Matematica Generale 1

Esempio:

f(x) = ⎢x⎥

ɛ = 0,5

Prendendo ɛ = 0,5 non è vero che

per ogni 1 < x < 2 1.5 ≠ f(x) 2,5.

Infatti f(x) = 1 casca fuori dall'intervallo [2 - ɛ, 2 + ɛ]

lim |⎢x⎥| = 2

lim |⎢x⎥| = 1

No!

Limite Destro/Sinistro:

Sia f: X → ℝ X_o punto di accumulazione per X diremo che:

lim f(x_o) = l se V ɛ> 0 ∃ δ> 0 tale che l - ɛ < f(x) < l + ɛ V x ∈ (X_o, X_o + δ)

lim f(x) = l se e solo se lim f(x) = l

Le funzioni che hanno limite hanno limite dx = sx

Esempio Non Ammette Limite

lim ⎢x⎥ = 1

lim ⎢x⎥ = 2

Limite dx ≠ sx

La definizione di limite non si preoccupa di quanto vale f in X_o. È possibile che X_o non sia neanche un punto in cui posso calcolare f(x)

Limite che va a + ∞

Sia f: X → ℝ X_o punto di accumulazione per X diremo che:

lim f(x)= + ∞ se V M ∃ δ> 0 tale che f(x) ≥ M

V x∈ (X_o - δ, X_o + δ) con x ≠ X_o

Limite che va + ∞ uguale a + ∞

Diremo che lim x = + ∞ se V N> 0 esiste N₀ tale che f(x) ≥ M V x > N

Limiti di funzioni elementari

f(x) = x

• lim_{x → +∞} x = +∞
• lim_{x → -∞} x = -∞

f(x) = e^x

• lim_{x → +∞} e^x = +∞
• lim_{x → -∞} e^x = 0

f(x) = 7

• lim_{x → +∞} 7 = 7
• lim_{x → -∞} 7 = 7

Proprietà algebriche dei limiti

Sia f, g : ℝ → ℝ

1. x₀ punto di accumulazione per x con lim_{x → x0} f(x) = l lim_{x → x0} g(x) = m si ha:
• lim_{x → x0} [f(x) + g(x)] = l + m
• lim_{x → x0} [f(x) · g(x)] = l · m
2. Se l, m ≠ 0 allora:
• lim_{x → x0} f(x)/g(x) = l/m

I risultati sopra valgono anche quando l e/o m sono sostituiti da ∞ purché non si vada in una forma di indeterminazione:

1. ∞ - ∞
2. 0 · ∞
3. 0/0 ∞/∞

Esempio

f(x) = ³⁄_x

x = 0

lim x→0 ³⁄_x→0 lim x→0- = +∞

NON DERIVABILE IN x₀ = 0

f(x) | x | = x>0

f(x) | x₀ = 0

lim x→0 f(x) - f(x₀) ⁄ x-x₀ = NON ESISTE

lim x→0+ f(x) - f(x₀) = 1

lim x→0- f(x) - f(x₀) = -1

f(x) in x₀ = 0 NON È DERIVABILE in quanto è presente un punto angoloso

Però posso parlare di derivata di f in quanto il risultato è finito.

f è continua in x₀ se lim x→x₀ f(x) = f(x₀)

f derivabile in x₀ se esiste ed è finito lim x→x₀ f(x) - f(x₀) ⁄ x - x₀ = f '₁(x₀)

f è continua in x₀ = 0 ma non derivabile

Se una funzione è derivabile in un punto è anche continua ma non si può sempre dire dell'opposto

Rapporto tra derivabilità e continuità di una funzione in un punto

Sia f : X ⊆ R X x₀ ∈ X punto interno ad X Se f è derivabile in x₀

Tesi: Allora f è continua in x₀

Dimostrazione

lim x→x₀ f(x) = lim x→x₀ f(x₀) = lim x→x₀ f(x) - f(x₀) = 0

Per ipotesi lim x→x₀ (f(x) - f(x₀)) ⁄ (x - x₀) = f'₁(x₀)

Essendo polinomio di 1 grado (x - x₀) è continua e quindi lim x→x₀ x - x₀ = 0

f(x) è una funzione costante e quindi lim x→x₀ (f(x) - f(x₀)

Sfruttando la proprietà algebrica del limite otteniamo

lim x→x₀ f(x) = lim x→x₀ (f(x) - f(x₀) ⋅ (x - x₀) + f(x₀) = f(x₀) + 0 + f(x₀) = f(x₀)

Una funzione f : X ⊆ IR X aperto è derivabile se e solo se per ogni punto appartenente a X

Funzioni derivabile nel loro campo di esistenza:

• Polinomi f(x) = x · f ^k + f(x) ± xⁿ (tranne in X ₀) · Somma prodotto e
• Rapporto · prodotto di composizione di funzioni derivabili

Il punto C ∈ (-2, 1) che verifica la tesi del teorema di Lagrange tale che f'(C) = 1

f'(x) = 3x² - 2

3x² - 2 = 1 ➔ x = ±1

• X =1 ∈ (-2, 1) ➔ Verifica la tesi di Lagrange
• X = -1 ∉ (-2, 1) ➔ Non verifica la tesi, perché non è punto interno all'intervallo (-2, 1)

Conseguenze teorema di Lagrange

Sia f: I ⊆ R→IR dove I intervallo di IR, f è definito e continuo in I e derivabile in tutti i suoi punti interni

1. Se f'(x) = 0 ∀ x ∈ I allora f è costante nell'interno I
2. Se f'(x) > 0 ∀ x ∈ I allora f è crescente nell'interno I
3. Se f'(x) < 0 ∀ x ∈ I allora f è decrescente nell'interno I

Dimostrazione i

Devo dimostrare che dati due punti arbitrari scelti x₁ ∈ I, f(x₁) = f(x₂)

Scelti punti X₁ e X₂ ∈ X, applico il teorema di Lagrange all'intervallo [x₁, x₂]

Quindi esiste un punto C ∈ (x₁, X₂) tale che f'(c) = [f(x₂) - f(x₁)] / x₂ - x₁

Per ipotesi so che f'(c) = 0 e quindi:

f(x₂) - f(x₁) / x₂ - x₁ = 0 ➔ f(x₂) - f(x₁) = 0

Ovvero f(x₁) = f(x₂) La tesi è dimostrata dato che x₁ e x₂ sono stati presi in modo arbitrario.

Dimostrazione ii

Devo dimostrare che ∀ x₁, x₂ ∈ I con x₁ < x₂ ➔ f(x₁) ≤ f(x₂)

Scegliamo 2 punti arbitrari x₁, x₂ ∈ I senza perdita di generalità

Supponiamo che x₁ - x₂ ➔ Applichiamo Lagrange all'intervallo (x₁, x₂)

Di conseguenza ∃ c ∈ (x₁, x₂) tale che f'(c) = f(x₁) / x₂ - x₁

Per ipotesi f'(c) > 0 ➔ f(x₂ - f(x₁) / x₂ - x₁) > 0

➔ x₂ ➔ x₁ ➔ f(x₁) ≤ f(x₂)

La tesi è dimostrata dato l'arbitrarietà di x₁ e x₂

Dimostrazione iii

Analoga alla ii

Esempio

f(x) = x² log_x

E f_x = x ∈ IR:x > 0

f'(x) = x² log_x + 1

x > 0 ➔ 2 log x +1 > 0

log x > -1₂

x > e^-1₂

x ≤ e^-1₂ ➔ decrescente

x ∈ e^-1₂ ➔ crescente

X = e^-1 minimo rela (V ?)

Asintoti

Asintoto orizzontale: la retta y=k è detta asintoto orizzontale DX/SX se e solo se

Asintoto verticale: la retta x=k è detta asintoto verticale DX/SX se e solo se

Asintoto obliquo: la retta y=mx+q è detta asintoto obliquo DX/SX se e solo se

Studio di funzione

f(x) = x³ - 3x² - 9x

1. Campo di esistenza

E_f = ℝ

2. Studio del segno e intersezione assi

x³ - 3x² - 9x > 0

x > 0

x =

x

3. Comportamento di x al limite del C.A.

Asintoto verticale

Asintoto obliquo

4. Studio crescita e decrescenza

f'(x) = 3x² - 6x - 9

f'(x) > 0

f'(x) crescente x < -4 ∧ x > 3

x = -3

f'(x) crescente x < 3

x - 1 max rela

x = 3 min rela