Matematica per le applicazioni II - funzioni in più variabili

2. FUNZIONI REALI DI n VARIABILI REALI

2.1 Determinazione del dominio Y

× 2

Sia D un sottoinsieme dell’insieme R R, indicato anche con R .

Graficamente possiamo pensare a D come ad una zona del piano D

cartesiano secondo la seguente figura

In modo analogo possiamo considerare un sottoinsieme D dell’insieme

× × × n

R R .... R (n volte), indicato anche con R . X

O

DEFINIZIONE (funzione reale di n variabili reali) ⊆

(Funzione reale di n variabili reali) :⇔ (Funzione che associa ad ogni elemento (x ,x ,…,x ) di D

1 2 n

n

R uno ed un solo numero reale y = f(x ,x ,…,x ) di R).

1 2 n

OSSERVAZIONI Q(

x

,

y

, z

)

Dal punto di vista grafico una funzione reale di due y

variabili reali è rappresentata da una superficie dello

spazio. Il dominio è un sottoinsieme del piano xy; a x

ciascun punto (x,y) di D la funzione fa corrispondere un

punto Q dello spazio avente come quota z = f(x,y).

OSSERVAZIONE = + +

2

Data una parabola di equazione y ax bx c , per rappresentarla graficamente è sufficiente

q conoscere:  

−

2

b b 4 ac

 

= − −

Ø le coordinate del vertice ,

V ,

 

 

2 a 4 a

Ø le eventuali ascisse dei punti di intersezioni con l’asse delle ascisse: risolvendo l’equazione di

+ + =

2

2° grado associata ax bx c 0 ,

Ø l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle ordinate.

+ + + + =

2 2

Data una circonferenza di equazione x y ax by c 0 , per rappresentarla graficamente è

q sufficiente conoscere:  

a b

− −

 

Ø ,

le coordinate del centro C ,

 

2 2

2 2

   

a b

= + −

   

Ø la lunghezza del raggio r c

   

2 2

+

ax b

=

y , nell’ipotesi che ad-bc≠0, rappresenta un’iperbole traslata

Una curva di equazione

q +

cx d d a b

= − =

avente gli asintoti di equazione x e y e passante per il punto (0, )

c c d 1

ESEMPI

Determinate il dominio delle seguenti funzioni:

= − + 2

2 2

1. z 2 xy 3 x y . Il dominio è rappresentato da R . y x - y - 1 = 0

− + { }

( )

2 1

x y

= = ∈ − − ≠

2

2. z . D x

, y R | x y 1 0

− − 1

x y

Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano esclusi x

− − =

x y .

quelli appartenenti dalla retta di equazione 1 0 y

− + { }

( )

x y

2 1 = +

2

y x 3

= = ∈ − + ≠

2 2

z . D x, y R | x y 3 0

3. − +

2

x y 3

Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano esclusi

= +

2

y x .

quelli appartenenti alla parabola di equazione 3 x

= + − +

2 2

4. z x y 2 x y .

{ }

( )

= ∈ + − + ≥

2 2 2

D x

, y R | x y 2 x y 0

Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano che rendono

+ − +

2 2

positiva l’espressione x y 2 x y , ossia l’insieme dei punti

+ − + =

2 2

esterni alla circonferenza di equazione x y 2 x y 0 , uniti

ai punti della circonferenza stessa.

( ) { }

( )

= − + − = ∈ − + − >

2 2 2

5. z ln y x x 3 . D x

, y R | y x x 3 0

Il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano che

− + −

2 11

rendono positiva l’espressione y x x 3 , ossia tali che 4

> − +

2

y x x 3 . 1

2

 

− −

( )

2 2

x y x y

= ∈ ≥ ∧ + − ≠

= 2 2

 

6. . R 0 3 0

z D x

, y | x y

+ −

+ −

2 2

 

x y 3 x y 3 −

 2 x y ≥

 0

+ −

 2

Per determinare il dominio è necessario, pertanto, risolvere il sistema .

x y 3

 + − ≠

2

x y 3 0

Risolviamo la disequazione fratta: 2

− ≥ ≤

 

2 x y 0 y 2 x

 

; .

+ − > > − +

2 2

 

x y 3 0 y x 3

Le seguenti figure mostrano la soluzione grafica delle due disequazioni. +

- +

y=2x +

- + +

+

- +

+

- +

+ +

- + +

+ + 3 +

- +

+

+

- 3 +

- +

- +

- + + +

-

-

+

- + + + +

- +

-

-

- - + - +

- + + + --

-

- -

- + +

-

+ + + + +

+

+

- -

+ -

- +

- +

- +

- 2 -

- - - +

+ - +

---

+ +

- + +

- - -

+ +

- +

+

+ -

+ - +

+

- - --

- +

+ -- - +

- -

+ 3

3

-

- - + - +

+ + +

- -

+

+

- - +

- - +

+

-

+ -

- + -

- +

-

+ -

- +

-- - + +

1 -

+ + - -

- + + -

- +

+ +

-

+

+ -

-

+ +

-

- -

--

- - + - +

+ -

+ +

- -

+ -

+ ++ -

+ -

+

- - - - - +

+

+

- -

- - - +

-

+ +

+ - - +

+

-

- -

+ -

+ +

- +

- -

-

+ - -

+ +

+ +

- +

+ + -

- -

- +

-

+ -

I punti appartenenti alla parte di piano evidenziata con i segni ‘+’ e ‘-’ rendono rispettivamente

+ −

2

positive e negative le espressioni 2x – y e x y 3 .

Il seguente diagramma è stato costruito utilizzando la regola dei segni e sono stati considerate le

due figure precedenti. La soluzione del sistema iniziale è data dall’insieme dei punti interni alle

zone di piano evidenziate con i segni ‘+’, dai punti della retta ed escludendo i punti della

parabola. -

-

- y = 2x

- +

-

- -

- -

- -

- - +

-

-

- - -

- +

- +

-

-

- - +

- +

- +

- +

++ +

- -

- 2 + +

+ +

- +

- - + +

- +

- +

+

+ + +

-

- - +

+

+ + +

- -

- +

+ -

+ 1 + +

- - -

- -

-

- - +

-

+ +

- -

+ -

- +

-

- -

- +

- + - +

-

- +

+ -

-

- -

- - -

- +

- - -

- +

-

- - - +

-

- - +

- - -

-

- - - +

+ -

- -

- +

-

-

+

+ − { }

2 x 1 y ( )

= = ∈ + − ≥ ∧ + − − + >

2 2 2

7. z . D x

, y R | 2 x 1 y 0 x y 2 x 6 y 9 0

+ − − +

2 2

x y 2 x 6 y 9 3

+ − ≥

 2 x 1 y 0

 ,

Per determinare il dominio è necessario risolvere il sistema + − − + >

2 2

 x y 2 x 6 y 9 0

≤ +

 y 2 x 1

 .

ossia + − − + >

2 2

 x y 2 x 6 y 9 0

Le seguenti figure mostrano la soluzione grafica delle due disequazioni. I punti appartenenti alla

parte di piano evidenziata soddisfano le due precedenti disequazioni.

+ − − + =

2 2

y 2 x 1 x y 2

x 6

y 9 0

3

1 1

1

2

Nel seguente diagramma è mostrato l’insieme delle 3

soluzioni. Esso è stato individuato prendendo i punti che

appartengono contemporaneamente ai due precedenti

insiemi, ossia ne abbiamo considerato l’intersezione. 1

APPLICHIAMO

Determinate graficamente i domini delle seguenti funzioni: ( )

−

  + ln xy

2 x y x 1 =

=   = 3. z

z ln

1. 2. z + −

+

  − x y 1

x 1 y 3

− − +

− +

2

3 x y 2 x y 3

x y 1 =

= =

4. 6.

z z

5. z

− + + −

− + 2 2

5 1 x y 1

y x 2 x y 1 − +

− + 2

− + 3 x 1 y

2 2 x y 1

2 x y 1 =

=

= 9. z

8. z

7. z + −

− −

2 x y 1

− + x y 1

2

x y 1 4

z

2.2 Linee di livello

Abbiamo visto che una l

funzione di due variabili h

( ) l

=

z f x

, y è rappresentata da k

una superficie. Prendiamo ora

un piano parallelo al piano xy

la cui equazione è z = k (dal y

momento che i punti che vi linee di

appartengono hanno le terza livello

coordinata uguale a k).

Supponiamo che esso x

intersechi la superficie lungo

una curva dello spazio. Ovviamente questa curva, chiamiamola l appartenendo al piano di equazione

k

z = k sarà costituita da punti aventi la terza coordinata uguale a k.

DEFINIZIONE (linea di livello)

(Linea di livello) :⇔ (Curva del piano xy che è proiezione ortogonale di l ).

k

Ovviamente variando il valore di k si possono avere diverse linee di livello. Osservandone la

( )

=

z f x

, y .

disposizione è possibile avere delle informazioni sulla superficie di equazione

ESEMPI = − + 2

1. Sia z 2 x y 1 che ha dominio R . Questa è l’equazione di un piano (funzione lineare, ossia di

primo grado).

Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo al piano xy abbiamo

=

 z k − + = − + − =

 x y k x y k .

. Applicando il metodo di sostituzione segue 2 1 , 2 1 0

= − +

 z 2 x y 1 a

−

L’ultima equazione rappresenta un fascio di rette aventi il coefficiente angolare uguale a

b

2

− = 2 , che è un numero indipendente dal parametro k. Quindi ci troviamo di fronte ad un

− 1

fascio di rette improprio (ossia un insieme di rette fra loro parallele).

OSSERVAZIONI

Ricordiamo a tal proposito che due rette non verticali risultano parallele quando hanno i

coefficienti angolari uguali. + + =

Se l’equazione della retta è scritta in forma implicita ax by c 0 il coefficiente angolare è

a

−

uguale a .

b = +

Se l’equazione è scritta in forma implicita y mx q allora il coefficiente angolare è m. 5

k = -4

Disegniamo ora alcune rette del fascio trovato y

− + − = k = 0

x y k . Per esempio dando a k valori –4,

2 1 0 k = 5

-2, 0, 3, e 5 otteniamo le rette di equazioni di seguito 5

riportate che sono quindi alcune linee di livello.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione 3

grafica sul piano xy.

= − → − + =

4 2 5 0

k x y 1

= − → − + =

2 2 3 0

k x y x

O

-1 1

-1

= → − + =

0 2 1 0

k x y -2

= → − − =

3 2 2 0

k x y k = -2 -4

= → − − = k = 3

5 2 4 0

k x y

= − + 2

2

2. Sia z x 3 x y che ha dominio R .

Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo al piano xy abbiamo

=

 z k

 .

= − +

2

 z x 3 x y − + = = − + +

2 2

Applicando il metodo di sostituzione segue x 3 x y k , y x 3 x k .

L’ultima equazione rappresenta un fascio di parabole con la concavità rivolta verso il basso (il

2

coefficiente di x è negativo).

Disegniamo ora alcune parabole del fascio aventi tutte l’ascissa del vertice uguale a

−

b 3 3

− = = .

−

2 a 2 2

Per esempio dando a k valori -2,-1, 0, 1 e 2 otteniamo le parabole di equazioni di seguito riportate

che sono pertanto alcune linee di livello.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione grafica sul piano xy.

y

= − → = − + −

2

k 2 y x 3 x 2

= − → = − + −

2

k 1 y x 3 x 1 2

1

= → = − +

2

0 3

k y x x x

k = 2

3

O 2

-1 k = 1

= → = − + +

2

k 1 y x 3 x 1 -2 k = 0

= → = − + + k = -1

2

k 2 y x 3 x 2 k = -2 6

= + − + +

2 2 y

3. Sia z x y 2 x 2 y 1 che ha dominio

{ }

( )

= ∈ + − + + ≥

2 2 2

D x , y R | x y 2 x 2 y 1 0 . 1 x

O

Intersecando la superficie data con il generico piano parallelo -1

al piano xy abbiamo

=

 z k

 .

= + − + +

2 2

 z x y 2 x 2 y 1

Applicando il metodo di sostituzione abbiamo:

+ − + + = + − + + − =

2 2 2 2 2

x y 2 x 2 y 1 k , x y 2 x 2 y 1 k 0 .

L’ultima equazione rappresenta un fascio di circonferenze concentriche aventi il centro di

coordinate C(1,-1).

Dando a k valori 0, 1, 2 e 5 otteniamo le circonferenze di equazioni di seguito riportate.

Facciamo vedere anche la loro rappresentazione grafica sul piano xy. y

= → + − + + =

2 2

0 2 2 1 0

k x y x y 4

= → + − + =

2 2

1 2 2 0

k x y x y 1

O

= → + − + − =

2 2 x

2 2 2 3 0

k x y x y k = 0

k = 1

= → + − + − =

2 2 k = 2

5 2 2 24 0

k x y x y -3 k = 5

-6

APPLICHIAMO

Determinate graficamente i domini delle seguenti funzioni ed alcune linee di livello

= + = +

= − 3. 2

z x y 2. z y

1. 2

z x

= = − −

2

4. z xy = − +

5. z y x 1 2

6. z x 3 x y

2 x

= − + = + −