Matematica per le applicazioni II - algebra lineare

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

117- del Teorema 4, si ha che pr(X) = pr(XX'), da cui r(X) = r(X'X). ∈ ∈ <N N NOra, per ogni a(X), risulta anche a(X'X), cosicché (X)N(X'X). ∈ NSia poi b(X'X), vale a dire X'Xb = 0; allora, b'X'Xb = 0, ovvero (Xb)'Xb = 0. Ma, quest'ultima relazione implica che sia Xb = 0 in quanto l'espressione (Xb)'Xb rappresenta la somma dei quadrati degli elementi ∈ Ndel vettore Xb; quindi, b(X). <N N N NNe segue che (X'X)(X) e, in definitiva, che (X) = (X'X). Con una dimostrazione analoga si prova che r(X) = r(XX').

T7EOREMA Il rango di una matrice rimane invariato se questa viene premoltiplicata per una matrice di pieno rango per colonne. Dim. Siano X una matrice di ordine (n,p) e Y una matrice di ordine (m,n) erango n. Vogliamo dimostrare che r(X) = r(YX). A questo fine, è sufficiente provare che il nucleo di X coincide con

Il nucleo di YX; in tal caso, infatti, tenuto conto del Teorema 4, si ha che -p r(X) = p r(YX), da cui r(X) = r(YX).

Per ogni a (X), è anche a (YX), cosicché (X) (YX).

Viceversa, per ogni b (YX), è anche b (X), in quanto, essendo Y'Y invertibile, (3) => => b = 0} {Y'YX b = 0} {X b = 0} .{YX

(YX) (X) e, in definitiva, che (X) = (YX).

Ne consegue che Il Teorema 7 fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria affinché il rango di una matrice rimanga invariato quando questa viene premoltiplicata per una matrice di pieno rango.

(3) La matrice Y ' Y di ordine (n , n), per il Teorema 6, è tale che r (Y ' Y) = r (Y) = n.

Per esempio, date le matrici

0 0 0

1 0 0

X =

0 1 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

Y =

0 1 0

0 0 0

è r(X) = 1 e r(Y) = 2, ma r(YX) = r 0 1 0

0 0 0

0 0 0

Date due matrici X di ordine (n,p) e Z di ordine (p,q) e rango q, risulta,

in generale, r(X) <= r(XZ). Per esempio, date le matrici X =
1 0 0
1 0 1
e Z =
1 0 0
1 0 0
è r(X) = 2 e r(Z) = 1, ma r(XZ) = r(
1 0 0
1 0 0
) = 1.

TEOREMA
Il rango di una matrice rimane invariato se questa viene premoltiplicata o postmoltiplicata per una matrice invertibile.
Dim. Siano X una matrice di ordine (n,p) e Y e Z due matrici invertibili di ordine, rispettivamente, (n,n) e (p,p).
Tenuto conto del Teorema 7, si ha r(YX) = r(X), r(XZ) = r(Z'X') = r(X') = r(X).

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
1195 CAMBIAMENTI DI BASE IN UNO SPAZIO VETTORIALE
Sia S uno spazio vettoriale di ordine n e dimensione p.
Consideriamo una base di S costituita da p vettori x1, ..., xp di ordine n.
Supposto che tale base sia ordinata, scriviamo un generico vettore x ∈ Snella forma (Cfr. l'Osservazione 7 del Cap. II) x = a1x1 + ... + apxp = Xa.
Consideriamo, adesso, p vettori x1, ..., xp appartenenti a S e supponiamo che anch'essi siano presi

Nell'ordinamento naturale espresso dagli indici1, ... , p. Poiché risulta a 11x = a x + ... + a x = x x = Xa1 1 1 1 p 1 p 1 p 1a p1..............................................................................a 1px = a x + ... + a x = x x = Xap 1 p 1 p p p 1 p pa pppossiamo scrivereX = x x = x x a a = XA .1 p 1 p 1 pMa, tenuto conto del Teorema 7,r(X) = r(XA) = r(A) .Dunque, condizione necessaria e sufficiente affinché i p vettori x , ... , x1 pcostituiscano a loro volta una base ordinata di S è che la matrice A, di ordine(p,p), sia non singolare.Qualora tale condizione sia verificata, un generico vettore x∈S può esse-120 Cap. IVre scritto univocamente nella forma a 1a x + ... + a x = = Xa .x = x x1 1 p p 1 p a pPertanto, premoltiplicando il primo e l'ultimo membro dell'identità= x = X a = XA a per X' e osservando che X'X è invertibile , il legameXa (4)che sussiste tra i vettori coordinati a e a di x, rispetto alle

Date le matrici X e X di cui sopra, la matrice A delO 9.

SSERVAZIONEcambiamento di base può essere facilmente ottenuta mediante l'espressione- 1A = (X'X) X' X .(4) La matrice X' X di ordine (p , p), per il Teorema 6, è tale che r(X' X) = r(X) = p.

COMPLEMENTI 121

Cap. IV

COMPLEMENTI

1 Nel capitolo precedente abbiamo posto in evidenza che se i vettoricolonna (riga) che compongono una matrice X di ordine (n,n) sono linear-mente dipendenti, allora detX = 0.

Vogliamo mostrare che sussiste la proprietà reciproca di quella ora ricor-data.

In effetti, escludendo il caso banale in cui sia X = O, se detX = 0, allorar(X) = p < n; pertanto (Cfr. il Teorema 2), in X esistono p vettori colonna(riga) linearmente indipendenti e ogni altro vettore colonna (riga) di X puòessere espresso come combinazione lineare di tali p vettori

colonna (riga)linearmente indipendenti. Quindi, i vettori colonna (riga) di X sono linear-mente dipendenti.

TEOREMA

Date due matrici Y,X di ordine, rispettivamente, (m,n) e (n,p), condi-zione necessaria e sufficiente affinché sia che risultiN N(YX) = (X). − −N NDim. Se (YX) = (X), allora (Cfr. il Teorema 4) p r(YX) = p r(X) e,122 Cap. IVquindi, r(YX) = r(X).

Per dimostrare la proposizione reciproca, osserviamo intanto che, per∈ ∈ <N N N Nogni a (X), risulta anche a (YX), cosicché (X) (YX).N ND'altra parte, se r(YX) = r(X), (X) e (YX) hanno la stessa dimen-≡sione ({r(YX) = r(X)} {p−r(YX) = p−r(X)}) e, quindi, coincidono.

3 x x di ordine (n,p) e rango r, vogliamo mo-Data una matrice X = 1 pstrare la possibilità di scomporre X nel prodotto di due matrici.

Poiché r(X) = r, lo spazio vettoriale S (di ordine n) generato dai vettoricolonna di X ha dimensione r.

Supponiamo che h , ... , h formino

Una base ordinata di S.1 r(j = 1, ... , p) di X si può allora esprimere nellaOgni vettore colonna x jforma k 1jx = k h + ... + k h = = Hkh hj 1 j 1 r j r j1 r k rjovvero X = [ x x ] = [ ] [ ] = HK .h kh k1 p 1 r 1 p− −Le matrici H ,K di ordine, rispettivamente, (n,r) e (r,p) attuano ladesiderata scomposizione. Inoltre, per il Teorema 7, r(X) = r(HK) = r(K) = r≤ p.Si osservi che la scomposizione X = HK non è unica.In effetti, se A è una matrice non singolare di ordine (r,r), allora- 1X = HA AK = H K .Per esempio, data la matrice 1 1 2X = 0 1 1tale che r(X) = 2, si haCOMPLEMENTI 1231 1 1 0 1 1 1 2X = = .0 1 0 1 1 0 1 1Considerata poi la matrice non singolare2 1A = 0 1è anche -11 1 2 1 2 1 1 0 1X = 0 1 0 1 0 1 0 1 11 1 2 1 3 1 1 2-1 = .= 2 0 2 0 1 1 0 1 1124 Cap. VCap. VTRASFORMAZIONI LINEARI1 GENERALITÀ SULLE TRASFORMAZIONI LINEARISiano S uno spazio vettoriale di ordine n e dimensione p e Z uno spaziovettoriale di ordine m e dimensione q.

l'immagine del vettore 0 è il vettore O. Osservazione ∈ Z (1)0 . Infatti, T(0) = T(0x) = 0T(x) = 0 . Chiaramente, la funzione che associa a ogni x∈S il vettore 0 è una trasformazione lineare di S in Z. Essa riceve la denominazione di trasformazione (lineare) nulla ed è indicata con il simbolo O.

TRASFORMAZIONI LINEARI E BASI

2.1

Supponiamo che T sia una trasformazione lineare di S in Z. Supponiamo inoltre che x , ... , x formino una base ordinata di S e che z , ... , z formino una base ordinata di Z.

Consideriamo poi un generico vettore a1 ∈ x = a1x1 + ... + apxp = Xa ∈ S.

Posto (j = 1, ... , p) t1jT(xj) = t1z1 + ... + tqzq = Ztj ∈ Z, tenuto conto dell'Osservazione 1, possiamo scrivere:

a1T(x1) + ... + apT(xp) = a1T(x1) + ... + apT(xp) = T(a1x1 + ... + apxp) = T(Xa) = Zt = ZTa.

(1) Il simbolo 0 denota sia il vettore nullo di S (di

ordine n) sia il vettore nullo di Z (di ordine m).126 Cap. V

Mediante la (1) l'immagine T(x) di x risulta espressa in funzione del vet-tore coordinato a di x e della matrice T di ordine (q,p).

Quest'ultima matrice riceve la denominazione di matrice (rappresenta-tiva) della trasformazione lineare T rispetto alle suddette basi ordinatedi S e Z e risulta univocamente associata a T e a tali basi.

A sua volta, il vettore c = Ta è il vettore coordinato di T(x), rispetto alla base ordinata di Z.

Date le matrici Z e T(x ) T(x ) dalla relazione

O 4.

SSERVAZIONE 1 p -- -1 s iZ'premoltiplicando ambo i membri per (Z 'Z)ZT = T(x ) T(x )

1 pha (2) -1T = (Z 'Z) Z' T(x ) T(x ) .

1 p 3Consideriamo nuovamente la trasformazione lineare T di R inE 2.

SEMPIO2R di cui all'Esempio 1. 3 2Scelte le basi ordinate di R e R formate