Appunti Matematica

MATEMATICA

PRIMO SEMESTRE 2021

ISTRUTTORE:

Contenuto del corso:

Alcuni richiami sugli insiemi numerici e sulle funzioni. Limiti di funzioni reali di variabile reale.

Funzioni continue e loro proprietà. Teoremi fondamentali per le funzioni continue. Calcolo

differenziale: derivata di una funzione, derivate delle funzioni elementari, regole di calcolo delle

derivate. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle, Lagrange, Fermat. Applicazioni al

calcolo dei limiti: il teorema di De l’Hospital. Studio del grafico qualitativo di una funzione. Funzioni

primitive e integrale secondo Riemann. Il teorema di Torricelli-Barrow. Cenni alle equazioni

differenziali ordinarie (del primo ordine): equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari.

Elementi di algebra lineare: sistemi lineari e matrici. Durante il corso saranno illustrate applicazioni

delle nozioni trattate a modelli delle scienze della vita, anche in collaborazione con i docenti di altri

insegnamenti.

1

Modelli matematici

Un modello matematico è una riproduzione della realtà (fenomeno fisico, biologico, economico,

sociologico...), che possa essere analizzata (rappresentazione semplificata) e studiata (attraverso il linguaggio e gli

strumenti. Esso predice lèvoluzione del sistema reale che descritto.

Come si realizza un modello matematico?

Analisi del fenomeno: conoscenza del fenomeno reale da descrivere e studiare con il modello (ex una epidemia).

● Costruzione del modello: individuazione delle grandezze e relazioni che governano il fenomeno e descrizione di esse in

● termini matematici (ex. modello di crescita esponenziale)

Studio matematico del modello: studio struttura modello e sue peculiarità (ex. la base dellèsponenziale a > 0 è il solo

● parametro libero).

Verifica sperimentale: confronto tra le previsioni fornite dal modello e realtà (ex. se a > 1, allora in un tempo che può

● essere calcolato, le risorse disponibili per far fronte allèpidemia saranno insufficienti).

Modelli matematici ricorrenti durante il corso

Sviluppo di una popolazione: nota la numerosità P di una popolazione all’istante iniziale, P rappresenta la numerosità

● 0 (t)

all’istante futuro t > 0.

Modello preda-predatore: descrive lèvoluzione temporale di due popolazioni (prede e predatori) che condividono in

● modo conflittuale la stessa nicchia ecologica.

Concentrazione di un farmaco nel sangue: descrive come varia la concentrazione di un farmaco nel sangue con il

● passare del tempo.

Insiemi:

Classe di oggetti ben definita ed oggettiva.

● Può essere rappresentato:

● Elencandone gli elementi (ex. A = {1, 2, 3}, S = {lun, mar... , dom}).

○ Caratterizzandone gli elementi (ex. P = numeri primi).

○ Graficamente attraverso i diagrammi di Eulero-Venn.

○

B è sottoinsieme dell’insieme A = ogni elem di B è un elem di A. Se ne esiste almeno uno di A che

● non appartiene a B: B è un sottoinsieme proprio di A (B A o A B).

⊂ ⊃

Se B è sottoinsieme di A si dice anche che A contiene B e si scrive B A oppure A B. Ex B = {2, 3} sottoinsieme

○ ⊆ ⊇

proprio di A = {1, 2, 3}.

L’unione degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi appartenenti ad almeno uno degli insiemi A e B; è indicata con A

● B. Ex Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8}, allora A∪B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}.

∪

L’intersezione, indicata con A B, tra gli insiemi A e B è l’insieme degli elementi appartenenti sia ad A che a B. Due

● ∩

insiemi sono disgiunti se la loro intersezione è l’insieme vuoto. Ex: P = interi pari e D = interi dispari sono disgiunti: P D =

∩

∅.

Proprietà insiemi con unione e intersezione

Proprietà commutativa: A B = B A | A B = B A

● ∪ ∪ ∩ ∩

Proprietà associativa: (A B) C = A (B C) | (A B) C = A (B C)

● ∩ ∩ ∩ ∩

∪ ∪ ∪ ∪

Proprietà distributiva: A (B C) = (A B) (A C) | A (B C) = (A B) (A C)

∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

Operazioni tra insiemi

Dati gli insiemi A e B, la differenza “A meno B” (A \ B) è l’insieme degli elementi appartenenti ad A ma non a B. Se B A,

● ⊆

allora A \ B si dice “complementare di B in A”. Ex: Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8}, allora A \ B = {1, 3} e B \ A = {4, 6, 8}. La

differenza tra insiemi non è commutativa!

Il prodotto cartesiano (A × B) tra gli insiemi A e B è l’insieme delle coppie ordinate (a, b) dove a A e b B. Il

● ∈ ∈

prodotto cartesiano tra insiemi non è commutativo! Ex: Se A = {1, 2}, B = {−1, 1}, allora: A × B = {(1, −1),(1, 1),(2, −1),(2,

1)} | B × A = {(−1, 1),(−1, 2),(1, 1),(1, 2)}

❗ Se A = B = R (insieme n reali), allora A × B = R è l’insieme delle coppie ordinate di.numeri reali e, perciò, coincide

i 2

con il piano cartesiano.

Funzioni:

2

Ex. Quantità carburante consumato per un viaggio in auto dipende dalla lunghezza del viaggio. Ad ogni n° indicante la distanza

percorsa corrisponde un n° della quantità di carburante consumata. Funzioni

Dati due insiemi X e Y, una funzione (f o altre lettere minuscole) da X a Y è una corrispondenza che associa ad ogni x

● ∈

X un unico y Y.

∈

Gli insiemi X e Y sono detti rispettivamente dominio e codominio della funzione f.

○ La notazione f : X Y significa che f è una funzione di dominio X e codominio Y.

○ →

Denoteremo con f (x) l’unico elemento di Y associato dalla funzione f a x X e lo

○ ∈

chiameremo immagine di x tramite f .

Da ogni elemento di X “parte” un’unica freccia

○

Una funzione ( f da X a Y) può essere:

● iniettiva se a p.ti distinti di X corrispondono immagini distinte in Y. X = insieme immatricolati 2021 dell’Ateneo e N =

○ insieme dei n naturali. f che associa ad ogni matricola x X il suo numero di matricola f (x) N è

i ∈ ∈

iniettiva, ma non suriettiva.

suriettiva se ogni punto di Y è immagine di almeno un punto di X. Ex: Siano X = insieme

○ immatricolati 2021 dell’Ateneo e Y = insieme giorni dell’anno. f associante ad ogni matricola x X il

∈

giorno del compleanno f (x) Y è suriettiva ma non iniettiva.

∈

biunivoca (o invertibile) se iniettiva e suriettiva. Per ogni y Y esiste 1 solo x X tale che f (x) =

○ ∈ ∈

y.

Esistono funzioni né iniettive, né suriettive. Ex: Sia Z l’insieme dei n interi con f che associa ad

1

○ ogni intero x Z il suo quadrato x Z (cosicché f (x) = x ). Questo perchè: * 2 e −2 (x e −x per

2 2

∈ ∈

ogni x Z) hanno lo stesso quadrato, ma *non esistono n interi con quadrato negativo

i

∈

Funzioni inverse e composte

Data una funzione biunivoca f : X Y , la funzione inversa (f : Y X) è la corrispondenza che associa ad ogni y Y

−1

● → → ∈

l’unico x X tale che f (x) = y (dunque è una funzione da Y a X). Ex: la funzione f : Z Z definita da f (x) = x + 1 è biunivoca

→

∈

e la sua inversa è data da f (y) = y − 1.

−1

Date funzioni f : X Y e g : Y Z, la funzione composta (g f (o talvolta con g[f ]) la composizione di f e g)mediante f e g

● → → ◦

è la funzione da X a Z che associa ad ogni x X lèlemento g (f(x)) in Z. Condizioni:

∈

Codominio di f coincida con il dominio di g.

○ Se f : X Y è biunivoca si possono considerare f f e f f e si ha: f f (x) = x | f f (y) = y

−1 −1 −1 −1

○ ◦

→ ◦ ◦ ◦

Insiemi numerici

N = {0, 1, 2, 3, . . . } è l’insieme dei numeri naturali.

● Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . } è l’insieme dei numeri interi.

● Q = {±p/q dove p, q N, q 6= 0} è l’insieme dei numeri razionali.

● ∈

R è l’insieme dei numeri reali, ossia tutti i numeri che hanno un allineamento decimale (anche infinito e non periodico).

● ex: √2=1,41... ; π=3,14… N⊂Z⊂Q⊂R

Il progressivo ampliamento degli insiemi numerici è giustificato da:

● Differenza di 2 n N (di solito) non è un n° naturale (ex 2 N e 3 N, ma 2 − 3 Z \ N)

i

○ ∈ ∈ ∈

Quoziente di 2 n Z (di solito) non è un n° intero (ex −3 Z e 5 Z, ma − 3 / 5 Q \ Z)

i

○ ∈ ∈ ∈

Esistono n con un allineamento decimale non periodico, dunque non sono Q (ex √ 2 R \ Z, π R \ Z)

i ❗

○ ∈ ∈

Ex: rappresentazione n reali = Disegno retta e quadrato, la diagonale è =

i

√2; disegno retta e circonferenza, la faccio ruotare e la distanza percorsa è =

π.

❗ Ex: rappresentazione n reali = p.ri retta

i

Si deduce:

N e Z sono discreti in R: dati x, y R tali che x < y può capitare che non esista z Z tale che x < z < y (ex x = 0 e y = 1)

● ∈ ∈

Q è denso in R: dati x, y R tali che x < y esiste (sempre!) z Q tale che x < z < y.

● ∈ ∈

Intervalli (sottoinsiemi di R; supponiamo qui a, b R con a < b)

∈

[a, b] = {x R : a ≤ x ≤ b} limitato chiuso

● ∈

(a, b) = {x R : a < x < b} limitato aperto

● ∈

[a, b) | (a, b] = {x R : a ≤ x < b} intervallo lim. aperto a dx/sx e chiuso a sx/dx

● ∈

3 [b, +∞) | (−∞, b] |(b, +∞) | = {x R : x ≥ b} intervallo chiuso/aperto illimitato a dx/sx

❗

● ∈

Se funz definita su n reali il risultato non può essere +∞ xke +∞ non è reale.

i

Successioni

Una funzione da (un sottoinsieme infinito di) N a R è detta successione (reale). Data una successione s, si indica con s

● n

l’immagine del n° naturale n attraverso s. Talvolta la successione s è indicata (in maniera poco precisa) con l’insieme ∞

n {s ,s ,s ... }.

❗ 0 1 2

Metto puntini di sosp. ma i n della succ. posson cambiare dopo molti termini; nelle succ., a differenza deli insiemi,

i

i termini non posson esser scambiati)

Ex: {1, 8, 15, 22, 29... } indica la successione soddisfante s = 1 e s = s + 7 s = 1 + 7n

→

0 n n−1 n

Successioni in cui la differenza tra un termine e il precedente è k pari a q R sono dette progressioni aritmetiche di

● ∈

ragione q. Hanno forma s = s + nq. Ex: {2, 6, 18, 54, 162, 486... } indica la successione che soddisfa s = 2 e s = 3 s s =

→

n 0 0 n n−1 n

s 3

n

0

Successioni in cui il rapporto tra un termine e il precedente è costante pari a d R \ {0} sono dette progressioni

● ∈

geometriche di ragione d. Esse hanno tutte la forma s = s d . Ex: esistono successioni né aritmetiche, né geometriche per

n

n 0

es quella di Fibonacci: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... } in cui s = 1, s = 1 e s = s + s .

0 1 n n−1 n−2

Grafici di funzioni reali di variabile reale

Il grafico (da’ idea sull’andamento della funzione) di f : X R è il sottoinsieme costituito dai punti (x, f (x))

● → ∈

R (insieme coppia delle coordinate dei numeri reali) al variare di x X.

2 ∈

Alcune proprietà di una f : X R si riflettono in maniera sul grafico:

● →

f è iniettiva se ogni retta orizzontale incontra il grafico di f al più in un punto.

○ f è suriettiva se ogni retta orizzontale incontra il grafico di f almeno in un punto.

○ f può essere anche biunivoca o né iniettiva, né suriettiva.

○ Prendendo (x,y) R tali che, x + y = 1, NON è una funzione f:R (x,F(a) tali che x∈R), perché

2 2 2

○ ∈

delle rette verticali nel piano incontrano lèspressione in più di 1 p.to

Funzione inversa

Talvolta si può ricavare lèspressione analitica di f da quella di f, attraverso passaggi algebrici. Se f è

−1

● invertibile, il grafico di f = al simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

−1

Ex: Sia f : R R la funzione definita da f = 3x − 15.

→ (x)

f è iniettiva e suriettiva; f : R R è data da f = 1/3y + 5 (porre y = 3x − 15 è ricavare x per la verifica)

−1(y)

● →

Funzioni crescenti e decrescenti

Sia X un sottoinsieme di R. Una funzione f : X R è detta essere strettamente crescente quando, per

● →

ogni x , x X con x < x si ha f (x ) < f (x ).

∈

1 2 1 2 1 2

Sia X un sottoinsieme di R. Una funzione f : X R è detta essere crescente quando, per ogni x , x X

● → ∈

1 2

con x < x si ha f (x1) ≤ f (x2).

1 2

Sia X un sottoinsieme di R. Una funzione f : X R è detta essere decrescente quando, per ogni x1, x2

● →

X con x1 < x2 si ha f (x1) ≥ f (x2).

∈

Sia X un sottoinsieme di R. Una funzione f : X R è detta essere strettamente decrescente quando,

● →

per ogni x1, x2 X con x1 < x2 si ha f (x1) > f (x2).

∈

Funzioni convesse e concave

Una funzione è convessa se, scelti arbitrariamente due punti del suo grafico, il segmento che li

● congiunge si trova al di sopra (non al di sotto) del grafico stesso = f : R R, per ogni x , x X, si ha f

→ ∈

1 2

Una funzione è concava se, scelti arbitrariamente due punti del suo grafico, il segmento che li

● congiunge si trova al di sotto (non al di sopra) del grafico stesso = f : R R, per ogni x , x X, si ha f

→ ∈

1 2

Funzioni pari e dispari

4 Una funzione è pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate (asse y). = Sia X un sottoinsieme di R

● simmetrico rispetto a 0. f : X R è pari quando, per ogni x X, si ha f (−x) = f (x).

→ ∈

Una funzione è dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. = Sia X un sottoinsieme di R

● simmetrico rispetto a 0. f : X R è dispari quando, per ogni x X, si ha f (−x) = −f (x). (Se f : X R è

→ →

∈

disp. e 0 X, allora si ha f (0) = 0, esso non è sempre soddisfatto ex. per f(x) = 1/x per il D x ≠ 0).

∈

Funzioni elementari

Funzioni lineari

Chiamiamo f lineare: f : R R definita da unèspressione della forma f (x) = mx + q per opportuni m,

● →

q R. Per le f da R in R per cui vale la seguente proprietà: esiste m R tale che per ogni x , x

∈ ∈ 1 2

R distinti si ha →

∈

Infatti, per una tale f, posto q = f (0) si ha f (x) = mx + q.

Ex: Impresa con costi fissi = q e di produz. = c per ogni unità del bene

prodotto. Il costo tot di produz. è C(x) = cx + q; il prezzo di vendita è p, quindi il ricavo tot è R(x) = px. Il p.to

di break-even è quello in cui i grafici delle funzioni di costo e ricavo si intersecano (guadagno!). Si determina

risolvendo il sistema: y = cx + q | y = px.

Funzioni quadratiche

Funzione quadratica: ogni funzione f : R R definita da unèspressione della forma f (x) = ax + bx + c per opportuni a,

2

● →

b, c R con a ≠ 0 (se = è lineare).

∈

Il suo grafico è una parabola con asse verticale (e direttrice orizzontale).

○ Il p.to di intersez. con l’asse delle ordinate è il p.to (0, c).

○ Il vertice è

○ Se b − 4ac ≥ 0, le intersez. con l’asse x sono i p.ti di ascissa

2

○

Una funzione quadratica definita da f (x) = ax + bx + c è:

2

● Convessa se a > 0 ex f (x) = x − 3x + 1 | V = 3/2, − 5/4; c = 1

2

○ Concava se a < 0 ex f (x) = −x + x + 2| V =1/2,9/4; c = 2

2

○

Funzioni potenza

La funzione potenza è f : (0, +∞) R definita da unèspressione della forma f (x) = x con α R. L’andamento dipende

α

● → ∈

dal valore di α: α (−∞, 0) | α (0, 1) | α (1, +∞) =

∈ ∈ ∈

f (x) = x con α (1, +∞), più f (x) = x con α (0, 1), più α f (x) = x con α [−1, 0); al f (x) = x α con α (−∞, −1]

α α α

∈ ∈ ∈ ∈

α cresce più il grafico si vicino a 1, più il grafico è crescere dell’alfa curva si

“schiaccia” verso l’angolo in vicino alla bisettrice 3 schiaccia sull’asse y, per

o

basso a dx del quadrato quadrante maggiore di 0 si avvicina a

essere semiretta orizzontale

5

Funzioni esponenziali

Ogni funzione f : R R definita da unèspressione della forma f (x) = a con a sempre positivo: a (0, +∞). L’andamento,

x

● → ∈

strettamente crescente,dipende dal valore di a:

a = 1 caso speciale a > 1 a (0, 1) n° di Eulero (o Nepero)

∈ e = 2, 718

Ogni funzione esponenziale, definita da f (x) = a x con a (0, 1) oppure a (1, +∞) è biunivoca dall’insieme R (dominio)

● ∈ ∈

all’insieme (0, +∞) (codominio) = Si limita il codominio. Pertanto, f è invertibile

Esiste dunque la funzione inversa f −1 : (0, +∞) R che si denota con log . Poiché f (f −1 (x)) = x, ritroviamo la Definizione

● → a

Il numero loga (x) è lèsponente cui elevare a per ottenere x.

Funzioni logaritmiche

Chiamiamo funzione logaritmica ogni funzione f : (0, +∞) R, definita da unèspressione della forma f (x) = log (x) con

● → a

a > 0, con a≠1. L’andamento dipende dal valore di a; Notazione: Log = log , log = log :

10 e

f(y) = a | f (x) = log x | a = x

y --1 loga X

a

a > 1 o (1, +∞) a (0, 1) n° di Eulero (o Nepero)

∈ e = 2, 718

Funzioni trigonometri