -

-

− > < +

-

- +

x y y x

0 , -

- + +

+ − > <

- + +

2 2

2 x y 0 , y 2 x +

- 1

+

- + +

- +

+

- +

+

+ +

- + + + + +

- + + +

+ - -

+ +

2 2

+ +

- -

+ +

Quindi + +

- -

- -

+ +

+ +

- -

+ +

- -

1 1

+ -

+ +

+

+ +

+ -

+

2 2

+ +

Nell’intorno -

+ +

+

- - -- - +

+ -

+ - -

+ +

+

-

dell’origine

- -

1 1

+

- 1 1

-

+ - --

- + +

2 2 +

+ +

+ + +

+ -

- -

+ -

+ +

+ +

Pertanto, poiché comunque consideriamo intorni di P , all’interno di essi cadono punti

1

aventi immagine positiva ed altri aventi immagine negativa, possiamo confermare che P non

1

è né punto di massimo né di minimo.

( ) = − <

Ø H P 1 0 , quindi anche P è un punto di sella. Infatti osservando il grafico precedente

2

2  

1 1

 

possiamo notare che anche il punto P , è tale che comunque consideriamo suoi intorni,

2  

2 2

al loro interno cadono punti in cui la funzione assume segno positivo ed altri in cui la

funzione assume segno negativo.

 

( ) 1 3 9

1

= > = >

 

Ø '

'

H P 0 e poiché , 0

f , segue che P è punto di minimo.

3

xx

3  

2 16 4

4

APPLICHIAMO

Determinate i massimi ed i minimi relativi ed i punti di sella delle seguenti funzioni.

= − + − + = − − = + + +

2 2 2 2 2 2 2 2

1. z x y 3 xy x 3 y 2. z 2 x 2 y 3. z - 3

·x x y x 3

·xy-y - y

− + − + +

= =

2 2 2

= + − x y x yx 1

2 2 5. z e 6. z e

4. z x y 4 15

( )

= − + − = − + −

+ −

2 2 3 2 2

2

7. z ln 2 x y x y 9. z 3 x x y 3 xy y

2

x xy y

=

8. z − 3

y

= + − + = − − + = + − + + −

3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 2

10. z 6 x x y 4 xy y 11. z 2 x 2 x y xy y 12. z 2 x x y x 2 xy y y

2.4 Massimi e minimi vincolati

Spesso si presenta la necessità di determinare i punti di massimo e di minimo di una funzione le cui

variabili devono soddisfare a determinati vincoli espressi mediante

A equazioni

In tali casi il vincolo è espresso da un’equazione

del tipo g(x,y) = 0 che generalmente rappresenta

una curva del piano xy.

vincolo

oppure B disequazioni

In tali casi i vincoli sono espressi da un sistema di

disequazioni.

Noi tratteremo solo il caso in cui le disequazioni

sono di primo grado a due incognite. Quindi

l’insieme soluzione del sistema dei vincoli è un

poligono.

Caso A

Vediamo alcuni possibili metodi di risoluzione.

Nell’equazione del vincolo una variabile è di I grado

ESEMPIO

Determinare i massimi e i minimi della funzione

= − = − + =

2 2

z 2 xy x con vincolo g ( x , y ) x y 2 x 0 16

Considerando l’equazione del vincolo isoliamo la variabile che è di I grado, nel nostro caso la y.

Risulta = +

2

y x 2 x

( )

= + − = +

2 2 3 2

e sostituendo nella z otteniamo z 2 x x 2 x x 2 x 3 x che dipende dalla sola variabile x.

Determiniamo quindi i massimi ed i minimi utilizzando il procedimento seguito nel caso di funzioni

dipendenti da una variabile.

= + ≥ ≤ − ≥

' 2

Abbiamo z 6 x 6 x 0 per x 1 e x 0 . La situazione è mostrata dal seguente diagramma

- +

+ 0

-1 = − + − = −

2

Quindi la funzione assume il massimo per x = -1, a cui corrisponde y ( 1

) 2 ( 1

) 1 ed un

= + =

2

minimo per x = 0, a cui corrisponde y ( 0 ) 2 ( 0 ) 0 . In definitiva la funzione data ha un massimo

vincolata nel punto P(-1,-1) ed un minimo vincolato in O(0,0).

APPLICHIAMO

Determinate i massimi ed i minimi vincolati delle seguenti funzioni.

= − + = + − =

3

1. z x 3 xy 2 x con vincolo dato da g ( x , y ) x y 2 0 ,

= − + + = − =

3 2 2

2. z x 3 x y 2 y 1 con vincolo dato da g ( x , y ) 2 x y 0 ,

= − + = − + =

2 2

3. z x y 2 x con vincolo dato da g ( x , y ) 2 x y 0 ,

= − = + + =

2

4. z xy x con vincolo dato da g ( x , y ) x 3 y 1 0 ,

= + = +

2 2 2

5. z x y con vincolo dato da g ( x , y ) x y ,

x y

2

= = −

z

6. con vincolo dato da g ( x , y ) xy 2 =0.

xy

Utilizzando le linee di livello

I punti di massimo e di minimo vincolato sono quelli in cui le linee di livello sono tangenti alla curva

la cui equazione è quella del vincolo g(x,y) = 0. 1

4 4

3

l 2 1 l'

4 1

l'

ESEMPIO 17


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AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulle funzioni in più variabili. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: la determinazione del dominio, le linee di livello, i massimi e minimi, i massimi e i minimi vincolati, i moltiplicatori di Lagrange.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

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