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Matematica per le applicazioni I - numeri

Appunti di Matematica per le applicazioni I sui numeri. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: i fondamenti algebrici : i numeri, i numeri naturali N, i numeri interi I, i numeri razionali Q, i numeri reali R, la retta reale, i numeri complessi... Vedi di più

Esame di Matematica per le applicazioni I docente Prof. F. Gori

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05 - La retta reale.

I numeri reali possono essere posti su una retta orientata, la cosiddetta retta reale. I

numeri vengono posti ordinatamente secondo la relazione d’ordine < definita in R. I numeri

positivi vengono posti a destra di un punto detto origine corrispondente a 0 ed i negativi a sinistra. I

numeri reali così collocati sulla retta reale si chiamano punti. D’ora in poi numero reale e punto

saranno sinonimi così come la retta reale ed R.

Sulla retta reale possono essere presi a piacere dei sottoinsiemi di punti. Le caratteristiche e le

proprietà di questi insiemi sono di particolare importanza perché costituiscono la base dei concetti

fondamentali di topologia e metrica che verranno sviluppati nei prossimi capitoli e che sono alla

base degli sviluppi più importanti e profondi dell’intera analisi matematica. Consideriamo qui i

seguenti concetti :

- 1 - estremi di un sottoinsieme di R

Sia A un sottoinsieme non vuoto di R . Si dice che A è un insieme limitato se

: ovvero se esiste un qualunque numero reale positivo tale che sia maggiore od uguale del

modulo di qualunque numero appartenente all’insieme dato.

Se ciò non si verifica per nessun numero positivo, l’insieme si dice non limitato.

Se poi esiste un numero reale M qualunque (positivo, negativo o nullo) tale che a ≤

M per qualunque valore di a , l’insieme di dice limitato superiormente.

Se, infine, esiste un numero reale M qualunque tale che a ≥ M per qualunque

valore di a , l’insieme di dice limitato inferiormente.

Nella figura, l’insieme A è limitato (esiste un M positivo maggiore del modulo di

ogni punto di A ) e quindi lo è anche superiormente ed inferiormente.

Un esempio di insieme limitato è {1/n ; n appartenente ad N }.

Un esempio di insieme limitato inferiormente è {n; n appartenente ad N }.

Dato un insieme di punti non vuoto A consideriamo l’insieme B dei punti che sono

tutti maggiori od uguali di qualsiasi punto di A :

Visualizzato sulla retta reale, l’insieme B sarà ovviamente a destra di A e

“confinerà” con esso. Il primo elemento di B si chiama sup A , ovvero estremo superiore di

A. Se il sup A appartiene ad A esso si chiama max A ovvero massimo di A.

Viceversa, se B è l’insieme di tutti i punti minori od uguali di qualsiasi punto di A

, l’ultimo elemento di B si chiama inf A ovvero estremo inferiore di A o min A ovvero

minimo di A a seconda che non appartenga ad A o vi appartenga (nell’ordine).

L’insieme {1/n ; n appartenente ad N } ha massimo 1 ed estremo inferiore 0 :

infatti 1 appartiene all’insieme e 0 non appartiene all’insieme (dividendo 1 per un

numero naturale qualsiasi non si ottiene mai 0).

- 2 - intervalli

Presi due punti a e b con a ≤ b definiamo i seguenti importanti tipi di insiemi :

[a,b] = {x ; x reale , a ≤ x ≤ b} è detto intervallo limitato e chiuso di estremi

a e b e se a < b si ha :

[a,b[ = {x ; x reale , a ≤ x < b} è detto intervallo limitato aperto a destra di

estremi a e b ]a,b] = {x ; x reale , a < x ≤ b} è detto intervallo limitato aperto a sinistra di

estremi a e b ]a,b[ = {x ; x reale , a < x < b} è detto intervallo limitato aperto a destra e a

sinistra di estremi a e b

[a,+∞[ = {x ; x reale , x ≥ a} è detto intervallo illimitato chiuso a sinistra

]a,+∞[ = {x ; x reale , x > a} è detto intervallo illimitato aperto a sinistra

]-∞,b] = {x ; x reale , x ≤ b} è detto intervallo illimitato chiuso a destra

]-∞,b[ = {x ; x reale , x < b} è detto intervallo illimitato aperto a destra

06 - Numeri complessi C

I numeri complessi sono una estensione dei numeri reali che deriva dalla necessità di

generalizzare la teoria delle equazioni polinomiali (algebriche) :

.

è un polinomio di grado n e l’equazione polinomiale corrispondente ha radici (le

soluzioni dell’equazione) non sempre appartenenti all’insieme dei numeri reali (R) .

Consideriamo le semplici equazioni di secondo grado :

la prima equazione ha due soluzioni reali : +1 e -1 mentre la seconda equazione non ha

nessuna soluzione reale perché nessun numero reale elevato al quadrato dà come risultato il numero

negativo -1 (tutti i numeri reali elevati alla seconda danno un numero positivo (o nullo nel caso di

0 )).

Se introduciamo il numero immaginario :

la precedente equazione non risolubile nel campo reale viene ad avere anch’essa due soluzioni, +i

e -i . In questo modo si generalizza la teoria delle equazioni polinomiali pervenendo

al fondamentale risultato che :

una equazione polinomiale di grado n ha n soluzioni complesse (reali o contenenti i ).

Definiamo il numero complesso z nel seguente modo :

x è detta la parte reale di z (ovvero x = Re(z) ) e y è detta la parte immaginaria di z (ovvero y =

Im(z) ). Se x = 0 il numero complesso si dice immaginario. Se y = 0 il numero si dice reale.

L’insieme di tutti i numeri complessi si indica con C e rappresenta una estensione algebrica di R

in quanto, se la parte immaginaria è nulla, un numero complesso diventa reale.

L’insieme dei numeri complessi C ha la struttura di campo e si chiama campo complesso,

così come R si chiama campo reale (vedi il capitolo sulle strutture algebriche).

Nel campo complesso C sono definite la usuali quattro operazioni + - * / le cui regole di calcolo

sono una logica estensioni delle corrispondenti nel campo reale :

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)

(a + ib) * (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)

(a + ib) / (c + id) = (a + ib)*(c – id) / (c*c +d*d) = …

Il numero complesso :

si chiama complesso coniugato di z = x + iy .

Di un numero complesso z = x + iy si definisce il modulo o valore assoluto |z| in modo che :

.

Se il numero è reale (parte immaginaria = 0 ) il modulo coincide ovviamente con quello

definito nel campo reale.

07 - Rappresentazione geometrica di C

I numeri complessi possono essere rappresentati come vettori sul piano cartesiano così come

i numeri reali possono essere rappresentati come punti di una retta orientata. Questa

modello geometrico è utilissimo e fa sì che il campo complesso e le sue proprietà siano

visualizzabili in modo semplice ed efficace. Il numero z = x + iy è così rappresentato da un vettore

:

la parte reale di z rappresenta l’ascissa del vertice del vettore mentre la parte

immaginaria rappresenta l’ordinata del vertice del vettore.

Se la parte immaginaria di un numero complesso è nulla, il numero è reale e si trova

posizionato sull’asse delle ascisse (x) . Se, invece, la parte reale è nulla, il numero è immaginario e

si trova posizionato sull’asse delle ordinate (y) . Per esempio, per 1 , -1 , i , -i :

Il modulo di z (nel diagramma indicato da ρ ) è la lunghezza del vettore (positiva o nulla)

mentre l’angolo fra il vettore e l’asse positivo delle ascisse (preso in senso antiorario) è detto

argomento del numero complesso (ovvero Arg(z) ) (nel diagramma indicato da θ ).

Il coniugato di un numero complesso, l’inverso additivo (-z) e le operazioni di somma e

sottrazione vengono così rappresentate : .

La somma a + b (dove a e b sono numeri complessi) è data dalla regola del

parallelogramma mentre la differenza a – b è data dall’altra diagonale del parallelogramma

(orientata verso il vertice del primo addendo e riportata con trasporto parallelo a partire dall’origine

O ). Vediamo così utilizzate per i numeri complessi le semplici regole di calcolo dei vettori.

Per quanto riguarda la rappresentazione geometrica della moltiplicazione e della divisione

occorre notare che un numero complesso può essere espresso in funzione del modulo e

dell’argomento nel modo seguente :

(cos è il coseno e sin è il seno dell’argomento di z ) Questa formula deriva da un noto teorema

di trigonometria relativo ai triangoli rettangoli (il triangolo formato dal vettore che rappresenta z ,

l’asse delle ascisse e la proiezione del vertice del vettore sull’asse delle ascisse è appunto un

triangolo rettangolo).

Conseguentemente (omettiamo la dimostrazione), un numero complesso può essere posto in

forma esponenziale, forma che risulta molto utile per la rappresentazione di moltiplicazione e

divisione (nonché elevamento a potenza intera o frazionaria) :

dove e è il numero irrazionale di Nepero pari a circa 2,71828… .

Il prodotto fra due numeri complessi risulta quindi essere :

dove exp(…) è equivalente ad “e elevato alla ...”.


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AUTORE

Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni I sui numeri. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: i fondamenti algebrici : i numeri, i numeri naturali N, i numeri interi I, i numeri razionali Q, i numeri reali R, la retta reale, i numeri complessi C.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Docente: Gori Franco
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.

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