Matematica per le applicazioni I - numeri

Introduzione alla relazione di equivalenza ≈

Introduciamo in I x {I - {0}} la relazione di equivalenza ≈ definita da (m / a ≈ n / b) ↔ (m * b = n * a). Essa introduce intuitivamente l'operazione di divisione (/) come operazione inversa della moltiplicazione.

Vediamo alcuni esempi di coppie ordinate appartenenti alla suddetta relazione:

• (3,4) = 3/4 ≈
• (6,8) = 6/8 ≈
• (-12,-16) = 12/16 ≈
• …
• (1,1) = 1/1 ≈
• (3,3) = 3/3 ≈
• (4,4) = 4/4 ≈
• …
• (-3,1) = -3/1 ≈
• (6,-2) = -6/2 ≈
• (-9,3) = -9/3 ≈
• …
• (0,2) = 0/2 ≈
• (0,3) = 0/3 ≈
• (0,-4) = -0/4 ≈
• …
• … … …

La relazione di equivalenza ≈ induce in I x {I - {0}} una partizione in classi di equivalenza, ciascuna delle quali definisce un numero razionale. Il loro insieme è detto l'insieme dei numeri razionali Q ed è uguale all'insieme quoziente I x {I - {0}} / ≈.

Dall'esempio precedente: 3/4 = 6/8 = 12/16 = … = [3/4]

= 3/4 (le parentesi quadre indicano una classe di equivalenza)1/1 = 3/3 = 4/4 = … = [1] = 1-3/1 = -6/2 = -9/3 = … = [-3] = -30/2 = 0/3 = 0/4 = … = [0] = 0

Un numero razionale è quindi una classe di equivalenza, ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate fra loro equivalenti ad una data che si ottiene dalla divisione (inverso della moltiplicazione) fra due numeri interi qualunque (di cui il secondo diverso da 0). Per comodità ogni numero razionale viene indicato non dalla sua classe ma da un numero frazionario preceduto dal segno + oppure - (il segno + può essere omesso e se una frazione è una divisione esatta si può indicare col solo numero intero corrispondente).

L'insieme dei numeri razionali è quindi Q = {…, tutte le frazioni positive e negative di numeri interi (con denominatore diverso da 0, …} e su di esso sono definite le operazioni di somma (+), sottrazione (-, l'operazione inversa

della somma), moltiplicazione (*) e divisione ( / , l'operazione inversa della moltiplicazione). Ribadiamo che il denominatore di queste frazioni non può mai essere nullo. L'insieme Q dotato delle operazioni somma (+) e moltiplicazione (*) e della relazione d'ordine minore (<) costituisce il sistema algebrico dei numeri razionali (Q; +, *, <). Indichiamo con Q' il sottoinsieme dei numeri razionali per cui la divisione fra numeratore e denominatore è esatta. Inoltre il sottoinsieme dei numeri razionali positivi si denota con Q+ e quello dei numeri razionali negativi con Q-. Il sistema (Q'; +, *, <) è algebricamente isomorfo ad (I; +, *, <) per cui Q rappresenta una estensione di I: 04 - Numeri reali R. Fin dai tempi dell'antica Grecia era noto che certe relazioni fra grandezze non possono essere espresse come frazioni di numeri interi (ovvero come numeri razionali). Esempi classici di ciò sono il rapporto fra diagonale e lato.del quadrato (√2) ed il rapporto fra la circonferenza ed il diametro di un cerchio (π). Vi sono quindi dei numeri che non sono razionali ma che sono approssimabili da successioni convergenti di numeri razionali. Questi numeri, detti irrazionali, assieme ai razionali formano l'insieme dei numeri reali. Un altro modo di definire i numeri reali (oltre che con le successioni di cui si è appena accennato) si ha introducendo la definizione di taglio di Dedekind. Un taglio di Dedekind è un sottoinsieme di numeri razionali positivi che soddisfa le seguenti proprietà: - L'insieme A così definito è un taglio di Dedekind e rappresenta un insieme di numeri razionali con la particolare fondamentale proprietà (la terza) di avere sempre un elemento maggiore di un qualsiasi prefissato suo elemento. Consideriamo il taglio di Dedekind così definito: - Esso definisce intuitivamente il numero irrazionale √2 (radice quadrata di 2) in

Quanto si può facilmente dimostrare che preso un qualunque numero razionale il cui quadrato è minore di 2 si può sempre trovare un altro numero razionale maggiore del precedente il cui quadrato sia ancora minore di 2. Questo processo può essere intuitivamente protratto all'infinito. In questo modo i numeri razionali presi così in successione tenderanno ad avvicinarsi sempre più al numero irrazionale √2. Il concetto può essere illustrato dal seguente grafico:

Nel quale, con scala arbitraria, abbiamo posto alcuni numeri razionali che costituiscono il taglio di Dedekind in questione su di una retta orientata. Si può notare anche che la successione di numeri razionali che tende a √2 è stata rappresentata dai corrispondenti numeri decimali scegliendoli via via con un decimale in più. Si può anche notare che un numero irrazionale non è rappresentabile da un numero decimale con finiti decimali.

né da un numero periodico (ogni numero razionale è rappresentabile da un numero decimale con finiti decimali o con infiniti decimali ma ricorrenza periodica).

Sia T l'insieme dei tagli di Dedekind e consideriamo il prodotto cartesiano formato dalle coppie ordinate dei tagli (a,b) che indichiamo per comodità a - b (qui il simbolo - non indica ancora la sottrazione).

La relazione di equivalenza ≈ definita da:

Introduciamo in (a - b ≈ c - d) ↔ (a + d = b + c). Essa introduce intuitivamente l'operazione di sottrazione (-) come operazione inversa della somma.

Per esempio: (1,√2) = 1 - √2 ≈ (4,3+√2) = 4 - 3 - √2 ≈ ... ... ...

La relazione di equivalenza ≈ induce una partizione in classi di equivalenza, ciascuna delle quali definisce un numero reale. Il loro insieme è detto l'insieme dei numeri reali R ed

è la somma), moltiplicazione (×) e divisione (÷).della somma), moltiplicazione (*) e divisione (/, l'operazione inversa della moltiplicazione). Sull'insieme dei numeri reali è definito anche il modulo o valore assoluto nel seguente modo: |a| = a se a è positivo o nullo |a| = -a se a è negativo. Importanti proprietà del modulo sono: |-a| = |a| |ab| = |a| |b| |a + b| <= |a| + |b| detta anche disuguaglianza triangolare. L'insieme R dotato delle operazioni somma (+) e moltiplicazione (*) e della relazione d'ordine minore (<) costituisce il sistema algebrico dei numeri reali (R; +, *, <). Indichiamo con R' il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili da numeri razionali. Inoltre, il sottoinsieme dei numeri reali negativi si denota con . Il sottoinsieme dei numeri reali positivi si denota con . Il sistema (R'; +, *, <) è algebricamente isomorfo a (Q; +, *, <) per cui R rappresenta una estensione di Q. Riassumendo, i numeri reali sono una estensione dei numeri razionali, che a lorovolta sono una estensione dei numeri interi che a loro volta sono una estensione dei numeri naturali: -5 - La retta reale. I numeri reali possono essere posti su una retta orientata, la cosiddetta retta reale. I numeri vengono posti ordinatamente secondo la relazione d'ordine < definita in R. I numeri positivi vengono posti a destra di un punto detto origine corrispondente a 0 ed i negativi a sinistra. I numeri reali così collocati sulla retta reale si chiamano punti. D'ora in poi numero reale e punto saranno sinonimi così come la retta reale e R. Sulla retta reale possono essere presi a piacere dei sottoinsiemi di punti. Le caratteristiche e le proprietà di questi insiemi sono di particolare importanza perché costituiscono la base dei concetti fondamentali di topologia e metrica che verranno sviluppati nei prossimi capitoli e che sono alla base degli sviluppi più importanti e profondi dell'intera analisi matematica. Consideriamo qui.

I seguenti concetti:

1. Estremi di un sottoinsieme di R

Sia A un sottoinsieme non vuoto di R. Si dice che A è un insieme limitato se: ovvero se esiste un qualunque numero reale positivo tale che sia maggiore o uguale del modulo di qualunque numero appartenente all'insieme dato. Se ciò non si verifica per nessun numero positivo, l'insieme si dice non limitato. Se poi esiste un numero reale M qualunque (positivo, negativo o nullo) tale che a ≤ M per qualunque valore di a, l'insieme si dice limitato superiormente. Se, infine, esiste un numero reale M qualunque tale che a ≥ M per qualunque valore di a, l'insieme si dice limitato inferiormente.

Nella figura, l'insieme A è limitato (esiste un M positivo maggiore del modulo di ogni punto di A) e quindi lo è anche superiormente ed inferiormente.

Un esempio di insieme limitato è {1/n ; n appartenente ad N}.

Un esempio di insieme limitato inferiormente è {n; n < 0}.

appartenente ad N }.Dato un insieme di punti non vuoto A consideriamo l'insieme B dei punti che sono tutti maggiori od uguali di qualsiasi punto di A :Visualizzato sulla retta reale, l'insieme B sarà ovviamente a destra di A "confinerà" con esso. Il primo elemento di B si chiama sup A, ovvero estremo superiore di A. Se il sup A appartiene ad A esso si chiama max A ovvero massimo di A. Viceversa, se B è l'insieme di tutti i punti minori od uguali di qualsiasi punto di A, l'ultimo elemento di B si chiama inf A ovvero estremo inferiore di A o min A ovvero minimo di A a seconda che non appartenga ad A o vi appartenga (nell'ordine). L'insieme {1/n ; n appartenente ad N } ha massimo 1 ed estremo inferiore 0: infatti 1 appartiene all'insieme e 0 non appartiene all'insieme (dividendo 1 per un numero naturale qualsiasi non si ottiene mai 0).- 2 - intervalli Presi due punti a e b con a ≤ b definiamo i seguenti

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