Matematica Generale 1

Esempio:

f(x) = ⌊x⌋

ε = 0.5

Prendendo ε = 0.5 non è vero cheper ogni 1 < x < 2 1.5 < f(x) < 2.5,infatti f(x) = 1 casca fuori dall'intervallo (2-ε, 2+ε)

Lim x→2 ⌊x⌋ = 2Lim x→1 ⌊x⌋ = 1

NO!

Limite Destro / Sinistro

Sia f: x → ℝ x₀ punto di accumulazione per x, diremo che:

lim f(x) = l se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tale che | f(x) - l | < εx → x₀⁺ sx∀ x ∈ (x₀, x₀ + δ) // limx → x₀⁻ dx

Sia f: x → ℝ x₀ punto di accumulazione per x, si ha:

lim f(x) = l se e solo se limx → x₀ f(x)= l = limx → x₀⁻ dx

Le funzioni che hanno limite hanno Limite dx = sx

Esempio: Non ammette limite

Lim x→2 ⌊x⌋ = 1Lim x→2⁺ ⌊x⌋ = 2Limite dx ≠ sx

La definizione di limite non si preoccupa di quanto vale f in x₀, è possibile che x₀ non sia neanche un punto in cui posso calcolare f(x)

Limite che va a ±∞

Sia f: x → ℝ x₀ punto di accumulazione per x, diremo che:

lim f(x) = ±∞ se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 tale che | f(x) ≥ Mx → x₀∀ x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ) con x ≠ x₀

Limite che va a +∞ uguale a +∞

Diremo che lim x = +∞ se ∀ M > 0 esiste N > 0 tale che f(x) ≥ Mx → +∞∀ x > N

Esempio:

f(x) = ⌊x⌋

ε=0,5

Prendendo ε=0,5 non è vero che per ogni 1 < x < 2, 1,5 < f(x) < 2,5

Infatti f(x) = 1 casca fuori dall'intervallo [2-ε, 2+ε]

lim_x→2 ⌊x⌋ = 2lim_x→1 ⌊x⌋ = 1

NO!

Limite Destro/Sinistro:

Sia f: X → ℝ X₀ punto di accumulazione per X. Dico che: lim_x→x₀⁺ f(x) = L se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tale che | L - f(x) | < ε ∀ x ∈ ( X₀, X₀+δ )

Sia f: X → ℝ X₀ punto di accumulazione per X. Si ha: lim_x→x₀^- f(x) = L se e solo se lim_x→x₀⁺ f(x) = lim_x→x₀⁻ f(x) = L

⇒ Le funzioni che hanno limite hanno limite DX = SX

Esempio: Non Ammette Limite

lim_x→2^- ⌊x⌋ = 1lim_x→2⁺ ⌊x⌋ = 2 ← Limite DX ≠ SX

La definizione di limite non si preoccupa di quanto vale f in x₀ e possibile che x₀ non sia neanche un punto in cui posso calcolare f(x)

Limite che va a ±∞

Sia f: X → ℝ X₀ punto di accumulazione per X. Dico che: lim_x→x₀ f(x) = ±∞ se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 tale che f(x) ≥ M∀ x ∈ ( X₀-δ, X₀+δ ) con x ≠ x₀

Limite che va a +∞ uguale a +∞

Diremo che lim_x→+∞ f(x) = +∞ se ∀ N > 0 esiste N₀ tale che f(x) > M∀ x > N

Limiti di Funzioni Elementari

f(x) = x

lim x = +∞

x → +∞

lim x = -∞

x → -∞

f(x) = e^x

lim e^x = +∞

x → +∞

lim e^x = 0

x → -∞

f(x) = 7

lim 7 = 7

x → +∞

lim 7 = 7

x → -∞

f(x) = x²

lim x² = +∞

x → +∞

lim x² = +∞

x → -∞

f(x) = log x

lim log x = +∞

x → +∞

lim log x = -∞

x → 0⁺

Secondo il dominio (x>0) la funzione è solo positiva

lim log x = -∞

x → 0⁺

f(x) =

lim = 0

x → 0⁺

lim = ∞

x → 0^-

lim = 0

x → ∞

lim = 0

x → -∞

Proprietà Algebriche del Limite

Si a f, g: x ∈ ℝ → ℝ

x₀ punto di accumulazione per x con lim f(x) = l

x → x₀

lim g(x) = m si ha:

x → x₀

• lim [f(x) + g(x)] = l + m

x → x₀

• lim [f(x) g(x)] = lm

x → x₀

Se l e m sono finiti

Se m ≠ 0 allora:

• lim f(x)/g(x) = l/m

x → x₀

I risultati sopra valgono anche quando l e/o m sono sostituiti da ∞

purché non si vada in una forma di indeterminazione:

1. ∞ - ∞
2. 0 × ∞
3. 0/0 ∞/∞

Polinomiali Fratti

f(x) = ^x5/_{x³ + 4x³}

lim x⁵ + lim x(1 - ¹/_x) = +∞

f(x) = ^{5x3 - 4x}/_4x

lim ^{x3 - 4x/_x}

lim ^{x - 4/_x2}

lim ¹/_x³ = 0

f(x) = ^{5x3 + 4x}/_{6x - x}

lim ^{5x + 1}/_{6 - ^x/x} = ⁵/₆

f(x) = ^{5x3 + 5x + 1}/_{6x - x}

lim ^{5x + 1}/_{6 - ^x/x} = +∞

Teore