Appunti Matematica

Teorema del confronto

Teorema (dei due carabinieri)

Sia A ⊆ ℝ, siano f , g1, g2 : A → ℝ e sia P un punto di accumulazione per A. Se:

• Esiste un intorno di P i cui punti x soddisfano g1(x) ≤ f(x) ≤ g2(x)
• Esistono finiti e sono uguali i limiti di g1 e g2 per x → P: lim x→P g1(x) = lim x→P g2(x) = k

Allora il limite di f per x → P esiste e si ha lim f(x) = k

Ex: La funzione definita da f(x) = x sin(1/x) ha limite per x → 0. Infatti -x ≤ f(x) ≤ x per ogni x ∈ A = ℝ \ {0}. Poiché 0 ∈ A0 ed evidentemente lim x→0 x = lim x→0(-x) = 0, possiamo concludere che lim x→0 f(x) ∈ {0}

Teorema

Teorema Sia A ⊆ ℝ, siano f , g : A → ℝ e sia P un punto di accumulazione per A.

• Se f(x) ≥ g(x) e lim g(x) = +∞, allora anche lim f(x) = +∞

+∞.○ x→P x→PSe f (x) ≤ g(x) e lim g(x) = −∞, allora anche lim f (x) = −∞.○ x→P x→PEx: La funzione definita da f (x) = 2x (2 + cos(6x)) ha limite per x +∞. Infatti f (x) ≥ 2 x per ogni x R.

→ ∈Possiamo quindi concludere che limx→+∞ f (x) = +∞.TeoremaSia A R, sia f : A e sia P un punto di accumulazione per A. Se f ammette limite per x ! P, allora tale● ⊆ →Rlimite è unico.Questo risultato garantisce che una funzione non può avere più di un limite per x→P; non dice che○ lim f (x) e lim f (x) sono uguali quando P1 e P2 sono punti di accumulazione distinti di A.x→P1 x→P2Ex: lim e = +1 | lim e = 0x x● x→+1 x→1Calcolare lim x - x sin (1/x)2● x→0+Sappiamo che -1 ≤ sin(α) ≤ 1 per ogni α R. Quindi: 0 ≤ sin(α) ≤1 - 1 ≤sin(α) ≤02 2○ → →∈ →0 ≤1 sin(α) ≤ 12Dunque

0 ≤ 1 - sin(1/x) ≤ 1, per ogni x α R \ {0}.

Dunque 0 ≤ x - x sin(1/x) ≤ x, per ogni x > 0.

Sappiamo che lim x→0+ x = 0.

Grazie al teorema del confronto concludiamo lim x - x sin (1/x) = 0.

Sia A R, sia f : A → R e sia x ∈ A \ A’ . La funzione f si dice continua in x quando lim f (x) = f (x ).

⇢ → ∈ 0 < x < 0

0 < x → x0-

0 < x → x0+

f è detta essere continua se è continua in ogni punto di A \ A’ .

La continuità di f in x è equivalente al verificarsi di tutte le seguenti condizioni:

0 < x

Esistono finiti lim f (x) e lim f (x), che sono uguali tra loro e a f (x ).

x → x0-

x → x0+

0 < x

Ex: Sono funzioni continue nei loro domini:

x (con α ∈ R) | a (con a > 0) | log (x) (con b > 0, b ≠ 1) | sin(x), cos(x), tan(x), arctan(x) | |x| e 1/x | tutti i α x

polinomi (e.g. 5x + 3, x - 3x, x - x + 1, -...- )

Siano A, B R, f : A → g : B R funzioni continue.

• ⊆ →R, →f + g definita da f (x) + g(x) per ogni x A B
• ∈ ⋂f · g definita da f (x)g(x) per ogni x A⋂ B
• ∈f /g definita da f (x)/g(x) per ogni x A B tale che g(x) ≠ 0
• ∈ ⋂g о f definita da g(f (x)) per ogni x A tale che f (x) B
• ∈ ∈

Sia A R e sia f : A R. Si dice che f ha in x A’ una discontinuità eliminabile quando esiste finito

• ⊆ → ∈0lim 0x→xf (x), ma è distinto da f (x0).

Ex: La funzione f : R R ha una discontinuità eliminabile in x0 = 0: definita da f (x) = 2x se x≠ 0

Sia A R e sia f : A R. Si dice che f ha in x0 A’ una discontinuità di prima specie quando esistono finiti

• lim f (x) e● ⊆ → ∈ x→x0lim f (x) e sono distinti.

Ex: La funzione ha discontinuità di prima specie, f : R R definita da f (x) = -1 se x<0● → 0 se x=0

se x>0

Di seconda specie

Sia A R e sia f : A R. Si dice che f ha in x0 A’ una discontinuità di seconda specie

⊆ → ∈quando almeno uno dei due limiti lim f (x) e lim 0 f (x) non esiste o è infinito.

x→x0 x→x+

Ex: La funzione ha discontinuità di prima specie, f : R R definita da f (x) = sin(1/x) se x < 0

→ 0 se x = 0

log(x) se x > 0

La funzione di Dirichlet

Esistono funzioni che sono discontinue in tutti i punti del loro dominio, per es. la funzione di Dirichlet: f : R R definita

→da X(x) = 1 se x Q⇢ ∈

0 se x R \ Q⇢ ∈

Per ogni x0 R, ogni intorno di x0 contiene sia punti razionali che punti irrazionali, dunque lim X(x) non esiste.

∈ x→x0

Teoremi fondamentali sulle funzioni continue

Teorema (di Weierstrass)

Ogni funzione continua definita su un insieme chiuso e limitato assume valore massimo e valore

minimo.

Teorema (degli zeri)

Se una funzione continua f definita su un intervallo chiuso e

stesso ordine se lim (f(x) / g(x)) è finito e non nullo → x→Pf è infinitesima di ordine inferiore a g se lim (f(x) / g(x)) = ∞ → x→Pf e g non sono confrontabili se lim (f(x) / g(x)) non esiste → x→PInfinita per x→P se lim f (x) = 1. Es: e è infinita per x→+∞x → x→PGerarchie degli ∞ = Esponenziali > Potenze > Logaritmi → o piccoloSia A R e sia P A’ . Date due funzioni f , g : A R diciamo che f = o (g) per x P (si legge f è “o piccolo” di g per x che ⊆ ∈ → →tende a P) quando: lim (f(x) / g(x)) = 0x→PPer x→ P i valori assunti da f(x) intorno a P sono trascurabili rispetto a quelli di g → f= o(g) per x→ P se:→ f è infinitesima di ordine superiore a g per x→ P→ f è infinita di ordine inferiore a g per x→ P→Ex: Per x +∞: x = o(x ) | e = o(1/x) | log(x)=o(x)2 -x→ x→f = o(1) per x P significa che lim f (x) =

1. → x→P11 Se lim (f (x)- g(x)) = 0 scriviamo f= g + o(1) per x P
2. →x→PEx: Per x +∞: e = o(1) | x + 1 = (x +x+1/x) + o(1)-x 2
3. →Asintoti obliquiSia A R e supponiamo +∞ A’. Il grafico di una funzione f : A R si dice ammettere asintoto obliquo
4. →⊆ ∈y = mx + q per x ±∞ quando f (x) = mx + q + o(1) per x ±∞
5. →Se f ammette asintoto obliquo y = mx + q per x ±∞. Allora:
6. →lim f (x) = ∞○ x +∞
7. →lim f (x) x = m○ x +∞
8. →lim (f (x) - mx) = q○ x +∞
9. →Viceversa, se f soddisfa tutti e tre i limiti qui sopra, allora ammette asintoto obliquo y = mx + q per x ±∞
10. →Ex: a. Il grafico della funzione f : R R definita da f (x) = 1/2 x +1+ e ammette asintoto obliquo a +∞ ma non a -∞
11. →b. Mentre il grafico di f (x) = (x - x - 10x + 6) / (x + 1) ammette asintoto obliquo sia a +∞ sia a ∞.

La retta passante per i punti (x, f(x)) e (x + h, f(x + h)) è m = (f(x + h) - f(x)) / h

Se f è derivabile in x, allora passando al limite per h → 0, la retta passante per i punti (x, f(x)) e (x + h, f(x + h)) tende ad avere coefficiente angolare m = lim (f(x + h) - f(x)) / h = f'(x) e tende ad essere tangente al grafico di f.

Funzione derivata

Sia A ⊆ R e sia f: A → R. Indichiamo con Å l'insieme di tutti i punti interni di A e supponiamo che f sia derivabile in ogni punto interno x di A.

La funzione f': Å → R che associa ad ogni x ∈ Å il valore della derivata di f in x è detta (funzione) derivata di f.

Derivata e tasso di variazione: Nella costruzione di modelli di sviluppo di popolazioni è ragionevole supporre che il tasso di variazione di una popolazione sia proporzionale alla numerosità della popolazione stessa.

Se P(t) indica la

numerosità della popolazione all’istante t, allora nell’intervallo di tempo [t ,t + h] la variazione della popolazione è data da ΔP = P(t0 + h) - P(t0). Il suo tasso di variazione medio nell’intervallo considerato è dunque: